Este documento presenta 24 ejercicios sobre elementos básicos de geometría como puntos, líneas, planos y ángulos. Explica conceptos como puntos coplanares y no coplanares, líneas y planos que pasan por puntos dados, ángulos suplementarios y complementarios, y relaciones entre segmentos y ángulos. También incluye demostraciones geométricas sobre relaciones entre puntos, líneas y ángulos.

1. 1
UNIDAD 1 Y 2
ELEMENTOS BASICOS DE GEOMETRIA, SEGMENTOS Y ANGULOS
1. ¿Por qué puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a un plano?
GRAFICA 1
Puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a
un plano asumiendo la existencia del espacio o de la
existencia de otro plano paralelo al primero.
2. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo cuatro puntos no coplanares?. Explique.
GRAFICA 2
Podemos garantizar la existencia de mínimo cuatro
puntos no coplanares, al garantizar la existencia de
otro plano en el espacio.
3. ¿Por qué dos puntos siempre son colineales?.
GRAFICA 3
Dos puntos A, B siempre serán colineales porque
podemos garantizar la existencia de una línea que los
une.
4. ¿Tres puntos siempre son colineales?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 4
No podemos garantizar que tres puntos en el
plano siempre sean colineales, en este caso a y

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5. ¿Cuántos planos pasan por un punto dado? Ilustre.
GRAFICA 5
Por un punto pasan infinitas rectas, una recta está
contenida en infinitos planos; por lo tanto podemos
asegurar que por un punto pasan infinitos planos.
6. ¿Cuántos planos pasan por tres puntos colineales dados?. Ilustre.
GRAFICA 6
Por dos puntos pasa una sola línea recta; pero dicha
recta está contenida en infinitos.
7. Diga una condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan.
GRAFICA 7
Dos planos , serán coincidentes si tienen tres
puntos comunes. En este caso los puntos A, B, C
pertenecen a los dos planos.
8. ¿Si una recta y un plano tienen dos puntos comunes, la recta puede tener algún punto que no
pertenezca al plano? ¿Por qué?
GRAFICA 8
Observemos la gráfica la recta L y el plano tienen
dos puntos comunes A , B por lo tanto todos los
puntos de la recta son comunes al plano

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9. ¿Dos rectas coplanares tienen que ser paralelas?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 9
Dos rectas coplanares no necesariamente tienen que
ser paralelas, pueden tener un punto común y estar en
el mismo plano
10. ¿Dados cuatro puntos no colineales, cuántas rectas pueden trazarse tales que cada una
contenga mínimo dos de ellos?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 10
Si tenemos cuatro puntos A , B, C, D no colineales y no
necesariamente coplanares entonces tendremos como
caso extremo tres puntos coplanares A , B, C y D
externo al plano , desde D podemos trazar tres
líneas dirigidas hacia A, B, C y en el plano podemos
construir otras tres líneas entre A, B, C en total 6
rectas
11. ¿Dados cuatro puntos no coplanares, alguna tripleta de ellos serán colineales?. Explique.
Como podemos observar en la gráfica 10 A, B, C, D no son coplanares y las combinaciones
( )( ) ( ) ( ) están contenidas en diferentes planos y ninguna de las cuatro
posibilidades tiene que ser tres puntos colineales
12. ¿Dados n puntos, ( nZ , n  4), con ninguna cuarteta coplanares, cuántos planos pueden
trazarse tales que cada uno contenga tres de ellos?
Si tomamos con n = 4 con el caso de la gráfica 10 observamos cuatro planos, si tomamos otro punto E
por fuera de los cuatro planos se forma otra serie de planos tomando el punto E con dos puntos de los
anteriores ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) en total 36, si continuamos podemos
formar n +1 planos con cuartetas no coplanares.
13. Dados dos planos paralelos 1 y 2, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, tales que L1  1 y L2
 2.
GRAFICA 11
En la gráfica podemos observar , planos
paralelos , donde además =

4. 4
14. Dados dos planos 1 y 2 secantes en la recta L, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, distintas
de L, tales que L1  1 y L2  2 .
GRAFICA 12
en la gráfica 12 podemos observar que
donde y donde
15. Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100, 80, n, 140,
(180n).
Recordemos que el suplemento de un ángulo es un ángulo cuya medida es por lo tanto
tenemos:
-
-
( )
( ) ( )
16. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto mide cada
uno?
suplementarios
( ) 180°
2
2 180° - 30°
2
17. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la
medida de su suplemento.
Recordar:
- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
180
= 5veces
180

5. 5
18. Si la medida del complemento de un ángulo es un tercio de la medida del suplemento del ángulo,
¿cuál es la medida del ángulo?.
Recordar:
- Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°
- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
El presente ejercicio podemos solucionarlo generando dos ecuaciones con dos incógnitas y
aplicando los métodos de sustitución o igualación
( )
( )
( )
Si el resultado obtenido en ( ) lo remplazamos en ( ) obtenemos que
19. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas coplanares, tales que AOB=COD y BOC=DOA.
Demostrar que tanto OA y OC como OB y OD, son semirrectas opuestas.
GRAFICA 13
Recordar que dos semirectas opuestas forman un
ángulo de 180°
Dividiendo en ambos términos de la igualdad por 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ os
= 180

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20. Sean OX y OY las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes AOB y BOC, tales que
AOBBOC=36. Sea OZ la bisectriz del XOY. Calcular el ángulo que hace OZ con:
a. La semirrecta OB.
b. La bisectriz OK del AOC.
GRAFICA 14
⃗⃗⃗⃗⃗ bisectriz de
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Bisectriz de BOC
⃗⃗⃗⃗⃗ Bisectriz de
Hallar =
( )
= –
= ( )
= ( ( ))
=
la solución del literal b. Se deja al estudiante
21. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un mismo semiplano se trazan las semirrectas OA y
OB y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Calcular las medidas de los ángulos,
cuando la bisectriz del ángulo AOB es perpendicular a la recta XY y si las bisectrices de los
ángulos extremos forman un ángulo de 100.
GRAFICA 15
1. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃡⃗⃗⃗⃗
2. } definición de directriz
3.
4. } ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5. 2 reemplazando ( )
6. 2

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22. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD y OE forman cinco ángulos adyacentes
consecutivos. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y
además OD es la prolongación de la bisectriz del AOB.
GRAFICA 16
1. ̂ ̂ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Bisectriz
2. Datos {
3. ⏟ +
4.
5. ( )
( ) ( )
23. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4OA+ 3OC)/7
⃗⃗⃗⃗⃗ =?
1. 4 =3 Por propiedad de las igualdades
4 - 3 = 0
2. } Resta de segmentos
3. 4( ) -3 ( )= 0 Reemplazando ( ) en ( )
4.
}
Propiedad de las igualdades

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24. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que:
OB = (n OA+ m OC)/(n + m)
Al igual que el ejercicio anterior ejercicio
partamos de
( ) ( )
( ) ( )
Nuevamente
( ) ( )
( ) – ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )