Tema Geometria

Geometría
La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho
segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir
como el lugar geométrico cuyos puntos son equidistantes a los extremos del
segmento.
Circuncentro
El Circuncentro es el punto de unión de las mediatrices de los
lados de un triángulo y, por lo tanto, dista la misma distancia de
todos sus vértices. Para obtenerlo debemos trazar las mediatrices
a los lados de ese trángulo.
Es el centro de la circunferencia Circunscrita a ese triángulo.

Geometría
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del
ángulo lo divide en dos partes iguales.
Incentro
El Incentro es el punto de unión de las bisectrices de los
lados de un triángulo y, por lo tanto, dista de la misma
distancia de todos sus lados. Para obtener este punto
debemos trazar las bisectríces de los ángulos del triángulo
Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Geometría
La mediana de un triángulo es un segmento de línea dibujado desde
un vértice al punto medio del lado opuesto del vértice.
Baricentro
El Baricentro de un triángulo es el punto de intersección de
las medianas del mismo. Para obtenerlo debemos trazar las
medianas del mismo, cada vértice unido al medio del lado
opuesto.

Geometría
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que
va desde el vértice opuesto a este lado. También puede entenderse
como la distancia de un lado al vértice opuesto.
Ortocentro
El Ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de
las tres alturas del triángulo. Por lo tanto, para representar el
ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos
quedamos con el punto en el que se intersecan.

Geometría
Si un triángulo es equilátero entonces circuncentro, baricentro y ortocentro coinciden. En otro caso Euler
demostró que esos tres puntos están siempre alineados. A la línea que pasa por esos puntos se la denomina
línea de Euler del triángulo.
La Línea de Euler

Geometría
El Teorema de Tales nos dice que si dos rectas, no necesariamente paralelas, son
cortadas por un sistema de rectas paralelas, entonces los segmentos que resultan
sobre una de las dos rectas son proporcionales a los correspondientes segmentos
obtenidos sobre la otra.
Teorema de Tales
DF
CE
BD
AC
OF
OE
OD
OC
OB
OA


Geometría
Se llama recíproco del Teorema de
Tales al que se ilustra en la imagen,
donde se verifica la igualdad
mencionada.
Teorema de Tales
OD
OC
OB
OA


Geometría
Dos triángulos están en posición de
Thales si tienen un ángulo común y los
lados opuestos a ese ángulo son
paralelos. Como sucede con el resto de
los polígonos, si dos triángulos que se
puedan colocar en posición de Thales
entonces son semejantes.
Teorema de Tales
B´C´
BC
A´C´
AC
A´B´
AB


Calcula X, Y y Z en el siguiente dibujo...
Teorema de Thales
3
8
6
2440
x 


cm10
xcm4
cm6
cm4 

 x46410 
6x2440 
Geometría

¿Son iguales estos
dos triángulos?
NO
Son semejantes
Al igual que estos
2
Geometría

La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más
triángulos sean semejantes. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus
ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son
proporcionales.
Geometría
B´C´
BC
A´C´
AC
A´B´
AB


Una homotecia es una transformación geométrica que, a partir de un punto fijo O,
multiplica las distancias por un mismo factor. En la siguiente imagen se muestra un
polígono P, de color azul, al que se le ha aplicado una homotecia de razón k (en este caso
k=2) y centro O utilizando Geogebra, obteniendo el polígono rojo.
Homotecia
EÁ´
EA
DÉ´
DE
C´D´
CD
BĆ´
BC
A´B´
AB

Cumpliéndose que…
2OAOA´
Geometría

A efectos prácticos una homotecia y una
semejanza son lo mismo, y por tanto, se opera
igual en una que en otra. Siendo un poco más
exactos, en una homotecia siempre hay un
centro de homotecia definido, mientras que en
la semejanza se puede utilizar cualquier punto.
B´C´
BC
A´C´
AC
A´B´
AB

Geometría

Un pantógrafo es un mecanismo
articulado basado en las propiedades de
los paralelogramos; este instrumento
dispone de unas varillas conectadas de
tal manera que se pueden mover
respecto de un punto fijo (pivote). Se
ideó originalmente para reproducir de
forma manual dibujos originales a
distinta escala, aunque el término ha
pasado a designar de forma genérica
cualquier sistema cuadrangular de
varillas articuladas.
Pantógrafo
Geometría

Si dos triángulos son semejantes, entonces tienen sus ángulos
respectivamente congruentes (tienen las mismas dimensiones) y
los lados correspondientes son proporcionales.
Razón de semejanza
Geometría

Por esa razón de semejanza podemos distinguir la escuadra y el
cartabón aunque tengan diferentes tamaños, sus ángulos son
iguales.
Razón de semejanza
Geometría

Teorema de Pitágoras
catet
o
catet
o
El triángulo rectángulo es un
polígono de tres lados que tiene
uno de sus ángulos recto (90º)
El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados
de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos
dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.
c
b
Los elementos de un triángulo rectángulo
son: los dos lados contiguos al ángulo
recto, b y c (cada uno de ellos es un
cateto), y el lado mayor a, opuesto al
ángulo recto, que es la hipotenusa.90º
Geometría

El Teorema de Pitágoras dice que: «En todo
triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos«.
Geometría
222
cch 
222
catetocatetohipotenusa 
a
b
En el caso de la
ilustración…
222
abc 
Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el
área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros
dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos respectivamente.

Calcula el lado que falta en el triángulo rectángulo con ángulo
.
Ejemplos
14,6h 
222
cch  222
441h 
22
414h 
Calcula el lado que falta en el triángulo rectángulo con ángulo
. 222
cch  222
4c10 
22
510c 222
410c 
7,8c 
Geometría

(Isla de Samos, actual Grecia, 572 a.C. - Metaponto, hoy
desaparecida, actual Italia, 497 a.C.) Filósofo y matemático
griego. Aunque su nombre se halla vinculado al teorema de
Pitágoras y la escuela por él fundada dio un importante
impulso al desarrollo de las matemáticas en la antigua
Grecia, la relevancia de Pitágoras alcanza también el
ámbito de la historia de las ideas: su pensamiento, teñido
todavía del misticismo y del esoterismo de las antiguas
religiones mistéricas y orientales, inauguró una serie de
temas y motivos que, a través de Platón, dejarían una
profunda impronta en la tradición occidental.
Pitágoras (fuente.- www.biografiasyvidas.com/biografia/p/pitagoras.htm)
Geometría

La espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de
Einstein o espiral de raíces cuadradas (será por nombres) es una espiral formada por
triángulos rectángulos contiguos, atribuida a Teodoro de Cirene. A partir de las raíces de los
números enteros y del Teorema de Pitágoras es como se desarrolla la espiral que lleva su
nombre.
Geometría

Teorema de los catetos
Relaciona los catetos (b y c) con la hipotenusa (a) y las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa (m y n). Siendo m la proyección del cateto b sobre la
hipotenusa y n la del cateto c. Véase dibujo.
Geometría






nac
mab
catetoslosdeTeorema 2
2

Teorema de la altura
Relaciona la altura (h) con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m
y n) .Siendo m la proyección del cateto b sobre la hipotenusa y n la del cateto c.
Véase dibujo. La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que
va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede
entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.
Geometría
mnhAlturaladeTeorema 2


Polígono
Geometría
Un polígono es una figura geométrica plana limitada al menos por tres segmentos rectos
consecutivos no alineados llamados lados.
Por ejemplo, un pentágono es un polígono de 5 lados.
Un polígono se llama regular si todos sus
lados tienen la misma longitud y todos sus
ángulos interiores tienen la misma medida.
Un polígono es irregular si se puede
definir como polígono pero sus lados
no tienen la misma longitud.

Polígono Regulares Geometría
Triángulo
Cuadrado
Heptágono
Pentágono
Hexágono
Octógono
Eneágono
Decágono

Elementos de los Polígonos Geometría
Ángulo
Interior
Vértice
Lado
Pentágono
Ángulo
Exterior
Los lados son un fragmento de recta en
el cual se encuentran dos puntos a los
que se les llama puntos finales o
extremos.
El vértice es el punto en el cual dos o
más elementos unidimensionales se
encuentran, estos elementos pueden ser
vectores, curvas, semirrectas, rectas o
segmentos.
Una diagonal se define como el
segmento que conecta dos vértices que
no son consecutivos en un polígono. La
calle diagonal o sencillamente diagonal
es aquella calle que conecta
intersecciones desbaratando el esquema
del trazado de calles paralelas.

Ángulo
Interior
Vértice
Lado
Pentágono
Ángulo
Exterior
El ángulo interno o ángulo interior es
aquel que esta compuesto por dos lados
de un polígono, los cuales tienen un
vértice en común y se encuentra en el
interior del polígono. El polígono simple
está compuesto por sólo un ángulo
interno por cada vértice.
Un ángulo externo o ángulo exterior de
un polígono es aquel ángulo que se
encuentra compuesto por un lado del
polígono y por la prolongación del lado
adyacente. En los vértices de un polígono
se puede identificar los ángulos
exteriores que tienen la misma amplitud.

Ángulo
central
Área
La apotema de un polígono regular es la
distancia de cualquier de sus lados al
centro del polígono.
El ángulo central α es el
ángulo que forman las dos
líneas que unen el centro
del polígono (O) y dos vértices
consecutivos. Se calcula…
POLÍGONODELLADOS
N
360º

El perímetro es la suma de las
longitudes de lados o líneas que forman
el contorno de una figura geométrica
plana.
Lado
El área mide el espacio dentro de una
figura.

El área o superficie de un polígono es
igual al producto del perímetro por la
apotema dividido por dos. El perímetro es
la suma de todos los lados.
Si se divide el polígono regular en n
triángulos isósceles, la apotema es la
altura de uno de los triángulos. Siendo n el
número de lados del polígono.
2
apotemaperímetro
AreaPOLÍGONO



Áreas de Figuras Planas
Geometría
2
ab
2
alturabase
Atriángulo




Triángulo abalturabaseArectángulo 
Rectángulo
Rombo
2
dD
2
diagonalDiagonal
A
menormayor
rombo




Trapecio
h
2
bB
altura
2
basebase
A
menormayor
triángulo 





Geometría
  22
círculo rradioA  
Círculo
Longitud circunferencia
r2radio2L nciacircunfere  
 
º360
nºr
º360
ºradio
A
22
circularsector




 gradosn
Sector circular

Geometría
      2222
cularcorona_cir rRradioRadioA  
Corona circular
Trapecio circular
      
º360
nºrR
º360
nºradioRadio
A
22
grados
22
circulartrapecio






Elementos de un Poliedro Geometría
Vértice
Arista
Base
Cara
Caras.- Cada uno de los polígonos que limitan al
poliedro.
Vértices.- Los vértices de cada una de las caras
del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo
vértice.
Aristas.- Los lados de las caras del poliedro.
Dos caras tienen una arista en común.
Diagonales.- Segmentos que unen dos vértices
no pertenecientes a la misma cara.
Relación de Euler.-
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.

Tipos de poliedros Geometría
Poliedro convexo
Si un poliedro puede apoyarse sobre cualquiera de sus
caras, se denomina convexo, en caso contrario cóncavo.
Poliedro cóncavo

Geometría
Se llaman poliedros regulares los que cumplen estas condiciones…
1. Sus caras son polígonos regulares iguales
2. En cada vértice del poliedro se une igual número de caras.
Son cinco…
Poliedros regulares

Poliedros regulares Geometría
Tetraedro
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Las
caras de un tetraedro son triángulos y en cada
vértice concurren tres caras. Si las cuatro caras del
tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre
sí, el tetraedro se denomina regular.

Hexaedro - Cubo
Cubo o hexaedro regular es un poliedro limitado por seis caras cuadradas congruentes. Es
uno de los denominados sólidos platónicos. Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser
clasificado también como paralelepípedo, recto y rectangular, pues todas sus caras son
cuadrados y paralelos dos a dos.

Octaedro
Un octaedro u octoedro es un poliedro de ocho caras.
Con este número de caras puede ser un poliedro convexo
o un poliedro cóncavo. Sus caras pueden ser poliedros de
siete lados o más.

Dodecaedro
Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser
polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos
regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina 'regular', siendo
entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Icosaedro
Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del
icosaedro son triángulos equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo
y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Geometría
Dentro de las infinitas formas poliédricas que existen hay unas que, por sus simetrías, han ejercido
siempre una gran atracción sobre los hombres.
SÓLIDOS PLATÓNICOS
Se trata de los poliedros regulares, cuyas caras son polígonos
regulares iguales entre sí y en cuyos vértices concurren el mismo
número de caras.
Platón, en su obra Timaeus, asoció cada uno de los cuatro elementos
que según los griegos formaban el Universo, fuego, aire, agua y tierra
a un poliedro: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y
tierra al hexaedro o cubo.
Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecadro, al
Universo. Por este motivo estos poliedros reciben el nombre de
sólidos platónicos. Puedes observar una representación de los
poliedros realizada por Kepler, en la que aparece representada esta
asociación.
Los prefijos Tetra, Hexa, Octa, Dodeca e Icosa que dan nombre a los
cinco poliedros regulares indican el número de polígonos (caras) que
forman el cuerpo.

Geometría
Un plano de simetría es aquel que divide un cuerpo en dos partes iguales que se corresponden de
manera exacta.
SIMETRÍA SÓLIDOS PLATÓNICOS
Simetría en el Tetraedro
Tiene 6 planos de simetría Simetría en el Cubo
Tiene 9 planos de simetría
Aquí está represado todas las simetrías posibles en
ambas figuras, el resto de las simetrías son idénticas
cambiando las caras o vértices dentro de la figura.

Geometría
Un plano de simetría es aquel que divide un cuerpo en dos partes iguales que se corresponden de
manera exacta.
SIMETRÍA SÓLIDOS PLATÓNICOS
Simetría en el Ortoedro
Simetría en el Dodecaedro
e Icosaedro.
El resto de las simetrías son
idénticas cambiando las caras o
vértices dentro de la figura.

Geometría
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
BASELATERALTOTAL A2AA 
Prisma El área de un prisma o de cualquier poliedro, es la suma de las áreas
de cada una de sus caras, el área vendrá dada en unidades
cuadráticas. Podemos distinguir:
Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales. En el prisma
las caras laterales son rectángulos.
Área total: Es la suma del área lateral y el área de las dos bases. Las
bases son dos polígonos iguales.
   






IENTECORRESPONDPOLÍGONOBASE
LATERAL
AA
alturahperímetroPA
El volumen de un sólido es la cantidad de espacio que
ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades
cúbicas. El volumen de un prisma es el área de la base B
por la altura h.
hAV BASEPRISMA 

Geometría
  25cm10cm215cm2ALATERAL 
Ejemplo.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un paralelepípedo de 25 cm de alto, 15
cm de ancho y 10 cm de largo.
Área lateral: Hay dos rectángulos de 25 por 15 y dos rectángulos de
25 por 10. El perímetro es la suma de los lados de la base…
El volumen de un prisma es el área de la base B por la altura h.
25cm150cmV 2
PRISMA 
2
1250cm






2
BASE
2
LATERAL
150cm10cm15cmA
1250cmA 22
TOTAL 150cm21250cmA  2
1550cm





25cm.h
150cm10cm15cmA 2
BASE 3
cm7503

Geometría
  30cm12cm5ALATERAL 
Ejemplo.- Calcula el área lateral, el área total y el volumende un prisma pentagonal de 30 cm de alto y
12 cm de arista de la base. La apotema de la base mide 8,26 cm.
Área lateral: Hay cinco rectángulos de 30 por 12, siendo el perímetro
de la base el lado por 5…
cm03cm8,472V 2
PRISMA 
2
1800cm
 











2
BASE
2
LATERAL
247,8cm
2
8,26cm12cm5
2
apotemaPerímetro
A
1800cmA 22
TOTAL cm8,4722cm8001A 
2
cm6,2952





cm.03h
247,8cmA 2
BASE 3
cm7434

Geometría
BASELATERALTOTAL AAA 
Pirámide Al desarrollar una pirámide se obtiene la base que es un polígono y las
caras laterales que son triángulos. Podemos distinguir:
Área lateral: Suma de las áreas de las caras laterales. En la pirámide,
las caras laterales son triángulos.
Área total: Es la suma del área lateral y el área de la base. La base es
un polígono cualquiera, regular o no. (Aquí trabajaremos con bases
que son polígonos regulares).
   









IENTECORRESPONDPOLÍGONOBASE
LATERAL
AA
2
alturahperímetroP
A
El volumen de una pirámide es el área de la base B por la
altura h dividido por 3.
3
hA
V BASE
PIRÁMIDE



Geometría
En una pirámide la arista lateral, la altura de una cara y la mitad de la arista
de la base forman un triángulo rectángulo, siendo la hipotenusa la arista
lateral.
La altura de la pirámide, la altura
de una cara y la apotema de la
base forman un triángulo
rectángulo, siendo la hipotenusa
la altura de una cara.
Debemos utilizar el Teorema de Pitágoras
para obtener los datos.

Geometría
22
CARA 630altura 
Ejemplo.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide hexagonal de 30 cm de
arista lateral y 12 cm de arista de la base.
Área lateral: Debemos calcular por pitágoras la altura de
la cara siendo la mitas de la arista de la base 6 cm.…
cm4,92
 
2
29,4cm612cm
ALATERAL

 2
cm4,0581

Geometría
Área base: Es un polígono regular, en este caso un hexágono.
22
BASELATERALTOTAL 374,4cm1058,4cmAAA 
27,5cm10,429,4altura 22
PIRÁMIDE
 3
2
BASE
PIRÁMIDE
5148cm
2
27,5cm374,4cm
3
hA
V 




10,4cm612apotema 22
BASE 
  2
PERÍMETRO
BASE 374,4cm
2
10,4cm612cm
A 


 
Área total: Es la suma del área lateral y el área de la base.
Calculamos por Pitágoras la altura de la pirámide utilizando la apotema
de la base
El volumen de una pirámide es el área de la
base B por la altura h dividido por 3.

Geometría
BASELATERALTOTAL A2AA 
El desarrollo de un cilindro se compone de dos círculos que son las
bases y un rectángulo de base la longitud de la circunferencia y de
altura la del cilindro. Podemos distinguir:
Área lateral: es un rectángulo de base la longitud de la circunferencia
y de altura la del cilindro. .
bases son dos círculos iguales.
 





 2
BASE
NCIACIRCUNFERELATERAL
rA
alturah)r(radio2A


El volumen de un sólido es la cantidad de espacio que
ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades
cúbicas. El volumen de un cilindro es el área de la base B
por la altura h.
hAV BASECILINDRO 
Cilindro

Geometría
  cm52cm512ALATERAL  
Ejemplo.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 25 cm de alto, y de 15 cm
de radio de la base.
Área lateral: Es un rectángulo cuya altura es 25 cm. y tiene como
base la longitud de la circunferencia de 15 cm. de radio…
cm25cm9,706V 2
CILINDRO 
2
cm2,3562






22
BASE
2
LATERAL
706,9cm(15cm)πA
2356,2cmA 22
TOTAL cm9,7062cm2,2356A  2
cm3370





cm.25h
cm706,9A 2
BASE 3
cm5,17672

generatriz
radio
Geometría
BASELATERALTOTAL AAA 
El desarrollo de un cono se compone del círculo de la base y un sector
circular que tiene por longitud de arco, la longitud de la circunferencia y
por radio, la generatriz del cono.. Podemos distinguir:
Área lateral: es un sector circular que tiene por longitud de arco, la
longitud de la circunferencia y por radio, la generatriz del cono.
Área total: Es la suma del área lateral y el área de la base. La base
es un círculo.
 





 2
BASE
NCIACIRCUNFERELATERAL
rA
generatrizg)r(radioA


El volumen de un cilindro es el área de la base B por la
altura h partido de 3.
3
hA
V BASE
CONO


Cono

Geometría
La generatriz, la altura y el radio de la
base forman un triángulo rectángulo,
siendo la hipotenusa la generatriz.
Debemos utilizar el Teorema de Pitágoras
para obtener los datos.

Geometría
cm7,29cm61ALATERAL  
Ejemplo.- Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 25 cm de altura y 16 cm de
radio de la base.
Área lateral: Para calcular el área lateral necesitamos calcular la generatriz, y
para ello utilizamos Pitágoras ya que es la hipotenusa del triángulo formado por la
altura y el radio de la base
El volumen de un cono es el área de la base B por la altura h.
cm25cm2,804V 2
CONO 
cm29,7




 22
BASE
2
LATERAL
cm2,048cm)(16A
cm4931A

22
TOTAL cm2,804cm1493A  2
cm2297,2





cm.25h
cm2,048A 2
BASE 3
cm21105
22
2516g 
2
cm1493

Geometría
2
TOTAL r4A  
La esfera no se puede desarrollar y representar en un plano.
Área total: El área de la esfera es igual a cuatro veces la superficie
del círculo de mayor radio que contiene.
El volumen de una esfera es 4/3 del radio al cubo por el
número pi.
3
ESFERA r
3
4
V  
Esfera

Geometría
Ejemplo.- Calcula el área total y el volumen de una esfera de 15 cm de radio.
Área total: El área de la esfera es igual a cuatro veces la superficie
del círculo de mayor radio que contiene.
El volumen de esfera es 4/3 del radio al cubo por el número pi.
3
NCIACIRCUNFERE cm)(15
3
4
V  
 2
TOTAL cm154A  
3
cm14137
2
cm2827,4

GeometríaConocido popularmente como “el acuario”, ese fue
precisamente el primer destino que se barajó para el Centro
de Interpretación de la Ría de Arousa (C.I.R.A.), está situado
en las orillas de la playa de Compostela. Sin embargo, este
edificio nació como parte de un proyecto de paseo marítimo
que nunca se llegó a poner en marcha y no fue hasta el siglo
XXI cuando se le encontró un nuevo uso. Dentro de pocos
meses será demolido. Vamos a calcular su volumen
conociendo que mide 32,20 m. de largo por 6,70 m. de ancho
y una altura lateral de 6,15 m. Sabemos que la cima del tejado
está a 7,60 m. de altura. Tenemos que tener en cuenta que el
techo tiene un voladizo de 10 cm. a cada lado.
La parte inferior es un prisma cuadrangular,
sabemos las distancias entonces…
Con lo cual…
alturabaseVprisma 
  largoaltoanchoV drangularprisma_cua 
  32,20m6,15m6,70mV drangularprisma_cua 
3
drangularprisma_cua 1326,8mV 

Geometría
Obtenemos la altura del triángulo restando a la altura de la cima del tejado la altura lateral
Entonces…
3
drangularprisma_cua 1326,8mV 
alturaáreaV baseangularprisma_tri 
2
alturabase
Área
triangulo
base


1,45m.6,15m7,60malturatriángulo 
2
alturabase
Área
triangulo
base


2
1,45m6,90m 
 2
5m
gitud)altura(lonáreaV baseangularprisma_tri  32,2m5m2
 3
161m
33
total 161m1326,8mV  3
1487,8m
El techo es un prisma triangular y por lo tanto…

Geometría
La piscina del edificio Ribainsa en Carril mide 19,92 m. de
largo por 8,44 m. de ancho. En la parte menos profunda
el nivel del agua es de 1,24 m., va progresivamente
descendiendo durante 14,52 m. hasta los 2,10 m. de
profundidad. Después vuelve a ascender hasta los 1,85
m. de profundidad. Calcula el volumen del agua de la
piscina.
Para calcular el volumen de la piscina vamos a dividir esta en dos prismas trapezoidales…uno hasta la
zona más profunda y el otro desde este punto hasta el final. La sección seria de la siguiente manera.

Geometría
Si lo proyectamos en Volumen seria…
base
2
ladolado
Área
menormayor
trapecio 


14,52m.
2
m.24,12,10m.
Áreatrapecio_A 

 .24,25m 2

piscinaezoidalprima_trapA anchobaseVolumen  8,44m..24,25m 2
 .m67,204 3

m.40,5
2
1,85m.2,10m.
Áreatrapecio_B 


2
m67,61
piscinapezoidalprisma_traA anchobaseVolumen  8,44m..m67,61 2
 .m69,140 3

BATOTAL volumenvolumenVolumen  .m69,140.m67,204 33
 .m36,345 3


GeometríaProblema de Volúmenes
En la bodega Casal de Virmadeus (Cenlle) nos encontramos un
depósito que nos indica una capacidad de 5000 litros. Tomamos
las medidas interiores obteniendo una diagonal de 3,51 m que
forma un ángulo con la horizontal de 65,9º, tal y como muestra la
figura ¿Es real la capacidad del depósito?
Calculamos primero la altura del depósito
h
alturabaseVolumen circuloDépósito 
  hrV 2
Dépósito  
22222
1,433,51h1,43h3,51 
3,20mh 
1,43 m
  2,372,0V 2
Dépósito  
2
1,43m
2
diámetro
radio  0,72m
5210litros5,21m3


Geometría
Bernadette sostiene una pelota de
baloncesto. Vamos a calcular el volumen y el
área superficial de la pelota conociendo que
tiene un diámetro de 21,8 cm.
Es un problema sencillo de cálculo del volumen
y el área superficial de una esfera a partir de su
diámetro aplicando las fórmulas.
3
esfera
3
4
Volumen r 
.cm21,8diámetro  .m,2180
2
.m,2180
radio  .m0,109
 3
esfera 109,0
3
4
Volumen   litros5,4m105,4 33
 
2
lsuperficia 4Área r   2
lsuperficia 109,04Área   2
m0,15
Problema de Volúmenes

Geometría
La Torre de Hércules es el único faro romano que desde sus orígenes hasta la actualidad ha cumplido con
su función primigenia: la de servir de señal marítima e instrumento de navegación para las embarcaciones
que en su singladura atraviesan el corredor atlántico. Proyecto Final de Tema – Cálculo de Volumen.

Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en…
www.juansanmartin.net

Tema Geometria

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Tema Geometria

Similar a Tema Geometria (20)

Más de Juan Sanmartin

Más de Juan Sanmartin (20)

Último

Último (20)

Tema Geometria