1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA.
RECINTO UNIVERSITARIO PEDRO ARAUZ PALACIO.
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS.
GUIA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL.
I. Espacios Vectoriales. Sub-espacios Vectoriales.
a. Determine si W es o no un sub-espacio vectorial.
1. 𝑊 = {( 𝑥 𝑦 𝑧) ∈ 𝑅3
𝑥 = 2𝑦}
2. 𝑤 = {( 𝑥 𝑦 𝑧) ∈ 𝑅3
𝑥 = 𝑦 = 𝑧}
3. 𝑤 = {( 𝑥 𝑦 𝑧) ∈ 𝑅3
𝑥 + 𝑦 = 1 𝑧 = 𝑥}
II. Combinaciones Lineales. Espacio generado y Dependencia e independencia
lineal.
a. En cada uno de los casos siguientes determine si el conjunto dado de vectores
genera el espacio vectorial dado.
1. En 𝑅2
: (
1
2
) , (
3
4
)
2. En 𝑅2
: (
1
1
) , (
2
1
) , (
2
2
)
3. 𝐸𝑛 𝑅3
: (1 −1 2), (1 1 2), (0 0 1)
4. 𝐸𝑛 𝑃2 (𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2): 1 − 𝑥, 3 − 𝑥2
5. 𝐸𝑛 𝑀22 : (
1 0
1 0
) , (
1 2
0 0
) , (
4 −1
3 0
) , (
−2 5
6 0
)
b. Determine si el conjunto de vectores es L.I. o L.D.
1. (
−3
4
2
) (
7
−1
3
) , (
1
2
8
)
2. 𝐸𝑛 𝑃3: 2𝑥, 𝑥3
− 3,1 + 𝑥 − 4𝑥3
, 𝑥3
+ 18𝑥 − 9
3. 𝐸𝑛 𝑀22 : (
1 −1
0 6
) , (
−1 0
3 1
) , (
1 1
−1 2
) , (
0 1
1 0
)
4. (1 −1), (0 0)
5. (2 −3 1), (0 1 4), (1 2 −1), (1 0 2)
c. Hallar la dimensión, una base y la forma de los sub-espacios generados por los
siguientes conjuntos.
1. {(1 3 −4), (1 4 −3), (2 3 −11)}
2. {(1 5 −6), (2 2 8), (3 −1 4), (2 2 1)}
3. Sea A={( 𝑥 𝑦 𝑧) ∈ 𝑅3
: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0} 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒.
III. Combinaciones Lineales.
a. Determine si es o no una C.L en caso de que sea hallar la nulidad y el
rango.
1. 𝑓: 𝑅3
→ 𝑅2
; ( 𝑥, 𝑦, 𝑥) → ( 𝑥 + 𝑦, 𝑦 + 𝑧)
2. 𝑓: 𝑅2
→ 𝑅3
; ( 𝑥, 𝑦) → (2𝑥 −𝑥 𝑥)
3. 𝑓: 𝑅2
→ 𝑅2
; ( 𝑥, 𝑦) → ( 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦)

2. IV. Obtenga la matriz canónica 𝑆 𝑇 que represente a la transformación dada.
1. 𝑇: 𝑅3
→ 𝑅3
𝑇( 𝑥 𝑦 𝑧) = (0 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 3𝑥 + 4𝑧)
2. 𝑇: 𝑅3
→ 𝑅3
𝑇( 𝑥 𝑦 𝑧) = (𝑥 − 𝑦 + 𝑧 2𝑦 + 4𝑧 𝑧)
V. Obtenga la matriz de transición de B a B´
1. 𝐵 = {(2 2 10) (6 −2 14) (10 −22 50)} 𝐵´ =
{(2 −2 10) (2 2 2) (0 −4 0)}
2. 𝐵 = {(1 2 3) (4 1 5) (−1 2 2)} 𝐵´ =
{(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)}
VI. Use el proceso de Gram-Schmidt para transformar las bases de 𝑅3
en bases
orto normales.
1. {(−1 0 1), (0 1 2)(1 1 0)}
VII. Valores y Vectores propios.
Determine si es diagonalizable, u ortogonalmente diagonalizable cada una de
las matrices dadas. Si así fuera encuentre la matriz C que diagonaliza.
1. [
9 −40
2 −9
]
2. [
1 5
5 1
]
3. [
1 1 1
0 −1 −1
0 4 3
]
4. [
4 2 1
2 1 0
0 0 10
]