Este documento introduce la noción matemática de convolución y su relación con la transformada de Fourier. Explica que a diferencia de la transformada de Laplace, la transformada de Fourier no conmuta con la multiplicación, pero sí lo hace con la convolución. Presenta la definición formal de convolución y algunas de sus propiedades básicas, y demuestra el importante teorema de que la transformada de Fourier de una convolución es igual al producto de las transformadas individuales. Proporciona varios ejemplos para ilustrar el cálculo de convoluciones y el

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÒN
UNIVERSITARIA CIENCIA Y TECNOLOGÌA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
CONVOLUCIÓN Y SU TRANSFORMADA DE FOURIER
Autor:
Neyker Josue
Moncada Zambrano
San Cristóbal, Agosto 2017

2. Convolución y transformadas
La transformada de Laplace es lineal, es la transformada de una suma es la
suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar
para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con
la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el
producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto
generalizado bajo el cual esto es cierto.
Definición [Convolución]
La función , donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
Se conoce como la convolución de y .
La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación
ordinaria, como veremos en el siguiente teorema.
Teorema [Propiedades de la convolución]
Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces
1. (ley conmutativa)
2. (ley distributiva)

3. 3. (ley asociativa)
4.
Demostración
La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de
ellas y dejamos las restantes al lector.
Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicación
ordinaria que la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general
que ; para ver esto, note que

4. Ejemplo
Calcule la convolución de y .
Solución
Usando la definición e integración por partes, tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolución de las funciones y .
Solución
Usando la definición e integración por partes

5. Observación: para calcular la integral
del ejemplo anterior, hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y
práctica, como veremos.
Teorema [Teorema de convolución]
Si y existen para , entonces
Observación: La forma inversa del teorema de convolución
es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede

6. evitar el cálculo de fraciones parciales complejas.
Ejemplo
Calcule
Solución
Usando el teorema de convolución tenemos que
Observación: como ya hemos calculado podemos corroborar el
resultado obtenido anteriormente

7. Ccomo obtuvimos en el ejemplo anterior.
Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de
convolución para el cálculo de transformadas inversas.
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada inversa
Solución
Usando el teorema de convolución
Observación: en este ejemplo el uso de fracciones parciales resulta viable, pues

8. Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones
parciales puede ser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de
convolución.
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada inversa
Solución
Usando el teorema de convolución, tenemos
Observación: en este ejemplo la expansión en fraciones parciales no es tan
simple
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada inversa

9. Solución
Usando convolución
El siguiente corolario es útil en el cálculo de la transformada de una integral.
Corolario
Tomando en el teorema de convolución tenemos que
donde
Demostración

10. Ejemplo
Calcule la siguiente transformada
Solución
Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicación por , tenemos que