Este documento describe varias aplicaciones de las derivadas, incluyendo encontrar la pendiente de la tangente, estudiar la monotonía y curvatura de funciones, identificar puntos de inflexión, y encontrar máximos y mínimos locales. También resume criterios para determinar la concavidad o convexidad de una función y para identificar máximos y mínimos a través del análisis de la primera y segunda derivada.
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INTRODUCCIÓN
El presente trabajo busca investigar para describir las diferentes aplicaciones de las
derivadas, para tener una idea más clara de los múltiples usos que se le pueden dar en sus
diferentes formas.
Tratando de representarlode forma gráfica ara tener una idea más clara de como se
representa en ejercicios y gráficas.
3. APLICACIÓNALAS
DERIVADAS
LAS DERIVADAS TIENEN MUCHAS APLICACIONES EN EL
ANÁLISIS DE FUNCIONES.
EN PRIMER LUGAR, OFRECE LA PENDIENTE DE LA
RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN
UN PUNTO.
PERO TIENEN MUCHAS MÁS UTILIDADES.
ESTA LISTA, SIGUIENDO EL ENLACE, NOS LLEVA A LAS
MÁS IMPORTANTES APLICACIONES DE LAS DERIVADAS:
4. MONOTONÍADE
UNAFUNCIÓN
ESTUDIAR LA MONOTONÍA, ES DECIR EL CRECIMIENTO O EL
DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO.
PARA HALLAR LOS INTERVALOS DE MONOTONÍA DE UNA
FUNCIÓN SE REALIZARÁ EL SIGUIENTE PROCEDIMIENTO:
DERIVAR LA FUNCIÓN, OBTENIENDO F’(X).
HALLAR LAS RAÍCES DE LA DERIVADA, ES DECIR, LOS
VALORES DE X TALES QUE EN ELLOS LA DERIVADA SEA F’(X)
= 0.
CREAR INTERVALOS ABIERTOS CON EXTREMOS LAS RAÍCES
HALLADAS DE F’(X).
ESTUDIAR EL SIGNO QUE TOMA LA DERIVADA EN UN VALOR
INTERIOR DE CADA INTERVALO.
Monotonía de una función
5. CURVATURADEUNA
FUNCIÓN
LA DERIVADA PERMITE ESTUDIAR LA CONCAVIDAD O
CONVEXIDAD. LA PRIMERA DERIVADA NOS PERMITE
ESTUDIAR LA CURVATURA (CONCAVIDAD O CONVEXIDAD)
DE UNA FUNCIÓN. LA SEGUNDA DERIVADA DETERMINA LA
CURVATURA.
EN TÉRMINOS VISUALES, UNA FUNCIÓN CÓNCAVA SE
ASEMEJA A UNA MONTAÑA, MIENTRAS QUE UNA
FUNCIÓN CONVEXA A UN VALLE.
(HAY AUTORES QUE ADOPTAN EL CRITERIO CONTRARIO,
LLAMANDO CÓNCAVA A LA FORMA DE VALLE Y CONVEXA
A LA FORMA DE MONTAÑA).
6. PUNTOSDE
INFLEXION
LA DERIVADA PERMITE ESTUDIAR EXISTENCIA DE LOS
PUNTOS DE INFLEXIÓN.
UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN ES EL LUGAR DE
SU DOMINIO EN DONDE CAMBIA DE CURVATURA, DONDE
CAMBIA DE CONCAVO A CONVEXO O VICEVERSA.
EN UN PUNTO DE INFLEXIÓN, LA TANGENTE ATRAVIESA LA
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN. SI ADEMÁS LA PRIMERA DERIVADA
ES NULA, F’(A) = 0, ES UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE
TANGENTE HORIZONTAL.).
7. MÁXIMOS Y
MÍNIMOS
LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN PUEDEN ENCONTRARSE MEDIANTE LA DERIVADA.
SI LA FUNCIÓN ESTÁ DEFINIDA EN UN INTERVALO (A, B) Y ES DERIVABLE EN ÉL, PARA QUE HAYA UN PUNTO EXTREMO
LOCAL (MÁXIMO O MÍNIMO) C DEL INTERVALO), LA DERIVADA PRIMERA EN C DEBE SER NULA, F’(C) = 0.
ESTA CONDICIÓN ES NECESARIA, PERO NO SUFICIENTE. ¿CÓMO PODEMOS SABER SI ESE PUNTO ES UN EXTREMO LOCAL
Y SI ESTE EXTREMO ES UN MÁXIMO O UN MÍNIMO?:
Y ES QUE PUEDE OCURRIR QUE F’(C) = 0 Y QUE EN C HAYA UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE TANGENTE HORIZONTAL. LOS
PUNTOS EN QUE SE ANULA LA PRIMERA DERIVADA SE DENOMINAN PUNTOS CRÍTICOS.).
8. CRITERIODELA
PRIMERADERIVADA
EL PUNTO (C, F(C)) ES UN MÁXIMO LOCAL DE F(X) SI SE
CUMPLE QUE F’(C) = 0 Y EN EL ENTORNO INMEDIATO DE C LA
PRIMERA DERIVADA PASA DE SIGNO POSITIVO A NEGATIVO.
EL PUNTO (C, F(C)) ES UN MÍNIMO LOCAL DE F(X) SI SE
CUMPLE QUE F’(C) = 0 Y EN EL ENTORNO INMEDIATO DE C LA
PRIMERA DERIVADA PASA DE SIGNO NEGATIVO A POSITIVO.
EL PUNTO (C, F(C)) ES UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE
TANGENTE HORIZONTAL DE F(X) SI SE CUMPLE QUE F’(C) = 0 Y
EN EL ENTORNO INMEDIATO DE C LA PRIMERA DERIVADA NO
CAMBIA DE SIGNO.
9. CRITERIODELA
SEGUNDADERIVADA
EL PUNTO (C, F(C) ES UN MÁXIMO LOCAL DE F(X) SI SE
CUMPLE QUE LA PRIMERA DERIVADA EN ÉL ES NULA Y SU
SEGUNDA DERIVADA ES NEGATIVA.
EL PUNTO (C, F(C) ES UN MÍNIMO LOCAL DE F(X) SI SE
CUMPLE QUE LA PRIMERA DERIVADA EN ÉL ES NULA Y SU
SEGUNDA DERIVADA ES POSITIVA.
EL CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA LO VEMOS
RESUMIDO EN ESTE CUADRO:
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CONCLUSIÓN
Las derivadas osn un tema muy dinámico ya que agilizan muchos procesos matemáticos y
son una herramienta fundamental como base fundamental para otros temas de mayor
complejidad. Representa los avances matemáticos de los últimos siglos y están presentes
la mayoría del tiempo en los avances matemáticos actuales.
