El documento explica conceptos básicos sobre logaritmos, funciones continuas y discontinuas. Define logaritmos como la base elevada al exponente que da el número, y explica logaritmos en bases como 2, 3, 10 y e. También resume las propiedades de continuidad y discontinuidad de funciones, así como los tipos de discontinuidad.

1. *BASE DE UN LOGARITMO
Dada la base de el logaritmode unnúmero, éste es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el númeroe y el logarítmo.
Logaritmo en base 2
Logaritmo en base 3
Logaritmo en base 10 ó logaritmo decimal
En los logaritmos decimales noes necesario especificar la base.
log 10 = 1 101 = 10
log 1000 = 3 103 = 1000
log (1/10 000) = −4 10−4 = 1/10 000
Logaritmo natural o logaritmo neperiano
La base de los logaritmos naturales o neperianos es el número e.
Se designancon lnytambiéncon L.
ln 1 = 0 e0 = 1
Cambio de base

2. *CONTINUIDAD Una idea intuitiva de funcióncontinua se tiene al considerar que sugráfica es continua, en el sentido
que se puede dibujar sinlevantar el lápiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto Se dice que una funciónf(x) es continua en un punto x = a si ysólosi se
cumplenlastres condicionessiguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagendel punto coincida con el límite de la función en el punto.
Estudiar la continuidad de en x =2
f(2)= 4

3. Continuidad lateral
Continuidad por la izquierda
Una funciónf(x) es continua por la izquierda en el puntox = a si:
Continuidad por la derecha
Una funciónf(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:
Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha:

4. Continuidad de una función
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en
todos los puntos de su dominio.
La funciónes continua en − {3}. En x = 3 no es continua porque noestá definida.
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos soncontinuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los
puntos de división de los intervalos, por tantotienen que coincidir sus límites laterales.
La función es continua en .
Porue las funciones que la componen son polinómicas ylos límites lateralesenlos puntos de división coinciden.
*DISCONTINUIDAD Una función es discontinua en unpunto, x = a, si: 1.El punto, x = a, no tiene imagen.

5. La función es discontinua en x = 2 porque no existe imagen.
2. Que no exista el límite de la función en el punto x = a.
La función es discontinua en x = 2 porque no tiene límite.
3. Que la imagendel punto no coincida con el límite de la función en el punto.

6. La función es discontinua porque enx = 2 no coincide la imagen con el límite.
Tipos de discontinuidad Existentres tipos de discontinuidad:
1. Discontinuidad evitable Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe yéste es finito.
Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:
1. La función no está definida en x = a.
2. La imagenno coincide con el límite.

7. Cuandouna funciónpresenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para
convertirla en una función continua.
La dos funciones estudiadasanteriormente lasredefinimos de modo que:
2. Discontinuidad inevitable
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existenlos límites laterales en x = a, perosondistintos.
Salto
Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

8. Según el tipode salto nos encontramos condos tipos de discontinuidad inevitable:
1. Discontinuidad inevitable de salto finito
La diferencia entre los límites laterales es un número real.
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3. 2. Discontinuidad
inevitable de saltoinfinito La diferencia entre los límites laterales es infinito.

9. En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.
3. Discontinuidad esencial
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe algunode los límites laterales enx = a.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la
izquierda.
*FUNCIÓN COSECANTE
La función cosecante asocia a cada númeroreal, x, el valor de la cosecante del ángulocuya medida en radianes es x. f(x)
= cosec x

10. Propiedades de la función cosecante
Dominio:
Recorrido: (- ∞, -1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Creciente en:
Decreciente en:
Máximos:
Mínimos:
Impar: cosec(-x) = -cosec x
Cortes con el eje OX: No corta
*FUNCIÓN COSENO
La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno delángulocuya medida enradianeses x.
f(x) = cosen x
Propiedades de la función coseno
Dominio:

11. Recorrido: [-1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Creciente en:
Decreciente en:
Máximos:
Mínimos:
Par: cos(-x) = cos x
Cortes con el eje OX:
*FUNCIÓN SENO
La función seno asocia a cada númeroreal, x, el valor del seno delángulocuya medida enradianeses x.
f(x) = sen x
Propiedades de la función seno
Dominio:
Recorrido: [-1, 1] Período: Continuidad: Continua en
Creciente en:
Decreciente en:
Máximos:
Mínimos: Impar: sen(-x) = -senx
Cortes con el eje OX: