ANALISIS MATEMATICO IV

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO IV: CUARTO. CICLO
I. Hallar el orden y grado de cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
1). (
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
)
3
4 − (
𝑑3
𝑦
𝑑 𝑥3
)
4/3
− 𝑥4
𝑦2
= 𝑥
2). 𝑥( 𝑦′′)5/3
+ { 𝑦′′′
− ( 𝑦′′)3}
3
4 = −𝑦𝑦
(4)
3).
𝑑3
𝑥
𝑑𝑦3
+ (
𝑑5
𝑥
𝑑𝑦5
)
3𝐼2
+
𝑑2
𝑥
𝑑𝑦2
+ 𝑥(6)
𝑦 = 1
4). 𝑦
(4)
+ ( 𝑦′′′)−3
+ ( 𝑦′′′)−4
+ 2𝑦( 𝑦′′′)2
= 𝑦
5). ( 𝑦(5))
1/3
+ 3𝑥3( 𝑦′′′)3
+ 𝑥3
𝑦′′′
− 2𝑥5
𝑦′ = 𝑥
6). 𝑥2
𝑙𝑛( 𝑦(4)) + 2𝑒 𝑥𝑦′′
− 𝑥( 𝑦−4) = 𝑒2𝑥
7). 𝑙𝑛2( 𝑥𝑦′′) + 𝑥( 𝑦′′)−2
+ 𝑒−𝑥𝑦
= 𝑥
8). 𝑥3
𝑦
(4)
− 𝑥𝑠𝑒𝑐 ( 𝑥2
𝑦′′′ ) + 𝑦−5
− 2𝑥𝑦 = 1
9). x( 𝑦(2))
1/5
+ [ 𝑥𝑠𝑒𝑛( 𝑥2( 𝑦′′′))]
2𝐼3
+ 𝑥2
𝑦′′′
− 2 = 0
10). 𝑥−1( 𝑦(4))
1/5
− [ 𝑥2
𝑐𝑜𝑠( 𝑥3
𝑦′′′ )] + 𝑥4( 𝑦
(4)
)
−1
+ 𝑥 = 0
II. Verificar que la función dada es o no una solución de la EDO que la acompaña y
especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución:
1). 𝑦 = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥2
− 𝐶𝑥2
+
𝐷𝑥3
3
; 𝑥2
𝑦′′′
− 4𝑥𝑦′′
+ 𝑦′
− 𝑦 = 𝑥 + 1
2). 𝑥−2
𝑦2
+ 𝑦3
𝑥2
= 𝑐𝑥 ; 𝑦 𝑑𝑥 + ( 𝑥 − 3𝑦) 𝑑𝑦 = 0
3). 𝑦 =
√ 𝑥2 +𝑐𝑥
𝑥
; ( 𝑥2
+ 𝑦2) 𝑑𝑥 − 2𝑥2
𝑦 𝑑𝑦 = 0
4). 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐵𝑒−2𝑥
+ 𝐶𝑒2𝑥
; 𝑦′′′
+ 2𝑦′′
− 4𝑦′
+ 6𝑦 = 0
5). {
𝑥 = 𝑡 𝑡
𝑙𝑛| 𝑡| + 𝑡−𝑡
𝑦 = 𝑡2( 𝑙𝑛2( 𝑡2) − 1)
; 𝑦′′
𝑙𝑛( 𝑦′) = 𝑥 − 2𝑦
6). {
𝑥 = 𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√𝑡)
𝑦 =
𝑡3
3
− √1 + 𝑡2
; 𝑥 = 𝑦′
− 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛( 𝑦′)
7). 𝑦 = (𝑐 + 𝑠𝑒𝑛( 𝑥))2
; (𝑦′)2
− 𝑦𝑐𝑜𝑠2( 𝑥) = 0
8). 𝑦 = 𝑐( 𝑥2
− √−𝑥) ; ( 𝑦′)2
+
𝑦
𝑥
[
√−𝑥+1
2(𝑥+1)
− 1] = 0
9). 𝑦 = −
𝑐+𝑠𝑒𝑛( 𝑥)
𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥)
; 𝑦′′
𝑐𝑜𝑠( 𝑥) + 𝑥𝑦2
𝑦′( 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) − 𝑦𝑠𝑒𝑛( 𝑥)) = 0

2. III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las
relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas.
1). 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝑥) − 𝐵𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝑥) + 𝐶𝑥 ; 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑅; 𝑛 ∈ 𝑁
2). 𝑥 = 𝐴𝑒−𝑡
− 𝐵𝑒2𝑡
+ 𝐶𝑠𝑒𝑛( 𝑡) ; 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ
3). 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
− 𝐶𝑥 = 0 ; 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ
4). 𝑦 = 𝐴𝑙𝑛| 𝑥| + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑒−𝑥
; 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ
5). 𝑦 = 𝐴𝑥3
+ 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷 ; 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ
6).
( 𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
( 𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1 ;
( 𝑥+ℎ)2
𝑎2
+
( 𝑦+𝑘)2
𝑏2
= 1; ( 𝑥 + ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
∶ 𝑎, 𝑏, ℎ, 𝑘, 𝑟 ∈ ℝ
7). 𝑥 = 𝐴𝑒−𝑡
− 𝐵𝑒 𝑡
+ 𝐶𝑒2𝑡
+ 𝐷𝑒−2𝑡
;𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝐷 ∈ ℝ
8). 𝑦 = 𝐴𝑒−𝑘𝑡
𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝑡) + 𝐵𝑒 𝑘𝑡
𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝑡) ; 𝐴, 𝐵, 𝑘 ∈ ℝ ; 𝑛 ∈ ℕ
9). 𝑥 = 𝐴𝑒−𝑡
+ 𝐵𝑒 𝑡
+ 𝐶𝑒 𝑡
𝑠𝑒𝑛( 𝑡) + 𝐷𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠(𝑡) ;𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ
10). 𝑦 = 𝐴𝑒−𝑥
+ 𝐵𝑒 𝑥
+ 𝐶𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ( 𝑥) + 𝐷𝑒−𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) ;𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ
11). 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐵𝑒−𝑥
+ 𝐶𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛( 𝑥) + 𝐷𝑒−𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝑥) ;𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ
12). 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐵𝑒2𝑥
+ 𝐶𝑒−2𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ( 𝑥) − 𝐷𝑒2𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) ; 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ
13). 𝑦 = 𝐴𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛( 𝑥) + 𝐵𝑒−𝑥
𝑐𝑜𝑠( 𝑥) + 𝐶𝑒−𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ( 𝑥) + 𝐷𝑒 𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ( 𝑥); 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ
IV. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias de las
curvas en el plano 𝑋𝑌:
1). Todas las rectas con pendiente igual a −3/2 .
2). Todas las rectas con pendiente igual a 2𝑚.
3). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje 𝑌 iguales.
4). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje 𝑋 iguales.
5). Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a 𝑘.
6). Circunferencias con el centro en el origen y radio arbitrario.
7). Circunferencias con el centro en cualquier punto del plano 𝑋𝑌 y radio arbitrario
8). Circunferencias sobre el eje 𝑋 y radio arbitrario.
9). Circunferencias con centro sobre la recta 𝑦 =
−𝑥
2
y que pasen por el origen.
10). Circunferencias con centro en el punto arbitrario 𝑃(ℎ, 𝑘) 𝑦 radio igual a 𝑟
(𝑟 𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜).
9). Parábolas con el eje paralelo al eje "𝑌" y con la distancia del vértice al
foco igual a "2𝐴".
10). Parábolas con el eje y el foco sobre el eje 𝑋.
11). Parábolas con el eje paralelo al eje 𝑋.
12). Hipérbolas equiláteras con centro en 𝑄( 𝐴, 𝐵)
13). Circunferencias tangentes al eje 𝑋.
14). Circunferencias tangentes al eje 𝑌

3. V. Resuélvase cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de
variables separables:
1). (2 + 𝑙𝑛(𝑡)) 𝑑𝑥 − 𝑙𝑛3( 𝑥) 𝑡𝑑𝑡 = 0. 𝑥(1) = 𝑒
2). 𝑒 𝑥3
+𝑦3
+
𝑦
𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
3).
𝑑𝑣
𝑑𝑢
+ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑢−𝑣
2
) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝑢−𝑣
2
)
4). (1 − 𝑦2)( 𝑒2𝑥
𝑑𝑥 − 𝑒 𝑦
𝑑𝑦) − (1 − 𝑦) 𝑑𝑦 = 0
5). 𝑦′
=
𝑥3
+𝑦3
𝑥3 −𝑦3
6). ( 𝑥 − 𝑦𝑒
𝑦
𝑥 ) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑒 𝑦/𝑥
𝑑𝑦 = 0
VI. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias mediante un
cambio de variable:
1). 𝑦′
= 𝑐𝑜𝑠2
(𝑥 − 𝑦)
2). 𝑥𝑦3( 𝑥𝑦′
+ 𝑦) = 1
3). ( 𝑥3
𝑦2
+ 1) 𝑑𝑥 − 2𝑥3
𝑑𝑦 = 2
4). ( 𝑥3
𝑦4
+ 𝑦 + 𝑥 − 2) 𝑑𝑥 − ( 𝑥4
𝑦3
+ 𝑥) 𝑑𝑦 = 0
5). ( 𝑥 + 𝑦 − 1 −
1
𝑥
) 𝑑𝑥 + (1 − 𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑦 = 0
6). ( 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 + ( 𝑥 + 𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = 0
7).
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
√𝑥+𝑦−√𝑥−𝑦
√𝑥+𝑦+√𝑥−𝑦
10).
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
−
𝑥3
𝑦
+ 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 (
𝑦
𝑥2
)
VII. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, como exactas o
convirtiéndolas a exactas:
1). ( 𝑦𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑦3
𝑥2
+ 4𝑦
𝑙𝑛( 𝑥)
𝑥
) 𝑑𝑥 + ( 𝑥𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑥3
𝑦2
− 𝑙𝑛2( 𝑥)) 𝑑𝑦 = 0
2). ( 𝑦𝑡𝑎𝑛( 𝑥𝑦) − 𝑦𝑠𝑒𝑐 ( 𝑥𝑦)) 𝑑𝑥 + ( 𝑥𝑡𝑎𝑛( 𝑥𝑦) − 𝑥𝑠𝑒𝑐( 𝑥𝑦)) 𝑑𝑦 = 0
3). [ 𝑠𝑒𝑛2( 𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥 + 2𝑦) + 𝑠𝑒𝑛2(2𝑥 + 2𝑦)] 𝑑𝑥 + (−
𝑐𝑜𝑠(2+2𝑦)
2
+
𝑠𝑒𝑛(2𝑥+2𝑦)
2
) 𝑑𝑦 = 0
4). 𝑀( 𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥 + ( 𝑥2
𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑦2
− 𝑠𝑒𝑛( 𝑥𝑦)) 𝑑𝑦 = 0
6). 𝑀 ( 𝑥𝑡𝑎𝑛2( 𝑥 + 𝑦) − 𝑒 𝑥 +𝑦
−
𝑥
𝑦
) 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0
Huancavelica noviembre del 2015