Trabajo de investigación sobre las derivadas matemática

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Tecnológico Antonio José de Sucre
San Cristóbal – Edo Táchira
DERIVADAS
Fabiana Patricia Ruiz González
Cátedra: Matemática
Sección “A”
Enero, 2021

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Introducción
La matemática o las matemáticas es una ciencia exacta y deductiva, la
cual se encarga del estudio de las propiedades de los entes abstractos, así
como de las conexiones y relaciones que existen entre ellos. Las matemáticas
guardan íntima relación con todas las actividades que realizamos en nuestro
día a día, como ir al supermercado y sacar las cuentas para comprar y pagar
los productos, así como cuando manejamos debemos utilizar la lógica para
conducir de manera correcta y evitar accidentes y no cometer imprudencias.
También, usamos las matemáticas cuando hacemos ejercicios y
muchas otras actividades que son de suma importancia como la medicina, la
física, la ingeniería entre otras, lo que hace a ésta disciplina sino la más
importante una de las más importante para la humanidad ya que ha
permitido su desarrollo y evolución en todas las áreas ya nombradas, por lo
cual se recomienda su estudio y práctica para el desenvolvimiento del sujeto
como persona y la sociedad como tal.
La Derivada
La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular
respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales.
La derivada de una función está representada gráficamente como

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una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de esta
pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función
recibe el nombre de Derivada, Esta línea, está colocada sobre el punto más
extremo (superior o inferior) de la curva, por lo que a su vez está
determinando un límite al que la función llega, en relación al incremento que
consiga la variable estudiada por las alteraciones que reciba. El concepto de
derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con
la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que
experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos
de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad
que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de
los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.
Se enuncia de primero todo lo relacionado con el campo matemático
de la derivada ya que su importancia a la hora de un cálculo o un gráfico es
notable, es un concepto muy rico en el área y muy usado por estudiantes de
ingeniería, los cuales las emplean como herramienta de cálculo para el
estudio. Sin embargo, la palabra al ser utilizada como un adjetivo, describe
una situación en la que se denota él lugar o contexto de donde proviene algo.

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La derivada representa un papel fundamental en las Matemáticas debido a su gran
cantidad de aplicaciones en la ciencia, la tecnología o la economía:
 Cálculo de la velocidad y la aceleración instantánea de cualquier objeto en
movimiento.
 Para la optimización de funciones, cálculo de máximos y mínimos. En procesos
productivos es fundamental conocer las condiciones en qué podemos obtener los
mayores beneficios
 Construir carreteras de modo que las curvas se puedan tomar de la forma más
natural posible.
Como muchos de los conceptos matemáticos que estudiamos, el concepto de
derivada es fruto de varios siglos de evolución.
Los problemas típicos que dieron origen al "Cálculo infinitesimal" comenzaron a
plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 2000 años después.
En lo que atañe a las derivadas son tres problemas los que la dieron origen:
 El cálculo de máximos y mínimos de una función.
 El cálculo de la tangente a una curva en un punto.

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 El cálculo del área encerrada bajo una curva.
Pero fue hasta el siglo XVII cuando se hizo el desarrollo definitivo del
cálculo diferencial.
Galileo (1564-1642) estudió el movimiento uniformemente acelerado.
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los
infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos,
empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del
cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas
para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros
darían origen al cálculo diferencial, los otros a la integral.
Las investigaciones de Fermat (1601-1665) hicieron que el concepto de derivada
fuera calando en los Matemáticos de la época.
A mediados de siglo, sin que se tuviera la teoría de la derivación establecida ya se
conocían métodos generales para calcular la recta tangente a una curva.
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus
predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron

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reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos
conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes.
En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía
con el descubierto por Fermat. Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo
diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac
Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter
geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una
velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta
tangente a la curva en dicho punto. Fue quizás el mayor inventor de símbolos
matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral,
así como los símbolos de derivada dy/dx y el símbolo de la integral ∫∫.
Algunos historiadores fechan el inicio de la Ilustración con la publicación de la obra
de Newton. Hecho que nos da una escala de la magnitud de los descubrimientos
de Newton y Leibniz. Considerando que una derivada es la resultante de un límite
que representa a la pendiente de una recta tangente a una gráfica en la función de
un punto específico
Existe distintos tipos de derivadas, por ejemplo:

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Derivada de una función
La derivada en una función es el límite hacia el que tiende la razón
entre un incremento en la función y el que corresponde a la variable si el
incremento tiende a ser cero. La derivada de una función es la que está
representada, de forma gráfica, como una línea que es recta, pero
superpuesta encima de una curva cualquiera que se denomina función. Ese
valor que tiene la pendiente respecto al eje en el cual se estudia la función
es lo que se denomina derivada. La derivada de una función f(x) en un punto
x=a se define como el valor del límite, cuando existe de un cociente
incrementado o incremental, si ese incremento que tiene la variable es
similar a cero.
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Derivada algebraica
La derivada es la pendiente de una recta tangente a la función de un
determinado punto, por lo que la función tiene que estar en ese punto donde se
podrá trazar una recta que es tangente en él.
Derivada del producto
La derivada de un producto en dos funciones es similar al primer factor
multiplicado por la derivada del segundo sumándole el segundo factor y
multiplicándolo por la derivada del primero. Ejemplo:f(x)=u.v entonces
f’(x)=u’.v+u.v’
Derivada del cociente
La derivada que tiene un cociente en dos funciones es similar a la derivada
que tiene el numerador multiplicada por el denominador y menos la derivada que
tiene el denominador por el numerador, dividida entre el cuadrado que tiene el
denominador.
Derivada exponencial
La derivada de una función que es exponencial es igual a esa misma función
por el logaritmo de la base o neperiano multiplicado por la derivada del exponente.

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Derivada de la función trigonométrica
Es un proceso en matemática mediante el cual una función trigonométrica
cambia con relación a la variable independiente o derivada de una función. Estas
funciones de tipo trigonométrico son sin(x), cos(x) y tan(x).
Derivada inmediata
La derivada que tiene una constante siempre es cero: Si f(x)= k entonces su
derivada será f’(x)=0
Derivada de suma
La derivada de la suma que tiene dos funciones es similar a la suma de las
demás derivadas que tienen esas funciones. Esta regla se aplica a números de
sumandos tanto positivos como negativos. Ejemplo: f(x)=u ± v entonces
F”(x)=u” ± v