complejos

1. Instituto Tecnológico de Saltillo
Álgebra Lineal
M.C. Ignacio Dávila Ríos
Periodo Enero - Junio 2013

2. Temario:
Unidad I. Los Números Complejos.
Unidad II. Matrices y Determinantes.
Unidad III. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Unidad IV. Espacios Vectoriales.
Unidad V. Transformaciones Lineales.
Ing. Ignacio Dávila Ríos

3. Unidad I. Números Complejos.
Competencias a desarrollar:
Manejar los números complejos y las diferentes
formas de representarlos, así como las
operaciones entre ellos para tener una base de
conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales
y en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Ing. Ignacio Dávila Ríos

4. Unidad I. Números Complejos.
1.1 ¿Cuáles son los números complejos?
En Cálculo Diferencial e integral se hizo uso de una
gama de números, llamados Números Reales, que
son:
Los Números Racionales y los Irracionales y los
Racionales a su vez se dividen en Naturales y
Enteros.
Ing. Ignacio Dávila Ríos

5. Los Números Complejos.
Para Álgebra Lineal se hará uso además de estos
números los también llamados Números Complejos,
o también conocidos como Números Imaginarios.
¿Cuáles son los Números Complejos o de donde
provienen?
Ing. Ignacio Dávila Ríos

6. Considere el problema de encontrar las raíces de
los polinomios
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula
cuadrática y se obtiene
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ing. Ignacio Dávila Ríos

7. En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
Caso 1. Si > 0, existen dos raíces reales.
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ing. Ignacio Dávila Ríos

8. En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
Caso 1. Si > 0, existen dos raíces reales.
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ing. Ignacio Dávila Ríos

9. Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
Ing. Ignacio Dávila Ríos

10. Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
1 5 6
𝑥1,2 =
−5 ± (5)2 − (4)(1)(6)
2(1)
𝑥1,2 =
−5 ± 25 − 24
2
𝑥1,2 =
−5 ± 1
2
Ing. Ignacio Dávila Ríos

11. Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =1 5 6
𝑥1,2 =
−5 ± 1
2
𝑥1 =
−5 + 1
2
𝑥2 =
−5 − 1
2
𝑥1 =
−5
2
+
1
2
𝑥2 =
−5
2
−
1
2
𝑥1 = −2 𝑥2 = −3
Ing. Ignacio Dávila Ríos

12. En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
Caso 2. Si = 0, se obtiene una sola raíz
(de multiplicidad 2a) 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ing. Ignacio Dávila Ríos

13. En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
Caso 2. Si = 0, se obtiene una sola raíz
(de multiplicidad 2a) 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ing. Ignacio Dávila Ríos

14. En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
Caso 3. Para manejar el caso que < 0, se
introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen
las raíces negativas.
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ing. Ignacio Dávila Ríos

15. En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
Caso 3. Para manejar el caso que < 0, se
introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen
las raíces negativas.
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Ing. Ignacio Dávila Ríos

16. Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
Ing. Ignacio Dávila Ríos

17. Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
𝑥1,2 =
−2 ± −16
2
𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =
1 2 5
Ing. Ignacio Dávila Ríos

18. El problema se presenta cuando el radicando se
hace negativo o su valor es menor que cero.
Unidad imaginaria. Que esta dada por la siguiente
expresión:
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑏2
− 4𝑎𝑐
𝒊 = −𝟏
Y proviene del hecho de que:
𝒊 𝟐 = −𝟏
Ing. Ignacio Dávila Ríos

19. Entonces si 𝑖2
= −1 y para valores de 𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0
se tiene que:
𝑏2 − 4𝑎𝑐 =
Y las dos raíces de la fórmula cuadrática para
valores de 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 serían:
𝑥1 = −
𝑏
2
+
4𝑎𝑐 − 𝑏2
2
𝑖 𝑥2 = −
𝑏
2
−
4𝑎𝑐 − 𝑏2
2
𝑖
(4𝑎𝑐 − 𝑏2)(−1) = 4𝑎𝑐 − 𝑏2 ∙ 𝑖2 = (4𝑎𝑐 − 𝑏2) ∙ 𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos

20. Regresando al ejemplo 2 donde 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 y que
en este caso el resultado es −16 podemos
expresarlo como sigue:
𝑥1 =
−2 + 4𝑖
2
−16 = (16)(−1) = 16 −1 = 4𝑖
𝑥2 =
−2 − 4𝑖
2
𝑥1 = −1 + 2𝑖 𝑥2 = −1 − 2𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos

21. Un número complejo es una expresión de la forma:
𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽
Donde 𝛼 𝑦 𝛽 son números reales.
A 𝛼 se le denomina la parte real de z, (Re z).
A i𝛽 se le denomina parte imaginaria de z, (Im z).
En ocasiones a esta representación se le denomina
forma cartesiana o rectangular del número
complejo.
Ing. Ignacio Dávila Ríos

22. Regresando al ejemplo 2 tenemos dos raíces
complejas, que son:
𝑥1 = 𝑥2 =−1 + 2𝑖 −1 − 2𝑖
Números
Complejos
Ing. Ignacio Dávila Ríos

23. 𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽
Si el valor de 𝛽 = 0 entonces 𝑧 = 𝛼 es decir un
número real.
Por tanto podemos decir que el conjunto de los
números reales es un subconjunto de los números
complejos
Ing. Ignacio Dávila Ríos

24. Ejemplo 3.
Sean 𝑧 = 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖
Calcular:
a) 𝑧 + 𝑤,
b) 3𝑤 − 5𝑧
c) 𝑧 ∙ 𝑤
Los números complejos se pueden sumar y
multiplicar usando las reglas normales del álgebra.
Ing. Ignacio Dávila Ríos

25. Ejemplo 3(a).
Sean 𝑧 = 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖
Calcular:
a) 𝑧 + 𝑤
𝑧 + 𝑤 = 2 + 3𝑖 + 5 − 4𝑖 = 2 + 5 + 3𝑖 − 4𝑖 =7 − 𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos

26. Ejemplo 3(b).
Sean 𝑧 = 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖
Calcular:
b) 3w − 5𝑧
3𝑤 − 5𝑧 = 15 − 12𝑖 − 10 + 15𝑖
15 − 10 + −12𝑖 − 15𝑖 = 5 − 27𝑖
3𝑤 = 3 5 − 4𝑖 = 15 − 12𝑖
5𝑧 = 5 2 + 3𝑖 = 10 + 15𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos

27. Ejemplo 3(c).
Sean 𝑧 = 2 + 3𝑖 y 𝑤 = 5 − 4𝑖
Calcular:
c) 𝑧 · 𝑤
10 −8𝑖 +15𝑖 −12𝑖2 =
𝑧 · 𝑤 = 2 + 3𝑖 · (5 − 4𝑖) =
2 5 + 2 −4𝑖 + 3𝑖 5 + 3𝑖 −4𝑖 =
10 +7𝑖 +(−12) −1 = 22 + 7𝑖
Ing. Ignacio Dávila Ríos

28. Instituto Tecnológico de Saltillo
Realizado por: M.C. Ignacio Dávila Ríos
Enero 2013
idavila15@hotmail.com