Este documento describe tres casos de soluciones a ecuaciones diferenciales homogéneas de coeficientes constantes. En el primer caso, si las raíces son reales y distintas, la solución general es la suma de dos funciones exponenciales. En el segundo caso, si las raíces son reales e iguales, la solución general es una única función exponencial. En el tercer caso, si las raíces son complejas conjugadas, la solución general también es la suma de dos funciones exponenciales.

1. Ecuaciones
Diferenciales
Homogéneas
COEFICIENTES
CONSTANTES

2. E.D. COEFICIENTES CONSTANTES
Hemos visto que la ecuacion lineral de primer
orden dx/dy + ay= 0 tiene la soulcion exponencial
y=c1 e^-ax , por consiguiente, lo mas natural es
tratar de determinar si existen soluciones
exponenciales en (oo,-oo) de las ecuaciones
homogeneas de orden superio del tipo:

3. Caso # 1
Raíces Reales Distintas
Si la ecuación tiene dos raíces distintas, m1y m2,
llegamos a dos soluciones, y1=e^m1x y y2=e^m2x. Estas
funciones son linealmente independientes en (oo, -oo)y,
en consecuencia, forman un conjunto fundamental.
Entonces la solución general de la ecuación en
este intervalo es:

4. Caso # 2
Raíces Reales e Iguales
 Cuando m1= m2 llegamos, necesariamente , solo
a una solución exponencial, y1=e^m1x. Según la
formula cuadrática, m1= -b/2 porque la única
forma de que m1=m2 es que b2-4ac=0. A
 En esta ecuación aprovechamos que: –b/a=2m1.
La solución general en consecuencia es:

5. Caso # 3
Raíces Complejas Conjugadas
Si m1 y m2 son complejas, podremos escribir
m1= α+ iβ y m2=α- iβ , donde α y β> 0 y son reales,
ei^2= -1. no hay diferencia formal entre este caso
y el caso 1; por ello: