TEORIA DE COLAS 2. La sección de referencias de la biblioteca de la universidad recibe solicitudes de asesoría. Supóngase que puede utilizarse una distribución de Poisson con una tasa promedio de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegadas, y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con una tasa promedio de servicio de 12 solicitudes por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de asesoría en el sistema? b) ¿Cuál es promedio de solicitudes que esperan para ser atendidos? c) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera, antes que se comience a prestar el servicio? d) ¿Cuál es tiempo promedio en la sección de referencia, en minutos? e) ¿Cuál es la probabilidad de que una solicitud recién llegada tenga que esperar para obtener servicio? Solución:  = 10  = 12 a) Po = 1 -  /  Po = 1 – 10 / 12 Po = 0,1666 b) Lq = 2 / (-) Lq = (10)2 / 12(12 – 10) Lq = 4,1666 c) Wq = Lq /  Wq = 4,1666 / 10 Wq = 0,41666 Horas (24,99 Minutos) d) Ws = Wq + 1 /  Ws = 0,41666 + 1 / 12 Ws = 0,4999 Horas (29 Minutos) e) Pw =  /  Pw = 10 / 12 Pw = 0,8333 CADENAS DE MARKOV 7. La cervecería Guiness lo ha contratado a usted como estudiante de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Su mayor competidor es Heineken. Considere los siguientes estados y la matriz de transición: G: Consume Guiness H: Consume Heineken O: Consume otra marca. G H O G 0,70 0,20 0,10 H 0,20 0,75 0,05 O 0,10 0,10 0,80 T = a) Construya la gráfica de transición. b) Halle T2 e interprete. c) Si P0 = [0.0 0.60 0.40] Halle P2 e interprete. d) Halle P0*T2. e) Halle las probabilidades de equilibrio. Solución: a) b) T2 = T x T 0,70 0,20 0,10 T2 = 0,20 0,75 0,05 0,10 0,10 0,80 0,70 0,20 0,10 X 0,20 0,75 0,05 0,10 0,10 0,80 0,54 0,3 0,16 T2 = 0,295 0,6075 0,0975 0,17 0,175 0,655 c) P2 = P0 * T2 P2 = 0,0 0,60 0,40 0,54 0,3 0,16 X 0,295 0,6075 0,0975 0,17 0,175 0,655 P2 = 0,2450 0,4345 0,3205 d) P0 * T2 P0 * T2 = 0,70 0,20 0,10 0,54 0,3 0,16 X 0,295 0,6075 0,0975 0,17 0,175 0,655 P0 * T2 = 0,454 0,349 0,197 e) Tres estados {G, H, O} El problema consiste en resolver el sistema formado por las ecuaciones siguientes: (x, y, z).P = (x, y, z); x + y + z = 1, siendo “x” la probabilidad de que el consumidor compre G, “y” la probabilidad de que el consumidor compre H y “z” la probabilidad de que el consumidor compre O. De ambas expresiones se obtiene el siguiente sistema: -3x + 2y + z = 0 20x – 25y + 10z = 0 10x + 5y - 20z = 0 x + y + z = 1 Reescribimos el sistema de ecuaciones en

1. 2014
FUTCO
30-11-2014
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Teoría de colas
Cadenas de Markov
Guzmán Posso Rafael
Martelo Sáenz Arned
Méndez Payares Edgar
Toloza Ayala Cesar
Troconis Juan Pablo

2. TEORIA DE COLAS
2. La sección de referencias de la biblioteca de la universidad recibe solicitudes de
asesoría. Supóngase que puede utilizarse una distribución de Poisson con una tasa
promedio de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegadas, y que los
tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con una tasa promedio de servicio
de 12 solicitudes por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de asesoría en el sistema?
b) ¿Cuál es promedio de solicitudes que esperan para ser atendidos?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera, antes que se comience a prestar el
servicio?
d) ¿Cuál es tiempo promedio en la sección de referencia, en minutos?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que una solicitud recién llegada tenga que esperar para
obtener servicio?
Solución:
 = 10
 = 12
a) Po = 1 -  / 
Po = 1 – 10 / 12
Po = 0,1666
b) Lq = 2
/ (-)
Lq = (10)2
/ 12(12 – 10)
Lq = 4,1666
c) Wq = Lq / 
Wq = 4,1666 / 10
Wq = 0,41666 Horas (24,99 Minutos)

3. d) Ws = Wq + 1 / 
Ws = 0,41666 + 1 / 12
Ws = 0,4999 Horas (29 Minutos)
e) Pw =  / 
Pw = 10 / 12
Pw = 0,8333
CADENAS DE MARKOV
7. La cervecería Guiness lo ha contratado a usted como estudiante de investigación de
operaciones para analizar su posición en el mercado. Su mayor competidor es Heineken.
Considere los siguientes estados y la matriz de transición:
a) Construya la gráfica de transición.
b) Halle T2
e interprete.
c) Si P0 = [0.0 0.60 0.40] Halle P2 e interprete.
d) Halle P0*T2
.
e) Halle las probabilidades de equilibrio.
G: Consume Guiness
H: Consume Heineken
O: Consume otra marca.
G H O
G 0,70 0,20 0,10
H 0,20 0,75 0,05
O 0,10 0,10 0,80
T =

4. 0,70
0,75
0,80
0,05
0,10 0,20
0,10
0,200,10
Solución:
a)
b) T2
= T x T
0,70 0,20 0,10
T2
= 0,20 0,75 0,05
0,10 0,10 0,80
0,70 0,20 0,10
X 0,20 0,75 0,05
0,10 0,10 0,80
0,54 0,3 0,16
T2
= 0,295 0,6075 0,0975
0,17 0,175 0,655
O H
G

5. c) P2 = P0 * T2
P2 = 0,0 0,60 0,40
0,54 0,3 0,16
X 0,295 0,6075 0,0975
0,17 0,175 0,655
d) P0 * T2
P0 * T2
= 0,70 0,20 0,10
0,54 0,3 0,16
X 0,295 0,6075 0,0975
0,17 0,175 0,655
e) Tres estados {G, H, O}
El problema consiste en resolver el sistema formado por las ecuaciones siguientes:
(x, y, z).P = (x, y, z); x + y + z = 1, siendo “x” la probabilidad de que el consumidor compre
G, “y” la probabilidad de que el consumidor compre H y “z” la probabilidad de que el
consumidor compre O.
De ambas expresiones se obtiene el siguiente sistema:
-3x + 2y + z = 0
20x – 25y + 10z = 0
10x + 5y - 20z = 0
x + y + z = 1
P2 = 0,2450 0,4345 0,3205
P0 * T2
= 0,454 0,349 0,197

6. Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el
método de eliminación de Gauss-Jordan
-3 2 1 0 f1 / -3
20 -25 10 0
1 1 1 1
1 -2/3 -1/3 0
20 -25 10 0 f2 - 20f1
1 1 1 1 f3 – f1
1 -2/3 -1/3 0
0 -35/3 50/3 0 f2 * (-35/3)
0 5/3 4/3 1
1 -2/3 -1/3 0 f1 - (-2/3)f2
0 1 -10/7 0
0 5/3 4/3 1 f3 - 5/3f2
1 0 -9/7 0
0 1 -10/7 0
0 0 26/7 1 f3 / (26/7)
1 0 -9/7 0 f1 - (-9/7)f3
0 1 -10/7 0 f2 - (-10/7)f3
0 0 1 7/26
1 0 0 9/26
0 1 0 5/13
0 0 1 7/26

7. 1
0,350
00,65 0,65 0,65 0,65
0,350,350,35
1
Resultado:
x = 9/26
y = 5/13
z = 7/26
12. Dos jugadores A y B juegan una sucesión de partidas. En cada partida, A tiene
probabilidad 0.35 de ganar. Si A gana, B le paga $1 a A y viceversa. Inicialmente A tiene
$2 y B $3. El juego termina cuando uno de los 2 jugadores se arruina.
a) Construya la gráfica y la matriz de transición como si fuera el jugador A.
b) Halle P0.
c) Halle T2
e interprete.
d) Halle la probabilidad de que A se arruine.
Solución:
p = 0,35 (Probabilidad de ganar)
q = 1 – p q = 0,65 (Probabilidad de perder)
qk = ? (Probabilidad que A se arruine con capital k)
k = 2 (Capital inicial de A)
m – k = 3 (Capital inicial de B)
m = 5 (Capital total en juego)
a)
$0 $1 $2 $3 $4 $5

8. $0 $1 $2 $3 $4 $5
$0 1 0 0 0 0 0
$1 0,65 0 0,35 0 0 0
T = $2 0 0,65 0 0,35 0 0
$3 0 0 0,65 0 0,35 0
$4 0 0 0 0,65 0 0,35
$5 0 0 0 0 0 1
b) Po = P$2 = 0 0,65 0 0,35 0 0
c) T2
= T x T
1 0 0 0 0 0
0,65 0 0,35 0 0 0
0 0,65 0 0,35 0 0
T2
= 0 0 0,65 0 0,35 0
0 0 0 0,65 0 0,35
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0,65 0 0,35 0 0 0
0 0,65 0 0,35 0 0
X 0 0 0,65 0 0,35 0
0 0 0 0,65 0 0,35
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0,65 0,2275 0 0,1225 0 0
0,4225 0 0,455 0 0,1225 0
T2
=
0 0,4225 0 0,455 0 0,1225
0 0 0,4225 0 0,2275 0,35
0 0 0 0 0 1

9. (q / p)k
– (q / p)m
1 – (q / p)m
(0,65 / 0,35)2
– (0,65 / 0,35)5
1 – (0,65 / 0,35)5
d) Si p = q = ½ qk = m – k / m
Si p ≠ q qk =
Luego;
qk =
qk = 0,883888
17. Un electroimán puede cambiar (o no) su polaridad una vez por segundo. La
probabilidad de que cambie es, respectivamente, 0.2 o 0.7 dependiendo de que el estado
actual sea +1 o -1.
a) Construya la matriz y la gráfica de transición.
b) Si ahora está en +1, Halle la probabilidad de que vuelva a estarlo dentro de 4 segundos.
c) Halle T4
e interprete.
d) Supongamos que nos vamos y volvemos a las 24 horas, ¿Qué probabilidad hay
de que el estado sea -1?
e) Halle las probabilidades de equilibrio.
Solución:
a)
+ –
T = + 0,8 0,2
– 0,7 0,3
+ –
0,7
0,2
0,8 0,3

10. b) Si inicia en +1, P0 = 0,8 0,2
P4 = Po * T4
P4 = 0,8 0,2 X
0,7778 0,2222
0,7777 0,2223
P4 = 0,77778 0,22222
Iniciando en +1, la probabilidad de que transcurridos 4 segundos vuelva a estar en el mismo
estado es de 0,77778
c) T2
= T x T
T2
=
0,8 0,2
0,7 0,3
X
0,8 0,2
0,7 0,3
T4
= T2
* T2
T4
=
0,78 0,22
0,77 0,23
X
0,78 0,22
0,77 0,23
T2
=
0,78 0,22
0,77 0,23
T4
=
0,7778 0,2222
0,7777 0,2223

11. d)
e) x = Probabilidad de +
y = Probabilidad de –
-2x + 7y = 0
2x – 7y = 0
x + y = 1
Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el
método de eliminación de Gauss-Jordan
1 1 1
2 -7 0 f2 – 2f1
1 1 1
0 -9 -2 f2 / -9
1 1 1 f1 – f2
0 1 2/9
1 0 7/9
0 1 2/9
Resultado:
x = 7/9
y = 2/9