5. 2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función integrable en [a, b]
y F una primitiva de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.
∫ =−=
b
a
b
a
)x(F)a(F)b(Fdx)x(f
7. PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y
α y β son constantes, se tiene:
∫ ∫∫ β+α=β+α
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad
8. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
Sea f una función contínua en [1; 5], si:
∫∫ =−=
5
1
3
1
7)(4)( dxxfydxxf
Determine el valor de:
∫
5
3
)( dxxf
9. 2. Si existen las integrales de la izquierda,
también existe la integral de la derecha:
∫ ∫∫ =+
c
a
b
a
b
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
Propiedad aditiva respecto al intervalo de
integración
bac ,∈
10. La propiedad anterior es aplicada cuando la función
está definida por partes y cuando es seccionalmente
continua.
Ejemplo:
Si:
y se quiere hallar:
≤<−
≤≤
=
21;21
11-;2-x
)(
xx
x
xf
∫ ∫ ∫− −
−+−=
2
1
1
1
2
1
)21()2()( dxxdxxdxxf
( )∫−
2
1
dxxf
11. 3. Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) ≥ f(x)
para todo x ∈ [a, b], se tendrá:
∫ ∫≥
b
a
b
a
dx)x(fdx)x(g
Teorema de comparación
15. EJERCICIOS
• Se muestra al grafica de . Usando fórmulas
geométricas:
– Evalúe la integral:
– Calcule el área representada por la
integral:
f
∫
9
3
)( dxxf
∫
9
3
)( dxxf