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1. 1
ESTADÍSTICA II
SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO
EJERCICIO 1 (NOVALES 2.1)
Consideremos Pt = P0egt
. Dado que dicha función es continua y que existen y
son continuas las derivadas de todos los órdenes, podemos aplicar Taylor a Pt
en el punto t = 0. Resulta:
Pt(t) = Pt(0) + )t(R
!
)t).(('Pt
1
1
00
+
−
donde R1(t) es un infinitésimo, cuando t → 0, de orden mayor que uno.
Por lo tanto, como Pt(0) = P0, Pt’(t) = P0 gegt
y Pt’(0) = P0 g, resulta:
Pt(t) ≅ P0 + P0.g.t ⇒ [Pt(t) - P0] / P0 ≅ g.t, que es la expresión requerida.
Además ésta es lineal en t (puede verse como la “fórmula de una recta”) para
valores de t próximos a cero.
a) Como Pt = P0 (1+π)t
, π = eg
– 1, usando la notación
t
P
Pt
∂
∂
=
•
y recordando
que (at
)’ = at
.La:
[ ] [ ] ttgt
t )(gP)()e(LP)()(LPP π+=π+−+=π+π+=
•
111111 000
Por lo tanto:
g
)(P
)(gP
P
P
t
t
t
t
=
π+
π+
=
•
1
1
0
0
b) Si Pt = P0egt
entonces Pt-1 = P0eg(t-1)
y por lo tanto:
)t(g
)t(gg
t
tt
eP
ePeP
P
PP
1
0
1
00
1
1
−
−
−
− −
=
−
Con lo que sacando en el numerador factor común P0eg(t-1)
:
π=−=
−
=
−
−
−
−
−
1
1
1
0
1
0
1
1 g
)t(g
g)t(g
t
tt
e
eP
)e(eP
P
PP
EJERCICIO 2 (NOVALES 2.3)
Elaboramos el siguiente cuadro:
MES ti ti’ IPi IPi’
Dic-94 185 185
ene-95 0,0074 0,007 186,4 186,3
feb-95 0,0024 0,002 186,8 186,7
mar-95 0,0053 0,005 187,8 187,6
abr-95 0,0064 0,006 189,0 188,7
may-95 0,0083 0,008 190,6 190,2
jun-95 0,0044 0,004 191,4 191,0
Donde:
ti = la tasa de aumento intermensual con dos decimales entre el mes i y el i+1.
ti’ = la tasa de aumento intermensual con un decimal entre el mes i y el i+1.
IPi = el valor índice mensual tomando la tasa con dos decimales.

2. 2
IPi’ = el valor índice mensual tomando la tasa con un decimal.
Por lo tanto el valor numérico del índice en junio de 1995 es para una tasa de
crecimiento intermensual con dos decimales es IP = 191,4 y con un decimal es
IP’ = 191,0.
El crecimiento del índice con dos decimales es (191,415682 / 185) – 1 =
0,03468 y con un decimal es (190,997291 / 185) – 1 = 0,03242.
Las tasas anualizadas son, para dos decimales 1,034682
– 1 = 0,07056 y para
un decimal 1,032422
– 1 = 0,06589.
Se concluye que, con el redondeo, al cabo de 6 meses se tiene cierta distorsión
del verdadero valor del índice.
EJERCICIO 3
1)
2) La fórmula de la recta (que notaremos como Y = 10 β+β ˆˆ X) será discutida
más adelante en el curso en el tema que trata sobre regresión lineal. Se
aceptarán como válidas, por ahora y sin justificación que:
∑
∑
=
=
−
−−
=β n
i
i
n
i
ii
)xx(
)yy).(xx(
ˆ
1
2
1
1 y xˆyˆ
10 β−=β
Con dichos cálculos obtenemos que la fórmula de la recta de tendencia es:
y = 0,1882 x - 374,06
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1985 1990 1995 2000
AÑOS
VENTAS
y = 0,1882x - 374,06
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1985 1990 1995 2000
AÑOS
VENTAS

3. 3
3) La tendencia, utilizando promedios móviles, se calcula de la siguiente
manera:
a) Si la cantidad de tiempo en la que se hace el promedio móvil es impar
(notaremos 2n + 1) entonces la tendencia en el momento i es:
Ti =
1n2
TT...T...TT ni1nii1nini
+
++++++ +−++−−
b) Si, en cambio es par (2n):
Ti =
n2
T5,0T...T...TT05 ni1nii1nini +−++−− ×++++++×
En la tabla siguiente hemos calculado dichas tendencias por promedios
móviles. Resulta claro que la tendencia para el primer y último año de orden 3
no se puede calcular, así como en la de orden 4 no es posible para los dos
primeros y dos últimos años. Esta dificultad se podría subsanar repitiendo el
primer dato hacia atrás y el último hacia delante tanto como sea necesario.
AÑO Yi T3
i T4
i
1989 0,2
1990 0,4 0,367
1991 0,5 0,6 0,6125
1992 0,9 0,833 0,8625
1993 1,1 1,167 1,1
1994 1,5 1,3 1,225
1995 1,3 1,3 1,325
1996 1,1 1,367 1,45
1997 1,7 1,567 1,625
1998 1,9 1,967
1999 2,3
T3
0
0,5
1
1,5
2
2,5

4. 4
4) La tendencia de orden cuatro está calculada arriba y su gráfica es:
5) Esta parte está en las gráficas de arriba.
EJERCICIO 4 (PRIMERA REVISIÓN DEL 2000)
a) Para resolver esta parte aplicamos la fórmula mencionada en el ejercicio
anterior, bajo la suposición de que la tendencia es una recta (Y = 10 β+β ˆˆ X):
∑
∑
=
=
−
−−
=β n
i
i
n
i
ii
)xx(
)yy).(xx(
ˆ
1
2
1
1 y xˆyˆ
10 β−=β
Aplicamos, además, las siguientes fórmulas:
∑=
−−
n
1i
ii )yy()xx( =
n
1
yx
n
1i
ii −∑=
(∑=
n
1i
ix ) (∑=
n
1i
iy )
∑=
−
n
1i
2
i )xx( =
n
1
x
n
1i
2
i −∑=
(∑=
n
1i
ix )2
Por lo tanto:
=β1
ˆ
2
253x
22
1
3795
7,4202x253x
22
1
78,49051
−
−
=
50,885
73,720
= 0,814
=β0
ˆ
22
253
x814,0
22
57,4202
− = 181,665
b) El coeficiente de correlación de la muestra está dado por la fórmula:
rXY =
2
1
n
1i
2
i
2
1
n
1i
2
i
n
1i
ii
)yy()xx(
)yy).(xx(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
∑∑
∑
==
=
=
T4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5. 5
=
2
1
22
1
2
)57,4202x
22
1
808,803415()253x
22
1
3795(
7,4202x253x
22
1
78,49051
−−
−
⇒ rXY = 0,976
c) Existe una fuerte correlación lineal positiva entre el mes y el valor de la
unidad reajustable dado que rXY es muy cercano a uno.
EJERCICIO 5
1) Para determinar la tendencia considerando que ésta es lineal hacemos un
cambio de coordenadas con respecto a los trimestres de los diferentes años
representados en el eje de las abcisas. El primer trimestre de 1995 va a estar
representado por el valor 1, el segundo por el valor 2 y así sucesivamente
hasta el cuarto trimestre de 1999, el cual va a estar representado por el valor
20.
De este modo obtenemos la gráfica y la ecuación de la recta de tendencia la
cual se calcula como en el ejercicio anterior:
Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que ésta es una primera aproximación
de la tendencia, la cual notaremos como Tt’. Para calcular la estacionalidad,
Et, se le resta a la serie original Yt esta primera aproximación de la tendencia
-la cual se puede determinar por medio de una recta o por promedios móviles-
(Yt – Tt’). Para el componente estacional hallamos los promedios de los
diferentes trimestres de los diversos años de (Yt – Tt’) y finalmente calculamos
la tendencia Tt definitiva, sobre la serie desestacionalizada Yt – Et.
2) Elaboramos entonces el siguiente cuadro en el cual hallamos la
estacionalidad Et, la componente de tendencia definitiva Tt y la serie sin
estacionalidad ni tendencia Yt -Et -Tt.
y = 0,4301x + 13,484
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
TRIMESTRES
INGRESOS

6. 6
Xt Yt Tt’ Yt -Tt’ Et Yt--Et Tt Yt -Et -Tt
1 9 13,9141 -4,9141 -5,9549 14,9549 15,0469 -0,092
2 16 14,3442 1,6558 -0,185 16,185 15,3578 0,8272
3 18 14,7743 3,2257 2,3849 15,6151 15,6687 -0,0536
4 21 15,2044 5,7956 3,7548 17,2452 15,9796 1,2656
5 10 15,6345 -5,6345 -5,9549 15,9549 16,2905 -0,3356
6 15 16,0646 -1,0646 -0,185 15,185 16,6014 -1,4164
7 18 16,4947 1,5053 2,3849 15,6151 16,9123 -1,2972
8 20 16,9248 3,0752 3,7548 16,2452 17,2232 -0,978
9 13 17,3549 -4,3549 -5,9549 18,9549 17,5341 1,4208
10 22 17,785 4,215 -0,185 22,185 17,845 4,34
11 17 18,2151 -1,2151 2,3849 14,6151 18,1559 -3,5408
12 24 18,6452 5,3548 3,7548 20,2452 18,4668 1,7784
13 11 19,0753 -8,0753 -5,9549 16,9549 18,7777 -1,8228
14 17 19,5054 -2,5054 -0,185 17,185 19,0886 -1,9036
15 25 19,9355 5,0645 2,3849 22,6151 19,3995 3,2156
16 21 20,3656 0,6344 3,7548 17,2452 19,7104 -2,4652
17 14 20,7957 -6,7957 -5,9549 19,9549 20,0213 -0,0664
18 18 21,2258 -3,2258 -0,185 18,185 20,3322 -2,1472
19 25 21,6559 3,3441 2,3849 22,6151 20,6431 1,972
20 26 22,086 3,914 3,7548 22,2452 20,954 1,2912
Es decir que para hallar Et (componente estacional) del primer trimestre, en
este caso, sumamos los ingresos de los primeros trimestres de los cinco años
de la serie original menos la aproximación de la tendencia (Yt -Tt’) y dividimos la
suma entre la cantidad de años. Obsérvese que la componente estacional de
cada trimestre es la misma para los diferentes años, esto es E1 = E5 = E9 =
E13 = E17; E2 = E6 = E10 = E14 = E18; etc.
Para tener una mejor visualización, podemos graficar los datos originales (Yt)
comparándolos con la suma de las componentes estacionales y de tendencia
(Et +Tt):
3) Podemos observar por la gráfica anterior que las componentes de
estacionalidad y de tendencia explican con mucha aproximación la serie
original.
Yt comparado con Et+Tt
0
5
10
15
20
25
30
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

7. 7
EJERCICIO 6 (CONTROL DEL 2000)
a) Indizando los trimestres 1, 2, 3, etc., y teniendo en cuenta los parámetros de
la recta de tendencia, resulta:
tTˆ = 12,48 + 0,68.t
Entonces:
( ) ( ) ( ) 09,1
3
ˆˆˆ
ˆ 10106622
2 =
−+−+−
=
TYTYTY
E
b) Procediendo como en los ejercicios anteriores, se obtiene una primera
estimación de la tendencia para t = 10, 28,19ˆ
10 =T , y en la última columna del
cuadro siguiente la estimación de la tendencia ( *
tTˆ ) a partir de los datos
desestacionalizados (penúltima columna). Observando la última columna, se
deduce: *
10Tˆ = 18,342.
t Yt tTˆ Yt – tTˆ
tEˆ Yt – tEˆ *
tTˆ
1 9 13,1668 -4,1668 -5,23 14,23 14,68
2 16 13,8486 2,1514 1,09 14,91 15,08
3 18 14,5304 3,4696 0,41 17,59 15,49
4 21 15,2122 5,7878 3,73 17,27 15,90
5 10 15,894 -5,894 -5,23 15,23 16,31
6 15 16,5758 -1,5758 1,09 13,91 16,71
7 18 17,2576 0,7424 0,41 17,59 17,12
8 20 17,9394 2,0606 3,73 16,27 17,53
9 13 18,6212 -5,6212 -5,23 18,23 17,93
10 22 19,303 2,697 1,09 20,91 18,34
11 17 19,9848 -2,9848 0,41 16,59 18,75
12 24 20,6666 3,3334 3,73 20,27 19,16
EJERCICIO 7 (PRIMERA REVISIÓN DEL 2001)
Aplicando la fórmula de Tt para t = 1, 2, ..., 6, podemos hallar la tendencia
(columna Tt) en la siguiente tabla:
UNIDADES VENDIDAS
Cuatrimestre Año t Yt Tt Yt – Tt Et
I 1999 1 19 20,9527 -1,9527 -3,38125
II 1999 2 24 22,2384 1,7616 0,33305
III 1999 3 28 23,5241 4,4759 3,04735
I 2000 4 20 24,8098 -4,8098 -3,38125
II 2000 5 25 26,0955 -1,0955 0,33305
III 2000 6 29 27,3812 1,6188 3,04735
Luego, en la sexta columna, computamos los datos originales menos la
tendencia, para posteriormente calcular la estacionalidad: como cada uno de
los dos años está dividido en cuatrimestres habrá tres componentes
estacionales:
E1 = E4 =
2
8098,49527,1 −−
= – 3,38

8. 8
E2 = E5 =
2
0955,17616,1 −
= 0,33
E3 = E6 =
2
6188,14759,4 +
= 3,05
b) En promedio, durante el primer cuatrimestre, se venden 3380 unidades
menos de lo que indica la tendencia; en el segundo, en promedio, aumentan en
330 y en el tercero aumentan, en promedio, en 3050 unidades por encima de la
tendencia.
c)
3
252028
MM 2000
I
++
= = 24,33
3
292520
MM 2000
II
++
= = 24,67
=2000
IIIMM no se puede calcular con los datos disponibles
Una aproximación aceptable para 2000
IIIMM sería operar como en el ejercicio
3.3.b), es decir repetir el último dato, con lo cual resultaría:
3
292925
MM 2000
III
++
= = 27,67
EJERCICIO 8
Se llama modelo aditivo cuando:
Yt = Et + Tt + Ct + It
donde: Et es la componente estacional
Tt la componente de tendencia
Ct la componente cíclica
It la componente irregular (lo no previsible o aleatorio)
Las tres primeras componentes son determinísticas es decir que se pueden
establecer, mientras que la última no y por ello se llama irregular o aleatoria.
En este ejercicio vamos a establecer una primera aproximación a la tendencia
por medio de Medias Móviles Centradas de orden 3 (nótese que con esto
promediamos datos a lo largo de un año ya que éstos están dados por
cuatrimestres), y que denotaremos MM3
t. Posteriormente, una vez eliminada
gran parte de la tendencia por este método, calcularemos la componente
estacional Et. Finalmente a los datos desestacionalizados d
tY = Yt – Et le
calculamos la tendencia Tt por medio de una recta de la forma ya establecida.
Xt Yt
3
tMM Zt = Yt - 3
tMM Et
d
tY = Yt – Et Tt Yt -Et -Tt Et +Tt
1 500 137,5 362,5 307,57 54,93 445,07
2 350 366,67 -16,67 -20 370 313,79 56,21 293,79
3 250 350 -100 -120,83 370,83 320,01 50,82 199,18
4 450 350 100 137,5 312,5 326,23 -13,73 463,73
5 350 333,33 16,67 -20 370 332,45 37,55 312,45
6 200 300 -100 -120,83 320,83 338,67 -17,84 217,84
7 350 250 100 137,5 212,5 344,89 -132,39 482,39
8 200 233,33 -33,33 -20 220 351,11 -131,11 331,11
9 150 300 -150 -120,83 270,83 357,33 -86,50 236,50
10 550 350 200 137,5 412,5 363,55 48,95 501,05
11 350 383,33 -33,33 -20 370 369,77 0,23 349,77
12 250 383,33 -133,33 -120,83 370,83 375,99 -5,16 255,16
13 550 400 150 137,5 412,5 382,21 30,29 519,71
14 400 433,33 -33,33 -20 420 388,43 31,57 368,43
15 350 -120,83 470,83 394,65 76,18 273,82

9. 9
Para visualizar mejor los resultados graficaremos Yt comparándolo con Et + Tt
así como Ct + It (la suma de las componentes cíclica e irregular) que es igual a
Yt – Et – Tt .
Por estas gráficas observamos que las componentes Et y Tt aproximan
bastante a Yt salvo en la parte central donde existe un poco más de diferencia.
EJERCICIO 9
Se llama modelo multiplicativo cuando:
Yt = Et .Tt . Ct . It
El procedimiento para hallar cada una de las componentes es prácticamente el
mismo cambiando las diferencias por división. Los cálculos son los siguientes:
Xt Yt
3
tMM ’ Zt = Yt / 3
tMM Et
d
tY = Yt /Et Tt = 3
tMM Yt /(Et .Tt) Et .Tt
1 500 1,408 355,1
2 350 366,67 0,954 0,940 372,5 374,1293 0,995683 351,5176
3 250 350,00 0,714 0,633 394,8 362,2925 1,089642 229,4331
4 450 350,00 1,286 1,408 319,6 362,2925 0,882144 510,1207
5 350 333,33 1,050 0,940 372,5 335,9745 1,108757 315,6688
6 200 300,00 0,667 0,633 315,8 312,3009 1,011253 197,7744
7 350 250,00 1,400 1,408 248,6 259,0846 0,959429 364,8003
8 200 233,33 0,857 0,940 212,9 232,7666 0,914500 218,6986
9 150 300,00 0,500 0,633 236,9 280,1139 0,845590 177,3910
10 550 350,00 1,571 1,408 390,6 333,3302 1,171856 469,3409
11 350 383,33 0,913 0,940 372,5 385,9661 0,965147 362,6390
12 250 383,33 0,652 0,633 394,8 385,9661 1,022808 244,4252
13 550 400,00 1,375 1,408 390,6 403,7049 0,967576 568,4309
14 400 433,33 0,923 0,940 425,7 456,3407 0,932922 428,7603
15 350 0,633 552,7
Ct+It = Yt-Et-Tt
-150
-100
-50
0
50
100
1 3 5 7 9 11 13 15
Yt comparado con Et+Tt
0
100
200
300
400
500
600
1 3 5 7 9 11 13 15

10. 10
Presentamos las siguientes gráficas relacionadas:
En las gráficas precedentes observamos un correcto ajuste de Yt con respecto
a Et . Tt. Por otra parte, al no presentar tantas diferencias en la parte central
como el modelo aditivo, lo consideramos más adecuado que él.
Ytcomparadocon
Et.Tt
0
100
200
300
400
500
600
12345678910111213
Ct.It = Yt/(Et.Tt)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 5 10 15