Centro de masa, centroide, etc

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD "FERMIN TORO"
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO
MECÁNICO
Mecánica Estatica
INTEGRANTES
·Herrera Cesar
C.I.: V-26.261.720
·
Cabudare, a los 29 días de Noviembre del 2016.

2. CENTROIDE.
El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su
localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas
para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo.
Volumen Área Línea
X = " x dv Y = " y dv Z =
" z dv
" dv " dv " dv
X = " x dA Y = " y dA Z =
" z dA
" dvA " dA " dA
X = " x dL Y = " y dL Z =
" z dL
" dL " dL " dL
VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización
del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los
momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas.
AREA. De manera semejante, el centroide para el área para el área superficial de
un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el área en
elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aérea
en torno a los ejes de coordenadas a saber.
LINEA. Si la geométrica del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la
forma de una línea, la manera de encontrar su centoide es con la formula.
En todos los casos anteriores la localización del centroide no está
necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas
pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de
simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de
la forma estará lo largo del eje.

3. CENTRO DE MASAS.
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de
las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el
sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un
sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m...
CALCULO DE CENTRO DE MASAS.

4. Para tratar de comprender y calcular el movimiento de un objeto, suele resultar
más sencillo fijar la atención en el centro de masas. Por ejemplo, si se arroja una
varilla al aire, ésta se mueve de forma compleja. La varilla se mueve por el aire y
al mismo tiempo tiende a girar. Si se siguiera el movimiento de un punto situado
en el extremo de la varilla, su trayectoria sería muy complicada. Pero si se sigue el
movimiento del centro de masas de la varilla, se comprueba que su trayectoria es
una parábola que puede describirse matemáticamente con facilidad. El complicado
movimiento del extremo de la varilla puede describirse como una combinación de
su rotación en torno al centro de masas y del movimiento parabólico de éste. El
centro de masas también puede ser un concepto útil cuando se estudia el
movimiento de sistemas complicados que están formados por muchos objetos, por
ejemplo, el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
Tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la
posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la
masa mayor.
Las formulas de centros de masas, las podemos utilizar diariamente en
actividades comunes, Con el centro de masa, podemos hallar en donde esta
concentrada la masa de un cuerpo. Cuando se hace una practica de laboratorio,
es necesario hacer más de una prueba, ya que así se disminuyen los índices de
errores.
CENTRO DE GRAVEDAD.
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas
las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un
cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante

5. aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de
todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el
centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la
gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo
producen un momento resultante nulo.
El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto
material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado
en el centro de la esfera, la cual no pertenece al cuerpo.
La resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas
que constituyen un cuerpo puede reemplazarse por una fuerza única, , esto es, el
propiopeso del cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto
equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales
(sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, , con tal de que
sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura.
Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical
que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos
diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo.
Además, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá
un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante,
si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera
de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y
el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una
rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.

6. MOMENTO DE INERCIA.
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional
de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar
que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en
rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de
la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las
fuerzas que intervienen en elmovimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el
caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular
longitudinal de un sólido rígido.
OBJETIVOS.

7.  Medir el momento de inercia de un cuerpo.
 Comprobar el teorema de los ejes paralelos.
TEOREMA DE STEINER.
Teorema de los ejes paralelos o simplemente teorema de Steiner es
un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido
rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el
eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular
(r) entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo momento de
área de una sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea
conocido.
Donde:
Ieje - Segundo momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de
masa.
I(CM)eje - Segundo momento de inercia para el eje que pasa por el centro de

8. gravedad.
A - Área de la sección transversal.
d - Distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad.
Rotación de sólidos. Momento angular y momento de inercia
Una de las partes clásicas de la mecánica es el estudio de los movimientos de
rotación, en particular, el análisis del comportamiento de los sólidos rígidos
sometidos a giros y desplazamientos. En estos problemas se aplican los principios
de la mecánica de Newton, y adquieren especial relevancia conceptos y
magnitudes físicas como el momento angular y el momento de inercia, que es
característico de cada sólido.
Dinámica de rotación
Se llama rotación al movimiento de un cuerpo con respecto a un eje de giro interior
o externo al mismo. Normalmente, en la rotación de los cuerpos actúan diversos
tipos de fuerzas (de arrastre, centrales, de rozamiento) que determinan los grados
de movimiento (libertad) y las limitaciones al mismo, llamadas ligaduras.
En el estudio de la rotación se maneja como magnitud fundamental el momento
angular. Para un sistema de partículas, y con respecto a un origen de referencia,
el momento angular total LW se define como la suma de los momentos angulares
de cada partícula para dicho punto. Es decir:
siendo el vector de posición de cada partícula, mi su masa y vi su velocidad.
La variación del momento angular con respecto al tiempo se conoce por momento
total de las fuerzas del sistema de partículas:
Rotación de sólidos rígidos
Si en un cuerpo extenso se considera que las partículas que lo constituyen
conservan en todo momento posiciones relativas fijas, el sistema resultante se
denomina sólido rígido. En este sistema la velocidad angular de todas sus
partículas es la misma, con independencia del eje de giro.
Momento angular de un sólido rígido
Como la velocidad angular de giro de un sólido rígido es idéntica para todas sus
partículas constituyentes, el momento angular del sólido vendrá dado por la
expresión:
donde w es la velocidad angular y el vector de posición de la partícula i con
respecto al eje de giro. Esta expresión se puede desarrollar para convertirse en la
siguiente (donde hi es la altura de cada partícula con respecto al origen):

9. El primer miembro de esta expresión es la componente longitudinal del momento
angular (simbolizada por L||), mientras que el segundo es su componente
transversal (L^).
Momento de inercia
Por definición, el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido
se denomina momento de inercia I, y se expresa como:
El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen en un sistema
físico, sino tan sólo de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.
Teorema de Steiner
En la determinación de los momentos de inercia de los cuerpos se aplica con
frecuencia el llamado teorema de Steiner, que establece una relación entre el
momento de inercia I’ con respecto a un eje arbitrario y el momento de inercia I,
medido según un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masas.
Matemáticamente, el teorema de Steiner se expresa como:
donde a es el módulo del vector que va perpendicular del eje arbitrario al que pasa
por el centro de masas.
Ilustración del teorema de Steiner o del eje paralelo.
Cálculo de momentos de inercia
Para facilitar el cálculo de los momentos de inercia se aplican varias propiedades
elementales de carácter geométrico:
Aditividad, según la cual el momento de inercia de un sólido complejo puede
calcularse como la suma de los momentos de inercia de las formas geométricas
elementales que lo constituyen.
Reordenación de las partes del sólido, según la cual el momento de inercia de un
cuerpo equivale al de otro sólido conocido en el que se pueda transformar por
redistribución de sus formas geométricas elementales.
Simetría, que permite descomponer un sólido en varias partes simétricas que
contribuyen por igual al momento de inercia global.
Eje de simetría
Los sólidos de revolución mantienen un mismo aspecto cuando giran en torno a su
eje de revolución. En tal caso, se dice que tienen simetría axial, con respecto a un
eje, y la componente transversal de su momento angular total es nula.
Definición gráfica de la velocidad angular con respecto a un eje de giro.

10. Tabla de momentos de inercia de sólidos homogéneos.
Ejemplo gráfico de suma y resta de momentos de inercia. En sólidos de geometría
compleja (a), se fragmenta el sólido en componentes de momento de inercia
conocido (b).
CIRCULO DE MOHR
EL CIRCULO DE MOHR es una técnica usada en ingeniería y geofísica para
representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella
momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las
características de una circunferencia (radio, centro, etc).también es posible el
cálculo de esfuerzos cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Círculos de mohr para representar un estado de tensión tridimensional en un
punto. Circunferencia de mohr para esfuerzos Caso bidimensional En dos
dimensiones, La circunferencia de mohr permite determinar la tensión máxima y
mínima partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos
ángulos que forman 9Oº MEDIDA 1: (∂x¸T) MEDIDA 2: (∂y¸T) NOTA: el eje vertical
se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos
negativos se encuentran en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el
eje horizontal representa la tensión normal (∂) y el eje vertical representa la
tensión cortante o tangencial (T) para cada uno de los planos anteriores. Los
valores de la circunferencia quedan representados de las siguientes maneras.
•centro del círculo de mohr: C:=( ∂med, O)= (∂x+∂y/2,0)