Análisis de armaduras mediante métodos de nudos y matricial

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA | MECÁNICA DE SOLIDOS II 1
INTRODUCCIÓN
Las armaduras de acero o de distintos tipos de material, constituyen un elemento de gran utilidad dentro un campo de la ingeniería estructural. Su diseño permite las fuerzas producidas por diferentes cargas a lo largo de su estructura interna y así poder llevarlas a si respectivos apoyos unas ves definidas. Las diferentes clases de armaduras tienen varios tipos de análisis dependiendo de su diseño y de su función a futuro, en esta rigidez y así comparar los resultados con otros métodos utilizados dentro del campo de la ingeniería.

RESUMEN
Para poder hacer este trabajo tuvimos que indagar acerca del análisis de estructuras, rama de la ingeniería civil que estudia los diferentes métodos para poder hacer un análisis profundo de las estructuras, en el desarrollo de este trabajo vamos a determinar todas las fuerzas externas que se encuentran en una estructura mediante el método de nodos y el método matricial, para luego poder hacer un cuadro de verificación y/o comprobación de las fuerzas calculadas mediante los diferentes método, luego podemos sacar conclusiones y observaciones de nuestro análisis para poder plasmarlo y compararlos con el resto de compañeros.

I. OBJETIVOS
 Determinar las fuerzas internas en la armadura, es decir las fuerzas de acción y reacción entre los elementos o barras que lo forman.
 Analizar por el método de nudo para analizar estructuras.
 Analizar por el método matricial para solucionar armaduras.
 Comparar los resultados obtenidos por ambos métodos.
II. FUNDAMENTO TEÓRICO
2.1. ARMADURA
Una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad rígida recibe el nombre de armadura. Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de cubiertas o las grúas.
Fig. 03 GRÚA
Fig. 02 PUENTE
Fig. 01 TORRE DE ALTA TENSIÓN

2.2. MIEMBROS
Son los elementos rectos conectados entre sí por medio de nodos o nudos. Por lo general, los miembros de una armadura son delgados y pueden soportar poca carga lateral, por lo tanto, las cargas deben aplicarse sobre los nudos y no directamente sobre miembros. De esta teoría suponemos que todos los miembros solo son sometidos a cargas de compresión o tensión a lo largo de su eje, y de eso se trata el análisis, de entrar las magnitudes de la tensión o compresión de cada miembro.
2.3. NODOS
Son las conexiones entre cada miembro. Las fuerzas que actúan sobre ellos se reducen a un solo punto, porque son mismas fuerzas transmitidas desde los ejes de los miembros. A través de los nodos nunca se puede atravesar un miembro. la conexiones en los nudos están formadas usualmente por pernos o soldaduras en los extremos de los miembros unidos a un placa común llamada placa unión.
Fig. 04 MIEMBROS
Fig. 05 NODOS

2.4. APOYOS
Toda estructura necesariamente debe estar en uno o más puntos, los cuales se llama puntos de apoyo, y como transmite sus cargas atreves de un punto, en el diagrama de fuerzas debemos considerar los valores que indiquen las reacciones en esos apoyos. Cada diferente tipo de apoyo genera a su vez un tipo de reacciones.
2.5. REACCIONES
Son las fuerzas generadas en los apoyos, son opuestas en dirección de las fuerzas de la estructura que actúan en ese punto, existen tres tipos de reacciones de reacciones:
 Reacciones equivalente a una fuerza con línea de acción conocida.
Generadas por apoyos tipo: patines o rodamientos, balancines, sin fricciones, eslabones y cables cortos, collarines sobre barras sin fricciones y pernos en ranuras lisas. En las reacciones de este tipo hay una sola incógnita.
 Reacciones equivalente a unas fuerzas de dirección desconocidas.
Generadas por pernos lisos en orificios ajustados, articulaciones y superficies rugosas. En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas.
Fig. 06 APOYOS

III. MÉTODO DE NODOS
El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes: Σ Σ Σ
Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones y , así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado (Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).
El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las fuerzas que se generan en los apoyos para hacer que la estructura este en equilibrio.
Las ecuaciones del equilibrio se aplican a los pasadores de las uniones. En cada nudo se consideran las fuerzas externas aplicadas junto con las fuerzas de reacción correspondientes a las fuerzas internas en las barras. Dado que las fuerzas son concurrentes, no hay que considerar la suma de momentos sino sólo la suma de componentes x e y de las fuerzas. Estas ecuaciones se aplican en primer lugar a un nudo que contenga sólo dos incógnitas y después se van aplicando a los demás nudos, sucesivamente. Convencionalmente, se consideran positivas las fuerzas internas en las barras cuando salen hacia afuera (tracción) y negativas si van hacia el interior (compresión).
Fig. 07 MÉTODO DE NODOS

3.1. TIPOS DE APOYOS
Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático. Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).
3.2. REACCIONES FORMADA POR UNA FUERZA DE DIRECCIÓN CONOCIDA
Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.
3.3. REACCIONES FORMADA POR UNA FUERZA Y UN PAR
Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizándolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres incógnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par. Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la respuesta indicará si la suposición fue conecta o no (Beer y Johnston, 1979)
Fig. 08 TIPOS DE APOYOS

3.4. ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS
Una armadura es una estructura consistente en un número finito de barras conectadas en uniones por pasadores sin fricción en los cuales pueden aplicarse las fuerzas externas. En la Figura 3.1 se muestra una unión de armadura típica en la situación ideal, donde un pasador se inserta en los extremos de barras de ojo. Las barras tienen libertad de girar sobre el pasador.
Cualquier sistema de fuerza externa actuando sobre una armadura bidimensional puede describirse por las magnitudes numéricas en las dos direcciones de referencia en los nudos, excepto aquellas a lo largo de las cuales ya hay componentes desconocidas de las reacciones. Si una armadura es determinante debe cumplir:
DONDE: Números de nodos
: Numero de miembros
Números de componentes de reacciones
IV. ANÁLISIS MATRICIAL DE ARMADURAS DETERMINADAS POR PROCESAMIENTO SEMIAUTOMATIZADO.
Para automatizas el proceso se debe observar el problema como la solución simultanea de las ecuaciones como incógnitas, esto significa que primero deben escribirse todas las ecuaciones de equilibrio en las juntas, para cada junta de la estructura.
Por convención se considera todas las fuerzas en tención y suponemos fuerzas y que actúa sobre cada nodo.
Fig. 09 ARMADURAS ESTÁTICAS

Al obtener las ecuaciones debemos plantear las matrices mediante la siguiente formula. { } [ ]{ } { }
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ] { }
EJERCICIO P4.15
De la armadura calcular las fuerzas internas por el método de nodos y el método matricial semiatumatizado, además comprobar la comprobación correspondiente:
Fig. 10 ARMADURA

V. ANÁLISIS POR EL MÉTODO DE NODOS:
a) Para las fuerzas externas
Aplicamos momento total en “A”: Σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Haciendo un corte:
Σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b) Fuerzas internas nodo por nodo:
NODO A
Σ
√
√
Σ
NODO B

NODO J
En X: Σ
En Y: Σ
( )
NODO K
En X: Σ
√
√
En Y: Σ
√
( ) √

 Hacemos un corte en la estructura para calcular las fuerzas
 Tomamos sumatoria de momentos en el punto I
Σ
 DESCOMPONIENDO LA FUERZA EN: Y
 En la estructura Σ , Σ
Σ

 DESCOMPONIENDO LA FUERZA EN: Y
Σ NODO G
Σ

 Hacemos un corte en la estructura para calcular las fuerzas
Σ ( ) ( ) ( ) Σ ( ) ( ) ( )

Σ ( ) ( ) NODO E
En X:
Σ
Σ
( ) ( )

NODO F
Σ
( ) ( )
Σ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

VI. ANÁLISIS POR EL MÉTODO MATRICIAL
1) Colocamos letras a los nodos:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Fig. 11 ARMADURA (MÉTODO MATRICIAL)
Fig. 12 ARMADURA CON NODOS

2) verificamos si es determinado o indeterminado por la fórmula:
( )
3) por convención supones todas las fuerzas internas (color verde) y las reacciones (color rojo) en TENSIÓN. Supones la presencia de fuerzas en y en (color azul) en cada nodo.
Fig. 13 DESCOMPOSICIÓN DE LAS FUERZAS INTERNAS

4) Planteamos las 22 ecuaciones y 22 incógnitas:
Veamos el valor entero de α: ( )
Veamos el valor entero de θ: ( )
NODO A:
Σ ( ) Σ ( )
NODO B:
Σ ( ) Σ ( )

NODO C:
Σ ( ) Σ ( )
NODO D:
Σ ( ) Σ ( )

NODO E:
Σ ( ) Σ ( )
NODO F:
Σ ( ) Σ ( )
NODO G:

Σ ( ) Σ ( )
NODO H:
Σ ( ) Σ ( )
NODO I:
Σ ( ) Σ ( )
°
º

NODO J:
Σ ( ) Σ ( )
NODO K:
Σ ( ) Σ ( )

5) Ahora vamos a calcular la matriz con ayuda de Matlab.
a) Ingresamos la matriz [a] al programa Matlab:

b) Como la matriz [B]=-[A] entonces multiplicamos por -1 en el Matlab:

c) Ahora calculamos la inversa de [B]:
{ } [ ] { }

d) Ingresamos al Matlab los valores de {P} sabiendo que

e) Recordar que:
{ } [ ]{ }
Como en el programa ya están almacenados los valores de [C] y {P} hacemos la operación y vamos a obtener las fuerzas internas:

f) Nos queda como respuesta:
{ } [ ]

g) Verificación:
 Reemplazamos los valores obtenidos en cada nodo:
NODO A CUMPLE
Σ ( )
Por dato :
Reemplazando en (1):
( )( )
Σ ( )
Por dato :
Reemplazando los datos en (2):
( )( )

NODO B CUMPLE
Σ ( )
Por dato :
; ;
Σ ( )
Por dato:

NODO C CUMPLE
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( ) ( )( )
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( ) ( )( )

NODO D CUMPLE
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( )
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( )

NODO E CUMPLE
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( )
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( )

NODO F CUMPLE
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

NODO G CUMPLE
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( )
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( )

NODO H CUMPLE
Σ ( )
Por datos:
( )( ) ( )( )
Σ ( )
Por datos:
( )( ) ( )( )

NODO I CUMPLE
Σ ( )
Por datos:
( )( ) ( )( ) ( )( )
Σ ( )
Por dato:
( )( ) ( )( ) ( )( )

NODO J CUMPLE
Σ ( )
Por dato:
Σ ( )
Por dato:

NODO K CUMPLE
Σ ( )
Por datos:
( )( )
Σ ( )
Por dato:
Reemplazando los daos en (22):
( )( )

COMPARACIÓN DE RESULTADOS:
MÉTODO DE NODOS
MÉTODO MATRICIAL
*
OBSERVACIONES: El signo (+) fuerza en TENSIÓN El singo (-) fuerza en COMPRESIÓN * Al reemplazar los datos en el método matricial no cumple la verificación porque no hemos considerado la carga externa de 4 kN, pero si comparamos en este cuando con la fuerza de nodos, son iguales.

VII. RECOMENDACIONES:  Para el método matricial tenemos que considerar todas las fuerzas en tensión.  También para el método matricial tenemos que considerar la numeración de la parte superior de izquierda a derecha.  Tener cuidado con las operaciones por el método de nudos y sobre todo con los sentidos de las fuerzas.  Por el método de nudo tener en cuenta el punto de inicio para el análisis de cada nodo.  Verificar si la armadura es determinada o indeterminada antes de hacer el análisis por el método matricial.  Nos basaremos en la hipótesis de que todos los miembros de una armadura son miembros de dos fuerzas, es decir, que cada uno se encuentra en equilibrio bajo la acción de dos únicas fuerzas, aplicadas en sus extremos, que serán iguales, opuestas y colineales. VIII. OBSERVACIONES:  Vemos por el método matricial nos salen valores negativo.  Vemos también que por el método matricial hay tres fuerzas que nos sale cero.  Por el método de nodos no nos sale fueras negativas porque estamos asumiendo las fuerzas en su correcta dirección.  En el método de nudos se inició por el nodo “ A” por tener las reacciones ; ; y 2 incógnitas previamente hallado las fuerzas externas y 2 ecuaciones.  El método matricial es solo para armaduras determinadas y no fuese utilizaríamos otros métodos.  Estamos considerando armaduras planas y estáticamente determinada o isostática.

IX. CONCLUSIONES:  Los valores negativos obtenidos por el método matricial nos indica que las fuerzas , , , esto en comprensión.  Los valores positivos de nuestra respuesta nos indica tensión.  Si existe la inversa de la matriz estática -[A], la armadura es estáticamente estable, pero si la matriz estática -[A] es singular, la armadura es estáticamente inestable.  Los valores obtenidos por el método matricial y el método de nodos son numéricamente iguales pero no necesaria mente con el mismo signo.  El método matricial es más directo para calcular las fuerzas que actúan en una armadura determinada.  El método de nudos es más laborioso y estense en comparación con el otro método.  La numeración realizada a cada nodo es la correcta porque en la verificación de los resultados cumple.  Si tómanos otra numeración el resultado puede divergir de la respuesta deseada.  La consideración de la numeración mencionada en las recomendaciones es muy importante para armaduras más complejas para no divergir de la respuesta deseada.  Este análisis de las fuerzas internas es muy importante para poder diseñar y saber qué tipo y que dimensiones debe tener el material que debemos usar.
X. BIBLIOGRAFÍA:  Hibbeler, R. C. 1997. Análisis estructural. 3º edición.  Nilson, A. H. 1999. Diseño de estructuras de concreto. 12° edición  Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Bogotá,Colombia: McGraw-Hill Latinoamerica, S.A.  http://es.scribd.com/doc/94986804/ANALISIS-DE-ARMADURA-POR-METODO-DE- NODOS-Y-METODO-MATRICIAL

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