hallando la derivada

1. Calcular la derivada de una
integral
Publicado por gaussianos el 22 de junio de
2011 en Aprenda como, Cálculo | 43
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Calcular la derivada de una integral…¿estás de broma? La derivada de una
integral…¿Eso existe? Y si existe, ¿eso no daría de resultado la función inicial?
Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada
son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro
obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa
no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.
Vale, supongamos que se puede hacer esto. ¿Qué importancia podría tener? ¿Para qué
podría servir? ¿Es útil?
Pues…sí, claro que tiene importancia. Así, a bote pronto, se me ocurre la siguiente
utilidad: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante
una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en
un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en
dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral
tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.
Bueno, no está mal, pero no me imagino de dónde puede salir una función definida
mediante una integral. Vamos, que no lo veo natural.
Ahí va un ejemplo que me pasa ahora mismo por la cabeza. En muchas ocasiones las
soluciones de una ecuación diferencial (no nos hace falta saber qué es eso, aunque
muchos seguro que lo sabéis) deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar
su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa
derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza
están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?) parece buena
idea saber hacer esto, ¿verdad?
Por todo esto, en este post vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función
definida mediante una integral.
Derivada de una integral I: El TFC

2. El resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos
dice cuánto vale dicha derivada es el teorema fundamental del cálculo (TFC). El
primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue James Gregory,
aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue Isaac
Barrow el primer que demostró este teorema. Isaac Newton terminó el trabajo con el
desarrollo de la teoría matemática subyacente.
¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que la derivación y la
integración son procesos inversos. Pero además nos da una manera de calcular
integrales definidas.
El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin
entrar en algunos detalles, el enunciado del primero podría ser algo así:
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
Dada una función ,
1. La función es continua.
2. Si además es una función continua, entonces es derivable, y:
Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones
que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una
función continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da
como resultado la propia .
El enunciado del TFC2 es algo así:
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Si es una función continua y es una función tal que , entonces:
Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un
intervalo: calculamos (lo que se denomina una primitiva de ) y restamos los
valores de en los extremos del intervalo.
Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy útil, sobre todo teniendo
en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales.
Supongamos que ahora queremos calcular la derivada de la siguiente función ,
definida mediante una integral:
La situación no es exactamente igual que antes, ya que los límites de integración no son
de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para

3. calcular necesitamos algo más. Este algo más es una generalización del TFC1, que
combina este resultado con la regla de la cadena (que se utiliza para derivar de forma
sencilla una composición de funciones). Ahí va:
Generalización del TFC1
Si la función está definida mediante la siguiente integral
entonces su función derivada se calcula de la siguiente forma:
Con esta fórmula podemos calcular la derivada de la función anterior:
Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas
mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad, ya
sea para estudiar monotonía y/o curvatura de esa función, para comprobar si es solución
de cierta ecuación diferencial, para utilizar la regla de L’Hopital en un límite donde
aparezca dicha función, etc.
Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz
Vamos a darle al tema una vuelta de tuerca más. Dada una función definida
mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral
depende ? Es decir, si nuestra tiene esta forma:
donde la función depende de (que es la variable de ) además de depender de ,
¿cómo calculamos su derivada?
Para este caso necesitamos utilizar la conocida como Fórmula de Leibniz, que nos dice
cómo calcular dicha derivada. Ahí va:
Fórmula de Leibniz
Dada la función
podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula:
Como podéis ver, la fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 que vimos antes
junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de respecto de .
Con esta fórmula podemos, por ejemplo, hacer este ejercicio que aparece en una relación
de ejercicios de uno de los grupos de alumnos que he tenido este curso:

4. Dado el problema de valores iniciales siguiente:
comprobar que la función
es solución del mismo.
Pero esto os lo dejo como ejercicio. Intentadlo, que es sencillo.
Espero que os haya quedado claro el tema y que este post os sirva de ayuda cuando
necesitéis realizar esta operación.
La imagen de Barrow la he tomado de aquí y la de Leibniz de aquí.
Por cierto, este artículo ha llegado a portada en Menéame. Gracias a todos los que lo
habéis meneado.