1. Estabilización del Levitron a través de
forzamiento paramétrico
Abraham De la Rosa Ibarra

2. Índice general
Introducción
1. Modelo Matemático del Levitron
1.1. Energía Cinética . . . . . . . . . . .
1.2. Energía Potencial . . . . . . . . . . .
1.3. Ecuaciones de Movimiento . . . . . .
1.3.1. Análisis Local . . . . . . . . .
1.3.2. Perturbaciones Paramétricas
ii
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1
1
4
6
8
12
2. Análisis Numérico Sobre las Ecuaciones del Levitron
2.1. Modelo Hamiltoniano del Levitron . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Solución Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Solución No Simétrica . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Modelo del Levitron con Disipación . . . . . . . . . . . .
2.3. Modelo con Disipación y Forzamiento Paramétrico . . .
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17
18
18
20
20
22
Conclusión
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24

3. Introducción
El Levitron es un juguete que consiste de dos piezas; un pequeño cuerpo
axisimétrico (por ejemplo un pequeño trompo o peonza simétrica) de masa uniforme y con magnetización paralela a su eje de simetría, la segunda pieza es una
base magnética especialmente construida de forma cuadrangular (como veremos mas adelante esto no es estrictamente necesario) con una región circular en
el centro no magnetizada. El juego consiste en hacer girar la peonza simétrica
sobre la base magnética y después desplazar la peonza a una altura en donde
permanece levitando.
z
B(r)
r
a
y
Base magnética
x
Figura 1: Levitron sobre base magnética
La levitación magnética de cuerpos giratorios fue descubierta por el inventor Roy Harrigan, quien construyó una base cuadrangular que proporcionó un
campo magnético favorable para este tipo de fenómeno, calibró el volumen del
cuerpo, su masa y encontró los momentos inerciales y magnéticos adecuados
para lograr la levitación persistente de este cuerpo. Harrigan obtuvo la patente
de este juguete en 1983.
Si bien el teorema de Earnshaw de 1842 (ver [4]) establece las reglas de levitación magnética para dipolos estáticos no queda claro como es que el Levitron

4. iii
funciona. Uno de los primeros intentos por explicar como funciona el Levitron
fue hecho por B. Hones en 1995, un fabricante de este juguete que tuvo relación
con Harrigan, sin embargo dicha explicación no fue suficiente pues afirmaba que
la levitación sobre una base circular era imposible, lo cual no es verdad. Los
primeros intentos teóricos por explicar la dinámica de este dispositivo fueron
hechos en dos artículos principalmente el de M. V. Berry [1] y el de M. D. Simon, L. O. Heflinger y S. L. Ridgway [9] a finales de 1996. El primero de estos
artículos ofrece un estudio teórico del dispositivo haciendo uso de la formulación
Hamiltoniana para plantear un sistema de 12 ecuaciones diferenciales (6 grados
de libertad), después con teoría adiabática demuestra que la levitación persistente es posible sólo para cierto rango de velocidades de giro, es decir que si la
velocidad de giro de la peonza es o muy pequeña o muy alta ésta caerá. También hace patente la importancia de la precesión de la peonza para que pueda
levitar persistentemente. El segundo de los artículos se refiere al de M. V. Berry
haciendo experimentos físicos y algunos numéricos para confirmar estos hechos.
Más tarde H. R. Dullin y R. W. Easton [3] ofrecen otro estudio de las ecuaciones
12 ecuaciones de movimiento del Levitron que permite predecir las velocidades
máximas que puede tener la peonza para que no caiga. En particular el estudio local del punto de equilibrio del sistema asi como el de la región invariante
que encuentran, resultan útiles para el análisis numérico de las ecuaciones. Otro
trabajo que aporta nuevos elementos al estudio de la dinámica del Levitron es
el de R. F. Gans, T. B. Jones y M. Washizu [5] ya que construyen constantes
adimensionales para efectuar simulaciones numéricas de las ecuaciones lo que
facilita la reproducción de sus resultados.
El presente trabajo tiene como finalidad hacer un estudio numérico de las
ecuaciones obtenidas por M. V. Berry, verificando la existencia del rango de
velocidades de giro en donde se encuentra levitación persistente. Dada la complejidad del sistema de doceavo orden no lineal, extenderemos la teoría en el
ámbito numérico haciendo un estudio un poco mas realista del dispositivo introduciendo un término disipativo que modele la fricción del aire y después dado
el estudio local de las ecuaciones proponer una forma de contrarrestar los efectos de la fricción utlizando resonancias paramétricas que simulen por ejemplo
el movimiento periódico de la base, esperando con esto introducir de alguna
manera energía a los modos normales de rotación del sistema de tal forma que
sea posible la levitación persistente de la peonza.
A continuación describiremos esencialmente dos formas de abordar el modelo
matemático del Levitron, éstas se encuentran expuestas principalmente en el
artículo escrito por M. Berry y reproducido con una función potencial un poco
mas general por Dullin y en el artículo escrito por Roger F Gans, Thomas B
Jones y Masao Washizu, éste sigue esencialmente la línea trazada por Berry pero
dejando las ecuaciones de movimiento en términos de constantes adimensionales.
Por las facilidades que ofrece para simular numéricamente las ecuaciones es ésta
segunda aproximación la que tomaremos en el desarrollo ulterior de esta tesina.

5. Capítulo 1
Modelo Matemático del
Levitron
En este capítulo se hará la deducción de las ecuaciones de movimiento del
Levitron, desde la construcción de la función Lagrangiana hasta la formulación
Hamiltoniana, pasando por los distintos enfoques dados principalmente por M.
V. Berry, H. R. Dullin y R. F. Gans.
1.1.
Energía Cinética
La energía cinética del cuerpo giratorio es, como sabemos la suma de la
energía cinética traslacional del centro de masa mas la energía cinética que se
desprende de la rotación del cuerpo. Para abordar la cinemática de la peonza
pensaremos en dos sistemas de referencia, el primero de ellos estará fijo en el
cuerpo y con el origen en el centro de masa, así un punto del espacio en este
sistema de referencia tendrá coordenadas Q. Un segundo sistema de referencia se
encontrará fijo en el espacio y tendrá coordenadas q. De esta manera, podemos
pensar el espacio de cofiguración del fenómeno como R3 × SO(3), pues una
traslación del cuerpo se puede pensar como un vector en R3 y una rotación que
deja fijo el centro de masa como un elemento de
SO(3) = {R ∈ M3×3 (R) | RRT = I, det(R) = 1}.
De lo anterior, si ρ(Q) es la densidad de masa del cuerpo, tenemos que al integrar
sobre los puntos que lo conforman se satisface
ρ(Q)Q dQ = 0
y
ρ(Q) dQ = m.
Por otro lado, el movimiento de dicho cuerpo está determinado por una
curva en el espacio de configuración del Levitron. Sea γ(t) = (r(t), R(t)) dicha
curva, así el movimiento de una partícula Q del cuerpo visto desde el sistema de

6. 1.1 Energía Cinética
2
referencia fijo en el espacio estaría determinado por la curva q(t) = R(t)Q+r(t),
de esta manera la densidad de la energía cinética del volumen en movimiento es
1
˙ ˙
ρ(Q) q, q
2
(1.1)
dT (Q) dQ.
dT (Q) =
(1.2)
y por ende, la energía cinética es
T =
Si expandimos en (1.1) el producto interior tenemos que
(1.3)
dT (Q) = dT1 + dT2 + dT3
con,
1
˙ ˙
ρ(Q) r, r
2
˙ ˙
dT2 = ρ(Q) r, RQ
1
˙
˙
dT3 = ρ(Q) RQ, RQ
2
(1.4)
dT1 =
(1.5)
(1.6)
de este modo
m
˙ ˙
r, r
2
˙
y como r no depende de Q, las siguientes igualdades son validas
T1 =
dT1 dQ =
T2 =
(1.7)
dT2 (Q) dQ
=
˙ ˙
r, RQ ρ(Q) dQ
˙ ˙
= r, R
Qρ(Q) dQ
˙ ˙
= r, R · 0
˙
= r, 0
= 0.
Para el cálculo de T3 recordaremos la definición de la función producto cruz
g : R3 → (3) dada por
g(x) = x1 S1 + x2 S2 + x3 S3
con
x = (x1 , x2 , x3 )T
y

0
S1 = 0
0

0 0
0 −1 ,
1 0

0
S2 =  0
−1

0 1
0 0 ,
0 0

0
S3 = 1
0

−1 0
0 0 .
0 0
Dado que las matrices S1 , S2 y S3 forman una base del álgebra de Lie (3) se
tiene que g es una isomorfismo. Es fácil comprobar que g satisface las siguientes
tres propiedades básicas para x, y ∈ R3 y R ∈ SO(3)

7. 1.1 Energía Cinética
3
(1) x × y = g(x)y
(2) g(x × y) = [g(x), g(y)]
(3) g(Rx) = Rg(x)RT
donde [·, ·] es el corchete de Lie en
(3) definido por
[A, B] = AB − BA.
Haciendo uso de las propiedades anteriores se puede deducir que
x × y, x × y = yT g(x)T g(x)y
= yT g(x)2 y
= yT (|x|2 I − xxT )y
= |x|2 |y|2 − x, y
Así, podemos escribir
T3 =
1
2
2
˙
˙
RRT RQ, RRT RQ ρ(Q) dQ
(1.8)
(1.9)
por otro lado, como R(t) ∈ SO(3) entonces R(t)R(t)T = I y entonces, si derivamos respecto del tiempo obtenemos
˙
˙
R(t)R(t)T + R(t)R(t)T = 0
˙
˙
de donde RRT es anti-simétrica, es decir RRT ∈ (3), así, tiene sentido definir
−1 ˙ T
w = g (RR )(w es la velocidad angular del cuerpo en el sistema de referencia
fijo en el espacio). Entonces de (1.9) y del primer inciso de la propiedades de g
tenemos que
1
2
1
=
2
1
=
2
w × RQ, w × RQ ρ(Q) dQ
T3 =
|w|2 |RQ|2 − w, RQ
2
y por (1.8)
ρ(Q) dQ
|w|2 |Q|2 − wT RQQT RT w ρ(Q) dQ
(1.10)
definimos ahora Ω = RT w (la velocidad angular en el sistema de referencia fijo
en el cuerpo). Notamos que por el tercer inciso de las propiedades de g
˙
˙
g(Ω) = g(RT w) = RT g(w)R = RT RRT R = RT R
entonces (1.10) se puede escribir como
1
ΩT |Q|2 Ω − ΩT QQT Ω ρ(Q) dQ
2
1
(|Q|2 I − QQT )ρ(Q) dQ Ω
= ΩT
2
1
= ΩT ΘΩ
2
T3 =
(1.11)

8. 1.2 Energía Potencial
4
donde Θ es el tensor de inercia del cuerpo. Como Θ es una matriz simétrica, el sistema coordenado del cuerpo puede ser escogido de modo tal que Θ =
diag(A, B, C). En nuestro caso particular, dada la simetría axial del cuerpo
podemos suponer que Θ = diag(A, A, C), finalmente la energía cinética se escribe
1
1
˙ ˙
(1.12)
T = m r, r + ΩT ΘΩ
2
2
˙
con Ω = g −1 (RT R) y Θ = diag(A, A, C).
1.2.
Energía Potencial
El cálculo de la energía potencial Ψ(r, R) involucra dos términos, uno asociado a la fuerza de gravedad, mgz, donde m es la masa total del cuerpo y z es
la altura del centro de masa y el otro asociado al campo magnético de la base.
Dicho campo magnético en el punto r = (x, y, z)T esta determinado por B(r).
Si ez es el vector canónico en dirección del eje z, entonces Rez es el vector unitario que apunta en dirección del eje de simetría del cuerpo y que supondremos
alineado con su eje magnético. Si llamamos µ al parámetro negativo que modela
la fuerza del dipolo (que supondremos situado en el centro de masa del cuerpo
giratorio) tendremos que el momento magnético del cuerpo está descrito por el
vector
µ = µRez .
Con esta orientación, el cuerpo es repelido por la base, pues µ apunta en sentido
negativo del eje z ya que µ < 0, además |µ| = |µ|. De esta forma la energía
potencial magnética es el producto interior del campo magnético de la base en
el punto r con el vector del dipolo del cuerpo, es decir que la energía potencial
total es
Ψ(r, R) = mgz − B(r), µ
(1.13)
Por otro lado, B puede ser escrito como el gradiente de una función potencial
escalar,
B(r) = −∇V (r)
pues tenemos un campo magnético estático. Para que B(r) satisfaga las ecuaciones de Maxwell V (r) debe ser una función armónica, es decir
∆V (r) = 0
supondremos también simetría cilíndrica, por lo cual
V (r) = V0 (z) + rV1 (z) + r2 V2 (z) + · · · ,
r = |r|
así, V (r) será armónica siempre que
∆V (r) = V0′′ (z) + rV1′′ (z) + V1 (z)∆r + r2 V2′′ (z) + V2 (z)∆r2 + · · · = 0.

9. 1.2 Energía Potencial
5
Haciendo uso de la expresión ∆rn = n2 rn−2 y agrupando los terminos con
iguales potencias de r, tenemos que al igualar a cero dichos coeficientes Vj (z) = 0
′′
para j impar y V2k+2 (z) = −(1/(2k + 2)2 )V2k (z) para k ∈ Z, así, si llamamos
Φk (z) =
dk
V0 (z)
dz k
obtenemos que
r2
Φ2 (z) ± · · · ,
4
y entonces el campo magnético se escribe como


xΦ2 (z)/2 + O(r3 )

yΦ2 (z)/2 + O(r3 )
B(r) = −∇V (r) = 
2
4
−Φ1 (z)/2 + r Φ3 (z)/4 + O(r )
V (r) = Φ0 −
como queremos que cerca de la base la peonza sea repelida necesitamos que el
campo apunte en dirección del eje z y en vista de la última expresión, necesitamos que Φ1 (z) < 0. Finalmente escribimos la energía potencial total
Ψ(r, R) = mgz − µ
1
Φ2 (z)(xR13 + yR23 ) + − Φ1 (z)
2
2
1
+ (x2 + y )Φ3 (z) R33 + · · · . (1.14)
4
Por otro lado, siguiendo la notación de Goldstein [6]1 para los angulos de Euler,
tenemos que si θ representa la inclinación, ψ la precesión y φ el ángulo de giro
del cuerpo, entonces
R13 = sin θ cos ψ
R23 = sin θ sin ψ
R33 = cos θ
La base magnética sobre la cual la peonza levitará, puede ser pensada como
una distribución en el plano de dipolos verticalmente orientados que proporcionarán el campo magnético. Si dicha distribución tiene como densidad η(r)
(con r = 0 el centro de la base), siguiendo a Jackson[7] tenemos que el potencial
de la base está dado por
V0 (z) = z
base
(r2
η(r)
d2 r.
+ z 2 )3/2
(1.15)
La densidad η puede ser tomada como una constante positiva, esto es, con
todos los dipolos de la base apuntando hacia arriba, lo cual es consistente con el
hecho de que la tercer componente del vector µ es negativa pues de este modo
1 El
ángulo ψ está rotado π/2 respecto de la notación de Goldstein.

10. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
6
el pequeño trompo es repelido por la base. Si tomamos a la base con forma
circular y con una región en el centro también circular y desmagnetizada (con
el proposito de hacer girar el pequeño trompo sobre esta región antes de ser
levantado sobre la base hasta la altura donde levitará) y efectuamos la integral
(1.15) tenemos que
V0 (z) = 2πηz
√
1
1
−√
w2 + z 2
a2 + z 2
donde la base es un disco de radio a con la región desmagnetizada en el centro
de radio w. Si integramos sobre una base cuadrangular de lado 2a y un hoyo
circular en el centro de radio w entonces (1.15) da
z
V0 (z) = 2πη √
− 8η arcsin
2 + w2
z
1.3.
z
2(z 2
+ a2 )
.
Ecuaciones de Movimiento
En nuestro caso, siguiendo la línea trazada por F. Gans [5], como no hay
diferencias cualitativas en el comportamiento del sistema cerca del eje, modelaremos la base como un anillo adimensional de dipolos con radio igual a a, en
este caso el cálculo de la integral en (1.15) es trivial pues sobre el anillo, r es
constante y z no depende de r. Así, como vimos antes, es posible escribir
V (r) =
Me
Me
[f0 (z) − r2 f2 (z) + O(r4 )] =
Φ
4πR2
4πR2
con
f0 (z) =
z
(1 + z 2 )3/2
f2 (z) =
3(2z 2 − 3)z
(1 + z 2 )7/2
Me es la fuerza global del anillo de dipolos y R es el radio efectivo, de esta
forma Φ es el potencial magnetostático adimensional. De este modo, siguiendo
a Goldstein (Ref) la expresión (1.12) para la energía cinética se escribe como
T =
1
˙
˙
˙
˙
m(x + y + z) + A(θ2 + ψ 2 sin2 θ) + C(φ2 ) + ψ 2 cos θ)2
˙
˙ ˙
2
y de la expresión (1.13) para la energía potencial se sigue que el Lagrangiano
adimensional es
L=
1 2
˙
˙
˙
˙
x + y 2 + z 2 + a(θ2 + ψ 2 sin2 θ) + c(φ + ψ cos θ)2
˙
˙
˙
2
∂Φ
∂Φ
∂Φ
− µ sin θ cos ψ
+ cos θ
−z
+ sin ψ
∂x
∂y
∂z
donde
a=
A
mR2
c=
C
mR2
µ=
M Me
4πmgR2
(1.16)
(1.17)

11. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
7
son constantes adimensionales que caracterizan al sistema. Las dos primeras
cantidaes son parámetros inerciales y la última es el radio de energía magnética
y gravitacional. Para transformar este problema a la formulación Hamiltoniana
elegimos como coordenadas generalizadas a las componentes del vector
q = (x, y, z, θ, ψ, φ)T .
Para obtener los momentos conjugados basta derivar el Lagrangiano respecto de
las coordenadas generalizadas, obtenemos así el vector de momentos conjugados
˙
˙
˙
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
p = [X, Y , Z, aθ, ψ(a sin2 θ + c cos2 θ) + cφ cos θ, c(φ + ψ cos θ)]T .
En términos de las variables físicas y substituyendo las derivadas de las coordenadas generalizadas por los momentos conjugados obtenemos que
˙
q=
px , py , pz ,
pθ pψ − pφ cos θ pφ [cos2 θ + (a/c) sin2 θ] − pψ cos θ
,
,
a
a sin2 θ
a sin2 θ
T
.
Podemos ahora aplicar la transformación de Legendre, H = qT p − L, para
obtener el Hamiltoniano asociado que representa la energía total y que es una
cantidad conservada, así,
H=
1
2
p2 + p2 + p2 +
x
y
z
p2
p2
[pψ − pφ cos θ]2
φ
θ
+
+
2
a
c
a sin θ
+ µ sin θ cos ψ
∂Φ
∂Φ
+ sin ψ
∂x
∂y
+ cos θ
∂Φ
+ z.
∂z
Las ecuaciones de movimiento quedan pues, de la siguiente manera
x = px
˙
y = py
˙
z = pz
˙
˙ pθ
θ=
a
[pψ − pφ cos θ]2
˙
ψ=
a sin2 θ
[pψ − pφ cos θ]2
pφ
˙
φ = − cos θ ·
+
2
c
a sin θ
′
p˙x = 2µ [f2 (z) sin θ cos ψ + xf2 (z) cos θ]
′
p˙y = 2µ [f2 (z) sin θ sin ψ + yf2 (z) cos θ]
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
′
′′
′′
p˙z = µ 2f2 (z) sin θ(x cos ψ + y sin ψ) + cos θ(−f0 (z) + (x2 + y 2 )f2 (z)) − 1
(1.26)
p˙θ = −
(pφ cos θ − pψ )(pψ cos θ − pφ )
a sin3 θ

12. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
8
′
′
+ µ 2f2 (z) cos θ(x cos ψ + y sin ψ) − sin θ(−f0 (z) + (x2 + y 2 )f2 (z))
(1.27)
(1.28)
p˙ψ = 2µf2 (z) sin θ(y cos ψ − x sin ψ)
(1.29)
p˙φ = 0
1.3.1.
Análisis Local
Una primera forma de enfrentar el problema de solucionar este sistema y
que en el futuro nos dará una pauta para estudiarlo en presencia de disapación
es el hecho de que posee un conjunto invariante.
Proposición 1.1. El conjunto
Inv = {x = y = 0, θ = ψ = 0, px = py = 0, pθ = 0, pψ = pφ }
es un conjunto invariante para las ecuaciones de movimiento del Levitron.
˙
˙
Demostración. Por la naturaleza de Inv basta ver que x = y = θ = ψ = p˙x =
˙
˙
p˙y = p˙θ = p˙ψ = 0 para todo tiempo siempre que comencemos de un punto en
Inv. De (1.18) tenemos x = 0 pues en Inv, px = 0, de manera análoga se ve que
˙
y = 0. Dado que en Inv θ = 0 entonces sin θ = 0 y entonces de (1.24) y (1.25)
˙
concluimos que p˙x = p˙y = 0 dado que x = y = 0 en Inv. Con un argumento
similar se tiene que el primer término del lado derecho de (1.27) es cero, así,
˙
para concluir que p˙θ = ψ = 0 basta ver que
[pψ − pφ cos θ]2
=0
a sin2 θ
en Inv. Como en Inv se tiene que pψ = pφ basta demostrar que
2
(1 − cos θ)
−→ 0 (θ → 0).
sin2 θ
Sabemos que
θ2
+ O(θ4 )
2
θ3
+ O(θ5 )
sin θ = θ −
6
cos θ = 1 −
y entonces
asi,
1 − cos θ
θ2 /2 + O(θ4 )
O(θ2 )
=
=
= O(θ)
sin θ
θ + O(θ3 )
O(θ)
2
(1 − cos θ)
= O(θ2 )
sin2 θ

13. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
9
˙
y en virtud de (1.22) concluimos que ψ = 0. Por otro lado, en vista de las
igualdades anteriores tenemos
O(θ2 )
−θ2 /2 + O(θ4 )
cos θ − 1
=
=
2
3 )]2
[θ + O(θ
O(θ2 )
sin θ
entonces
cos θ − 1
−→ constante (θ → 0)
sin2 θ
por tanto
cos θ − 1
sin2 θ
1 − cos θ
sin θ
−→ 0 (θ → 0)
luego, el primer término del lado derecho de (1.27) es cero, así concluimos que
p˙θ = 0 y por tanto Inv es una región invariante de las ecuaciones de movimiento
del Levitron.
Una observación que cabe hacer es el hecho de que en el artículo de H. R.
Dullin se hace uso de una matriz R cuya última columna (la que tiene que
ver con el potencial electrostático dado en (1.14)) no guarda simetría entre las
variables x y y lo cual no es muy consistente con el modelo físico pues debería
ser indistinto el papel que juegan estas variables. Las simulaciones numéricas
hechas con el potencial propuesto en dicho artículo arrojan resultados que no
concuerdan con la intuición física del problema. Ésta es una de las razones por
las cuales se decidió trabajar en la dirección marcada por el artículo de R.
F. Gans, pues su potencial concuerda con el calculado por Goldstein en[6] y las
simulaciones numéricas como veremos en el capítulo siguiente arrojan resultados
mas consistentes. Otra observación importante es que aun cuando hemos elegido
otra matriz R y por ende otro potencial electrostático es posible encontrar una
región invariante como señala el trabajo de H. R. Dullin, por supuesto esta región
se ve modificada. Sin embargo la modificación tiene una interpretación física que
despues será corroborada numéricamente, ésta es que cuando la peonza gira sin
precesar, la velocidad de giro se confunde con la velocidad de precesión, es decir
pφ = pψ . Veremos que cuando simulamos numéricamente las regiones en donde
el comportamiento del pequeño trompo es mas estable es justo cuando pφ y pψ
son cercanas.
Si analizamos la dinámica en esta región tenemos que las ecuaciones se reducen al siguiente sistema
′′
p˙z = −µf0 (z) − 1
z = pz
˙
˙
φ = pφ /c = σ
p˙φ = 0
(1.30)
(1.31)
Este sistema puede ser obtenido del Hamiltoniano restringido HInv = H|Inv
dado por la siguiente ecuación
HInv =
1
2
p2 +
z
p2
φ
c
′
+ µf0 (z) + z.
(1.32)

14. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
10
Así, tenemos que en la región invariante la tasa de giro del cuerpo σ es constante
ya que el momento conjugado de φ no cambia sobre orbitas de Inv. Lo único que
resta por analizar es la dinámica de z, ésta puede ser vista localmente como la
de un oscilador armónico. Para llevar acabo la linearización del sistema debemos
encontrar los puntos de equilibrio de las ecuaciones (1.30), dado que en una es
trivial encontrarlo basta analizar la ecuación
′′
µf0 (z) + 1 = 0
′′
f0 (z) = f2 (z) =
con
o bien,
3(2z 2 − 3)z
.
(1 + z 2 )7/2
1
′′
f0 (z) = − .
µ
(1.33)
Como vimos antes µ < 0 por lo que −1/µ > 0. De esta manera la ecuación
(1.33) tiene solución cuando la función constante −1/µ intersecta a f2 como se
muestra en la gráfica de la figura 1.1. Así, la ecuación anterior tiene solución
siempre que
1
′′
a
− ≤ m´x f0 (z).
µ 0≤z<∞
′′
′
Los puntos críticos de f2 (z) = f0 (z) se obtienen de resolver la ecuación f2 (z) = 0
o bien
−8z 4 + 24z 2 − 3 = 0
las cuatro raices de esta ecuación son
6±
±
√
30
.
4
Estamos interesados en las dos positivas, de estas dos raices tenemos que la
menor corresponde un punto crítico que minimiza a f2 , el otro la maximiza. De
esta forma tenemos que al evaluar f2 en el punto crítico mas grande se tiene
′′
m´x f0 (z)
a
0≤z<∞
=
√
6 + 30
√ 7/2 = 0.122131
1
+ 4 30
√
3 30
4
5
2
y entonces la ecuación (1.33) tiene solución (y por ende existe un punto de
estabilidad para la coordenada z) siempre que
|µ| = −µ ≥
1
= 8.187957392.
0.122131
(1.34)
Así el equilibrio del sistema sobre la región invariante existe siempre que (1.34)
sea satisfecha. Veremos mas adelante que las soluciones estables obligan a que
′′
|µ| sea suficientemente grande. De hecho dado que f0 sólo alcanza un máximo,
es continua y después de ese máximo decrece monótonamente a cero, existen
sólo dos valores que satisfacen la ecuación de punto crítico (1.33), sean zu < zs
dichos valores (ver figura 1.1). Dado que los puntos de equilibrio zu y zs son

15. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
11
f2 (z)
0.1221
−1/µ
zu
zs
z
−1.9323
Figura 1.1: Grafica de los puntos de equilibrio del potencial restringido VInv
puntos críticos del potencial restringido VInv , es decir satisfacen la ecuación
′
′′
VInv (z) = µf0 (z) + 1 = 0
es fácil ver de la gráfica 1.1 (y fácil corroborar con cálculos formales) que cerca
y a la izquierda del valor zu se tiene que
′′
−1/µ − f2 (z) = −1/µ − f0 (z) ≥ 0
o bien
′
′′
VInv (z) = 1 + µf0 (z) ≥ 0 (pues −µ ≥ 0)
análogamente se puede ver que
′
VInv (z) ≤ 0
cerca y a la derecha de zu . Así, por el criterio de la primer derivada el mas
pequeño de ellos, zu , es inestable por ser el valor que maximiza VInv . De manera
similar se demuestra que zs , por minimizar VInv , es un punto de equilibrio
estable del sistema (1.30). Es claro que zu y zs coinciden cuando |µ| iguala
su valor mínimo, es decir cuando |µ| = 8.187957392, así, la ecuación (1.33)
determina un único valor para z siendo éste
zc = 1.693848849 . . .
(1.35)
Este resultado replica el obtenido por R. F. Gans. En el siguiente capítulo se
utilizará este resultado para iniciar una busqueda numérica de regiones estables
del sistema completo y se puntualizarán algunas diferencias respecto del trabajo
citado.

16. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
12
El sistema (1.30) al ser linearizado cerca del punto (zs , 0) resulta ser la
ecuación de un oscilador armónico
′′
z + VInv (zs )z = 0
¨
(1.36)
tenemos pues que en la región invariante, z oscila con una frecuencia de
′′′
µf0 (zs ).
Así, la orbita periódica en el espacio fase del sistema completo está dada por
(q, p) = (0, 0, zs , 0, 0, σt, 0, 0, 0, 0, c σ, c σ).
(1.37)
Las estimaciones obtenidas en esta sección nos darán mas adelante un punto
de partida para buscar numericamente regiones invariantes de las doce ecuaciones de movimiento del levitron en el espacio fase completo. El hecho de que
el sistema tenga una región en donde la coordenada z se comporta como un oscilador armónico nos sugiere que podríamos perturbar parametricamente dicha
coordenada, simulando por ejemplo una oscilación vertical de la base, con una
frecuencia adecuada para que de este modo, en presencia de un término disipativo esta perturbación paramétrica contrarrestara el efecto de la fricción y
asi presenciar el fenomeno de la levitación persistente del trompo con hipótesis
un poco mas realistas. La esperanza es que las interacciones no lineales, de la
pertubación paramétrica de la base, en el sistema completo cerca de la región
Inv aporten energía a la peonza y esta no caiga.
1.3.2.
Perturbaciones Paramétricas
En ésta sección se analizarán de manera local, aprovechando el trabajo realizado, los efectos que una perturbación paramétrica de la base tiene sobre la
coordenada z. Como veremos, esta perturbación conducirá en virtud de (1.36)
a la ecuación de Mathieu. Es por ello que acontinuación se trata brevemente la
estructura de dicha ecuación.
Ecuación de Mathieu
La ecuación de Mathieu es
(1.38)
x + (α + β cos t)x = 0
¨
o bien, como un sistema de ecuaciones
x
˙
0
1
=
y
˙
−α − β cos t 0
La matriz
P(t) =
0
−α − β cos t
x
.
y
1
0
(1.39)

17. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
13
es una matriz periódica con periodo mínimo 2π la estructura de este tipo de
ecuaciones con coeficientes periodicos es lo que se conoce como teoría de Floquet2 . De esta manera, dado que
T r{P(t)} = 0
tenemos que
λ1 λ2 = e0 = 1
(1.40)
donde λ1 y λ2 son los números característicos de P(t), es decir, son valores
propios de la matriz de monodromía E, así, estos valores son solución al polinominomio en λ
det(E − λI) = 0
y entonces por (1.40) se tiene que la ecuación anterior se puede escribir como
λ2 − ϕ(α, β)λ + 1 = 0.
(1.41)
Las soluciones a esta ecuación están dadas por
λ 1 , λ2 =
1
ϕ±
2
ϕ2 − 4 .
Aunque no conocemos explícitamente ϕ(α, β), pues esto significaría conocer una
matriz fundamental del sistema (1.39) es posible haciendo uso del teorema de
Floquet3 ver que curvas de la forma
ϕ(α, β) = ±2
(1.42)
separan regiones donde existen soluciones no acotadas (|ϕ(α, β)| > 2) de regiones
donde todas las soluciones son acotadas (|ϕ(α, β)| < 2). Las curvas dadas por
(1.42) son regiones de los parámetros α y β en donde soluciones 2π-periódicas
y 4π-periódicas ocurren, dichas curvas son llamadas curvas de transición. Para
valores pequeños de |β| es posible usar métodos perturbativos para encontrar
las curvas de transición, es decir, suponer que
α = α(β) = α0 + βα1 + · · · ,
y que su correspondiente solución tiene la forma
x(t) = x0 (t) + βx1 (t) + · · · ,
donde x0 , x1 , . . . tienen periodo 2π o 4π. De esta forma es posible construir un
diagrama de estabilidad para la ecuación de Mathieu. En este diagrama de estabilidad, las curvas de transición forman las llamadas Lenguas de Arnold, éstas
se pueden ver en la figura 1.2, las regiones sombreadas corresponden a regiones
inestables, es decir donde al menos una solución es no acotada, y las regiones en
blanco corresponden a regiones en donde las soluciones son acotadas. Las líneas
discontinuas representan valores de los parámetros en donde existen soluciones
de periodo 2π y las líneas continuas representan valores de los parámetros en
donde existen soluciones de periodo 4π.
2 véase
D. W. Jordan y P. Smith [8]
3 Ibidem

18. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
14
Figura 1.2: Lenguas de Arnold
Ecuación de Mathieu con disipación
Analizaremos aquí el caso de la ecuación de Mathieu con un término de
fricción, es decir, analizaremos la ecauación
x + γ x + (α + β cos t)x = 0
¨
˙
(1.43)
Si proponemos una solución de la forma x(t) = eδt z(t) obtenemos que
eδt z(t)[zδ 2 + 2δ z + z + γ(z + δz) + (α + β cos t)z] = 0.
˙ ¨
˙
La condición para que el termino disipativo se cancele es que
2δ + γ = 0 o bien
de donde
z + (α −
¨
δ=−
γ
2
γ2
+ β cos t)z = 0.
4
Así, tenemos que para z(t) = e−δt x(t) se puede contruir un diagrama de estabilidad en donde las Lenguas de Arnold volverán a aparecer, la interpretación
de esto es que algunas soluciones inestables se vuelven estables a consecuencia
del decaimiento exponencial, es decir que las Lenguas de Arnold se separan un
poco de los ejes para dar cabida a nuevas soluciones estables (ver figura 1.3).
Cabe mencionar el diagrama de estabilidad mostrado en la figura 1.3 corresponde a soluciones de la forma
γ
x(t) = e− 2 t z(t)
y por ende las regiones de inestabilidad, que son aquellas atrapadas por las
lenguas, corresponden a soluciones que crecen exponencialmente, de hecho, en

19. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
15
β
α
Figura 1.3: Lenguas de Arnold para la ecuación de Mathieu con disipación
vista de la igualdad anterior corresponden a soluciones z con crecimiento mayor o igual que una exponencial con argumento mayor que γ/2. La región de
estabilidad, que es aquella que contiene al eje horizontal corresponde a soluciones x que decaen exponencialmente pues las correspondientes soluciones z
son acotadas. Podemos concluir pues que cuando se introduce un término disipativo en la ecuación de Mathieu los comportamientos se tornan extremos pues
ya no existen soluciones periódicas, sólo existen soluciones que o bien crecen
exponencialmente o bien decrecen exponencialmente.
Perturbación paramétrica del Levitron
Una forma de modelar una perturbación paramétrica de la base magnética
sobre la cual el Levitron levita es pensar al punto de equilibrio estable del sistema
(1.36) como un punto que oscila con cierta frecuencia y amplitud en lugar de
ser un punto fijo, esto es, cambiar
zs −→ zs + β cos(ωt)
entonces, la ecuación linearizada cerca del punto (0, zs ) dada en (1.36) queda
escrita como
′′
z + VInv (zs + β cos(ωt))z = 0.
¨
(1.44)
Consideremos la función
′′
F (τ ) = VInv (zs + τ )
donde,
′′
′′′
VInv (z) = µf3 (z) = µf0 (z) = µ
90z 2 (1 + z 2 ) − 9(1 + z 2 )2 − 105z 4
.
(1 + z 2 )9/2
(1.45)

20. 1.3 Ecuaciones de Movimiento
16
Si expandemos en serie de Taylor F (τ ) alrededor del punto τ = 0 obtenemos
que
F (τ ) = F (0) + F ′ (0)τ + O(τ 2 )
o bien,
′′
′′′
VInv (zs + τ ) = µf3 (zs ) + VInv (zs )τ + O(τ 2 )
(1.46)
donde
225z(1 + z 2 )2 − 1050z 3 (1 + z 2 ) + 945z 5
.
(1 + z 2 )11/2
(1.47)
si ahora hacemos el cambio de variable
(4)
′′′
VInv (z) = µf4 (z) = µf0 (z) = µ
τ −→ β cos(ωt)
y consideramos sólo los términos lineales en la expresión (1.46), tenemos que la
ecuación (1.44) se transforma en
z + µ [f3 (zs ) + f4 (zs )β cos(ωt)] z = 0.
¨
(1.48)
Los valores f3 (zs ) y f4 (zs ) están dados por las ecuaciones (1.45) y (1.47) respectivamente.
La ecuación (1.48) es una ecuación de Mathieu si hacemos un rescalamiento
del tiempo, en notación del apartado anterior, α seria igual a µf3 (zs ) y β a
µf4 (zs )β. De este modo, una oscilación paramétrica de la base da como resultado
una ecuación de Mathieu para la coordenada z vista localmente. Esto nos sugiere
cual será el comportamiento del sistema completo: esperamos que los valores de
los parámetros β y ω formen un diagrama de estabilidad para las soluciones del
Levitron que tenga una estructura similar a las de la Lenguas de Arnold.
Por otra parte, al añadir un término disipativo en la ecuación esperamos
también que la perturbación introducida en la base, calibrando adecuadamente
la amplitud y la frecuencia, introduzca energía y mantenga al trompo levitando
por mas tiempo. Por supuesto los valores de los parámetros β y ω deberán ser
encontrados numéricamente ya que el análisis local puede ser muy delicado.

21. Capítulo 2
Análisis Numérico Sobre las
Ecuaciones del Levitron
En este capítulo se llevará acabo el análisis numérico de las ecuaciones (1.18)(1.29), para ello será necesario escoger valores numéricos de las constantes involucradas, a saber a, c y µ. Seguiremos el trabajo de R. F. Gans para así tener
un punto de referencia con los resultados obtenidos, de este modo elegiremos
a = 0.089
y c = 0.139.
Estos valores corresponden a mediciones hechas sobre el modelo físico, siendo el
radio efectivo R = 34.7mm. Este radio, como se vio en el capítulo uno determina
los momentos inerciales del trompo.
Como vimos en el capítulo anterior, la constante |µ| está acotada inferiormente por 8.1880, elegiremos pues el valor de |µ| como esta cota inferior, pues
además tiene la ventaja de que los dos puntos de equilibrio del sistema linearizado coinciden en uno solo.
El siguiente paso es elegir un esquema numérico para integrar las ecuaciones.
Dado que las ecuaciones de movimiento encontradas en el capítulo anterior forman un sistema Hamiltoniano, resulta natural pensar que un integrador simpléctico podría funcionar bien. Sin embargo para los fines que perseguimos resulta
un poco limitada esa aproximación a las ecuaciones del Levitron pues cuando
introduzcamos un término disipativo a las ecuaciones, el integrador simipléctico perderá sentido y entonces tendremos que recurrir a otro esquema. Se ha
preferido pues, integrar las ecuaciones con un método numérico que nos permita
explorar el sistema una vez que las disipaciones y resonancias sean incorporadas.
Creemos también que no hay mucha ganancia en introducir un método simpléctico pues para tiempos no muy largos la preservación de energía en un sistema
Hamiltoniano no difiere mucho si se integra con un esquema Runge-Kutta o con
un simplético1 .
1 véase
De la Rosa [2]

22. 2.1 Modelo Hamiltoniano del Levitron
18
La rutina de integración que se eligió para el análisis numérico de las ecuaciones del Levitron es un método Runge-Kutta de paso variable y de orden 7 − 8
desarrollado por el grupo de sistemas dinámicos de la Universidad de Barcelona.
Un método de integración de paso variable resulta también conveniente pues no
estamos seguros si encontraremos regiones donde el sistema se vuelve rígido.
Un problema que podemos anticipar de la integración numérica de las ecuaciones del Levitron es el hecho de que las ecuaciones (1.22), (1.23) y (1.27) se
vuelven singulares cuando θ es cercana a 0 o a π lo cual nos conducirá a un error de ejecución. Para resolver esto lo que se hizo es mantener control sobre los
numeradores de los cocientes en cuestion, por ejemplo, en el caso de la ecuación
(1.22) lo que se hizo es mantener fija en 0 la entrada del campo correspondiente
a ψ cuando
|pψ − pφ cos θ| ≤ tol.
El mismo control se tuvo con los numeradores de los cocientes que se vuelven
singulares en las otras dos ecuaciones. El valor de tol fue calibrado numéricamente, encontrando que no habia diferencias significativas con valores menores
a 0.0001 por lo cual este valor fue el asignado a tol. Por supuesto, como se hizo
en el capítulo anterior resulta indispensable que pφ y pψ sean muy cercanas para
que el control que hacemos tenga sentido. Veremos que efectivamente las dos
velocidades, una asociada al ángulo de giro y la otra al de la precesión deben ser
cercanos para que el vuelo del trompo sea estable, esto corrrobora los resultados
encontrados por M. V. Berry. Es decir, debe existir un poco de precesión para
que la peonza tenga un comportamiento estable.
Con las constantes elegidas y el esquema numérico a seguir faltan sólo las
condiciones iniciales para comenzar. En virtud de la ecuación (1.33), tenemos
que para el valor de µ escogido, el punto de equilibrio es zc = 1.693848849 . . . ,
elegiremos éste como condición inicial.
2.1.
2.1.1.
Modelo Hamiltoniano del Levitron
Solución Simétrica
Como una primera simulación, elegiremos las velocidades angulares pφ =
pψ , el valor en el que fueron fijadas fue encontradro a través de exploraciones
numéricas, corroborando que velocidades de giro muy altas no estabilizan la
peonza, como ya lo señala M. V. Berry, el valor en el cual se fijaron fue 5. Todas
las demas posiciones y velocidades las hemos fijado en cero. Los resultados se
muestran en la figura 2.1.
Con la finalidad de encontrar regiones estables se hizo una exploración
numérica para calibrar mejor el valor de µ y de la zs . Se encontró que el valor
de µ donde hallamos mayor estabilidad es µ = 11.022. Una manera de corroborar esto analíticamente es proponer2 una solución al sistema que tenga poca
2 como
en el trabajo de R. F. Gans

23. 2.1 Modelo Hamiltoniano del Levitron
19
3.37
3.365
3.36
3.355
3.35
3.345
3.34
480
485
490
495
500
Figura 2.1: Estabilidad de la coordenada z para la solución simétrica
precesión, explícitamente proponemos
q = (r cos Ωt, r sin Ωt, h, α, Ωt, ωt)T
(2.1)
2
2
p = [−rΩ sin Ωt, rΩ cos Ωt, 0, 0, Ω(a sin α + c cos α) + cω cos α, c(ω + Ω cos α)]T
(2.2)
donde, uno puede elegir libremente la velocidad de giro ω y entonces quedan por
determinar las constantes r, α, h y Ω para que las ecuaciones de movimiento
sean satisfechas. De acuerdo con esta solución, las ecuaciones para q quedan
satisfechas automáticamente así como la ecuación para pψ . Las primeras dos
ecuaciones para p son satisfechas si
r=3
|µ|h sin α(1 + h2 )(h2 − 3)
.
(12h4 − 63h2 + 9)|µ| cos α + 2(1 + h2 )9/2 Ω2
(2.3)
Esta expresión para r es positiva, como lo marca el artículo de R. F. Gans, si
21 −
y Ω2 no excede a
√
393
8
1/2
= 0.3834 < h <
√
3
µ cos α(12h4 − 63h2 + 9)
.
2(1 + h2 )9/2
En este rango, el numerador de (2.3) es negativo, asi como el primer término
del denominador. Como consecuencia de la otra cota para el equilibrio zs ≥
1.693848849 . . . se infiere que
√
1.693848849 . . . < zs < 3 = 1.732050808 . . .

24. 2.2 Modelo del Levitron con Disipación
20
Sin embargo, la ecuación para r tambien es positiva si h es mayor o igual que
la raíz mas grande del polinomio en el denominador, es decir si
21 +
√
393
1/2
= 2.258988369 < h.
8
Esta cota para h no contradice la que originalmente teníamos, por lo cual si
elegimos como condición inicial zc = 3.34, tenemos de (1.33) que |µ| = 11.022.
Éstos son finalmente los valores con los que trabajaremos en adelante.
2.1.2.
Solución No Simétrica
Para el caso en el que la velociad de giro y la velocidad de la precesión
son diferentes pero muy cercanas se simuló con las mismas condiciones iniciales
salvo que se elegió pψ = 5.0001, en este caso las gráficas que se obtuvieron se
muestran en las figuras 2.2 y 2.3. Como se puede apreciar, a diferencia de la
3.37
3.365
3.36
3.355
3.35
3.345
3.34
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Figura 2.2: Estabilidad de la coordenada z para la solución no simétrica
solución simétrica las coordenadas (x, y) ya no permancen en el origen sino que
tienen cierta movilidad, sin embargo la estabilidad del trompo permanece, pues
la levitación se observa durante el mismo tiempo que para el caso simétrico. En
adelante trabajaremos con estos valores iniciales para las velocidades angulares
de giro y precesión.
2.2.
Modelo del Levitron con Disipación
La introducción de terminos disipativos en las ecuaciones de movimiento se
ha hecho en dos partes, una que está relacionada con la traslación de la peonza
y la otra que tiene su razón de ser en la rotación de la misma, así han sido
necesarias dos constantes positivas de fricción: CR y CT . Los términos disipativos que se han agregado a las ecuaciones (1.24)-(1.26) son −CT px , −CT py

25. 2.2 Modelo del Levitron con Disipación
21
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
Figura 2.3: Posición de las coordenadas (x, y) para la solución no simétrica
y −CT pz respectivamente. Esto es, que la fricción debida a la traslación de la
peonza es proporcional (con el signo negativo pues va en contra del movimiento
del cuerpo) a la velocidad con la que se desplaza. Dado que la velocidad con
la que gira el trompo es muy alta en relación con la velocidad de traslación,
resulta conveniente modelar esta fricción con un término cuadrático, de esta
manera los términos disipativos que se añadieron a las ecuaciones (1.27)-(1.29)
son −CR pθ |pθ |, −CR pψ |pψ | y −CR pφ |pφ | respectivamente. El uso del valor absoluto es sólo para conservar el signo de la velocidad de giro y así garantizar que
dichos términos actuan en oposición al giro del trompo. La elección del valor de
estas constantes se hizo haciendo distintas pruebas. En las figuras 2.4 y 2.5 se
muestran gráficas de las simulaciones numéricas efectuadas con CR = CT = 0.1.
Se puede observar como se mantiene en el aire por poco tiempo y luego el trompo
3.4
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
2.7
0
10
20
30
40
50
60
Figura 2.4: Inestabilidad de la coordenada z para la solución con disipación

26. 2.3 Modelo con Disipación y Forzamiento Paramétrico
22
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 2.5: Posición de las coordenadas (x, y) para la solución con disipación
cae. En la figura (2.5) se muestra como se pierde la posición estable del trompo
en el plano xy.
2.3.
Modelo del Levitron con Disipación y Forzamiento Paramétrico
Las gráficas de las simulaciones que se muestran en esta sección se obtuvieron
introduciendo un termino de resonancia paramétrica a la coordenada z sobre las
ecuaciones con disipación. Mas especificamente, lo que se hizo es lo siguiente:
iniciando la coordenada z en el punto de equilibrio encontrado en el capítulo
anterior y calibrado numéricamente en las secciones anteriores, se añadio un
término de la forma β cos Ωt, es decir se hizo el cambio
z −→ z + β cos Ωt.
La región del plano Ω−β que se eligió para hacer las simulaciones con el termino
forzante fue encontrada numéricamente observando las simulaciones obtenidas
en el caso del modelo con disipación. Se eligió de esta manera las frecuencias
y amplitudes que fueran resonantes para dicho sistema con CT = 0.01 y CR =
0.001.
La forma en la que se procedió fue la siguiente: se efectuaron simulaciones
para valores de β desde 0 hasta 0.005 con un paso de 0.001, es decir se simuló
para valores
β = n (0.001) n = 0, . . . , 500,
para cada uno de estos valores de β se hizo varió la frecuencia de oscilación Ω
desde 1 hasta 1.39 con un paso de 0.005, es decir se simuló para valores
Ω = 1 + n (0.005)
n = 0, . . . , 438,

27. 2.3 Modelo con Disipación y Forzamiento Paramétrico
23
esto da un total de 219, 000 integraciones. Cada integración se inició con un paso
de 0.001 para el método Runge-Kutta y un error de aproximación de 10−14 y
se integró siempre se mantuviera la siguiente desigualdad
|x| + |y| + |z − zeq | < 2.
(2.4)
donde zeq es el punto de equilibrio encontrado en secciones anteriores.
Todas las simulaciones se llevaron acabo en el cluster Abaco (de 54 procesadores) del Depto. de Matemáticas y Mecánica del IIMAS de la UNAM. Las
simulaciones tomaron casi 5 días en terminar.
Los resultados obtenidos se muestran en la figura 2.6. El eje horizontal corresponde a valores de β y el eje vertical a valores de Ω. Cada punto en la gráfica
corresponde a una simulación con ciertos valores de β y Ω y donde la solución
satisface la condición (2.4). En el color de cada punto de la gráfica está representado el tiempo de vuelo, siendo el rojo intenso soluciones cuyo tiempo de
vuelo fue cero y aquellos puntos en azul soluciones cuyo tiempo de vuelo llego
a las 906.0 unidades. En la figura inferior se fijo un umbral de 121 unidades, es
decir que los valores de los parámetros para los cuales la solución no levitó por
mas de 121 unidades no fueron graficados.
En esta gráfica se puede apreciar a simple vista que surge una estructura
de Lenguas de Arnold como la que se obtuvo en la sección donde se discutió la
ecuación de Mathieu con disipación. Esto corrobora nuestra intuición respecto
al diagrama de estabilidad que obtendríamos. Una observación interesente es
el hecho de las regiones que forman las lenguas corresponden a souluciones
que crecen exponencialmente, es decir corresponde a exitaciones de los modo
normales de rotación y traslación por lo que en lugar de caer el trompo mas
bien sale disparado y por ende levita poco tiempo (pues no satisface (2.4).
Las zonas estables del diagrama corresponden a soluciones amortiguadas de
la ecuación de Mathieu. Un hecho interesante es que en el caso de la ecuación de
Mathieu con disipación la zonas estables corresponden a soluciones que decaen
exponencialmente por lo que dichas soluciones no corresponderían con tiempos
de vuelo largos. La explicación de este fenomeno sólo puede venir de las interacciones no lineales de los modos rotacionales y traslacionales que contrarrestan
el decaemiento exponencial mediante el forzamiento paramétrico, estabilizando
de esta manera al trompo y logrando que vuele por mas tiempo.
La estructura de las Lenguas de Arnold se hace mas evidente en la segunda
figura, pues con el umbral inferior para el tiempo de vuelo de 121 unidades se
puede ver que las soulciones mas estables se encuentran en la región que esperabamos. En esta región de estabilidad se puede observar que existen soluciones
con tiempos de vuelo grandes y soluciones con tiempos de vuelo pequeños. Sin
embargo la densidad aparente de puntos azules en la región donde el tiempo de
vuelo es mayor a 121 unidades parece ser muy alta, sobre todo en la región
0 < β < 0.0625.

28. Conclusión
Dadas las consideraciones que hicimos para comenzar a integrar numéricamente las ecuaciones del Levitron los resultados que obtuvimos corroboran el
análisis hecho directamente sobre las ecuaciones. En el caso del modelo sin disipación, la solución simétrica se comporta como esperabamos, la coordenada z
oscila, como indica su linearización y las coordenadas (x, y) se mantienen fijas en el origen. Para el caso de la solución no simétrica, si las velocidades de
giro y de precesión son cercanas tambien se tiene la levitación persistente de
la peonza como lo muestran la gráficas de la sección correspondiente. Para el
caso de la solución con disipación es posible observar como los términos friccionantes hacen que la peonza caiga muy rapidamente. Finalmente el forzamiento
paramétrico introducido al sistema hace, para ciertos valores de los parámetros
β y Ω, que la peonza se mantenga estable incluso en presencia de disipación
hasta por un tiempo de 906 unidades como se ve en el diagrama de estabilidad
de la última sección, esto es: con forzamiento paramétrico se logró estabilizar
al trompo por un tiempo 15 veces mayor que el tiempo que levito en presencia
sólo de la disipación. Otra observación interesante es que el análisis hecho directamente sobre las ecuaciones locales para z se corrobora numéricamente al
observar el diagrama de estabilidad, pues efctivamente las Lenguas de Arnold
de ven levantadas del eje Ω. Cabe mencionar también que para valores pequeños
del parámetro β se tiene la mayor concentración de puntos azules, es decir de
soluciones que tienen un tiempo mayor de vuelo de la peonza. Esto se debe a
las interacciones no lineales del sistema completo, pues en la versión linearizada
estas región correspondería a soluciones que decaen exponencialmente.
El análisis numérico hecho indíca que, bajo todos los supuestos hechos y
aproximaciones efectuadas, por ejemplo al potencial magnetostático, es posible
estabilizar el vuelo del Levitron mediante una resonancia paramétrica aplicada
a la base magnética sobre la cual levita.

29. Bibliografía
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