1. SUCESIONES REALES.
Definición: Es una función de f: Ζ+→R, donde Ζ+ es el conjunto de los
números enteros positivos. Si , entonces a esta sucesión la
denotaremos por , o presentando sus términos en orden
creciente de los subíndices:
El término es el primer, es el segundo, es el tercero y es el
término enésimo o término general.
Es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números enteros
positivos.
Sea la sucesión de los cubos de los enteros positivos:
Esta sucesión es una correspondencia que asigna a cada entero positivo su
respectivo cubo:
1 2 3 4 5 6 7 ………
1 8 27 64 125 216 343 ………
Esta sucesión se puede escribir como:
Ejemplo de Sucesiones:
Sucesión con su término general Notación estándar

2. Nota: el primer término de una sucesión no necesariamente debe
corresponder a , según sea el caso puede ser cualquier entero .
Si se considera la sucesión , el primer término es
, ya que y no son números reales.
Si una sucesión comienza con el término , escribiremos:
Ejemplo 1. Dada la sucesión
a. Hallar los cinco primeros términos.
b. Graficar en la recta numérica los cinco primeros términos hallados.
c. Graficar en el plano los cinco primeros términos hallados.
Solución:
0 1
1
1 2 3 4 5

3. Ejemplo 2.
Los siguientes números son los 5 primeros términos de una sucesión:
a. Hallar una fórmula del término general de una sucesión cuyos
cinco primeros términos son los dados.
b. Hallar el sexto término.
Solución:
a. el primer numerador es
el segundo es
el tercero es
entonces el numerador enésimo es
el primer denominador es
el segundo es
el tercero es
entonces el denominador enésimo es
el signo positivo y negativo que acompaña a las fracciones se
alternan. Así que el término enésimo es multiplicado por o
, como el primer término es positivo se escoge . En
lugar de se puede tomar también a .
Una posible solución para el término general de la sucesión puede ser:
b.

4. Definición: se dice que una sucesión es
a. Creciente sii para cada entero positivo
b. No decreciente sii para cada entero positivo
c. Decreciente sii para cada entero positivo
d. No creciente sii para cada entero positivo
Si se cumple cualquiera de estas cuatro propiedades, se dice que la sucesión
es monótona.
Ejemplo 3.
Decreciente
Creciente
No decreciente
No monótona
Sucesiones Convergentes:
Decimos que una sucesión tiene límite el número L, y escribiremos
, si puede acercarse a tanto como se quiera, tomando a
suficientemente grande.
Si existe el límite, se dice que la sucesión converge o es convergente. Si
el límite no existe, diremos que la sucesión diverge o es divergente.
Ejemplo 4.
Sea la sucesión: o
Entonces , es decir cuando la sucesión
converge a un valor, que en este caso es cero.

5. sucesión 1/n
1.20
1.00
0.80
0.60
1/n
0.40
0.20
0.00
0 2 4 6 8
Definición de cotas inferior y superior de una sucesión:
El número C es una cota inferior de la sucesión si para todos los
números enteros positivos ; el número D es una cota superior de la
sucesión si para todos los números enteros positivos
Una sucesión es acotada si y sólo si tiene una cota superior y una cota
inferior.
Teorema: Toda sucesión convergente es acotada y toda sucesión no acotada
es divergente.
Nota: La acotación no implica la convergencia, la siguiente sucesión
oscilante: es ciertamente acotada (superiormente por 1,
inferiormente por 0), pero es evidente que no converge.
La acotación, conjuntamente con la monotonía, implica la convergencia.
Subsucesiones: si de una sucesión se toman infinitos términos conservando
su orden se obtiene una subsucesión de la sucesión inicial.

6. Ejemplo 5.
Dada la sucesión de los enteros positivos:
Hallar cuatro Subsucesiones.
Solución:
1. La subsucesión de los enteros positivos pares:
2. La subsucesión de los enteros positivos impares:
3. La subsucesión de los primos:
4. La subsucesión de los enteros positivos que son potencias de 2:
Nota:
1. Si una subsucesión converge a un límite , entonces toda
subsucesión de converge también a .
2. Si una subsucesión tiene dos Subsucesiones que convergen a
límites distintos, entonces la sucesión diverge.
Ejemplo 6. La sucesión es divergente.
En efecto, los términos de esta sucesión son:
La subsucesión conformada por los términos se subíndice par:
En cambio la subsucesión conformada por los términos de subíndice impar:
En consecuencia, la sucesión diverge.

7. Leyes de los límites de sucesiones.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Límites notables:
1.
2.
3.
4. 8.
5.
6.
7.
Ejemplo 7. Determinar si las siguientes sucesiones son convergentes.
a)
Esta indeterminación se estudia aplicando L’Hopital o dividiendo cada término de la
sucesión por la potencia mayor de n; finalmente el valor del límite será:

8. b)
Esta indeterminación se estudia dividiendo una de las sucesiones presentes entre el
reciproco de la otra sucesión quedando de la siguiente forma:
que se resuelve aplicando L’Hopital quedando:
c) esta sucesión se puede, por propiedad de límites, en dos:
, límites determinados en los ejemplos anteriores
por lo que el valor de límite será:
Ejemplo 8. Discutir las cotas y monotonía de las siguientes sucesiones:
a) Monótona decreciente
Cota inferior= 0
Cota superior= 2
b) No Monótona
Cota inferior= -1
Cota superior=
c) Monótona Creciente
Cota inferior= 1
Cota superior=

9. d) Monótona decreciente
Cota inferior= 0
Cota superior= 0,9
e) Monótona Creciente
Cota inferior=
Cota superior= 2