Matemática básica PT parte 1

DIRECCIÓNNACIONAL
GERENCIAACADÉMICA
Estudios
Generales
Matemática P.T.
Parte 01
CÓDIGO: 89001295
SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 2
MATEMÁTICAP.T.PARTE 01
AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN
MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO
CICLO: ESTUDIOS ENERALES
CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE-I
Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo
de Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento
continuo, se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito
referido a MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 01.
Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los
responsables de su difusión y aplicación oportuna.
DOCUMENTO APROBADO POR EL
GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI
N°dePáginas:….............252.…...........…..
Firma:…………………………………….…..
Lic. Jorge Chávez Escobar
Fecha:…………………………...……….

MATEMÁTICA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 5
INDICE
UNIDAD01. Números Naturales ............................................................................4
UNIDAD02. MCM y MCD....................................................................................45
UNIDAD03. NÚMEROS RACIONALES:FRACCIONES...............................73
UNIDAD04. FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN .....................................................................88
UNIDAD05.
NÚMEROS DECIMALES..................................................................................111
UNIDAD06.
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN................................................................146
UNIDAD 07.
TRIGONOMETRÍA BÁSICA ......................................................................... 172
UNIDAD 08.
MEDIDAS DE LONGITUD …........................................................................ 190
UNIDAD 09.
MEDIDAS DE TIEMPO……........................................................................... 220
UNIDAD 10.
RAZONES Y PROPORCIONES ..................................................................... 240

MATEMÁTICA
UNIDAD 01
NÚMEROS NATURALES

MATEMÁTICA
1.1. NÚMERO NATURAL.
Definición.Un número natural es
cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...
que se pueden usar para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese
nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar
objetos de la naturaleza.
Numeral.Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes de
los numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los mismos
números.
Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11
es el tres binario pero el once decimal.
1.2. LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES.
En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra
forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases,
forman un período.

MATEMÁTICA
ENTEROS
4°Período
8° Clase
24° Orden Centenas de millar de trillón.
23° Orden Decenas de millar de trillón.
22° Orden Unidades de millar de trillón.
7° Clase
21° Orden Centenas de trillón.
20° Orden Decenas de trillón.
19° Orden Unidades de trillón.
3°Período
6° Clase
18° Orden Centenas de millar de billón.
17° Orden Decenas de millar de billón.
16° Orden Unidades de millar de billón.
5° Clase
15° Orden Centenas de billón.
14° Orden Decenas de billón.
13° Orden Unidades de billón.
2°Período
4° Clase
12° Orden Centenas de millar de millón.
11° Orden Decenas de millar de millón.
10° Orden Unidades de millar de millón.
3° Clase
9° Orden Centenas de millón.
8° Orden Decenas de millón.
7° Orden Unidades de millón.
1°Período
2° Clase
6° Orden Centenas de millar.
5° Orden Decenas de millar.
4° Orden Unidades de millar.
1° Clase
3° Orden Centenas simples.
2° Orden Decenas simples.
1° Orden Unidades simples.
Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a
partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin
usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:
79 142 031 789 358.
TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES
MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD
C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U
24º23º22º21º20º19º18º17º16º15º14º13º12º11º10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º
7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8

MATEMÁTICA
Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un
millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho
unidades.”
Aplicaciones:
1:Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes:
Escribir cómo se lee cada número:
a) 4 121..................................................................................................................
b) 20 305................................................................................................................
c) 2 000……...........................................................................................................
d) d) 5 001 008......................................................................................................
2:Leer y escribir con cifras cada número:
a) Tres mil cinco...................................................................................................
b) Cien mil cuarenta y
dos..................................................................................
c) Un millón trescientos mil................................................................................
d) Dieciocho millones tres mil uno........................................................................
e) Seis millones quince
mil....................................................................................
f) Doscientos tres millones cuatro mil
uno……....................................................
3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM?
a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014
4:Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:
a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763
5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM?
a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560
6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares?
a)20 b)200 c)2000 d)2 e)0,2

MATEMÁTICA
7. ¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11?
a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA
1.3. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES.
1.3.1. ADICIÓN.
Definición.Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a yb la cual
se denota (a+ b) al número natural S, tal que a+b =S.
Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
de números naturales (a; b) su suma a+b.
Ejemplo 1:
15 + 17 = 32
Ejemplo 2:
7 + 8 + 13 = 28
Aplicación 1:
Si: a + b + c = 15, hallar: abc + bca + cab
Rpta: 1665
Aplicación 2:
Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal.
Rpta: 494550
Suma notables:
I) Suma de los “n” primeros números naturales.
S = 1+2+3+4+ ....+n
2
)1n(n
S


Ejemplo:
1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25
  325
2
12525
S 


Sumandos Suma
n = 25

MATEMÁTICA
Suma de los “n“ primeros impares.
S = 1 + 3 + 5 + …….... + n
2
2
1n
S 




 

Ejemplo:
1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 400
2
139
S
2





 

II) Suma de los “n” primeros pares.
S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n  1nnS 
Ejemplo:
2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20   11011010S 
1.3.2. SUSTRACCIÓN.
Definición.Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la
cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.
Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a; b) su diferencia a -b.
Ejemplo 1:
235 - 140 = 95
Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar: a + b – c
Rpta: 8
MINUENDO( M )
SUSTRAENDO ( S )
DIFERENCIA ( D )
n = 39
n = 10

MATEMÁTICA
Propiedades de la sustracción:
1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al
SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.
2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la
DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.
3. Sise suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la
DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.
4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.
S + D = M
5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL
MINUENDO.
M + S + D = 2M
Aplicación 1:
La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le
aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 410
Aplicación 2:
La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor
se le quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78
Aplicación 3:
La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?
Rpta. : 239
1.3.3. MULTIPLICACIÓN.
Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la
cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.

MATEMÁTICA
Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a; b) su producto a.b.
Ejemplo 1:
18 x 15 = 270
Ejemplo 2:
Aplicación 1:
El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al
multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de
cifras del multiplicador? Rpta. 7.
Aplicación 2:
El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al
multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del
multiplicador? Rpta. 11.
POTENCIACIÓN.
Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí
mismo varias veces.
an
= a x a x a x .………a = P
Multiplicando Multiplicador Producto
“n” veces a
Elementos de la potenciación,
donde:
a: es la base
n: es el exponente
P: es la potencia perfecta de
grado n.
7 3 4 x
4 6
4 4 0 4
2 9 3 6
3 3 7 6 4
Multiplicando
Multiplicador
Productos
parciales
Producto final
7 3 4 x 6
7 3 4 x 4

MATEMÁTICA
Potencia de exponente cero:
a0
= 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00
= no está definido.
Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente.
23
= ….. 34
= ….. 112
= ….. 162
= …..
33
= ….. 54
= ….. 122
= ….. 172
= …..
43
= ….. 25
= ….. 132
= ….. 182
= …..
53
= ….. (14+17)0
= ….. 142
= ….. 192
= …..
24
= ….. (2X3 – 6)0
= …. 152
= ….. 202
= …..
1.3.4. DIVISIÓN.
Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,
se denota
b
a
, al número natural c, si existe, tal que a = b.c.
Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
de números naturales (a; b) su cociente
b
a
.
Elementos de una división:
Dividir 104 entre 11
Además: 104 = 11. (9) + 5
Clases de división:
 Exacta(residuo = 0).
104 11
99 9
5
Dividendo (D) Divisor (d)
Residuo (r)
Cociente (q)
Algoritmo de la división
28 7
0 4
D d
0 q
28 = 7. (4) D = d.q

MATEMÁTICA
 Inexacta(residuo ≠ 0).
 En donde : 9 + 2 = 11
r(defecto) + r(exceso) = divisor
En general:
Propiedades de la división:
 Si: r = 0, la división es exacta.
 Algoritmo de la división: D = d. (q) + r
 Residuo máximo : r(máx) = ( d - 1 )
 Residuo mínimo : r(min) = 1
 r(defecto) + r(exceso) = divisor
 residuo < divisor
 Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo
número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el
RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural.
Aplicación 1:
El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo
y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el
residuo ¿Cuál es el divisor de la división?
Rpta.: 16
Defecto: Exceso:
D d
r q
D d
r* q + 1
D = d.(q) + r D = d.(q + 1) - r*
D d
r q
D.k d.k
r.k q
75 = 11.(6) + 9
75 11
9 6
75 11
2 7
75 = 11.(7) - 2
Defecto: Exceso:
Residuo por defecto Residuo por exceso

MATEMÁTICA
Aplicación 2:
El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo
y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo
disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?
Rpta: 6
1.3.5. RADICACIÓN.
Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que
dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número
llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así
se tiene:
Resolver los siguientes ejercicios:
64 3
8 4
16 1600
81 3
64 4
81 3
27000
144 3
125 4
625 4
810000
169 3
1000 4 12
10 3
278
TÉRMINOS
DE LA
RADICACIÓN
KRRK nn


MATEMÁTICA
1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS.
 Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los
signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)
Ejemplo:
   63338 
=   6335 
=   6315 
= 618 
= 3
 Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en
el siguiente orden :
o Primero: La potenciación o radicación.
o Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que aparecen)
“de izquierda a derecha”.
o Tercero: Adición o Sustracción.
Ejemplo:
32 : 8 + 6 x 5 = Observar, con atención, las operaciones indicadas.
4 + 30 =
Fueron efectuados: la división (32:8) y la
multiplicación (6 x 5).
34 = Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30).
Resolver la expresión:
45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =
La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que
cero veces cualquier numeral es cero.

MATEMÁTICA
7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23
= Observar paréntesis.
= 7 + 3 x ( 40 – 36 ) – 23
=
Fue efectuada la multiplicación contenida
en los paréntesis (9 x4).
= 7 + 3 x 4 – 23
= También fue hecha la resta: (40 – 36)
= 7 + 3 x 4 – 8 = Fue efectuada la potencia 2
3
.
= 7 + 12 – 8 = Fue realizada la multiplicación: (3 x 4)
= 19 – 8 = Se realizó la suma ( 7 + 12 )
= 11 Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8)
EJERCICOS
Resolver las siguientes operaciones combinadas:
OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA
( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32
+ 35 : 7 =
6 x 8 + 13 - 9 =
250
x 2 + 32
+ 4 x 5 – 6 + 73
=
12
x 22
+ 32
x 42
+ 52
=
PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS.
Ejemplo:
Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de
5 m se podrán obtener?
20
m5
m100
pedazosdeNº  pedazos de 5 m c/u
unitariaLongitud
TotalLongitud
partes

MATEMÁTICA
Número de cortes Número de estacas
LÍNEA
ABIERTA
Nº cortes = 1
unitariaLongitud
totalLongitud Nº estacas = 1
unitariaLongitud
totalLongitud
LÍNEA
CERRADA
Nº cortes =
unitariaLongitud
totalLongitud Nº estacas =
unitariaLongitud
totalLongitud
Ejemplo (LINEA ABIERTA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si
cada árbol están separados 50 m?
2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios
realizar para obtener trozos de 50 m?
Ejemplo (LINEA CERRADA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro
es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?
50 m 50 m 50 m 50 m
200 m
Nº árboles = 1
50
200

= 4 + 1
= 5 árboles
(estacas)
50 m 50 m 50 m 50 m
200 m
Nº cortes = 1
50
200

= 4 - 1
= 3 cortes
1º 2º 3º
CORTES
50 m
50 m 50 m
50 m Perímetro = 200 m
(Longitud total)
Nº de árboles =
50
200
= 4 árboles
(estacas)

MATEMÁTICA
2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán
necesariosrealizar, para obtener trozos de 5 m?
Nº de cortes =
5
20
= 4 cortes
5 m5 m
5 m5 m
1º3º
2º
4º
cortes
Número de = Número - 1
Cortes de partes
Número de = Número - 1
espacios de puntos
LÍNEA ABIERTA

MATEMÁTICA
PROBLEMAS:
1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde
cada corte pierde
64
1 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?
a) 193 b) 235 c) 195 d) 425 e) 194
2. Dividir una barra de Hierro
8
"1
10 en 5 partes iguales perdiendo en cada
corte
32
1
“¿Qué longitud tendrá cada parte?
a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1”
3. Dividir una barra de bronce de 137cm en trozos iguales de 35 cm.,
perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto
material sobra?
a) 342; 30cmb) 142; 30cm c) 342; 20cm d)352; 30cm e)12; 30cm
4. Dividir una barra de cobre
8
"1
10 en trozos iguales de 2”, se pierde en cada
corte
32
1 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene?
a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1
1.4. PLANTEO DE ECUACIONES.
Planteo de una ecuación es TRADUCIRel lenguaje común a lenguaje
matemático, por ello es que debedetenerse a reflexionar sobre algunos
aspectos de este lenguaje.
El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje
conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones.
El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A travésde la
combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones
SUSCEPTIBLESde ser representados matemáticamente; esto quiere decir que
no todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma
matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede
representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de

MATEMÁTICA
Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de
ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es
para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y
CUANTIFICABLE.
Ejemplo:
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18,
y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado?
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre? X
si al multiplicarlo por cuatro 4x
añadirle 18 4x + 18
y dividir dicha suma entre 19
19
184 x
se obtiene 

19
184x
2 como resultado? 2
19
184

x
Resolviendo la ecuación:
2
19
184

x
)19.(2184 x
18384 x
204 x
5x
TEORÍA ADICIONAL:
Operaciones fundamentales con fracciones:
a. Conversión de un número mixto a Fracción:
D
NDE
D
N
E



MATEMÁTICA
b. Suma de Fracciones:
     
  usqMCMM
tuMrsMpqM
u
t
s
r
q
p
,,


c. Número natural.
d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales.
Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o
partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las
operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas
estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que
representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo,
a la derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable
elevado a la potencia CERO que equivale a uno.
En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar
sumas, restas, multiplicar y/o dividir.
e. Reducción de fracción de fracciones :
Es importante esta teoría base para hacer
las 4 operaciones de fracciones.
(  ,,, )
÷
x
=
+ 5+1
,000 xb0
=5
+1
Exponente +1
Se completa con ceros la parte decimal
Parte variable
El denominador es +1
Signo +
+2+1
,000 x a0
=2
+1 La coma divide la parte entera de la parte decimal.
cb
da
d
c
b
a




MATEMÁTICA
Ejemplos:
a.
8
1
24
1
64
13
1
6
4
3
6
4
3





 b. 5,4
2
1
4
2
9
41
63
6
4
1
3
6
4
3




c. 5,7
2
1
7
2
15
42
203
20
4
2
3




Problemas que tengan relación Parte – Todo:
Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?
*¿Qué parte de 27 es 9? 9/27 <> 1/3
*¿Qué fracción de b es c? c / b
*¿M representa que fracción de N? M / N
*¿Q que fracción representa respecto de P? Q / P
*¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24/60 <>2/5
*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a/b
*¿Qué fracción es “b” respecto de “a”? b/a
*¿Qué parte representa 11 de 33? 11/33<> 1/3
Cantidad de partes iguales
que se han tomado.
Cantidad de partes iguales
enque se han dividido a la unidad
f =
Qué Fracción
o
Qué Parte

MATEMÁTICA
ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
Enunciados Expresión Matemática
Forma verbal Forma Simbólica
1) La suma de 2 números consecutivos más 3.
    31  xx
2) Yo tengo 20 más que tú Yo: 20 + x
Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes Tu: x
3) A es el doble de B A = 2B
A es 2 veces B A = 2K
B es la mitad de A B = K
A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K
4) A es 2 veces más que B ó A = 3B A = 3X
A es 2 veces mayor que B B = X
5) A es a B como 3 es a 5 ó 5
3

B
A
La relación entre A y B es 3/5 ó A = 3k
A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k
A es a 3 como B es a 5
6) El cuadrado de la suma de 2 números  2
yx 
7) La suma de los cuadrados de 2 números
22
yx 
8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 204 y
Tengo : y
9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20  204 y
Tengo : y
10) A excede a B en 4 ó 4 BA
A es mayor que B en 4 ó 4 xA

MATEMÁTICA
El exceso de A sobre B es 4 xB 
11) Tres menos 2 veces un número X x23
12) Tres menos de 2 veces un número X 32 x
13) El producto de 5 números consecutivos es m.      mxxxx  421 ó
      maaaaa  2112
14) Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules.
4
3

A
R
kR 3 ; kA 4
1.4.1. ECUACIONES DE 1ER GRADO.
Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se
verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.
Propiedades de las ecuaciones:
1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad
constante, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.
2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una
cantidad constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es
EQUIVALENTE a la primera.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X
Solución: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X
2X + 3X + 1X = 140 – 20
6X = 120
X = 120 / 6 X = 20

MATEMÁTICA
Ejemplos de aplicación:
Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:
1. 414  xx
2. 631209740  xx
3. )3(2)5(5)12(4)1(3  xxxx
4. x
x

2
1
2
1
5.
24
3
5
2
4
1 x
x 
6. 6
5
2
2
3
2



 xx
7. 2)12(
3
1
2)1(
2
1
 xx
8.     30
3
1
7
5
54
3
2



x
xxx
9.     46
3
2
5
2
3
2
1




 xxx
10.      12261142313  xx
PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de
primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta
comprenderlo, hacer el planteamiento y resolver.
1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para
seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno

MATEMÁTICA
habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/.
13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?
2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números.
3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro
en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en
alcanzarle?
Comprobando respuestas:
1. El autobús tenía 39 asientos.
2. Los números son 18, 20 y 22.
3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos.
SISTEMAS DE ECUACIONES.
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe
proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las
ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el
valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del
sistema.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.
Método de Sustitución:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a
continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la
se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y
una incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este
método reiteradamente.

MATEMÁTICA
Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, se selecciona la incógnita por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja,
obteniendo la siguiente ecuación:
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación se obtiene el resultado , y si ahora se substituye
esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
MÉTODO DE IGUALACIÓN.
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método
de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y
a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de
sustitución, si se despeja la incógnita en ambas ecuaciones queda de la
siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte
izquierda, por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son
iguales entre sí.

MATEMÁTICA
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener
el valor de la incógnitax, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de
las ecuaciones originales, obtener el valor de lay, que además ya se encuentra
despejada.
MÉTODO DE REDUCCIÓN.
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,
siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,
consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante
productos), de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una
misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A
continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema
nose tiene más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar
la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así:
Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una
nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, da
directamente el valor de la incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así
que el valor de es igual a
3
17
.
-4x - 6y = -10
5x + 6y = 4
x = - 6
+

MATEMÁTICA
Ejercicios de Aplicación:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.
1)
52
152


yx
yx
2)
6843
4


yx
yx
3)
1132
514


ba
ba
4)
01135
03427


nm
nm
5)
yx
yx
9397
35


6)
  121
8)2()2(


xyx
yxyx
7)
   
    32172
25127


yxy
xxy
8)
   
4314
5,102743


yx
yxyx
1.4.2. ECUACIONES DE 2DO GRADO.
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma.
02
 cbxax . Donde no se anula a
Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si
se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Número de soluciones:
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o
valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una
identidad.
Se denomina discriminante acb 42
 , en función del signo del
discriminante se conocerá el número de soluciones de la ecuación, así:
 Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
 Si el discriminante es 0 hay una solución.

MATEMÁTICA
 Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
Ejemplo de Aplicación 1:
¿Cuántas raíces tiene la ecuación 0898 2
 xx ?
a) Ninguna solución b) Una solución: x =
c) Dos soluciones: x1 = ; x2 =
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.
Si b=0 la ecuación queda ax2
+c=0, despejando se llega:
Ejemplos:


La ecuación 092
x
a) No tiene solución b) Tiene una solución x =
c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0.
Si c=0 la ecuación queda ax2
+bx=0.
Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que
x=0; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las
soluciones es x=0

MATEMÁTICA
Ejemplo:


Resolver la ecuación
Soluciones x1= x2=
Ecuación de segundo grado completa.
Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no
nulos.
Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula:
Ejemplo:
La ecuación 0962
 xx
a) No tiene solución b) Tiene una solución x =
c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =

MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO.
1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y
su área es 286m2
.
El lado mayor mide m y el menor m
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es años y la del hijo años
3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese
caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la
misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?
El deportista ha caminado horas
4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es años y la del hijo años
5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber
comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.
¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?
Compró objetos a un precio de euros
6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y
su área es 144m2
.
El lado mayor mide m y el menor m
Comprobando respuestas:
1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m
2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años
3) Ha estado caminando 8 horas

MATEMÁTICA
4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años
5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros
6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m
Resolver:
1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un
par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?.
Rpta. S/. 232
2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún
se tiene el doble de la cantidad que se gastó?
Rpta. S/. 579
3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos
decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?
Rpta. 5 cajas
4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de
S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de
cada letra?
Rpta. S/. 540
5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?
Rpta. 1922
6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el
triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo?
Rpta. 416
7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 117. ¿Cuántos cuadernos se
podrán comprar con S/ 78?
Rpta. 8 cuadernos
8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se
recibió de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre?
Rpta. S/. 20

MATEMÁTICA
9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los
75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones
recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?
Rpta. 3 bombones
10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la
diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?
Rpta. S/. 325
11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los
pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia
la pérdida de corte).
Rpta. 172 mm
12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total,
29 estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final?
Rpta. 78 tornillos
13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas
por hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas?
Rpta. 2 400 piezas
14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36.
Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división,
el cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál
fue el dividendo inicial?
Rpta. 900
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si
accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126;
¿Cuántos hijos tengo?
A) 10 B)1 C)6 D)4 E)8
2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144
contiene a dicho número. Calcular el doble del número.
A) 96 B) 48 C) 24 D) 12 E) 192

MATEMÁTICA
3) Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve
a subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12
peldaños
¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?
A)60 B)90 C)72 D)84 E)108
4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar
frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la
longitud del túnel.
A)5 000 m B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4 500m
5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo
que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal.
¿Cuántos artículos compró?
A)10 B)8 C)12 D)16 E)20
6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar
un túnel de 500 m?
A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s E)12 s
7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132
cabezas y 420 patas.¿Cuántos animales hay de cada clase?
A)10y 25 B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y 32
8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar
cada uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el
segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?
A)S/.11 B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8
9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54
monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe
intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones
adquieran el mismo peso.
A)14 B)15 C)16 D)17 E)18
10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene
como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar
como respuesta la suma de cifras de dicho número.
A)9 B)10 C)8 D)7 E)6

MATEMÁTICA
SOLUCIÓN
1) C/U : S/ .x
Sobrarían: S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126
8
31
2250
º
31x12624x




hijosdeN Clave: E
2) Sea “ x” el numero , entonces :
962(48):esnúmerodeldobleEl
48x
3042x
144
2
8
2



x
x
Clave: A
3) * Cuando asciende al 5° piso sube: 12 x 4 = 48 peldaños
* Cuando desciende hasta el 2° piso baja: 12 x 3 = 36 peldaños
* Cuando asciende hasta el 4° piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños
* Finalmente, lo que ha subido en total será:
48 + 24 = 72 peldaños Clave: C
4)
Clave: C
5) pagardebíaquelo:nxaSea
Costo por Nº de artículos
cada artículo
Luego a x n + 24, lo que pagó.
12n2a
n
24
n
an
artículocadacostóquelo
24



n
na
artículos12Compro Clave: C

MATEMÁTICA
6) túnel + tren = para que pase por el túnel
500 + 200 =700
s14
s
m50
m700
t Clave: B
7) Nº de cabezas = 132
Suponiendo que los 132 son conejos patas528x4132 
Se observa un exceso de patas de 108
veces542108  ,para convertir ese exceso en gallinas
Finalmente:
Número de gallinas: 54
Número de conejos: 132 – 54 = 78 Clave: B
8) 1er obrero = S/.143  recibe S/.55 más que el 2do
2do obrero = S/. 88
Nº de días trabajados será: S/.55  S/.5 = 11
1er obrero = S/.143  11 = S/.13
2do obrero = S/. 88  11 = S/.8 Clave: E
9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g
Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g
 Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g
Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón
debe pesar: 2190  2 = 1095g
Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en:
25 – 10 = 15g
Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g
Se debe intercambiar: 255 15 = 17 monedas Clave: D
10) Sea N el número, entonces:
N 83
3q q

MATEMÁTICA
278627"q"
paraobtieneseNnúmeromayorEl
27,6qq86N
833q383
xN
qqN



N = 2322
Clave: A
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I.
Ejercicios:
1. Resolver x:
a)6 + x = 18
b)18 - x = 14
c)x - 6 = 24
d) b + x = 18
e) d - x = 14
f) x - 3 = 24
g) b + x = a
h) d - x = c
i) x - e = a
2.
a)14 = 7 + x
b)10 = x + 14
c)1 = 6 - x
d) m = 7 + x
e) r = x + 4
f) z = 6 - x
g) m = k + x
h) r = x + v
i) z = 1 - x
3. Resolver cada una de las letras:
a)a + b = c
b)k - d = v
c)1 + m = - d
d) l1 + l 2 = L
e) g1 + g2 = G
f) F1 + F 2 =
F3
g) R1 = R – R2
h) C2 = C – C2
i) t = t1 + t2
4.
a)a + b = 86
b)c - t = - 65
c)F - G = 80
d) 684 - G = 65 + K
e) 456 + H = Z - 65
f) W - 45 = 32 + 14
g) -24 + F = 36 +
x
h) V – 18 = - 42 +
L
i) -16 + W = Z +
36
5. Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más
corto. ¿Qué longitud tiene éste?
92232  cifrasdeSuma

MATEMÁTICA
6. Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm.
Calcular la base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114
mm y 62 mm respectivamente.
7. Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca
312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se
ha viajado?
.TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II.
1. Resolver x:
a) 3x = 24
b) 9x = 36
c) 56 = 7x
d) 3x = A
e) 9x = F
f) 56 = F . x
g) b . x = A
h) p . x = F
2.
a) 0,3 x = 3
4
b) 9x = 36
4
c) 51 = 17x
3
d) 0,2 x = A
e) 9x = R
4
f) 51 = G . x
L
g) B . x = A
h) Q . x = R
4
3. Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de
2:3. Calcular las longitudes parciales.
4. La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10
del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?
5. Un trecho es 12 m. más largo que otro; la suma de ambos es de 48m
¿Cuál es la longitud de los trechos?

MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE REFUERZO NIVEL II
1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces
el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto.¿Cuál
es el cociente de dicha división?
A)26 B)15 C)5 D)10 E)20
2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al
dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el
anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?
A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32
3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a
cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría
S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?
A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280 E)S/.310
4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta
S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de
personas .¿Cuántos participaron en la compra?
A)18 B)36 C)6 D) 12 E)20
5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14
soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza
para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?
A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9
6. Calcular : 842510051032116 xx 
A)2 B)3 C)4 D)8 E)10

MATEMÁTICA
7. El producto de 2 factores es 29 016;si se aumenta 112 unidades al
multiplicando, el producto total aumenta en 13 888 unidades Hallar la suma
de cifras del multiplicador.
A)5 B)6 C)7 D)10 E)11
8. Hallar la suma de las cifras del producto 27xabc .Si los productos
parciales suman 4 851.
A)18 B)20 C) 22 D) 23 E)24
9. El cociente de dos números es 45,su resta es 3 435 y el residuo de su
división es 3 ,Calcular la suma de los dígitos de los dos números .
A) 20 B)23 C)25 D)27 E)29
10.Si la diferencia entre el dividendo y el residuo de una división es 3
510.Calcular el divisor si el cociente es 45.
A)45 B)65 C)68 D)47 E)78
11.La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces
el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto.¿Cuál
es el cociente de dicha división?
A)26 B)15 C)5 D)10 E)20
12.El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al
dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 mas que el
anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?
A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32

MATEMÁTICA
13.Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a
cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría
S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?
A) S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280 E)S/.310
14.Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta
S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de
personas .¿Cuántas personas participaron en la compra?
A)18 B)36 C)6 D) 12 E)20
15.Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14
soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza
para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?
A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9
16.Esmeralda gasta cada día la mitad de lo que tiene , más 2 soles .Si
luego de cuatro días se quedó sin dinero. ¿Cuánto tenia al inicio?
A) S/. 30 B) S/. 28 C) S/. 60 D)S/. 40 E)S/. 50
17.Un recipiente lleno de vino cuesta S/ 700, si se saca 80 litros, vale
solamente S/140. ¿Cuál es la capacidad del recipiente?
A) 140 litros B)108 litros C)100 litros E)200 litros
18.Un espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de 30 adultos
más 70 niños o de 42 adultos más 18 niños. Si entraron solo niños
.¿Con cuántas entradas cubrirá sus gastos?
A)216 B) 200 C)160 D)178 E)232
19.En SENATI existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero; pero
con la condición que deje 8 soles de limosna .Si al cabo de 3 milagros
Rossmery salió sin dinero. ¿Cuánto dinero tuvo al ingresar?
A)S/.8 B)S/.9 C)S/.7 D)S/.14 E)S/.10

MATEMÁTICA
UNIDAD 02
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Y
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

MATEMÁTICA
2. NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros se pueden clasificar en:
Números enteros negativos Z -
=  1;2;3...... 
El cero y Números enteros positivos Z+
=  ;.........4;3;2;1
2.1. DIVISIBILIDAD.
Un número entero A es divisible por otro numero enteropositivo B si al
dividirlos, el cociente resulta exacto.
Si
A B
0 k
entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además,
por ser unadivisión exacta se cumple que : A = B .k donde k es un número
entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “
Ej.
1) ¿20 es divisible por 4?
Sí, porque:
20 4
0 5
Luego, se cumple que:
* 20 es divisible por 4.
* 4 es un divisor de 20.
* 4 es un factor de 20.
* 20 es un múltiplo de 4.
2) ¿0 es divisible por 3?
Sí es, porque:
0 3
0 0
* 0 es divisible por 3.
* 3 es un divisor de 0.
* 3 es un factor de 0.
* 0 es un múltiplo de 3.
3) ¿- 42 es divisible por 7?
Sí es, porque:
- 42 7
0 - 6
* - 42 es divisible por 7.
* 7 es un divisor de – 42.
* 7 es un factor de - 42.
* - 42 es un múltiplo de 7.

MATEMÁTICA
4) 15 no es divisible por 0.
(V) (F)
Verdadero, porque por definición el
divisor debe ser diferente de cero.
5) 36 no es divisible por - 9
(V) (F)
Verdadero, porque el divisor
debe ser positivo.
Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18
D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8
D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18
2.2. MULTIPLICIDAD.
Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se
cumple que A = B . K donde K es un número entero.
Ej. Responder las siguientes preguntas.
1) ¿15 es múltiplo de 3? Sí, porque 15 = 3  5 y 5 es un número entero.
2) ¿- 12 es múltiplo de 4? Sí, porque - 12 = 4 - 3 y - 3 es un número entero.
3) ¿Cero es múltiplo de 5? Sí, porque 0 = 5  0 y 0 es un entero.
4) ¿5 es múltiplo de cero?
No, porque 5 = 0  K, no hay ningún número entero que multiplicado por
cero nos de 5.
5) ¿8 es múltiplo de - 2?
No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un
entero negativo.
Si un número A es múltiplo de B, su notación será:
A = B.K donde K es un número entero ó A =
0
B y se leerá “A es
múltiplo de B “.
Ej. 1) 20 =
0
5 ó 20 = 5.K
2) 18 =
0
3 ó 18 = 3.K
3) 0 =
0
2 ó 0 = 2.K

MATEMÁTICA
Donde, para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..
Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5.
Eso se escribirá 3K y 5K, entonces:
M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..
M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………
Relación entre un múltiplo y un divisor:
Ej. Entre 24 y 6
Múltiplo
24 6
Divisor
Ej. Entre 9 y 27.
Divisor
9 27
Múltiplo

MATEMÁTICA
Cuando un número no es divisible por otro.
Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivoB ,
entonces , eso se puede expresar de dos maneras :
A =
0
B + rd ó A =
0
B - re
Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de la
división de A entre B, además, recordar que:
rd + re = divisor
Ejemplo:
1) 15 no es divisible por 2 porque
15 2
1 7
Entonces:
15 = + 1
ó 1 + 1 = 2
15 = - 1
3)26 no es divisible por 7 porque
26 7
5 3
Entonces:
26 =
0
7 + 5
ó 5 + 2 = 7
15 =
0
7 - 2
2) 23 no es divisible por 5 porque
23 5
3 4
Entonces:
23 =
0
5 + 3
ó 3 + 2 = 5
15 =
0
5 - 2
4)526 no es divisible por 12 porque
520 12
4 43
Entonces:
520 =
0
12 + 4
ó 4 + 8 = 12
520 =
0
12 - 8
0
2
0
2

MATEMÁTICA
PROPIEDADES:
1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.
2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.
3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número.
4) El cero es divisible por todo número entero positivo.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
Divisibilidad por 2n
.
Para que un número sea divisible por 2n
, las últimas “n” cifras del número debe
ser divisible por 2n
, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 21
= 2:
Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser
divisible por 2, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es divisible
por 2.
b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.
c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.
= 4:
Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe
ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y 24
es divisible por 4.
b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es
divisible por 4.
c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible por
4.

MATEMÁTICA
= 8.
Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número debe
ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.
Ejemplos.
a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y
136 es divisible por 8.
b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero es
divisible por 8.
c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisible
por 8.
Divisibilidad por 5n
.
Para que un número sea divisible por 5n
, las “n” últimas cifras del número debe
de ser múltiplo de 5n
, o terminar en “n” ceros.
= 5.
Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser
múltiplo de 5, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es divisible
por 5.
b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.
c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5, además
7 =
0
5 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como residuo 2.
= 25.
Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número debe
ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son ceros.
b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es divisible
por 25.

MATEMÁTICA
c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es divisible
por 25, además 88 =
0
25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre 25, se
obtendrá como residuo 13.
Divisibilidad por 3.
Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un
número que es divisible por 3.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.
1) 2 358, 2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 =
0
3 por lo tanto, si es divisible por 3.
2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3.
Además, 13 =
0
3 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el residuo debe ser
1.
3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 =
0
3 + 2 lo que
significa que al dividir 57 014 entre 3, se obtiene como residuo 2.
Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos dé un
número que es divisible por 9.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.
1) 9 558, 9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =
0
9 por lo tanto, sÍ es divisible por 9.
2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 =
0
9 + 4 lo
que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.
3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 =
0
9 + 8 lo
que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.

MATEMÁTICA
Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la
derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego
realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)
Ejemplos.
Verificar si los siguientes números son divisibles por 7, en caso contrario hallar su
residuo1).
1) 3 738
8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y
28 =
0
7 , si es.
3) 99 148
8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14
y -14 =
0
7 , sí es.
2) 35 266
6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y
14 =
0
7 , si es.
4) 264
4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 =
0
7 + 5
no es , y su residuo es igual a 5.
Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de las
cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un número
que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…)
Para el número:
a b c d e f g =
0
7  g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a =
0
7
1 2 3 1 2 3 1
+ +
ab c d e f g
Lugares impares
Lugares pares
(g + e + c + a) – (f + d + b) =
0
11

MATEMÁTICA
Ejemplos: Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.
1) 539
9 + 5 – 3 = 11 =
0
11; entonces,
539 es divisible por 11.
4) 8 074
4 + 0 – 7 – 8 = -11 =
0
11; entonces,
8 074 es divisible por 11.
2) 5379
9 + 3 – 7 - 5 = 0 =
0
11; entonces,
5 379 es divisible por 11
5) 7 364
4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠
0
11; entonces,
7 364 no es divisible por 11 ya que al
dividir 7 364 entre 11 dejará como
residuo por exceso 6 y por defecto
será 5
7 364 =
0
11 - 6 =
0
11 + 5
3) 381 909
9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 =
0
11;
entonces 381 909 es
0
11
6) 579
9 + 5 – 7 = 7 ≠
0
11 entonces 579 no
es divisible por 11. El residuo por
defecto es 7 y por exceso es 4.
Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez.
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por
6.
Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por
12.
Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.

MATEMÁTICA
Ejemplos.
a) 11 720 es divisible por 10 porque 11 720 termina en cero.
b) 3102 no es divisible por 10, porque su última cifra no termina en cero.
PRÁCTICA
Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible por
alguno de los números de la fila horizontal superior.
Número
N
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
324 X X X X X X
570
1 120
3 240
1 540
20 310
1 120
8 690
9 372
189
2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros, también se pueden clasificar según la cantidad de
divisores que tenga el número como:
a) NÚMEROS SIMPLES.
Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.
Ej. Son números simples:
1) 1, D ( 1 ) : 1
2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5

MATEMÁTICA
3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11
b) NÚMEROS PRIMOS.
Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y
el mismo número.
Ej.
1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo.
2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo.
NOTA: “El menor número primo es 2”
c) NÚMEROS COMPUESTOS.
Son aquellos que tienen más de dos divisores.
Ej.
1) D (6): 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.
2) D (9): 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.
NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .
1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50?
Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5.
2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen?
Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.
3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.
(V) (F)
La suma de los números primos menores a 19 es:
2+3+5+7+11+13+17 = 58

MATEMÁTICA
2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O
NO.
1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número.
2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la raíz
hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el número
será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto entonces el
número no será primo .
Ej. Verificar si 97 es primo.
Paso 1 : 97  9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera y se
trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la
raíz cuadrada en forma aproximada “.
Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz hallada
: 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones son inexactas
por lo que se concluye que 97 es primo .
Ej. Verificar si 163 es primo.
Paso 1 : 163  12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12.
Paso 2 : divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que son :
2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es
inexacto por lo que concluye que 163 es primo .
Ej. 91 no es primo. (V) (F)
Solución:
Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9.
Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7.
91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo.
Ej. 247 es primo. (V) (F)
Solución:

MATEMÁTICA
Paso 1: 247 en forma aproximada es 15.
Paso 2: Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13.
247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible por 13,
entonces 247 no es primo.
2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI).
Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común la
unidad.
Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI.
Solución.
D (4): 1 ; 2 y 4
D (9): 1 ; 3 y 9
Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad, por
lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.
Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI.
Solución.
D (6) : 1 ; 2; 3 y 6.
D (14):1 ; 2; 7 y 14.
D (25) : 1 ; 5 y 25
Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números es
la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI.
Ej. 15; 12 y 18 son PESI. (V) (F)
Solución.
D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15.
D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12.
D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18.
Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI.

MATEMÁTICA
2.6. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES
PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.
Todo número se puede descomponer como producto de sus factores primos,
elevados a exponentes que son números enteros positivos.
Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene:
N = Aa
x Bb
x Cc
x Dd
Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c y d
, son los exponentes de los factores primos .
Ej. Descomponer en sus factores primos los números:
1) 90 2) 120
90 2 120 2
45 3 60 2
15 3 30 2
5 5 15 3
1 5 5
1
90 = 23
2
5 120 = 2
3
35
2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)).
Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la descomposición
del número en sus factores primos.
Para la descomposición del número N = A
dcba
DCB  se cumple, que la
cantidad de divisores de N será :
CD ( N ) =     1111  dcba

MATEMÁTICA
donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.
También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas:
CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos
ó
CD =CDsimples + CDcompuestos
Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60?
Solución.
Como 60 = 2 53
2
 entonces CD (60) =    111112  = 12.
Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008.
Solución.
Como 1 008 = 2
4
3
2
7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30.
SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N(SD (N)).
Dada la descomposición de un número N en sus factores primos:
N = Aa
Bb
Cc
Dd
, entonces :
SD (N) =
Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 60.
Solución.
Como 60 = 2
2
35 entonces
SD (60) =
15
15
13
13
12
12
223







x = 746 = 168.
Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 504.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1















D
d
D
C
c
C
B
b
B
A
a
A

MATEMÁTICA
Solución.
Como 504 = 2
3
3
2
7 entonces,
SD (504) =
17
17
13
13
12
12
234








= 15137 = 1 365.
PROBLEMAS RESUELTOS.
Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700?
Solución.
Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 2
2
 5
2
 7 y
sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3.
Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644.
Solución.
Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =2
2
7  23
entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.
Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252?
Solución.
Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto de la
descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2. .252 = 2
73
22
 = 2 732
2
 , entonces,
CD pares =    111211  = 12
Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360?
Solución.
Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces de la
descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el factor 2
elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que resulten
serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .
360 = 2 53
23
 = 2
3
( 3
2
 5) entonces la cantidad de divisores impares
será igual a la cantidad de divisores del número que está entre paréntesis .

MATEMÁTICA
CD( 360 )impares
= (2+1)(1+1) = 6 .
Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404?
Solución. 1404 = 2
2
3
3
13 = 2
2
(3
3
13), entonces CDimpares
= (3+1)(1+1)= 8.
PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. De las siguientes afirmaciones :
I 3 es divisor de - 18
II - 4 es un divisor de 12
III 20 es un divisor de 5
IV 72 es un múltiplo de 9
V 4 es un múltiplo de 12
VI 8 no es múltiplo de cero
¿Cuáles son falsas?
A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI
2. Del siguiente grupo de números :
53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71
¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo?
A) 118 B) 134 C) 72 D)110
3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50.
A)84 B)90 C)93 D)131 E)120
4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120.
A) 3 B) 16 C)10 D) 8 E)12
5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24?
A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4

MATEMÁTICA
2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).
De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de los divisores
comunes.
Ej. Hallar el MCD de 12 y 18.
D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6.
Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son los
divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de un grupo
de números son los divisores del MCD.
Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD
de dichos números.
Propiedades:
1) El MCD está contenido en los números.
2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.
2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).
De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes.

MATEMÁTICA
Ej. Hallar el MCM de 4 y 6.
M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;…..
M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,………….
Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 , por lo
tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .
Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …
que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos comunes
de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos números .
Métodos para calcular el MCD y MCM.
1) Por descomposición simultanea.
Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24.
18 - 24 2 18 - 24 2
9 12 3 9 12 3
3 4 3 4 3
1 4 4
1 1
mcd = 23= 6 mcm = 2334= 72
2) Por descomposición de los números en sus factores primos.
El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a
su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores
primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente.
Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.
Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene:
18 = 2x3
2
y 60 = 2 53
2
 . Luego se aplica la propiedad.
MCD = 2x3 = 6 y MCM = 2 5
2
3
2
 = 180.
3) Por divisiones sucesivas.
Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números.

MATEMÁTICA
Ej. Calcular el MCD de 144 y 56.
MCD=8
Ej. Calcular el MCD de 480 y 572.
MCD = 4.
Entonces tendrán 4
divisores comunes.
Problema 2.
¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se desea
obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?
Solución.
La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos para
obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos
comunes queremos el menor.
Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.
Problema 3.
¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para
construir un cuadrado?
Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.
X
X
Cocientes 2 1 1 3
144 56 32 24 8
residuos
32 24 8 0
cocientes
1 5 4 1 1 2
572 480 92 20 12 8 4
residuos
92 20 12 8 4 0
34cm
18 cm

MATEMÁTICA
De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común de 34
y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor porque se
quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que :
X = mcm (34; 18) = 306
La cantidad de losetas es igual a:
34
306
x
18
306
= 153
Problema 4.
De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea obtener el
menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre material. ¿Cuántos
pedazos se obtendrán?
Solución. Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.
96 cm
72 cm
Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe de
ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad de
pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por esto que :
X = MCD (96; 72) = 24 cm
El número de pedazos que se obtendrán será:
# pedazos =
24
96
x
24
72
= 4 x 3 = 12
X
X

MATEMÁTICA
Problema 5
Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista circular
con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y medio , y C
en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas vueltas habrá dado
el ciclista A ?
Solución.
Transformando las medidas a segundos
A : 3 min = 180 s
B : 3 min y medio = 210 s
C : 4 min = 240 s
El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente
por el punto de partida será un múltiplo de los tiempos empleado en dar una
vuelta . Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida , el
tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados .
# vueltas que habrá dado el ciclista A =
180
5040
= 28.
PARTIDA

MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres. De las
mujeres, se conoce que la sexta parte tiene cabello largo, los 3/8 usan
aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión?
a) 118 b) 132 c) 136 d) 164 e) 220
2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 180 y 300?
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea
5148
a) 143 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639
4. Si x2x
.53N  , tiene 15 divisores, hallar N.
a) 2000 b) 2075 c) 3196 d) 2025 e) 2184
5. Si 5.412By12.45A nn
 , hallar “n” para que su MCM presente 90
divisores.
a) 5 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3
6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero más
de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12,
siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.
¿Cuántos alumnos eran?
a) 600 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796
7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y de
noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en 12 o
de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18 no
sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche?
a) 20 b) 24 c) 32 d) 126 e) 36

MATEMÁTICA
8. El número de páginas de un libro está comprendido entre 400 y 500. Si se
cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en
7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?
a) 417 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472
9. ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar con tres
caños que vierten 24; 42 y 15 litros por minuto?
a) 420 l b) 480 l c) 640 l d) 840 l e) 960 l
10. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener dividiendo 3
varillas de medidas: 540 cm; 480 cm y 360 cm, sin desperdiciar material.
a) 60 b) 23 c) 24 d) 12 e) 30
11. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados de igual medida en que podemos
dividir un terreno de forma rectangular cuyo largo mide 1680 m y su ancho
700 m?
a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90
12. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 42 s y 54 s. Si a
las 20 h 15 min se encienden simultáneamente, ¿A qué hora volverán a
encenderse nuevamente juntos?
a) 21 h b) 20 h 21 s c) 21h 18 s d) 22 h e) 20 h 21 min 18s
13. Si se tiene que llenar 4 cilindros de 72; 24; 56 y 120 litros de capacidad,
¿Cuál es la máxima capacidad de un balde que permite llenarlos
exactamente?
a) 8 l b) 15 l c) 17 l d) 4,5 l e) 9 l
14. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 24 cm de largo, 12 cm de
ancho y 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar el
menor cubo compacto?
a) 600 b) 400 c) 550 d) 580 e) 500

MATEMÁTICA
15. Una caja mide 82 cm de largo, 46 cm de ancho y 32 cm de alto; esta caja se
quiere llenar de cajitas cúbicas y de la mayor arista posible, ¿Cuántas cajitas
cúbicas entrarían?
a) 30 176 b) 15 088 c) 16 745 d) 13 272 e) 15 176
16. ¿Cuál es la menor cantidad de losetas cuadradas, sin partir ninguna, se
necesita para cubrir un patio cuyo largo mide 744 cm y el ancho 528 cm?
a) 745 b) 826 c) 682 d) 724 e) 842
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Hallar la suma de las cifras del menor número que tenga como
divisores: 4; 9 y 12.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 9 E) 5
2. El MCM de dos números es 48. Si el producto de los mismos es 864.
¿Cuál es su MCD?
A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9
3. Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la
suma de A más B.
A) 27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40
4. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los
números.
A) 900 B) 720 C)3 600 D)3 240 E) 2 400

MATEMÁTICA
5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3780 cm; 3360 cm y
2520 cm. Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor
longitud posible, ¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla
de menor longitud.
A) 6 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8
6. Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede
dividir una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por
210 cm.
A) 30 B)19 C) 84 D) 48 E) 30
7. Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros
respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un
balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad
exacta de veces?
A)10 lt B)5 lt C)8 lt D)25lt E) 12 lt
8. Un terreno rectangular de medidas 255m por 225 m se quiere dividir en
el menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar
una estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se
necesitarán?
A) 255 B) 288 C) 300 D) 260 E) 280
9. Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. Se desea
envasarlas en la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma
cantidad de cada artículo. ¿Cuántas bolsas más habrá de bombones
que de chocolates?
A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34
10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/
810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuántos
trabajadores hay en cada taller si el salario es el mayor posible?
A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35 D) 54 y 35 E) 30 y 40

MATEMÁTICA
UNIDAD 03
NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES

MATEMÁTICA
3. FRACCIÓN.
3.1. FRACCIÓN: ELEMENTOS.
Se llama fracción a un número racional a/b donde: a  Z, b  Z, b  0, å  b
- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos
números enteros con denominador diferente de cero.
- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o
fracción.
- Toda fracción tiene 3 signos.
B
A
B
A



B
A
B
A



B
A
B
A



B
A
B
A



REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES:
 El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad.
 El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad.
S = ¼
S =
11
3
b
a
Fracción =
Numerador
Denominador

MATEMÁTICA
Ejemplo Aplicativo:
Del gráfico que se muestra:
a) ¿Qué fracción es la parte sombreada?
Fsombrada=
Total
sombrada.Parte
Fsombrada=
k8
k3
=
8
3
b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada?
Fno sombrada=
Total
sombrada.no.Parte
Fno sombrada=
k8
k5
=
8
5
c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?
Fsombrada de la no sombrada =
sombrada.no.Parte
sombrada.Parte
Fsombrada=
k5
k3
=
5
3
d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?
Fno sombrada de la sombrada =
sombrada.Parte
sombrada.no.Parte
Fsombrada=
k3
k5
=
3
5
S =
4
5
S = 1/12
k
k
k
kk
k
k
k
Parte sombreada = 3k
Parte no sombrada = 5k
Total = 8k
denominador
denominador

MATEMÁTICA
3.2. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES.
1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS.
.
 Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de
una fracción propia es menor que la unidad.
ba1
b
a
 Ejemplos: ,...
3
2
,
23
17
,
7
5
,
3
1
 Fracción Impropia:.El numerador es mayor de que el denominador. El valor
de una fracción propia es mayor que la unidad.
ba1
b
a
 Ejemplos: ,...
3
11
,
9
14
,
3
4
,
2
7
2) POR SUS DENOMINADORES.
 Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente a
una potencia de 10.
b
a
= es ordinaria, si: b  10
n
,...
23
52
,
25
17
,
7
5
,
5
1
 Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
b
a
= es decimal, si: b = 10
n ,...
10000
57
,
1000
12
,
100
5
,
10
1
3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE
VARIAS FRACCIONES.
 Fracciones Homogéneas: Igual denominador.
,...
3
2
,
3
17
,
3
5
,
3
1
 Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.
,...
3
1
,
9
4
,
5
4
,
2
7
4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.

MATEMÁTICA
 Fracción irreductible.
b
a
= es irreducible, si a y b son PESI.
 Fracción reductible.
b
a
= es reductible, si a y b tiene divisores
comunes a parte de la unidad.
5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor
pero sus términos son diferentes.Su representación gráfica es por ejemplo:
3.3. CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y
DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA.
 De Fracción a número mixto:
b
a
=
b
p
n ;donde ; p < b
Ejemplo:convertir
5
17
a número mixto
Primero dividir 17 entre 5.
 De un número mixto a fracción:
n
b
pbn
b
p 

.
=
b
a
 (Fracción Impropia) ; p < b
2
1
4
2
6
3
8
4
17 5
2 3 Parte Entera
denominador
numerador 5
2
3

MATEMÁTICA
Ejemplo: convertir
5
2
3 a fracción.
3.4. MCM Y MCD DE FRACCIONES.
MCD
);;(
);;(
;;
fdbMCM
ecaMCD
f
e
d
c
b
a






MCM
);;(
);;(
;;
fdbMCD
ecaMCM
f
e
d
c
b
a






Nota: donde las fracciones 





f
e
;
d
c
;
b
a
, deben ser fracciones irreductible “si no lo
son, se tienen que simplificar”.
Ejemplo:Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20.
1º. Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene
2/7 y 3/4.
2º. Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:
MCD
28
1
)4;7(MCM
)3;2(MCD
4
3
;
7
2






MCM 6
1
6
)4;7(MCD
)3;2(MCM
4
3
;
7
2






x
=
+
5
2
3
5
17


MATEMÁTICA
3.5. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez,
IRREDUCTIBLE.
Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos
(numerador y denominador) se dividen entre su MCD.
Ejemplo:¿Simplificar la fracción 24/180?
Solución:
1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores
comunes hasta lograr una fracción irreducible.
Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.
2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD:
15
2
12180
1224
)180;24(MCD180
)180;24(MCD24
180
24







3.5.1. PROPIEDADES:
1.
Ejemplo:
Simplificar:
777
333
777
333
=
7
3
Porque:
777
333
=
1117
1113


=
7
3
180
24
12
90
6
45
2
2
15
=
15
b
a
bbb
aaa


MATEMÁTICA
2.
Ejemplo:
Simplificar:
3737
1212
3737
1212
=
37
12
Porque:
3737
1212
=
10137
10112


; se elimina 101 y queda
37
12
3.6. FRACCIONES EQUIVALENTES.
Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.
....
20
8
30
12
10
4
5
2

....3,2,1k,
bk
ak
b
a
 donde
3.7. HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DEFRACCIONES.
Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:
1. Reducir a su más simple expresión.
2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.
3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se
multiplica con cada numerador correspondiente.
Ejemplo: Homogenizar los denominadores de las fracciones:
6
4
;
10
5
;
8
6
Solución:
Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión:
6
4
;
10
5
;
8
6
; <>
3
2
;
2
1
;
4
3
cd
ab
cdcd
abab


MATEMÁTICA
Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12.
Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de
cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:
12
8
;
12
6
;
12
9
Esquemáticamente:
3.8. COMPARACIÓN DE FRACCIONES.
 Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción
positiva y menor la fracción negativa.
Ejemplo:
7
2
>
2
3

 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será
mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor
numerador.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
3
1
;
3
8
;
3
7
;
3
2
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene:
3
8
;
3
7
;
3
2
;
3
1
 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor
el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor
denominador.
13
7
;
9
7
;
2
7
;
3
7
12
9
;
12
6
;
12
8
4
3
;
2
1
;
3
2

MCM (3, 2, 4 ) = 12



MATEMÁTICA
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene:
2
7
;
3
7
;
9
7
;
13
7
 Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se
procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como
en el caso anterior.
6
5
;
9
1
;
2
3
;
3
7
Solución:Primero se homogenizan denominadores (MCM).
Ordenando de menor a mayor se obtiene:
18
81
;
18
42
;
18
27
;
18
15
que son las fracciones equivalentes a
9
1
;
3
7
;
2
3
;
6
5
respectivamente.
 Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá
realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
9
7
y
8
5
Solución:
MCM (3, 2, 9, 6) = 18
6
5
;
9
1
;
2
3
;
3
7
18
15
;
18
81
;
18
27
;
18
42


Fracciones
Equivalentes
Fracciones
Homogéneas
8
5
9
7
56 45>
Entonces
8
5
9
7
>

MATEMÁTICA
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
8
5
y
5
4
Solución:
EJERCICIOS NIVEL I
1. Completar:
24
8
3
h.
324
1
g.
12
16
3
f.
1288
5
16
3
d.
8
1
c.
328
5
b.


.e
64
8
16
12
4
3
.a
2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores):



Respuesta
4
1
;
16
5
;
Respuesta
4
3
;
Respuesta
8
5
;
8
3
.c
2
1
.b
8
5
;
8
2
4
1
.a
3. Completar los espacios vacíos adecuadamente:
a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que
tiene…......................…......... numerador
b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor la que
tiene…........................…......denominador
4. Colocar los signos> ó < como en los ejemplos:
a. 5/8 < 7/8 b. 3/8 1/ 8 c. 3/4 5/4 d. 1/4 5/4
e. 3/7 < 3/5 f. 1/2 1/3 g. 2/5> 2/7 h. 4/5 4/6
25 32<
Entonces
<
8
5
5
4
8
5
5
4

MATEMÁTICA
5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en el
orden solicitado:
a. 3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8  --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)
b. 4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4  --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)
6. Completar los espacios en blanco:
a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos
sean…................................. que los de la primera.
b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo
número diferente de cero y diferente de
….................................................................
c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción
…...................... ser simplificada.
d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador
posible …...........................................
e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número,
son llamadas fracciones …............................................
A continuación se puede comparar las respuestas.
4. b. > c < d. < f. > h. >
5. a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16 R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4
b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12
6.
a. más simples
b. uno.
c. no puede
d. 63
e. equivalentes

MATEMÁTICA
7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):
4
2
=
128
96
=
64
48
=
16
8
=
15
12
=
128
120
=
32
24
=
20
15
=
9
6
=
128
100
=
32
4
=
18
15
=
8
40
=
64
60
=
100
25
=
8. Colocar falso (F) o verdadero (V)
a. 4/5 > 3/5 ( ) b. 3 > 15/3 ( ) c. 2/5 < 3/7 ( )
d 1/3 < 34/72 ( ) e. 2/5 > 2/7 ( ) d. 7/8 > 6/7 ( )
9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos
(cinco fracciones equivalentes):
a. 1/2 =2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12
b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----
c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----
d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----
Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes:
7. = 1/2 = 3/4 = 3/4 =1/2 = 4/5
= 15/16 = 3/4 = 3/4 = 2/3 =25/32
= 1/8 =5/6 =5 = 15/16 = 1/4
8. a. (V) b. (F) c. (V) d. (V) e . (V)
9. a) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12
b) 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18
c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32 = 15/40 = 18/48

MATEMÁTICA
d) 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 18/24
10. Marcar con (X) las fracciones irreductibles:
2/3 ( X ) 3/5 ( ) 4/8 ( ) 4/6 ( ) 7/8 (
)
5/6 ( X ) 1/3 ( ) 6/2 ( ) 4/12 ( ) 9/10(
)
1 EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II
1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente:
a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64
b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16
c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128
A
B
C
2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los
términos es 40, Calcular la diferencia de los mismos.
A.30B.15 C.8 D.1 E.13
3. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles, tienen denominador 32 y son
mayores que 1/6?
A.3 B.15 C 12 D. 14 E.13
4. ¿Cuántas son las fracciones irreductibles con denominador 10
comprendidos entre 1/2 y 4/3?
A.30 B.5 C 8 D. 4 E.13

MATEMÁTICA
5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 720 existen?
A.192 B.13 C.24 D.15 E.2
6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada?
A. 5/7 B.3/4 C.4/7 D.3 E.1/4
7. Simplificar las fracciones:
9240 / 6930 y 4158 / 43 68
Rpta: 4/3; 99/104
8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco;
2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le
dieron para repartir?
A. 10 B.108 C.23 D.25 E.19
9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará
llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla?
A. 2400 B.2700 C.234 D.1235 E. 1300
10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros
de mezcla ¿Cuántos litros de leche salen?
A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5
11. Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?
A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3

MATEMÁTICA
UNIDAD 04
FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

MATEMÁTICA
4.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:
a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA.
Observar el siguiente gráfico:
 Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los
numeradores y se escribe el mismo denominador:
Ejemplo:
Efectuar:
13
9
13
37258
13
3
13
7
13
2
13
5
13
8



 Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte
fraccionaria.
Ejemplo:
Efectuar:  
13
1
7
13
5271
483
13
5
4
13
2
13
7
8
13
1
3 


b) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS.
Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca
transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo
denominador y se procede de la forma anteriormente vista.
Considerando los siguientes casos:
La parte sombreada es:
6
4
6
3
6
1

6
3
6
1
b
dca
b
d
b
c
b
a 

 
c
geb
fda
c
g
f
c
e
d
c
b
a



MATEMÁTICA
1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS.
Ejemplo 1. Efectuar:
12
28
12
14115
12
14
12
1
12
15
26
27
12
1
34
35
6
7
12
1
4
5









2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).
Se seguirá el siguiente procedimiento:
Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como
DENOMINADOR del resultado.
Segundo:Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por
cada numerador; luego efectuar la suma de estos resultados.
3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO.
Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños.
Ejemplo 2: Efectuar
Multiplicar por un factor a ambos términos de la
fracción, tal que los denominadoressean iguales.
8
1
8
643
8
6
8
4
8
3
24
23
42
41
8
3
4
3
2
1
8
3









¡Fracciones Equivalentes!
24
13
240
130
240
569096
30
7
8
3
5
2



MCM(5;8;30) = 240

=
40
2524
85
5583
8
5
5
3 




17
3
7
2

7
2
17
3
34 21
119
13

MATEMÁTICA
EJERCICIOS
I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”.
a) 
12
5
6
7
b) 
10
3
60
7
c) 
3
1
5
2
45
41
d) 
16
7
8
5
4
3
2
1
II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”.
a) 
5
4
4
1
2
1
10
3
b) 
5
1
4
1
3
1
2
1
c) 
8
7
6
5
4
3
III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”.
a) 
3
2
9
5
b) 
5
3
3
5
c) 
2
9
7
5
d) 
3
1
2
1
e) 
2
1
8
3
f) 
12
1
13
1

MATEMÁTICA
4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE
FRACCIONES:
Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se
encuentran al interior de los signos de agrupación.
Ejemplo: resolver la siguiente operación:
También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.
60
87
60
2012153040
3
1
5
1
4
1
2
1
3
2
3
1
5
1
4
1
2
1
3
2
3
1
5
1
4
1
2
1
3
2























EJERCICIO
Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.
1. 












5
1
2
1
5
1
7
2
6
1
=
2. 












2
3
5
2
1
3
2
6
1
2
5
1
3 =
3. 


















7
1
1
2
5
3
1
2
1
2
7
1
1 =
4. 














6
5
2
1
4
3
8
3
6
5
3
1
=
5. 























 2
4
3
7
5
2
7
5
2
1
=
60
87
60
47
3
2
3
1
20
1
2
1
3
2
3
1
5
1
4
1
2
1
3
2






















MATEMÁTICA
4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:
 Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
db
ca
d
c
b
a



Ejemplos:
a)
63
10
79
25
7
2
9
5



 b)
 Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los
términos de la fracción, al exponente indicado.
n
nn
b
a
b
a






Ejemplos:
a)
49
4
7
2
7
2
2
22






b)
81
1
3
1
3
1
4
44






EJERCICIO
1.Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican:
X
5
3
4
1
7
5
3
2
9
4
2
1
5
7
7
6
7
4
21
35
2
7109
362
7
3
10
6
9
2




3
3 5

MATEMÁTICA
2.Multiplicar:
a) 5
3
1
2  =
3
35
5
3
7
 b) 
3
2
54 c) 
5
1
1
4
1
3
d) 
4
1
5
3
2
e) 
2
1
2
5
3
f) 
3
1
1
2
1
1
3.Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:
n
b
a






Al cuadrado Al cubo A la cuarta
2
1
8
1
2
3
5
2
5
3

4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar.
Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas:
a) Hallar los 3/5 de 20 b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?
c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2
de 400 soles?
d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45
kg?.
e) ¿Los 3/5 de que número es 120? f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3
de que número?

MATEMÁTICA
4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES.
 Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción
divisor invertida.
Ejemplo:
a)
9
8
33
42
3
4
3
2
4
3
5
2



 b)
2
1
143
37
14
3
3
7
3
14
3
1
2 



 Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de
fracción:
cb
da
d
c
b
a



Ejemplo:
a)
16
7
224
37
3
2
24
7



 b)
5
7
120
47
4
1
20
7




EJERCICIOS
1.Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican:
 5
3
4
1
7
5
3
2
9
4
2
1
5
7
7
6
7
9
2.Escribir la expresión más simple equivalente a:
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a



Fracción inversa
Producto de
extremos
Producto de
medios

MATEMÁTICA
a)
4
1
3
1
2
1

= b) 


23
14
5
2
4
3
4
1
5
1
c) 





24
1
3
1
2
1
4
1
d)
30
7
2
1
3
1
5
2

=
e)
28
3
1
35
6
5
19
7
3
7
10
5
2


= f) 3
2
1
2
3
1
1
1
14
1
2
1
7
1
















=
4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES:
Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de
la fracción.
n
n
n
b
a
b
a

Ejemplo:
a)
5
1
125
1
125
1
3
3
3  b)
11
8
121
64
121
64


MATEMÁTICA
EJERCICIO
1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas
fracciones dadas.
a)
25
16
2






b)
9
1
2






c)
25
36
2






d)
64
49
2






e)
81
4
2






f)
49
100
2






g)
100
1
2






h)
81
16
2






i)
121
25
2






2. Hallar la raíz en cada caso:
a) 3
8
27
b) 3
8
1
c) 3
1000
8
d) 
25
16
e) 5
243
32
f) 4
625
16
g) 
49
36
h) 3
125
27
i) 4
10000
81
4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.
1.
2
41
61
10
3
3
7
6
1
5
6









=
2.
3
3
1
1
5
1
1
3
1
1
2
1
1
9
1
1












=

MATEMÁTICA
3.
7
14
6
13
5
2
1
12
1
8
1
8
1
6
12
3
1
2
1






=
4.
6
1
4
1
3
1
2
1
8
1
1


 =
5.
1
56
93
2
1
6
1
4
1
3
7
4
3
2
1
4
3












=
6.
5
7
3
1
5
3
1
3
2
1
5
2
1


















=
7.
 
 
21
1
9
1
36
25
7
81
7
16








Comprobar respuestas:
Pregunta Nº 1 2 3 4 5 6 7
Respuesta 1 -4 1 4 4 1 8
5
PROBLEMAS APLICATIVOS

MATEMÁTICA
La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que
equivalía a la longitud de un pulgar.
Equivalencia:
1 pulgada = 2,54 cm.
1 pulgada = 25,4 mm
1 pie = 12 pulgadas
1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas
Ejemplo:

8
"7
3 Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.
Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.
 32  Representa dos pies y 3 pulgadas.
La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro
país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso
industrial.
GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS.
Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8; 16;
… 2n
, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128
divisiones (27
= 128).
1” representa una PULGADA
1´ representa un PIE
Si se divide una pulgada en dos
partes iguales, cada parte es
1/2 pulgada.
Si se divide una pulgada en
cuatro partes iguales, cada
parte es 1/4 pulgada.

MATEMÁTICA
A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la
pulgada, pie, yarda.
Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla
esta graduada en pulgadas.
ocho partes iguales, cada parte
es 1/8 pulgada.
dieciséis partes iguales, cada
parte es 1/16 pulgada.
treinta y dos partes iguales,
cada parte es 1/32 pulgada.

MATEMÁTICA
Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas:
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura

8
7
1
Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:
a) + - =
b) x =
1007
030201
01 02 03 04 05 06 07
08 09 10 11 12 13 14

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