Tablas de verdad proposiciones matemáticas

1. TABLAS DE VERDAD
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de
los signos lógicos, ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ ,como: no, o, y, si…entonces,
sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al
sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de
estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia,
las tablas de verdad constituyen un método de decisión para
chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una
proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la
proposición negada.
P ¬ P
1 0
0 1
Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos
componentes.
P Q P∨ Q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción
son ciertas, la conjunción es cierta.
P Q P ∧ Q
1 1 1
1 0 0

2. 0 1 0
0 0 0
Condicional o Implicación: El condicional solamente es falso
cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De
la verdad no se puede seguir la falsedad.
P Q P→ Q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Bicondicional o Equivalencia: El bicondicional solamente es
cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.
P Q P↔ Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Se denomina tautología una proposición que es cierta para
cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto,
la última columna de su tabla de verdad estará formada
únicamente por unos.
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una
proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus
componentes. La última columna de la tabla de verdad de una
contradicción estará formada únicamente por ceros.
Ejercicios 1.3

3. 1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es
verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una
las proposiciones siguientes?
 P∧ Q R → P S →¬ P
 R∨ P P →Q R→ (S→ P)
 R ∧ P P → P ∨ S P∨ S → (Q ∧ ¬P)
 S∨¬ P ¬ P → Q ∧ R Q ∧ ¬ P → R∧ Q
2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones
anteriores, en los siguientes casos?
 Si P es falsa.
 Si P es falsa, Q es verdadera y R es verdadera.
3. Sean P, Q y R fórmulas , entonces:
 Si R∨ P → Q ∧ P es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse
de R y de Q?.
 Si Q ⇒Q∧ P es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de
Q?.
 Si R ∧ P⇒Q ∧ P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
 Si (Q∨ R) → (P∧Q)∨ R es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P,
Q y R?.
 Si (P⇒ Q)⇒ ( R∨ P⇒ R∨ Q) es verdadera; ¿Qué puede
afirmarse de P, Q y R?
4. Sean P, Q y R fórmulas. Determinar cuales de las siguientes
proposiciones son tautologías:
 P ∧Q → P ∧R (P →Q ) →( ¬ Q →P )
 P →P ∧Q (P ↔Q) ∧(P ∧ ¬Q)
 P ∧ ¬(Q ∨ P) P ∧ ¬((P ∨ Q) ∨ R)
 (P →(Q ∨ ¬ P)) →¬Q P ∨ (¬P ∨ R)

4. REGLAS DE PRUEBA. (MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN).
Teóricamente, todos los teoremas de la lógica proposicional se
pueden demostrar utilizando solamente los axiomas y las reglas
de validez; sin embargo, se establecen reglas de prueba y
métodos de demostración con el fin de abreviar el proceso
deductivo.
A continuación se presentan los principales métodos de
demostración y reglas de prueba del cálculo proposicional.
1.4.1 Método directo o de Hipótesis auxiliar. Este método se
utiliza para la demostración de implicaciones, y dice así: Sean R
y S fórmulas. Si el suponer que R es verdadera, se puede hacer
una demostración de que S es verdadera, entonces la implicación
R⇒ S es una fórmula verdadera.
Justificación: La tabla de verdad del condicional muestra que
con antecedente verdadero, hay implicación, sólo en el caso en el
que el consecuente es verdadero.
Esquema Operativo General: Para demostrar que una fórmula
del tipo
R⇒S es teorema, se procederá así:
 Se supone que el antecedente R es verdadero. A R se le
llama hipótesis auxiliar.
 A partir de la hipótesis, se construye un argumento lógico
en el cual se pueden utilizar los axiomas y los teoremas ya
probados, mediante la aplicación de las reglas de validez,
para llegar a la fórmula S como conclusión o tesis.
 En este punto concluye la prueba y queda establecida la
verdad de R⇒S.