Trigonometria

Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
1
1 ÁNGULO
2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
3 FUNCIÓN TANGENTE
4 VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
CONOCIDOS
5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Existen expresiones algebraicas que contienen funciones
trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus
propiedades, identidades y valores conocidos.

2
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina ángulo.
Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.
Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones
trigonométricas dadas son identidades o no.
Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.
1 ÁNGULO.
ÁNGULO es la abertura que existe entre 2
semirectas que tienen un punto común de
intersección.
Esquemáticamente tenemos:
1.1 PATRÓN DE MEDIDA
La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad
de rotación que tiene que realizar el lado
inicial para coincidir con el lado terminal.
Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las
manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo
medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.
La medida de un ángulo se la expresa en:
GRADOS (patrón referencial); y/o
RADIANES (patrón de números reales)
Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:
π=180 Radianes
Se lo puede denotar de
la siguiente manera
También se suele emplear
letras del alfabeto griego

3
A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia
tenemos:
GRADOS RADIANES
30
6
π
45
4
π
60
3
π
90
2
π
150
6
5π
180 π
210
6
7π
270
2
3π
300
3
5π
330
6
11π
360 π2
135
120
225
315
2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
La regla de correspondencia para la función seno es xxf sen)( = , y
para la función coseno xxf cos)( = , donde x denota un ángulo.
Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas
respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.
Completar
Note que aquí la variable
independiente “ x ” representa a un
ángulo
En cada posición de giro del radio vector
(ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica
el valor del COSENO y la ORDENADA indica el
valor del SENO. ¿POR QUÉ?

4
Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos
(posición) estratégicos tenemos:
CONCLUSIONES:
IRxDomxDom == )(cos)(sen
Las gráficas son ONDAS SENOIDALES.
Sus gráficas presentan SIMETRÍA.
El seno es una función impar. Por tanto xx sen)sen( −=−
El coseno es una función par. Por tanto xx cos)cos( =−
Son FUNCIONES PERIÓDICAS, con período π2=T .
Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si )()( xfTxf =±
Por tanto )sen()sen( xTx =± y )cos()cos( xTx =±
Son FUNCIONES ACOTADAS.
Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si [ ]mxfnx ≤≤∀ )(
Note que [ ]1,1cos)(sen −=== xrgxrg , es decir:
1sen1 ≤≤− x ∧ 1cos1 ≤≤− x
π
π
π
π
π
π
ππ
2sen0
2
3
sen1
sen0
2
2
3
2
sen1
0sen0
sen
2
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
xx
π
π
π
π
π
π
ππ
2cos1
2
3
cos0
cos1
2
2
3
2
cos0
0cos1
cos
2
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
xx

5
OPCIONAL
Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense
cuales serían las características de las gráficas de:
xy sen2= .
Generalice xAy sen= donde amplitudA ≡
)sen( 6
π
−= xy .
Generalice para )sen( Φ±= xy donde desfase≡Φ
)2sen( xy = .
Generalice para xy ωsen= donde angularafrecuenci≡ω
Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno
pueden ser generalizadas de la siguiente forma:
))(sen( Φ±= xAy ω donde
T
π
ω
2
= entonces
ω
π2
=T
))(cos( Φ±= xAy ω
Ejercicios Propuestos 1
GRAFIQUE:
1. )(xseny −=
2. )sen( xy −=
3. )(xseny =
4. xy sen=
5. 1)(2
3
+−= πxseny
3 FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente se define como x
x
x
y tg
cos
sen
==
Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en 0cos =x . Es
decir en ,...2,1,0;
2
)12( =−±= nnx
π

6
CONCLUSIONES:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−±−= ,...2,1,0;
2
)12()(tg nnIRxDom
π
IRxrg =)(tg . Por tanto, no es una función acotada
Es una función periódica, con período π=T . Entonces
T
π
ω =
Es una función impar. Por tanto xx tg)tg( −=−
En general, la regla de correspondencia sería ))(tg( Φ±= xAy ω
OPCIONAL: Ejercicio Propuesto 2
GRAFICAR:
1. )(xtgy −=
2. )( xtgy −=
3. xy tg=
4. )(xtgy =
5. xy tg=
6. )(
3
π−= xtgy
4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
ÁNGULOS CONOCIDOS
Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias
básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no
nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una
calculadora.
Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente
para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también
para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.
x xsen xcos xtg
0 0 1 0
30
6
=
π
2
1
2
3
3
3
45
4
=
π
2
2
2
2 1
60
3
=
π
2
3
2
1 3
90
2
=
π 1 0 ∞
180=π 0 1− 0
270
2
3
=
π 1− 0 ∞
3602 =π 0 1 0

7
La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría. Para
obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°
podemos emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es
de mucha ayuda.
4.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo (triángulo que
tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la
longitud de su hipotenusa es igual a la suma
del cuadrado de las longitudes sus catetos.
Es decir: 222
bac +=
4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo
Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:
sen
Hipotenusa
opuestoLado
x =
c
a
x =sen
cos
Hipotenusa
adyacenteLado
x =
c
b
x =cos
tg
adyacenteLado
opuestoLado
x =
b
a
x =tg
También se definen las Cofunciones de la siguiente manera:
COSECANTE :
a
c
x
x ==
sen
1
csc
SECANTE:
b
c
x
x ==
cos
1
sec
COTANGENTE:
a
b
x
x ==
tg
1
cot

8
4.3 Funciones trigonométricas para 45 , 30 y 60 .
Para 45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales.
Digamos 1== ba , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos
que 211 22
=+=c
Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de
igual medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos 2=l
Ejercicio resuelto
La operación ( )45cos45sen30sen45tg4
60csc
30tg
260sen2
+−−+ da
como resultado:
a)
4
9 b)
4
9− c) 1 d) 0 e) -1
SOLUCIÓN:
Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:
4
9
4
123
3
4
3
4
6
3
2
4
3
4
2
2
1
14
2
3
3
3
2
4
3
2
2
2
2
2
1
14
3
2
3
3
2
2
3
1
2
1
1
2
12
−=
−
=−=−
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
/
/
/+=
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
/
/
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
/
RESPUESTA: Opción "b"
Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos
considerar lo siguiente:
2
1
45sen = ó
2
2
45sen =
2
1
45cos = ó
2
2
45cos =
1
45cos
45sen
45tg =
°
°
=
⇒
2
1
30sen =
2
3
60sen =
2
3
30cos =
2
1
60cos =
3
3
3
1
30tg == 360tg =

9
1. Regla del cuadrante:
Cuadrante x
I 2
0 π
<< x )()( xfxf =
II ππ
<< x2
)()( xfxf −±= π
III 23π
π << x )()( π−±= xfxf
IV ππ
23 2 << x )2()( xfxf −±= π
El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:
2. Regla de los signos
Cuadrante x xsen , xcsc xcos , xsec xtg , xc tg
I 2
0 π
<< x + + +
II ππ
<< x2
+ - -
III 23π
π << x - - +
IV ππ
23 2 << x - + -
Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los
respectivos cuadrantes son:
Ejemplo 1
Para calcular 135sen , debemos considerar que:
1.En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo.
2. 2
2
45sen)135180sen(135sen ==°−°=
Ejemplo 2
Para calcular 210cos , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.
2. 2
3
)30cos()180210cos(210cos −=−=°−°−=
Donde
tgsec,csc,
tgcos,sen,
c
f
=
=

10
Ejemplo 3
Para calcular °300tg , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa.
2. 3)60tg()300360tg(300tg −=−=°−°−=
Calcular:
1. °120cos
2. °150tg
3. °225sen
4. °240tg
5. °315cos
Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la
función periódica, es decir: )2()( πnxfxf −= . Donde " n " es un
número natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre
0° y 360°, y luego aplicar las reglas anteriores.
Ejemplo 1
Para calcular °405sen , debemos considerar que:
( )
2
2
405sen
45sen405sen45sen360405sen405sen
=
=⇒=−=
Ejemplo 2
Para calcular °1125tg , debemos considerar que:
11125tg45tg))360(31125tg(1125tg =⇒=°−°=

11
Ejemplo 3
Para calcular °480cos , debemos considerar que:
1. °=°−° 120cos)360480cos( .
2. 2
1
60cos)120180cos(120cos −=°−=°−°−=°
Ejercicios propuestos 4
Calcular:
1. °1080cos
2. °495tg
3. °1050sen
Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes
métodos:
1. El criterio de simetría, es decir )sen()sen( xx −=− ,
xx cos)cos( =− y xx tg)tg( −=− . Y el resto de manera
semejante a lo que ya se ha explicado.
2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, )2()( πnxfxf +−=−
Ejemplo
Para calcular )30sen(− , podemos considerar que:
2
1
30sen)30sen( −=°−=°− ; o considerar que,
2
1
330sen)36030sen()30sen( −=°=°+°−=°−
5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Existen expresiones trigonométricas que son válidas para
cualquier valor de x .
Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y
a la función coseno, tenemos que: 1cossen 22
=+ xx (JUSTIFÍQUELO)
De aquí, al despejar tenemos que: xx 22
cos1sen −=
xx 22
sen1cos −=
Además se puede demostrar que:
yxyxyx sencoscossen)sen( +=+
yxyxyx sencoscossen)sen( −=−
yxyxyx sensencoscos)cos( −=+
yxyxyx sensencoscos)cos( +=−

12
De aquí se deriva que:
Si hacemos xy = en las identidades para la suma de seno y
coseno, resulta:
Si hacemos
2
x
x = en 1cos22cos 2
−= xx y en xx 2
sen212cos −= ; y luego
despejamos, entonces resulta que:
Ejercicio resuelto 1
Calcular )75sen(
SOLUCIÓN:
Una opción sería emplear la identidad yxyxyx sencoscossen)sen( +=+
( )
4
132
2
1
2
2
2
3
2
2
30sen45cos30cos45sen)3045sen()75sen(
+
=
+=
+=+=
Al simplificar la expresión:
( )xx
xx
sen1cos
cossen1 2
+
−+
se obtiene:
a) xsen b) xcos c) xtg d) 1 e) 0
yx
yx
yx
yx
yx
tgtg1
tgtg
)cos(
)sen(
)tg(
−
+
=
+
+
=+
yx
yx
yx
tgtg1
tgtg
)tg(
+
−
=−
xxx cossen22sen =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
−
=
x
x
xx
x
2
2
22
sen21
1cos2
sencos
2cos
2
cos1
2
cos
xx +
±=
2
cos1
2
sen
xx −
±=

13
SOLUCIÓN :
Reemplazando la identidad xx 22
cossen1 += en la expresión dada, tenemos:
x
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
tg
cos
sen
)sen1(cos
)1(sensen
)sen1(cos
cossencossen
)sen1(cos
cossen1 2222
=
=
+
+
=
+
−++
=
+
−+
RESPUESTA: opción "c"
¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ", para que:
xA
A
A
A 2
sen1
cos
sen1
cos
=
−
+
+
se convierta en una identidad?
a) Acsc c) Asen e) Acos
b) AA cossen d) Atg
SOLUCIÓN:
Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos:
Ax
A
A
x
A
A
x
xAA
A
xAA
AAAAAA
xAA
AAAA
xA
A
A
A
cos
cos
cos
cos
sen1
2
)sen1)(sen1(
cos2
2
)sen1)(sen1(
cossencossencoscos
2
)sen1)(sen1(
)sen1(cos)sen1(cos
2
sen1
cos
sen1
cos
2
2
=
=
−
=
/
=
−+
/
=
−+
++−
=
−+
++−
=
−
+
+
RESPUESTA: Opción "e"
1. La expresión
xxc
xcx
tgtg
tgtg
−
+
, es idéntica a:
a) x2csc
b) x2sec
c) x2sen
d) x2cos
e) x2tg
2. Una expresión idéntica a
x
xxx
2
2
cos1
1cossen2sen
−
−+
es:
a) xx cossen +
b) xsen2
c) x2
cos1−

14
d) 1cos2 −x
e) xx cos2sen −
3. La expresión
x
x
x
x
sen
cos1
cos1
sen +
+
+
es equivalente a:
a) xsec
2
1
b) xtg3
c) xcsc2
d) xcos
e) xctg4
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
4
cos8
π
x ?
a) ( )xx sencos2 −
b) ( )xx cossen2 −
c) ( )xsen12 +
d) ( )xx cossen2 +
e) ( )xcos12 −
5. La expresión:
2
csc
tg1
sencos2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
α
α
αα
c
es idéntica a:
a) αtg2
b) -1
c) αtg2 c
d) 1
e) αtg
6. Una expresión idéntica a
x
xxx
2
2
sen1
1sencos2sen
−
−+
es:
a) xx cossen +
b) x2
sen1−
c) xsen2
d) xx cos2sen −
e) 1sen2 −x
7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?
a) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−
2
cossencos 22 x
xx
b) xx 22
sec1tg −=
c) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+
2
cos2cos1 2 x
x
d) xxx cossen2sen2 =
e) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+=
2
cossen xx
Misceláneos
1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a)
2
1
3
5cos =π
b)
3
3
6
7tg =π
c) π= 8cos0cos
d)
63
cossen ππ =

15
e) ( )[ ]xxgxxx coscottgcos =+∀
2. La expresión
xx
xx
2cos2sen1
2cos2sen1
−+
++
es IDÉNTICA a:
a) xsen
b) xcos
c) xsec
d) xcot
e) xtg
3. Sean “ x ” y “ y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela:
a) ( ) CosySenxSenxCosyyxSen −=+
b)
2
2
SenxCosy
xSen =
c) xSenxCos 22
1+=
d)
x
xx
Sen
2
cos1
2
+
=
e) xSenxCosxCos 22
2 −=
4. El valor de Δ para que la expresión x
x
x
cos
sen1
1
tg
=
−
+Δ
sea una IDENTIDAD es:
a) xcos
b) xsec
c) xsen
d) x2
cos
e)1
5. La expresión
xx
xx
2cos2sen1
2cos2sen1
−+
++
es idéntica a:
a) xsen
b) xcos
c) xtg
d) gxcot
e) xsec
6. El valor de la expresión:
1
2
3
cot1
4
cos
6
sen
4
cos
6
sen
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
π
es:
a)
3
1
− b) 12− c) 3− d)
12
3
− e)
12
3
7. SIMPLIFICANDO
xx
xx
cos2sen
cos4cos3 3
−
−
, se obtiene:
a) xx cossen +
b) xcos21−
c) 1sen2 +x
d) xsen2 −
e) xx sencos −
8. La expresión x
xx
x
cos
cossen
1tg
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
es idéntica a:
a) tg x
b) tg x +1
c) ctgx
d)ctgx - 1
e)1

16
9. La expresión
2
tg1
cscsec
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
x
xx
es IDÉNTICA a:
a) x2
cot
b) x2
sec
c) x2
csc
d) x2
sen
e) x2
cos
10. La expresión ( )( )[ ]xxx cotcsccos1 +− es IDÉNTICA a:
a) xsen−
b) xcsc
c) xcsc−
d) xsen
e) xcos−
11. El VALOR de
60cot.45tg
30sec.60tg.45sen
, es:
a) 6
b)
3
32
c)
3
7
d) 32
e)
3
1

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