Se explica lo que son los puntos fijos de una función, la condición para la existencia de un punto fijo, unicidad y convergencia del método y cómo aplicarlo para encontrar ceros de funciones. Clase: https://youtu.be/2N9hyoUKwgE

1. Ceros de Funciones
Iteraciones de punto fijo
Angel Vázquez-Patiño
angel.vazquezp@ucuenca.edu.ec
Facultad de Ingeniería
Universidad de Cuenca
15 de abril de 2021

2. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 2/21
Objetivos
1. Entender lo que son los puntos fijos de una
función
2. Entender el algoritmo de iteraciones de punto
fijo y la función de iteración
3. Saber acerca de la existencia, unicidad y
convergencia de las iteraciones
4. Utilización para encontrar ceros de funciones

3. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 3/21
Contenido
Puntos fijos de una función
Iteraciones de punto fijo y Función de iteración
Existencia, Unicidad y Convergencia
Ceros de funciones

4. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 4/21
Puntos fijos de una función

5. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 5/21
Puntos fijos de una función
●
Dada una función φ:[a, b]→ℝ, si existe un α ∈ [a, b]
que cumpla
●
Entonces α es llamado punto fijo de φ, y puede ser
calculado con el algoritmo de iteraciones de punto
fijo
● Con x0 como aproximación inicial

6. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 6/21

7. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 7/21

8. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 8/21

9. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 9/21

10. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 10/21
Existencia de un punto fijo
●
Dado el algoritmo de iteraciones de punto fijo
y la función de iteración
●
Si φ(x) es continua en [a, b] y φ(x)∈[a, b],
entonces existe al menos un punto fijo α∈[a,b].

11. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 11/21
Existencia de un punto fijo
Prueba
●
La función g(x) = φ(x) - x es continua en [a, b]
●
Ya que φ(x)∈[a, b], g(a) = φ(a) - a ≥ 0 y g(b) =
φ(b) - b ≤ 0
●
Ya que hay un cambio de signo de g(x) en el
intervalo [a, b], aplicando el teorema de ceros
de una función continua, se concluye que g
tiene al menos un cero en el intervalor [a, b]

12. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 12/21
Unicidad y Convergencia
●
Si
●
Entonces, existe una punto fijo único α∈[a, b]
de φ y la secuencia definida
●
Converge a α, para cualquier valor inicial
escogido x0 en el intervalo [a, b].

13. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 13/21
Unicidad y Convergencia
Prueba (unicidad)
●
Si hubieran dos puntos fijos diferentes en φ, por
ejemplo, α1 y α2, entonces

14. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 14/21
Unicidad y Convergencia
Prueba (convergencia)
● Para cualquier aproximación inicial x0∈[a, b]

15. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 15/21

16. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 16/21

17. Iteraciones de punto fijo Angel Vázquez-Patiño 17/21
Ceros de funciones
●
f(x), x ∈ [a, b]
●
x = φ(x)
●
Cumplir las condiciones
●
Aplicar el algoritmo de iteraciones de punto fijo