El documento habla sobre las formas indeterminadas en cálculo, incluyendo 0×∞, 0/0 y ∞/∞. Explica que la regla de L'Hôpital permite resolver indeterminaciones del tipo 0/0 y ∞/∞ calculando el límite de la razón de las derivadas. Además, provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la regla de L'Hôpital para resolver un límite indeterminado de la forma 0/0.

1. República Bolivariana de Venezuela
I.U.T Antonio José de Sucre
Barquisimeto, Edo - Lara
GIOVANNA GONZALEZ
24.399.732

2. Formas indeterminadas
Involucra los límites del tipo:
Es decir, cuando una variable tiende a ese valor parece no existir o no estar
definida.
Producto indeterminado
La forma indeterminada 0 • ∞
Diferencia indeterminada
En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar
ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a
una forma indeterminada del tipo . Para resolver esta
indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por
los polinomios conjugados.

3. La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de
Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo o .
Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en
(a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual
a L. Por lo tanto,
Guillaume de l'Hôpital
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla
de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma
requiere de argumentos de tipo ε-δ más delicados.2 4
 Como g(c)=0 y g'(x) ≠0 si x≠c, se tiene que g(x) ≠0 si x≠c como
consecuencia del Teorema de Rolle.
 Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy,
para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de
extremos x y c, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente
manera:
 Cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, tx también tiende
hacia c, así que:
Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación
más rigurosa.

4. La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de
límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:
Un límite indeterminado de la forma:
Valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las
derivadas de numerador y denominador, es decir:
De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0.

5. Hallar el límite:
Este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla
de L'Hôpital:
Límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede
volver a aplicar la regla de L'Hôpital:
Que es en definitiva el valor del límite.
Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a
la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: / , 0× , -
.
Por ejemplo, una indeterminación del tipo / , provendrá de un límite de la
forma:
En donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite
obviamente no varía si lo expresamos en la forma:
Y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es
diferente de la 0/0.