1. Cap´
ıtulo 1
INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA
1.1 ¿Qu´ es la F´
e ısica?
Antes de responder esta pregunta vamos a poner un ejemplo que motivar´ en partea
la respuesta. Imaginemos que asistimos a un partido de f´tbol y pensemos por un
u
momento en la enorme cantidad de diferentes fen´menos que presenciamos: los ju-
o
gadores pas´ndose la pelota y chutando, el movimiento posterior del bal´n, el silbato
a o
del ´rbitro y el sonido que produce, los espectadores, algunos sentados y otros de
a
pie, haciendo diferentes movimientos y provocando diferentes sonidos, los comenta-
ristas que escuchamos si tenemos nuestro receptor de radio encendido, la luz que
emiten los focos del estadio, etc´tera. Podemos decir, sin exagerar, que la cantidad
e
de fen´menos de diferente naturaleza que se producen en cualquier situaci´n coti-
o o
diana es casi infinita. Pues bien, la F´ ısica tiene por objeto analizar al m´ximo los
a
fen´menos que se producen en la naturaleza as´ como los componentes b´sicos de la
o ı a
misma, y gestar unas leyes que permitan comprender y predecir su comportamiento.
Todo ello a trav´s de la observaci´n, la experimentaci´n y el razonamiento que es
e o o
lo que se conoce como m´todo cient´
e ıfico. La definici´n anterior de la F´
o ısica es una
definici´n de andar por casa, es decir, para que todos nos entendamos desde un
o
principio y poder continuar con la exposici´n, porque si nos detuvi´semos por un
o e
momento y analiz´semos detenidamente cada uno de los t´rminos de la misma, tal
a e
como: ¿Qu´ es predecir? ¿Qu´ es observar? ¿Qu´ es la naturaleza? Llegar´
e e e ıamos con
certeza a una serie de inconsistencias l´gicas que han sido estudiadas con profun-
o
didad por fil´sofos, f´
o ısicos, historiadores, etc´tera. Como no tenemos tiempo para
e
profundizar en estas importantes materias nos contentaremos con esa idea m´s o a
menos elaborada que todos tenemos sobre lo que es la F´ ısica.
1.2 Divisi´n hist´rica de la F´
o o ısica
Desde un punto de vista hist´rico podemos establecer dos grandes etapas en el
o
desarrollo de la F´
ısica. La primera de ellas es mucho m´s extensa que la segunda:
a
1

2. 2 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA
se trata del periodo que va desde la Antigua Grecia (o incluso antes) hasta finales
del siglo XIX, y recibe el nombre de F´ ısica Cl´sica. La segunda, es la F´
a ısica que se
ha desarrollado en el siglo XX, y recibe el nombre de F´ ısica Moderna.
En t´rminos estrictamente cronol´gicos (y, por tanto, hist´ricos) la divisi´n ante-
e o o o
rior es correcta, pero adem´s, como veremos en la secci´n siguiente, existen razones
a o
de ´ındole conceptual que la justifican. Pero al margen de esto ultimo, el an´lisis
´ a
hist´rico de la F´
o ısica (o de cualquier otra disciplina) es importante para la adecuada
comprensi´n de la misma. Porque la F´
o ısica no ha sido siempre igual. Ha evolucio-
nado en el tiempo; ha progresado. Pero ¿c´mo ha progresado? La idea intuitiva de
o
progreso por acumulaci´n de conocimiento falla, y el estudio del modo adecuado de
o
progreso constituye toda una nueva disciplina: La Filosof´ de la F´ ıa ısica (con ma-
yor generalidad, de la Ciencia). Simplificando mucho podemos decir que la ciencia
progresa por aproximaciones sucesivas: cada nueva teor´ mejora a la anterior en su
ıa
a
´mbito, y lo ampl´ ıa.
Dado que no tenemos mucho tiempo para adentrarnos en estos temas, pues ello
nos llevar´ muchas clases, nos limitaremos a esbozar brevemente en qu´ consisten
ıa e
1
la F´ısica Cl´sica y la F´
a ısica Moderna . A finales del siglo XIX se pensaba que se
ten´ un conocimiento completo del universo a trav´s de las tres grandes teor´ de
ıa e ıas
la F´ısica Cl´sica: la Mec´nica Cl´sica de Newton, de la cual nos ocuparemos en las
a a a
siguientes clases, la Teor´ Cl´sica de la Gravitaci´n, tambi´n de Newton, y el Elec-
ıa a o e
tromagnetismo de Maxwell. En realidad, sintetizar todos los avances de la F´ ısica
por aquel entonces en los nombres de estos dos grandes cient´ ıficos puede resultar
un poco desconcertante. Intervinieron muchos otros cient´ ıficos, aportando cada uno
su granito de arena. Sin embargo, Newton y Maxwell fueron capaces de sintetizar,
el primero, todo el conocimiento adquirido a lo largo de los siglos en el estudio del
movimiento de los cuerpos, tanto en la Tierra como en el resto del universo conocido
hasta entonces, y el segundo, todo el conocimiento relativo a los fen´menos electro-
o
magn´ticos, en unas cuantas leyes en las que todo este conocimiento se resum´
e ıa;
leyes que permit´ predecir todos estos fen´menos y muchos m´s. Por tanto, fi-
ıan o a
guras tan importantes como Galileo, Kepler, Cop´rnico, Pascal, Faraday, Coulomb,
e
etc´tera, fueron relevantes para la gestaci´n de estas teor´ aunque no representa-
e o ıas
sen el ultimo eslab´n de las mismas. Sus observaciones, sus leyes fenomenol´gicas,
´ o o
etc´tera, fueron la base para la gestaci´n de leyes m´s fundamentales a partir de las
e o a
cuales pod´ deducirse. A finales del siglo XIX, Electromagnetismo, Gravitaci´n,
ıan o
y Mec´nica Newtoniana, parec´ ser la base de todo el conocimiento cient´
a ıan ıfico ad-
quirido hasta el momento, y del desarrollo tecnol´gico por aquel entonces. Hemos
o
de comentar que, en el desarrollo de la F´ ısica, el conocimiento se fue parcelando en
1
A quienes est´n interesados en el estudio de la evoluci´n de la ciencia (casi exclusivamente de
e o
la F´
ısica) a trav´s de la historia les recomiendo la lectura de “Introducci´n hist´rica a la filosof´
e o o ıa
de la ciencia”, de John Losee (Alianza Editorial); pero les advierto que no es una lectura f´cil.
a
Bastante m´s ameno, y tambi´n dirigido al an´lisis filos´fico del conocimiento cient´
a e a o ıfico, pero no
desde una perspectiva hist´rica, es el libro de Alan Chalmers: “¿Qu´ es esa cosa llamada ciencia?”
o e
(Editorial siglo XXI).

3. 1.2. DIVISION HISTORICA DE LA F´
´ ´ ISICA 3
un principio en diferentes partes, como la Ac´ stica, la Electricidad, el Magnetismo,
u
a ´
la Termodin´mica, la Optica, etc´tera, y que con el paso del tiempo se vio que eran
e
teor´ que pod´ deducirse de las dos teor´ anteriores. Por ejemplo, la luz es una
ıas ıan ıas
onda electromagn´tica y por tanto todo lo que se refiere a la generaci´n y propaga-
e o
ci´n de la misma se puede explicar a partir de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Las
o
ondas sonoras, de cuyo estudio se ocupa la Ac´ stica, son un fen´meno puramente
u o
Mec´nico para cuyo estudio se usa una teor´ que sintetiza el comportamiento de los
a ıa
sistemas de un n´ mero ingente de part´
u ıculas (del orden del n´ mero de Avogadro),
u
y que es la Termodin´mica. a
Parec´ que la F´
ıa ısica hab´ llegado a su fin y que todo pod´ explicarse a trav´s
ıa ıa e
de estas teor´ ıas. Sin embargo, una serie de resultados experimentales novedosos en
aquella ´poca, los cuales no pod´ explicarse con la F´
e ıan ısica Cl´sica, unido a algunas
a
inconsistencias de la F´ ısica Cl´sica, dio lugar a una revoluci´n en la F´
a o ısica que se
represent´ en la gestaci´n de las dos teor´ que constituyen la F´
o o ıas ısica Moderna:
nos referimos a la Relatividad y a la Mec´nica Cu´ntica. La Relatividad, tanto
a a
Especial como la General, se debe a Albert Einstein, y la Mec´nica Cu´ntica a a a
varios cient´ ıficos como Heisenberg, De Broglie, Schr¨dinger, etc´tera.
o e
Se˜ alaremos brevemente dos de los fen´menos contradictorios con la F´
n o ısica Cl´sica,
a
y que guardan relaci´n con la F´
o ısica del microcosmos. Dado el poder de la Mec´nica a
Cl´sica y el Electromagnetismo para explicar los fen´menos m´s cercanos a nuestros
a o a
sentidos, se lleg´ a pensar que el comportamiento del mundo at´mico y subat´mico
o o o
estaba regido por las mismas leyes, sin m´s que aplicar las mismas al movimiento de
a
los electrones en torno al n´ cleo, formado por protones y neutrones. Sin embargo,
u
hab´ dos resultados experimentales que estas teor´ no eran capaces de explicar.
ıa ıas
Nos referimos al fen´meno de la cuantizaci´n de la energ´ y el de la estabilidad de
o o ıa,
los atomos. Desde un punto de vista cl´sico, si pensamos en un atomo de hidr´geno,
´ a ´ o
el cual contiene un unico electr´n, la energ´ del mismo, suma de las energ´ cin´tica
´ o ıa ıas e
y potencial, puede tomar en principio cualquier valor, dependiendo de las condicio-
nes iniciales del movimiento. Pero el Electromagnetismo nos dice que una part´ ıcula
cargada que se mueve aceleradamente (tal y como ocurre con el electr´n cl´sico mo- o a
vi´ndose en ´rbitas el´
e o ıpticas) irradia continuamente energ´ es decir emite energ´ y
ıa, ıa,
por tanto, al ir perdiendo esta energ´ (de forma continua) no describir´ una elipse,
ıa ıa
sino una espiral, y acabar´ colapsando sobre el n´cleo2 . Es decir, con la F´
ıa u ısica del
siglo XIX ¡la materia es inestable! Y por tanto no podr´ ıamos existir nosotros,
puesto que estamos compuestos por atomos. Otro resultado experimental, previo a
´
la Relatividad Especial de Einstein, pero que no fue precisamente lo que motiv´ la o
gestaci´n de esta teor´ por el que es considerado el F´
o ıa ısico m´s importante de todos
a
los tiempos, es que la velocidad de la luz es una constante independiente del sistema
de referencia que la mide, lo que contradice a la Mec´nica Cl´sica. a a
He puesto estos ejemplos con el objeto de mostrar la relevancia de la F´ ısica
Moderna, y la importancia de dar unas breves nociones de la misma en cualquier
2
En el caso del electr´n de un atomo de Hidr´geno, un simple c´lculo muestra que el impacto
o ´ o a
con el n´ cleo se producir´ ¡en menos de 10−10 segundos!
u ıa

4. 4 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA
curso de F´
ısica General.
1.3 La estructura conceptual de la F´
ısica
Este bosquejo hist´rico puede resumirse en la siguiente tabla:
o
F´ ´
ISICA CLASICA F´ISICA MODERNA
Mec´nica newtoniana (Newton, 1660)
a Relatividad (Einstein, 1905)
Termodin´mica, Ac´stica, etc. (siglos XVIII y XIX) Mec´nica Cu´ntica (1926)
a u a a
Electromagnetismo (Maxwell, 1860)
Ahora bien, desde un punto de vista conceptual esta tabla no clarifica la es-
tructura b´sica de la F´
a ısica. En cambio, esta estructura se clarifica si se piensa
que la F´ ısica s´lo tiene dos partes: La mec´nica y las leyes de fuerza o teor´ de
o a ıas
interacci´n.
o
El objeto de la mec´nica es la investigaci´n del comportamiento de las cosas en
a o
funci´n de las fuerzas que act´an sobre ellas.
o u
El objeto de las leyes de fuerza es dar el valor de las fuerzas con que interaccionan
las cosas en cada situaci´n concreta.
o
De acuerdo con lo anterior, en nuestra tabla la Mec´nica newtoniana, la Rela-
a
tividad einsteniana y la Mec´nica Cu´ntica son mec´nicas3 ; mientras que el Elec-
a a a
tromagnetismo es una teor´ de interacci´n. ¿Y qu´ pasa con la Termodin´mica,
ıa o e a
la Ac´ stica, etc.?¿Son mec´nicas o teor´ de interacci´n? Tratemos de explicarlo.
u a ıas o
Cuando, equipados con la mec´nica y las teor´ de interacci´n, tratamos de resolver
a ıas o
un problema concreto y realista, quedamos abrumados por la fant´stica complejidad
a
matem´tica del mismo. Nos vemos obligados a simplificarlo, inventando con ello un
a
nuevo problema. Hemos creado un modelo de nuestro problema original.
a u ´
La Termodin´mica, Ac´ stica, Optica, etc., tratan ambitos de problemas (usando
´
la mec´nica y las teor´ de interacci´n) que comparten ciertas caracter´
a ıas o ısticas o
propiedades que permiten simplificar el problema original, transform´ndolo en un
a
modelo m´s asequible. M´s adelante, en este cap´
a a ıtulo, diremos algo sobre cada
una de estas disciplinas, con objeto de aclarar su contenido, pues lo dicho ahora es
demasiado abstracto.
Volvamos a nuestra tabla: Mec´nica Cl´sica, Relatividad y Mec´nica Cu´ntica
a a a a
son tres clases de mec´nica que sirven para estudiar los mismos tipos de fen´menos
a o
f´
ısicos. Sin embargo, las respuestas que dan a una misma pregunta pueden ser muy
diferentes. Como todas las respuestas no podr´n ser correctas a la vez, ser´ necesario
a a
saber cu´l es la correcta. Resulta que cada cual tiene su ´mbito de aplicaci´n, como
a a o
se recoge en el siguiente diagrama.
3
Siendo m´s precisos, al genio de Newton le debemos dos cosas: Sus tres leyes (Inercia, F =
a
ma, y principio de acci´n y reacci´n) y la teor´ de la gravitaci´n. De acuerdo con nuestra
o o ıa o
clasificaci´n conceptual, las tres leyes de Newton constituyen una mec´nica, mientras que su teor´
o a ıa
de la gravitaci´n es una teor´ de interacci´n.
o ıa o

5. 1.3. LA ESTRUCTURA CONCEPTUAL DE LA F´
ISICA 5
Bajas velocidades Altas velocidades
Sistemas Macrosc´picos
o F´ısica Cl´sica (1850)
a F´
ısica Relativista (1900)
Sistemas Microsc´picos
o F´
ısica Cu´ntica (1930) F´
a ısica Cu´ntica Relativista(1950)
a
En el mundo al alcance de nuestros sentidos la Mec´nica Cl´sica manda, al ser
a a
m´s simple e intuitiva (aunque los resultados de las otras mec´nicas son pr´cticamente
a a a
los mismos). Pero para objetos que viajan muy r´pido (a velocidades comparables
a
a la velocidad c de la luz) las reglas cl´sicas son modificadas por la Relatividad
a
Especial. Cuando el tama˜ o del objeto de nuestro estudio es muy peque˜o (di-
n n
gamos que del tama˜o de un atomo o menor) la Mec´nica Cl´sica se ve superada
n ´ a a
por la Cu´ntica. Finalmente, cuando las cosas son peque˜as y r´pidas, debemos
a n a
estudiarlas con la Teor´ Cu´ntica Relativista.
ıa a
Examinemos ahora las teor´ de interacci´n. ¿Cu´ntos tipos de fuerza (con sus
ıas o a
correspondientes teor´ existen? La F´
ıas) ısica dice que cuatro, cuyo listado, en orden
de intensidad decreciente, es este:
Fuerza fuerte
Fuerza electromagn´tica e
Fuerza d´bil
e
Fuerza gravitatoria
La brevedad de esta lista debiera sorprender e impresionar. ¿D´nde est´ la fuerza
o a
de rozamiento?¿Y la fuerza del sill´n que me mantiene ahora sentado impidiendo
o
que la Tierra me trague?¿Y las fuerzas que mantienen los enlaces moleculares, o la
que impulsa a la pelota de tenis cuando la golpeo con la raqueta, etc.? Acontece
que todas estas fuerzas son electromagn´ticas, de modo que no exageramos lo m´s
e a
m´ınimo diciendo que vivimos en un mundo electromagn´tico. Con la excepci´n de
e o
la gravedad, todas las fuerzas que experimentamos en nuestra vida cotidiana son de
origen electromagn´tico.
e
La fuerza fuerte, encargada de mantener unidos a protones y neutrones en el
n´ cleo de los atomos, es de un alcance extremadamente corto (del orden del tama˜o
u ´ n
del n´ cleo), lo cual justifica que no la sintamos a´n cuando es unas cien veces m´s
u u a
intensa que la electromagn´tica.
e
La fuerza d´bil es responsable de ciertas clases de desintegraci´n radiactiva y,
e o
adem´s de ser de corto alcance, es unas mil veces m´s d´bil que la electromagn´tica.
a a e e
−36
En cuanto a la fuerza gravitatoria, es la m´s deeee´bil de todas (≈ 10
a e la
electromagn´tica), y si la percibimos es por el efecto acumulativo de cantidades
e
ingentes de materia.
Las fuerzas electromagn´ticas no s´lo son las predominantes en nuestra vida
e o
diaria, sino que son las unicas bien comprendidas y experimentalmente contrastadas
´
en todas las versiones de la mec´nica (cl´sica, relativista y cu´ntica). No se puede
a a a
decir lo mismo de las otras. Por ejemplo, existe una buena teor´ cl´sica de la
ıa a
gravitaci´n (la de Newton) y una relativista ( la Relatividad General de Einstein),
o
pero no existe una teor´ cu´ntica satisfactoria de la gravitaci´n, a´ n cuando hay
ıa a o u
una pl´yade de f´
e ısicos tratando de construirla. Actualmente existe una exitosamente

6. 6 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA
contrastada aunque compleja teor´ de las interacciones d´biles, y una candidata
ıa e
(Cromodin´mica Cu´ntica) para explicar las fuertes que tiene buena pinta, aunque
a a
est´ pendiente de una mayor contrastaci´n experimental.
a o
1.4 La estructura l´gico-matem´tica de las teor´
o a ıas
f´
ısicas
Todas las teor´ de la F´
ıas ısica, ya sean mec´nicas o teor´ de interacci´n, est´s
a ıas o a
estructuradas de la misma forma desde un punto de vista l´gico. Durante el curso
o
de esta explicaci´n pondremos el ejemplo de la Mec´nica cl´sica para aclarar bien
o a a
las ideas. Toda teor´ se basa en unas leyes, que tambi´n reciben el nombre de
ıa e
postulados, principios o axiomas. Estas leyes relacionan distintos conceptos b´sicos a
de la teor´ que reciben el nombre de conceptos primitivos. De las leyes se pueden
ıa,
deducir resultados que se denominan teoremas, los cuales son est´riles desde un
e
punto de vista l´gico, pero son de gran importancia en la resoluci´n de muchos
o o
problemas. Estos teoremas suelen estar expresados a partir de conceptos definidos
a partir de los conceptos primitivos, los cuales son tambi´n est´riles desde un punto
e e
de vista l´gico.
o
Por ejemplo, en el caso de la Mec´nica Cl´sica los conceptos b´sicos son el espa-
a a a
cio (se considera que los cuerpos se mueven en un escenario que recibe el nombre de
espacio absoluto, y que tiene la estructura de un espacio eucl´ ıdeo tridimensional),
el tiempo (se considera tambi´n la existencia de un tiempo absoluto que transcurre
e
de forma independiente de los sistemas de referencia), la fuerza, y la masa, tambi´n e
llamada masa inercial o masa inerte. Las leyes de la Mec´nica Cl´sica han sido
a a
hist´ricamente tres, aunque ya veremos en el tema siguiente que una de ellas puede
o
deducirse de las otras. Estas leyes son: la ley de inercia (toda part´ ıcula aislada man-
tiene su estado de movimiento uniforme respecto al espacio absoluto), la segunda
ley de Newton (F = ma), y el principio de acci´n y reacci´n o tercera ley de Newton
o o
(la fuerza que una part´ ıcula a ejerce sobre otra b es igual en magnitud y de sentido
contrario a la que b ejerce sobre a, y estas fuerzas est´n dirigidas seg´n la l´
a u ınea
que une ambas part´ ıculas). Con estos principios se sintetiza todo el conocimiento
relativo a los movimientos mec´nicos de cuerpos macrosc´picos. N´tese la simpli-
a o o
cidad de la F´ısica, la cantidad de conocimiento encerrado en unos pocos principios,
y la complejidad de los problemas que se pueden resolver aplic´ndolos. Usando la
a
segunda ley de Newton se puede deducir el teorema de la energ´ (∆E = W ), donde
ıa
E es la energ´ cin´tica (mv 2 /2) y W el trabajo. Estos conceptos se definen a partir
ıa e
de los conceptos b´sicos de espacio, tiempo, masa y fuerza. De la misma forma, los
a
teoremas de la cantidad de movimiento, del momento cin´tico, del centro de masas,
e
se deducen a partir de los principios anteriores y se expresan a partir de conceptos
derivados.
Desde un punto de vista matem´tico, las leyes se expresan normalmente en forma
a
de ecuaciones diferenciales, que son ecuaciones que ligan los conceptos primitivos y

7. 1.5. TODA LA F´ ´
ISICA CLASICA 7
las derivadas de los mismos. Por ejemplo la aceleraci´n, que aparece en la segunda
o
ley de Newton, es la derivada segunda del vector de posici´n respecto al tiempo. La
o
fuerza es en general una funci´n que depende de la posici´n, la velocidad y el tiempo,
o o
de manera que la expresi´n matem´tica de la segunda ley de Newton es, en general,
o a
una relaci´n entre masa, tiempo, posici´n, velocidad y aceleraci´n. Para resolver
o o o
el problema fundamental de la Mec´nica Cl´sica, que es obtener el movimiento, es
a a
decir, la posici´n en funci´n del tiempo, hay que integrar la ecuaci´n diferencial.
o o o
Ni que decir tiene que no nos vamos a ocupar en este curso de resolver muchas
ecuaciones diferenciales, porque por un lado esto no es un curso de matem´ticas sino
a
de f´ısica, y por otro lado la resoluci´n de ecuaciones diferenciales es un problema
o
de gran complejidad y que constituye toda una parte de las matem´ticas. Sin a
embargo, asentemos aqu´ algunos conceptos b´sicos. El alumno sabe que cada vez
ı a
que se hace una integral indefinida aparece una constante de integraci´n. En el caso
o
de la segunda ley de Newton, aparecen dos constantes (dado que al aparecer una
derivada segunda hay que hacer dos integrales), y ´stas guardan relaci´n con lo que
e o
se denominan condiciones iniciales, es decir, la posici´n y velocidad de la part´
o ıcula
en un instante dado.
Para aclarar esto pongamos un ejemplo. Estudiemos el movimiento de un trozo
de tiza que lanzamos al aire. Supongamos que despreciamos el efecto del aire to-
mamos en consideraci´n solamente la gravedad. Aplicado la segunda ley de Newton
o
vemos que la aceleraci´n es igual a g, la aceleraci´n de la gravedad, la cual es cons-
o o
tante cuando nos movemos cerca de la superficie de la Tierra. ¿C´mo se mueve la
o
tiza sometida a una aceleraci´n constante g ? Todos sabemos que se puede mover
o
de muchas maneras: en l´ ınea recta hacia abajo, hacia arriba primero y hacia abajo
despu´s, siguiendo una par´bola, otra par´bola distinta, etc´tera. Es decir, para
e a a e
saber exactamente d´nde se encontrar´ el objeto en cada instante de tiempo hay
o a
que saber qu´ posici´n y qu´ velocidad ten´ inicialmente el objeto. En todos los
e o e ıa
casos anteriores la ecuaci´n diferencial es la misma (a = g), pero las condiciones
o
iniciales cambian. Veremos esto con m´s detenimiento a lo largo del curso.
a
1.5 Toda la F´
ısica Cl´sica
a
Estamos ahora en disposici´n de escribir las ecuaciones fundamentales que re-
o
presentan las leyes de la F´ısica Cl´sica. Cualquier otra ecuaci´n estar´ siempre
a o a
contenida en ´stas; se deducir´ de estas y de algunas hip´tesis adicionales que per-
e a o
mitan simplificar el problema, y cuyo ambito de validez ser´ menor que el de las
´ a
ecuaciones fundamentales . Las leyes son las siguientes:
Bloque I:
1
E · dS = qe ; (ley de Gauss para el campo el´ctrico)
e (1.1)
S 0
B · dS = 0; (ley de Gauss para el campo magn´tico)
e (1.2)
S

8. 8 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA
d
E · dl = − B · dS; (ley de Faraday) (1.3)
L dt S
B d
· dl = ( 0 E) · dS + J · dS; (ley de Ampere) (1.4)
L µ0 dt S S
1
G · dS = qg ; (ley de Gauss para el campo gravitatorio) (1.5)
S k
Bloque II:
Fe = qe (E + v × B); (ley de fuerza de Lorentz) (1.6)
Fg = qg G (1.7)
Bloque III:
d2 r Fe + Fg
2
= ; (Segunda ley de Newton) (1.8)
dt m
Pasemos a “explicar” su significado.
Bloque I
Las cuatro primeras ecuaciones reciben colectivamente el nombre de ecuaciones
de Maxwell. Nos dicen dos cosas. Por un lado nos dicen qu´ campos (el´ctrico y
e e
magn´tico) genera un conjunto de cargas. Por otro, nos dan c´mo se propagan estos
e o
campos por el espacio. La ecuaci´n quinta es an´loga al conjunto de ecuaciones
o a
de Maxwell, pero para el campo gravitatorio. Esto es, dado un conjunto de cargas
gravitatorias, nos da el campo gravitatorio que generan. Estas ecuaciones las hemos
escrito en forma integral, que como dijimos es equivalente (aunque su aspecto ser´ ıa
obviamente distinto) a escribir ecuaciones diferenciales. El hacerlo as´ es porque
ı
resulta m´s f´cil comprender su significado.
a a
Bloque II
Una vez que los campos se han generado y se han propagado por el espacio,
alcanzan otras part´ ıculas ejerciendo fuerzas sobre ellas. La fuerza que ejercen los
campos el´ctricos y magn´ticos est´ resumida en la ecuaci´n sexta. Es lo que se
e e a o
llama Fuerza de Lorentz. La fuerza ejercida por el campo gravitatorio viene dada
por la ecuaci´n s´ptima. Habr´ una ecuaci´n de este tipo para cada part´
o e a o ıcula que
compone el sistema.
Bloque III
Por ultimo la ecuaci´n octava, la segunda ley de Newton, nos permite calcular
´ o
la aceleraci´n de la part´
o ıcula si conocemos las fuerzas (obtenidas a partir de todo
el conjunto de ecuaciones anteriores) que act´ an sobre ella y su masa. Al igual que
u
ocurr´ con las ecuaciones sexta y s´ptima, habr´ una ecuaci´n de este tipo para
ıa e a o
cada part´ ıcula que compone el sistema.

9. ´
1.6. LA IMAGEN CLASICA DEL UNIVERSO 9
1.6 La imagen cl´sica del universo
a
El universo est´ compuesto por part´
a ıculas que se mueven al sentir los efectos de
unas sobre las otras. Los electrones, protones, y neutrones forman ´tomos. Estos
a
a
´tomos se unen entre s´ y forman mol´culas. La materia presenta tres estados,
ı e
s´lido, l´
o ıquido y gaseoso, seg´ n la manera que tengan los atomos y las mol´culas
u ´ e
de organizarse entre s´ debido a sus interacciones mutuas. Los arboles, las hojas,
ı ´
las c´lulas, los edificios, los animales son, en ultima instancia, atomos agrupados
e ´ ´
de muy diversas formas. Cada part´ ıcula tiene asociadas tres propiedades escalares,
que son: la carga el´ctrica, que puede ser positiva o negativa, la carga gravitatoria,
e
que tiene un unico signo, y la masa. Diferenciamos entre carga gravitatoria y masa
´
porque conceptualmente, para la F´ ısica Cl´sica, son cosas distintas4 . Las part´
a ıculas
generan perturbaciones en el espacio absoluto que reciben el nombre de campos.
Por ejemplo, cada part´ ıcula crea un campo gravitatorio, el cual es proporcional a
la carga gravitatoria de la part´ ıcula y al inverso del cuadrado de la distancia a la
part´ıcula; tambi´n crea un campo el´ctrico proporcional a la carga de la part´
e e ıcula,
ıcula se mueve, un campo magn´tico. El valor de los campos gravitatorio
y si la part´ e
y electromagn´tico en cada punto del espacio, creado por todas las part´
e ıculas que
hay en el universo, se puede obtener resolviendo, por un lado las cuatro ecuaciones
de Maxwell que relacionan los campos el´ctrico y magn´tico con las fuentes que los
e e
producen (las densidades de carga y las densidades de corriente), y la ley de Gauss
para el campo gravitatorio. Cada part´ ıcula del universo se mueve a su vez debido a
los campos que generan las dem´s. ¿C´mo? La presencia de un campo en un punto
a o
da lugar a una fuerza sobre otra part´ ıcula colocada en ese punto. Si E,B y G son
los campos el´ctrico, magn´tico y gravitatorio en dicha posici´n, y qe y qg son la
e e o
carga el´ctrica y la carga gravitatoria de la part´
e ıcula, y v su velocidad, entonces la
part´ıcula est´ sometida a una fuerza F = qe (E + v ∧ B) + qg G. El primer t´rmino
a e
de la expresi´n anterior, el que contiene los campos el´ctrico y magn´tico, es la
o e e
fuerza de Lorentz; el segundo es la fuerza de gravitaci´n. Debido a esta fuerza, la
o
part´ıcula experimenta una aceleraci´n que es directamente proporcional a la fuerza e
o
inversamente proporcional a la masa de la part´ ıcula, es decir, a = F /m (segunda ley
de Newton). Conocidas las condiciones iniciales del universo, es decir, la posici´n o
inicial y la velocidad inicial de cada part´ ıcula, y conocidos los campos el´ctrico,
e
magn´tico y gravitatorio y sus derivadas en el instante inicial, se podr´ conocer,
e ıa
aplicando las ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss para el campo gravitatorio,
la ley de fuerzas de Lorentz y la segunda ley de Newton, d´nde se encontrar´ cada
o a
part´ıcula en cualquier instante futuro, as´ como el valor de los campos el´ctrico,
ı e
magn´tico y gravitatorio en dicho instante. Esta es la imagen cl´sica del universo,
e a
4
Para la F´ ısica Cl´sica es un misterio la inexistencia de part´
a ıculas que, compartiendo la carga
gravitatoria, tengan masas distintas. En cambio, existen muchas part´ ıculas que, compartiendo la
carga el´ctrica, tienen masas distintas (por ejemplo, el prot´n y el pi´n). El misterio lo resolvi´
e o o o
Einstein al crear la Teor´ General de la Relatividad, donde inercia y gravitaci´n se funden en una
ıa o
misma unidad conceptual.

10. 10 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA
y nos muestra la importancia de la F´
ısica en el estudio del comportamiento de la
naturaleza.
1.7 Las partes de la F´
ısica Cl´sica
a
La resoluci´n del sistema de ecuaciones (1 → 8) es, en la mayor´ de los casos
o ıa
de inter´s, incre´
e ıblemente dif´
ıcil. Por tanto, se hace necesario simplificarlo, ya sea
abordando s´lo una parte del mismo, o a˜adiendo hip´tesis adicionales que lo sim-
o n o
plifiquen, aunque sea al coste de hacerlo menos general. Seg´n qu´ parte del sistema
u e
(1 → 8) abordemos, o qu´ hip´tesis simplificativas adoptemos, nos moveremos en
e o
la arena propia de esta o aquella parte de la F´ ısica Cl´sica. Pero antes de comen-
a
tar algo de cada una de ellas, es imprescindible avisar de que hist´ricamente las
o
ramas cl´sicas de la F´
a ısica que vamos a comentar surgieron con anterioridad al es-
tablecimiento completo del sistema fundamental (1 → 8). S´lo a posteriori ha sido
o
posible deducir dichas ramas del conjunto formado por (1 → 8) m´s las hip´tesis
a o
antes aludidas.
´
La Optica
Es el estudio de la luz. ¿D´nde apareci´ la luz en el esquema anterior? Dijimos que
o o
en el universo s´lo existen part´
o ıculas y campos el´ctricos, magn´ticos y gravitato-
e e
rios. ¿Y la luz? ¿Qu´ es la luz? La luz es la conjunci´n de un campo el´ctrico y
e o e
uno magn´tico que cambian en el espacio y en el tiempo de una forma particular:
e
propag´ndose como una onda. En esta propagaci´n los campos pueden encontra-
a o
se con objetos tales como espejos, lentes, etc. Cuando esto ocurre, echando mano
de las ecuaciones anteriores (1 → 8) podr´ ıamos predecir cu´l ser´ el resultado.
a ıa
Sin embargo un espejo o una lente est´n compuestos por multitud de part´
a ıculas y
estudiar la respuesta de todas estas part´ ıculas ante la presencia de un campo elec-
tromagn´tico (es as´ como se le llama a la existencia conjunta de un campo el´ctrico
e ı e
y otro magn´tico) ser´ una labor de titanes. Por ello se opta por dos v´ alternati-
e ıa ıas
vas. Una consiste en hacer algunas aproximaciones y simplificaciones en el conjunto
de las (1 → 8) que lleven a una soluci´n alcanzable del problema. Es lo que se
o
´
llama Optica Ondulatoria. La otra v´ consiste en establecer una serie de teoremas
ıa
deducidos de las ecuaciones anteriores v´lidos unicamente en casos muy idealizados.
a ´
´
Es lo que se llama Optica Geom´trica. Quiz´ la diferencia fundamental entre una
e a
´ o ´
y otra Optica resida en que hist´ricamente la Optica Geom´trica no se obtuvo as´
e ı.
En realidad estos teoremas de los que hablo fueron obtenidos experimentalmente, se
usaron durante mucho tiempo y a mediados del siglo pasado se vi´ que se pod´
o ıan
deducir de una teor´ mucho m´s general, que es la que est´ resumida en el conjunto
ıa a a
de ecuaciones (1 → 8).
Hemos dicho que la optica trata del estudio de la luz, pero hemos de aclarar un
´
poco m´s este punto. La luz se produce cuando el campo el´ctrico y magn´tico est´n
a e e a

11. 1.7. LAS PARTES DE LA F´ ´
ISICA CLASICA 11
vibrando a una frecuencia que ronda los 1015 Hz, o lo que es lo mismo, cuando la
longitud de onda de estas oscilaciones es de unos cuantos cientos de nanometros5 . A
frecuencias m´s altas o m´s bajas tambi´n pueden estar vibrado estos campos, pero
a a e
nuestro ojo no percibe este movimiento en forma de luz, aunque su naturaleza es la
misma. A frecuencias m´s bajas la radiaci´n electromagn´tica (que as´ es como se le
a o e ı
llama de forma gen´rica) recibe los nombres de infrarrojo y microondas. Las ondas
e
de televisi´n y de radio corresponden a´n a frecuencias m´s bajas. A frecuencias
o u a
m´s altas (o lo que es lo mismo, a longitudes de onda m´s cortas) la radiaci´n
a a o
electromagn´tica se llama ultravioleta, rayos X y rayos gamma.
e
Como ya pod´is imaginar, la carrera de Telecomunicaciones tiene mucho que ver
e
con la habilidad para generar, conducir y detectar este tipo especial de movimiento
de los campos el´ctrico y magn´tico (electromagn´tico). Esto se consigue siempre
e e e
aplicando el conjunto de ecuaciones (1 → 8). Bueno, aunque he dicho siempre,
existen situaciones en las que es imprescindible acudir a la F´
ısica Moderna, cada vez
m´s, pero esto lo dejaremos para m´s adelante, cuando sepamos F´
a a ısica Cl´sica.
a
La Electricidad y el Magnetismo
El conjunto de ecuaciones de Maxwell no se gest´ de la noche a la ma˜ ana, sino
o n
que fue fruto de la observaci´n del comportamiento de las cargas y corrientes de
o
´stas (corriente el´ctrica). Asociada a esta observaci´n hay un vasto repertorio fe-
e e o
nomenol´gico6 acumulado durante a˜ os de F´
o n ısica “pre-maxwelliana”. Los primeros
intentos de explicar esta fenomenolog´ dieron lugar a un importante conjunto de
ıa
7
“leyes” que es lo que muchas veces se estudia bajo el nombre de Electricidad y
Magnetismo. Lo que ocurre es que cuando el repertorio de estas “reglas” de limi-
tado alcance fue capaz de abarcar casi todos los fen´menos el´ctricos y magn´ticos
o e e
conocidos, y adem´s este conjunto fue ordenado, sistematizado y en la medida de lo
a
posible, axiomatizado, naci´ la teor´ de Maxwell. Muchos libros prefieren hacer una
o ıa
exposici´n de la F´
o ısica (y en particular del Electromagnetismo) partiendo de este
repertorio fenomenol´gico, en vez de dar desde el principio las ecuaciones (1 → 8),
o
y s´lo al final, cuando se ha acumulado mucha evidencia emp´
o ırica en forma de “re-
glas”, organizarla y decir que ello constituyen las ecuaciones de Maxwell, punto de
partida, en realidad, de la teor´ Es como si en vez de conocer desde el principio
ıa.
la segunda Ley de Newton de la Mec´nica, lo que nos dieran fuera la “f´rmula”
a o
para un tiro parab´lico, para un plano inclinado, el teorema de conservaci´n de la
o o
energ´ de la cantidad de movimiento, etc., y de ah´ con bastante esfuerzo dedu-
ıa, ı,
cir la gran ley, la segunda Ley de Newton. Creemos sin embargo que es preferible
5
Un nan´metro (1nm) son 10−9 metros.
o
6
O sea, de hechos experimentales sin que exista en principio una teor´ que los explique.
ıa
7
Cuando aqu´ utilizamos la palabra “leyes” no nos estamos refiriendo a leyes en el sentido l´gico
ı o
(b´sico), sino m´s bien ser´ sin´nimo de “reglas” que aplicadas a una serie de fen´menos muy
a a ıa o o
concretos permiten hacer predicciones, aunque bastante limitadas. La frontera que separa estos
dos conceptos es obviamente bastante vaga y relativa.

12. 12 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA
dar las leyes (1 → 8) y despu´s aplicarlas a cada problema concreto, haciendo las
e
aproximaciones que la situaci´n requiera, para as´ no perder la idea de conjunto.
o ı
La Mec´nica
a
Supongamos que tenemos una part´ ıcula que est´ sometida a una serie de fuerzas.
a
El origen de estas fuerzas estar´ obviamente en los campos que la ba˜ an, y estos a
a n
su vez fueron generados por otras part´ ıculas. Sin embargo todo esto no le interesa
a la Mec´nica. Lo unico que sabemos es que sobre la part´
a ´ ıcula est´n actuando unas
a
fuerzas. ¿C´mo se mover´ la part´
o a ıcula? Este es el objetivo de la Mec´nica. La
a
respuesta est´ contenida en la segunda ley de Newton. En realidad, lo que se llama
a
Mec´nica no solamente se apoya en la segunda ley de Newton sino tambi´n en el
a e
llamado principio de acci´n y reacci´n (o tercera ley de Newton). M´s adelante
o o a
tendremos ocasi´n de ver el papel de este principio y su relaci´n con el conjunto de
o o
ecuaciones (1 → 8). Tambi´n es cierto que muchas veces no se aplica directamente
e
la segunda ley de Newton, sino los teoremas que de ella se deducen. Esto suele
evitar hacer integrales, por la forma matem´tica de estos teoremas.
a
La Termodin´mica
a
Cuando el sistema bajo estudio est´ compuesto por muchas part´
a ıculas (un gramo
de hierro o de aire), como suele ocurrir en la mayor´a de los casos, la aplicaci´n
ı o
minuciosa de las ecuaciones (1 → 8) resulta en la pr´ctica imposible. Habr´ una
a ıa
ecuaci´n del tipo de la (1.6), (1.7) y (1.8) para cada part´
o ıcula y ser´ una locura
ıa
intentar integrar el sistema8 . Por ello, utilizando los teoremas de la Mec´nica y una
a
serie de consideraciones estad´ ısticas aplicables siempre que se tienen grandes pobla-
ciones, uno puede extraer una valiosa informaci´n acerca de algunas propiedades
o
macrosc´picas del sistema, como son su temperatura, su densidad, su conductivi-
o
dad el´ctrica, calor´
e ıfica, etc. Las consecuencias que se derivan de estos teoremas de
la Mec´nica y la Estad´
a ıstica quedan resumidas en dos grandes teoremas llamados
Primer Principio de la Termodin´mica y Segundo Principio de la Termodin´mica,
a a
a partir de los cuales pueden extraerse, a su vez, todos los teoremas de la Termo-
din´mica. El que se llamen Primer y Segundo Principio de la Termodin´mica en
a a
vez de teoremas atiende a razones hist´ricas. Originalmente el Primer y el Segun-
o
do Principio de la Termodin´mica no fueron deducidos como teoremas, sino que
a
se postularon atendiendo a la evidencia emp´ ırica. Fue despu´s cuando los f´
e ısicos
se percataron de que era posible deducirlos de una teor´ mucho m´s general, que
ıa a
abarcaba fen´menos que incluso trascend´ de lo que hasta entonces hab´ dado
o ıan ıan
en llamar Termodin´mica. Nos referimos al conjunto de ecuaciones (1 → 8). La
a
parte de la F´ ısica que estudia la conexi´n de la Termodin´mica con la Mec´nica y las
o a a
leyes estad´ısticas se llama Mec´nica Estad´
a ıstica. Es una rama muy importante de la
8
Ser´ una locura incluso plantear las ecuaciones.
ıa

13. 1.7. LAS PARTES DE LA F´ ´
ISICA CLASICA 13
F´ısica actual, pues consigue explicar la aparici´n de propiedades macrosc´picas como
o o
resultado de la aplicaci´n de las leyes b´sicas (1 → 8) a los sistemas microsc´picos.
o a o
La Ac´stica
u
La Ac´ stica es la parte de la F´
u ısica que estudia los sonidos. Al igual que hemos
dicho que la luz consiste en la propagaci´n de ondas electromagn´ticas, el sonido
o e
consiste en la propagaci´n de ondas de presi´n. Cuando la frecuencia de estas ondas
o o
pertenece a un determinado rango nuestro o´ es capaz de percibirlas como sonido.
ıdo
La presi´n es el resultado macrosc´pico de multitud de impactos de las mol´culas
o o e
del medio por el que se propaga el sonido. El hecho de que el n´ mero de mol´culas
u e
que tienen los sistemas f´ısicos a la escala ordinaria9 es enorme permite hacer una
hip´tesis que suele simplificar extraordinariamente el estudio de dichos sistemas: La
o
aproximaci´n de medio continuo. Aunque a escala microsc´pica nuestro sistema
o o
tenga consistencia corpuscular, a la escala macrosc´pica puede pasar perfectamente
o
por un medio continuo. Existen diversas ramas de la F´ ısica Cl´sica que adoptan la
a
hip´tesis de medio continuo y que constituyen la denominada F´
o ısica de los medios
continuos. La Termodin´mica es un ejemplo, pero tambi´n la Ac´ stica, la Mec´nica
a e u a
de Fluidos, la Elasticidad, etc.
9
Del orden del n´mero de Avogadro: NA
u 1023 .

14. 14 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION A LA F´
´ ISICA

15. Cap´
ıtulo 2
´
CINEMATICA DEL PUNTO
2.1 Sistemas de referencia
Se dice que un cuerpo en el espacio est´ en movimiento relativo respecto a otro
a
cuerpo u objeto cuando su posici´n relativa a ´ste var´ con el tiempo.
o e ıa
La primera caracter´ ıstica que se desprende de la noci´n de movimiento es su
o
relatividad. En efecto, ´ste depende del objeto al cual est´ referido. A este objeto
e a
se le denomina observador, de manera que distintos observadores aprecian en general
distintos movimientos para un mismo objeto. Por ejemplo, el movimiento de una
pelota que dejamos caer en un tren es distinto visto por un observador ligado a
Tierra que por otro ligado al propio tren.
El siguiente problema que nos planteamos una vez definido el observador, es
c´mo se realiza matem´ticamente la descripci´n del movimiento, lo cual es objeto
o a o
de la Cinem´tica. Para ello, vamos a profundizar un poco m´s en la naturaleza del
a a
observador defini´ndolo como un s´lido r´gido o sistema de puntos materiales cuyas
e o ı
distancias relativas permanecen siempre constantes. Si bien en la naturaleza no
existen cuerpos totalmente r´ ıgidos, esta simplificaci´n se puede aplicar a los sistemas
o
materiales en los cuales la variaci´n en las distancias relativas de sus part´
o ıculas es
P
O O'
Figura 2.1: El movimiento de un punto P referido a dos observadores O y O‘.
15

16. 16 CAP´ ´
ITULO 2. CINEMATICA DEL PUNTO
O
O
Figura 2.2: Los sistemas de referencia caracterizan al observador.
despreciable desde un punto de vista macrosc´pico. En todo caso, para el desarrollo
o
de la teor´ podemos considerar siempre la existencia de s´lidos ideales para la
ıa o
descripci´n del movimiento.
o
El ejemplo de observador con el que m´s nos sentimos identificados es el de la
a
propia Tierra. Nuestra concepci´n del movimiento est´ ligada a nuestras observa-
o a
ciones realizadas desde la superficie terrestre.
Dado un s´lido r´
o ıgido, se denomina sistema de referencia al conjunto formado
un punto O del s´lido y tres rectas no coplanarias del mismo que pasan por O. A
o
este punto se le denomina origen del sistema de referencia (figura 2.2).
Cuando las tres rectas son ortogonales, el sistema de referencia se denomina
rectangular.
Como la elecci´n del origen es arbitraria, un observador puede definir infinitos
o
sistemas de referencia. Por otro lado, cada sistema de referencia est´ ligado a un
a
unico observador. En adelante, utilizaremos indistintamente ambos t´rminos para
´ e
referirnos al mismo s´lido.
o
Por otro lado, si bien el s´lido real tiene una extensi´n finita, cualquier sistema
o o
de referencia asociado a un cuerpo r´ ıgido define un s´lido que tiene infinitos puntos,
o
cada uno de ellos ocupando una posici´n fija respecto al mismo.
o
Un sistema de coordenadas es una regla concreta que permite asignar a cada
punto P del espacio un conjunto de tres n´ meros que define biun´
u ıvocamente su
posici´n respecto a un sistema de referencia.
o
El sistema de coordenadas m´s utilizado es el cartesiano rectangular, el cual est´
a a
definido a partir de las distancias x1 , x2 y x3 entre el punto y tres planos ortogonales
que se cortan en el punto O, origen del sistema de referencia. Estos n´ meros tienen
u
signo positivo o negativo seg´n el semiespacio en que se encuentre el punto respecto
u
a cada plano.
Los tres planos se cortan dos a dos en rectas que constituyen los denominados
ejes coordenados 1 OX1 , OX2 y OX3, y que constituyen un sistema de referencia
1
Otra notaci´n bastante utilizada es llamar x, y y z a las tres coordenadas cartesianas y OX,
o

17. 2.1. SISTEMAS DE REFERENCIA 17
X3
X2
O X1
P
O
X3
X1
X2
Figura 2.3: Sistema de coordenadas cartesiano rectangular.
rectangular (figura 2.3).
Dado un punto P en movimiento relativo respecto a un sistema de referencia O,
se define el vector de posici´n de P respecto a O, al vector que tiene su punto de
o
aplicaci´n en el origen O del sistema de referencia y cuyo extremo es P . Design´ndolo
o a
por r, tenemos
→
r =OP . (2.1)
Si elegimos para dar la posici´n de P en el espacio un sistema de coordenadas
o
rectangulares (x, y, z), el vector de posici´n se puede expresar en la base {ı, , } for-
o
mada por los tres vectores unitarios cuyas direcciones son las de los ejes coordenados,
como (figura 2.4):
r = xı + y + z k. (2.2)
Por tanto, las coordenadas cartesianas coinciden con las componentes del vector de
posici´n en la base {ı, , k}.
o
Si la posici´n de P es la misma para todo instante de tiempo se dice que est´ en
o a
reposo relativo respecto a O. Por otro lado, cuando el vector de posici´n var´ con
o ıa
el tiempo el punto describe un lugar geom´trico denominado trayectoria.
e
Dado que el movimiento es relativo, la trayectoria depende del observador. Por
ejemplo, si consideramos tan s´lo la acci´n del campo gravitatorio terrestre, un
o o
objeto que se deja caer al mar desde un barco que se mueve a velocidad constante
respecto a Tierra, tiene un movimiento rectil´
ıneo para un observador ligado al barco.
Para un observador ligado a Tierra, el cual ve al barco en movimiento, la trayectoria
del objeto es una par´bola.
a
OY , OZ a los ejes coordenados. En lo sucesivo, utilizaremos ambas indistintamente.

18. 18 CAP´ ´
ITULO 2. CINEMATICA DEL PUNTO
Z
P
r = OP
O
k
i o j
X
Y
Figura 2.4: Vector de posici´n.
o
Z
P
O
O
X
Y
Figura 2.5: La trayectoria es el lugar geom´trico de los extremos del vector de
e
posici´n.
o

19. 2.2. VELOCIDAD 19
r(t+D t)
Z
D r
Vm o
X Y
r(t)
Figura 2.6: Velocidad media.
2.2 Velocidad
Sean r(t) y r(t + ∆t) los vectores de posici´n de un punto m´vil respecto a un
o o
observador O en los instantes de tiempo t y t+∆t. Se define el vector desplazamiento
en dicho intervalo a la diferencia
∆r = r(t + ∆t) − r(t). (2.3)
A partir de ∆r, definimos la velocidad media del punto entre los instantes t y
t + ∆t, como:
∆r
Vm = . (2.4)
∆t
Como Vm es paralelo a ∆r, este vector lleva la direcci´n de la secante a la trayectoria
o
descrita por el punto entre los puntos r(t) y r(t + ∆t) (figura 2.6).
La velocidad media permite conocer la variaci´n del vector de posici´n por unidad
o o
de tiempo entre dos puntos dados de la trayectoria. Si queremos calcular esta
variaci´n considerando dos puntos infinitamente pr´ximos, debemos tomar en (2.4)
o o
el l´
ımite cuando ∆t tiende a cero, obteniendo lo que se conoce como velocidad
instant´nea o simplemente, velocidad del punto en el instante t.
a
Como la operaci´n de tomar l´
o ımite cuando ∆t → 0 coincide con la definici´n de
o
derivada, tenemos 2 :
∆r dr
V = lim = . (2.5)
∆t→0 ∆t dt
Si r est´ expresado a partir de (2.2), la velocidad se expresa como
a
2
Otra forma de denotar la derivada temporal es colocando un punto encima del vector, es decir
dr ˙
≡ r. En caso de que sea una derivada segunda, se colocar´n dos puntos. En adelante, ambas
a
dt
notaciones ser´n utilizadas indistintamente.
a

20. 20 CAP´ ´
ITULO 2. CINEMATICA DEL PUNTO
P
S>0
r(t+D t)
Z
Po
S<0
o
V(t)
X Y
r(t)
Figura 2.7: La velocidad es un vector tangente a la trayectoria en cada punto.
dx dy dz
V = ı +  + k, (2.6)
dt dt dt
de manera que las componentes de V seg´ n los ejes OX, OY y OZ son
u
dx dy dz
vx = ; vy = ; vz = . (2.7)
dt dt dt
Al obtener (2.6) a partir de (2.2) hemos tenido en cuenta que los vectores de la base
son fijos respecto al observador, siendo por tanto nula su derivada temporal. En el
Sistema Internacional la unidad de velocidad es el m/s.
N´tese que cuando ∆t se aproxima a cero, el vector desplazamiento va cam-
o
biando continuamente de m´dulo y direcci´n de manera que en el l´
o o ımite ∆t → 0
el desplazamiento infinitesimal dr lleva la direcci´n de la tangente a la curva en el
o
punto M. Por tanto, la velocidad es un vector tangente a la trayectoria. Su m´dulo
o
se denomina celeridad, y viene dado por:
dS
v = |V | = 2 2 2
vx + vy + vz = , (2.8)
dt
√
siendo dS = dx2 + dy 2 + dz 2 la distancia entre dos puntos infinitamente pr´ximos
o
sobre la trayectoria.
A continuaci´n, vamos a expresar la velocidad a partir de un vector unitario
o
tangente definido en cada punto de la curva. Para ello, consideremos un punto
arbitrario de la trayectoria Po . Se define la coordenada de arco s de un punto P , al

21. ´
2.3. ACELERACION 21
desplazamiento Po P medido a lo largo de la curva y con un signo positivo o negativo
seg´ n que P se encuentre a un lado u otro de Po .
u
Sea ∆s el incremento del arco entre los puntos r(t) y r(t + ∆t). Multiplicando
y dividiendo en (2.4) por ∆s, tenemos:
∆r ∆s ∆r ∆s dr ds
Vm = → V = lim Vm = ( lim )( lim )= . (2.9)
∆s ∆t ∆t→0 ∆s→0 ∆s ∆t→0 ∆t ds dt
Cuando ∆s tiende a 0, ya hemos visto que ∆r pasa a ser un vector infinitesimal dr
cuya direcci´n es tangente a la curva. Por otro lado, su m´dulo coincide con ds,
o o
para ds > 0, dado que ´sta es la distancia entre dos puntos infinitamente pr´ximos.
e o
Por tanto, dr/ds es un vector unitario tangente (figura 2.7), de modo que
V = vT T , (2.10)
siendo
dr ds
T = ; vT = . (2.11)
ds dt
vT es la proyecci´n de la velocidad en la direcci´n de T , la cual puede ser positiva
o o
o negativa seg´n que la coordenada de arco s aumente o disminuya con el tiempo.
u
Por otro lado,
ds
|vT | = | | = v. (2.12)
dt
2.3 Aceleraci´n
o
Sean V (t) y V (t + ∆t) las velocidades del punto m´vil P respecto a un observador
o
O en los instantes de tiempo t y t + ∆t. Se define la aceleraci´n media en dicho
o
intervalo, al vector
∆V
am = , (2.13)
∆t
siendo ∆V = V (t + ∆t) − V (t).
La aceleraci´n instant´nea, a la que a partir de ahora llamaremos simplemente
o a
aceleraci´n en el instante t, se define como:
o
∆V dV d2 r
a = lim = = 2. (2.14)
∆t→0 ∆t dt dt
Teniendo en cuenta (2.6) y (2.7), tenemos
a = ax ı + ay  + az k, (2.15)
siendo

22. 22 CAP´ ´
ITULO 2. CINEMATICA DEL PUNTO
V
V
a a
a V
Figura 2.8: La aceleraci´n es un vector cuyo sentido est´ dirigido hacia el lado
o a
c´ncavo de la curva.
o
dvx d2 x dvy d2 y dvz d2 z
ax = = 2 ; ay = = 2 ; az = = 2. (2.16)
dt dt dt dt dt dt
2
En el Sistema Internacional la aceleraci´n se mide en m/s .
o
El m´dulo de a viene dado por:
o
a= a2 + a2 + a2 .
x y z (2.17)
2.4 Componentes tangencial y normal de la ace-
leraci´n
o
Como la velocidad var´ tanto en m´dulo como en direcci´n, la aceleraci´n, que
ıa o o o
representa la variaci´n instant´nea de la velocidad por unidad de tiempo, no es en
o a
general un vector tangente a la curva. Por otro lado, como la velocidad var´a en el
ı
sentido en que se curva la trayectoria, a apunta siempre hacia la parte c´ncava de
o
la misma.
A continuaci´n, vamos a descomponer la aceleraci´n en sus componentes tan-
o o
gencial y normal, para lo cual partiremos de la expresi´n de la velocidad dada por
o
(2.10). Derivando respecto al tiempo, tenemos:
dV dvT dT dvT dT
a= = T + vT = T + v2 , (2.18)
dt dt dt dt ds
donde hemos tenido en cuenta que
dT dT
= vT ; vT = v 2 .
2
dt ds
Por otro lado, al ser T unitario, entonces T · T = 1. Derivando respecto al arco se
obtiene f´cilmente:
a
dT
T· = 0, (2.19)
ds

23. ´
2.4. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION 23
es decir, dT /ds es perpendicular a T . En geometr´ diferencial este vector se expresa
ıa
de la forma siguiente:
dT
= K(s)N . (2.20)
ds
N es un vector unitario perpendicular a la trayectoria y que apunta hacia la parte
c´ncava de la misma. Se denomina vector normal. Por otro lado,
o
dT
K(s) = . (2.21)
ds
K se denomina curvatura y a su inverso ρc (s) = 1/K(s) , radio de curvatura.
C2
lc (P2)
P1
lc (P1)
P2
C1
Figura 2.9: Interpretaci´n geom´trica de la curvatura y del radio de curvatura. El
o e
centro de curvatura C var´ de un punto a otro de la trayectoria. La distancia entre
ıa
C y el punto P es el radio de curvatura, el cual es inversamente proporcional a la
curvatura.
El significado geom´trico de la curvatura es el siguiente: como T es unitario, el
e
m´dulo de su derivada mide lo que var´ su direcci´n en cada punto. Si |dT /ds| es
o ıa o
muy grande, ello significa que la trayectoria se “curva” mucho en el punto conside-
rado.
Para dar una interpretaci´n geom´trica a ρc tendr´
o e ıamos que tener conocimientos
de geometr´ diferencial que se escapan de los l´
ıa ımites de este tema. No obstante,
se puede demostrar que esta cantidad representa el radio de la circunferencia que
mejor se aproxima a la curva en cada punto, denominada circunferencia osculatriz.
Su centro, denominado centro de curvatura, est´ situado en la direcci´n normal a la
a o
trayectoria en cada punto, y a una distancia ρc del mismo (figura 2.9).
N´tese que tanto K como ρc son caracter´
o ısticas intr´
ınsecas a cada trayectoria,
puesto que se definen a partir de la variaci´n del vector unitario tangente, el cual
o
no depende del tiempo sino de la forma de la curva. Por ejemplo, en el caso de una
trayectoria rectil´
ınea K = 0 dado que T es un vector constante y su derivada es
igual a cero; el radio de curvatura en este caso tiende a infinito. Otro ejemplo es el

24. 24 CAP´ ´
ITULO 2. CINEMATICA DEL PUNTO
de una trayectoria circular. En este caso la direcci´n del vector tangente var´ de la
o ıa
misma forma en todos los puntos siendo la curvatura igual a una constante; el radio
de curvatura es constante e igual al de la propia circunferencia (figura 2.10).
T
Z T
R= lc
r
k= 0 C
o
X Y
Figura 2.10: La curvatura representa como var´ la direcci´n del vector tangente a
ıa o
la trayectoria en cada punto de la misma. En el caso de una recta K = 0, y en el
caso de una trayectoria circular K = cte.
Teniendo en cuenta (2.18) y (2.20), la aceleraci´n puede expresarse a partir de
o
sus componentes tangencial y normal como
dvT v2
a= T + N ≡ aT + aN , (2.22)
dt ρc
donde
dvT d2 s
aT = T = 2 T, (2.23)
dt dt
y
v2
N. aN = (2.24)
ρc
aT y aN se denominan respectivamente 3 aceleraci´n tangencial y aceleraci´n normal.
o o
El m´dulo de la aceleraci´n tangencial es igual al m´dulo de la derivada de la
o o o
celeridad respecto al tiempo:
|aT | = |dvT /dt| = |dv/dt|. (2.25)
3
Las expresiones de la velocidad y la aceleraci´n a partir de los vectores tangente y normal
o
se suelen denominar “intr´
ınsecas”. En general, dada una curva en el espacio, se puede definir en
cada punto de la misma una base formada por tres vectores unitarios perpendiculares entre s´ Ya
ı.
hemos visto dos de estos vectores: el vector tangente T , y el vector normal N . El tercer vector,
denominado binormal, se define como
B = T × N.
Estos tres vectores forman en cada punto de la curva un triedro denominado en Geometr´ Dife- ıa
rencial Triedro de Frenet o Triedro Intr´nseco. A las componentes de la velocidad y la aceleraci´n
ı o
en esta base se las denomina componentes intr´nsecas. Vemos que ninguno de estos vectores tiene
ı
componente seg´ n la binormal, sino que siempre est´n contenidos en el plano constituido en cada
u a
punto de la curva a partir de los vectores tangente y normal. A este plano se le denomina osculador.

25. ´
2.4. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION 25
aT
V
Z
T a
r
N o
aN
X Y
Figura 2.11: Componentes tangencial y normal de la aceleraci´n.
o
Por otro lado, el signo de dv/dt viene determinado por la proyecci´n de la ace-
o
leraci´n sobre la direcci´n de la velocidad. Para verlo, s´lo tenemos que utilizar las
o o o
expresiones intr´
ınsecas de la velocidad y la aceleraci´n dadas por (2.10) y (2.22):
o
dvT dv
a · V = vT =v →
dt dt
V dv
a· = . (2.26)
v dt
De esta forma, cuando a · V es > 0 (< 0), entonces dv/dt es > 0 (< 0), y el
movimiento se denomina acelerado, (retardado). Cuando a· V = 0, entonces dv/dt =
0 y el movimiento se denomina uniforme (figura 2.12).
V a V
a
V a
Figura 2.12: El movimiento es acelerado, retardado o uniforme en cada punto de-
pendiendo del angulo que forman la velocidad y la aceleraci´n.
´ o
Como las aceleraciones tangencial y normal son perpendiculares, el m´dulo de
o
la aceleraci´n es
o

26. 26 CAP´ ´
ITULO 2. CINEMATICA DEL PUNTO
2 2
dv v2
|a| = |aT |2 + |aN |2 = + . (2.27)
dt ρc
2.5 Movimiento relativo
Vamos a investigar ahora c´mo est´n relacionados los movimientos de un mismo
o a
punto observados desde dos sistemas de referencia en movimiento relativo. Pero
obs´rvese que si los sistemas de referencia est´n en movimiento relativo deber´
e a ıamos
investigar primero este movimiento. ¡Y ese es un problema, no de cinem´tica del
a
punto, sino del s´lido r´
o ıgido (un sistema de referencia es, o define, un s´lido r´
o ıgido)!
El estudio de la cinem´tica del s´lido r´
a o ıgido rebasa con creces las pretensiones de
nuestro breve repaso de la cinem´tica del punto, y no lo vamos a abordar en su
a
m´xima generalidad. En vez de ello, nos vamos a limitar al caso m´s sencillo posible:
a a
El movimiento de traslaci´n rectil´
o ınea.
Consideremos dos sistemas de referencia, que denominaremos “0” y “1”, en mo-
vimiento relativo de traslaci´n rectil´
o ınea en una direcci´n arbitraria, y un punto P
o
que se mueve con un movimiento arbitrario que, en general, ser´ distinto seg´ n lo
a u
observe “0” o “1”.
´
Z1 P
Z0
1 0
Y0
O
O1
Y1
X1
X0
Figura 2.13: El movimiento de P puede observarse desde “0” o “1”.
´
Consideremos primero el movimiento de “0” respecto de “1”. Sea P0 un punto
cualquiera perteneciente a “0” (usamos el sub´ ındice para distinguirlo del punto P
arbitrario, que no pertenece a “0”). La posici´n del origen O cambia con el tiempo
o

27. 2.5. MOVIMIENTO RELATIVO 27
y la de P0 tambi´n, sin embargo, el hecho de que el movimiento de “0” respecto a
e
−→
−
“1” sea una traslaci´n significa que el vector OP0 no cambia con el tiempo, es decir:
o
−→
−
dOP0
= 0. (2.28)
dt
A partir de aqu´ se puede deducir que en el movimiento de “0” respecto de “1” todos
ı
los puntos tienen la misma velocidad. En efecto, derivando con respecto al tiempo
la igualdad:
− → − → −→
−− − −
O1 P0 = O1 O + OP0 , (2.29)
y teniendo en cuenta (2.28) nos queda:
−−
−→ −→
−
d O 1 P0 dO 1 O
= . (2.30)
dt dt
Es decir, las velocidades de P0 y O respecto de 1 son iguales:
P O
v1 0 = v1 . (2.31)
En esta expresi´n el sub´
o ındice indica el sistema desde el que se observa la velocidad.
Deriv´ndola con respecto al tiempo descubrimos que en el movimiento de traslaci´n
a o
de “0” respecto de “1” todos los puntos tienen la misma aceleraci´n:o
aP0 = aO .
1 1 (2.32)
Ahora ya estamos en condiciones de investigar c´mo se relacionan los movimien-
o
tos de P en “0” y “1”. Para ello vamos a partir de la igualdad:
−→ −→ −
− − →
O1 P = O1 O + OP . (2.33)
Deriv´ndola con respecto al tiempo:
a
P O P
v1 = v1 + v0 , (2.34)
y volvi´ndola a derivar:
e
aP = aO + aP .
1 1 0 (2.35)
Las ecuaciones (2.34) y (2.35) constituyen el resultado que ´ıbamos buscando.
Se pueden reescribir de un modo mas f´cil de recordar si sustituimos en ellas las
a
velocidades y aceleraciones de O mediante las ecuaciones (2.31) y (2.32):
P P P
v1 = v0 + v1 0 (2.36)
aP = aP + aP0 .
1 0 1 (2.37)

28. 28 CAP´ ´
ITULO 2. CINEMATICA DEL PUNTO
Estas ecuaciones nos dicen que la velocidad (aceleraci´n) de P vista desde “1”
o
es la misma que la velocidad (aceleraci´n) de P vista desde “0” m´s la velocidad
o a
(aceleraci´n) que tendr´ P si estuviera ligado r´
o ıa ıgidamente a “0” (es decir, P0 ) vista
desde “1”.