Rectas y planos en el espacio. Ángulos. Introducción a la geometría.

1. RECTAS Y ÁNGULOS
Matemáticas
Ámbito Científico-Tecnológico

2. Rectas y planos en el espacio


Un paisaje urbano está formado por
elementos geométricos diversos.
El espacio está
formado por diversos
elementos que, en su
conjunto, dan forma a
todos los elementos
de éste.
Espacio es todo lo
que tenemos a
nuestro alrededor.

3. Rectas y planos en el espacio
¿Qué elementos geométricos encontramos aquí?

4. Rectas y planos en el espacio



Por un lado, encontramos edificios que
tienen formas geométricas (rectángulos,
triángulos, círculos, etc.).
Encontramos diferentes calles y rutas
donde existen aceras a ambos lados,
paralelas.
Podemos situarnos en cualquier punto
para realizar una observación.

5. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS


1-Punto: Indica una
posición en el
espacio y no tiene
dimensiones, por lo
que se dice que en
un plano o en una
recta existen infinitos
puntos.
No tiene grosor.

6. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
Un punto hecho con
un bolígrafo en un
bloc de notas
Puntos hechos
en una pizarra
Marca hecha en la
playa con el dedo

7. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
Todo el espacio está formado por puntos (puntillismo)

8. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
Si los puntos coinciden en la
misma localización, SON EL
MISMO.
Si los puntos no coinciden
en la misma localización,
SON EXTERIORES.

9. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS


La sucesión de líneas forman
rectas
2-Recta: Se
considera que dos
puntos determinan
una y sólo una línea
recta que contiene a
dichos puntos.
Limitadas por los dos
extremos de la recta.

10. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS



La sucesión de líneas forman
rectas
No tiene grosor ni
anchura definido.
Puede tener largas
dimensiones.
Todas las formas
geométricas poseen
rectas, alguna incluso
cruzándose.

11. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
RECTAS
• Paralelas: Estas rectas están
contenidas en el plano y no
tienen ningún punto en común.
• Se encuentran una enfrente a la
otra y son similares.
• Una referencia cercana son las
aceras de las calles.
Rectas Paralelas

12. Rectas y planos en el espacio

13. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
RECTAS
• Secantes: Las rectas se cruzan
en un mismo plano y tienen un
punto en común. Es el punto en
donde se cruzan.
• Un ejemplo son las aceras que
se cruzan.
Rectas Secantes

14. Rectas y planos en el espacio

15. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
RECTAS
• Perpendiculares: Son secantes
y forman cuatro ángulos rectos.
• En la anterior imagen, serían
perpendiculares porque los
cruces forman ángulos de 90º.
Perpendiculares

16. Rectas y planos en el espacio

17. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
RECTAS
Semirrectas
• Semirrectas: Existe un punto O
que divide a la recta en dos
semirrectas. Ese punto O es el
origen desde donde comienza
cada recta. Su otro extremo es el
extremo donde terminaba la
recta inicial (sea el izquierdo o
el derecho).

18. Rectas y planos en el espacio

19. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS


Plano
3-Plano: Un plano se
determina por tres
puntos que no estén
contenidos en la misma
recta.
El plano puede ser
evocado a partir de una
hoja de papel, la propia
superficie de una mesa,
la pizarra, etc.

20. Rectas y planos en el espacio
Aquí podemos incluir lo
que queramos
Lo que esté dibujado en la pizarra,
está dentro de este “plano”.

21. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS


Dos semiplanos al dividir
un plano
Semiplano: Una recta
divide a un plano en dos
partes. Cada plano recibe
el nombre de
“semiplano”.
Es como en las rectas, el
elemento anterior divide
al superior en dos. En el
anterior, el punto dividía a
la recta en dos.

22. Rectas y planos en el espacio
El muro de Berlín (recta) dividía a Alemania (plano) en dos repúblicas
(dos semiplanos): República Federal Alemana (semiplano 1) y
República Democrática Alemana (semiplano 2)

23. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
PLANOS
Los planos son COINCIDENTES
cuando todos sus elementos comparten
todos sus puntos.
Si se ponen encima, son coincidentes

24. Rectas y planos en el espacio
Libros encima de otros: Planos
coincidentes (si son del mismo
tamaño)
Las páginas encima de otras
son planos coincidentes
(normalmente son iguales)

25. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
PLANOS
Los planos son SECANTES si se
cortan. Cuando dos planos se cortan lo
hacen en una recta.

26. Rectas y planos en el espacio
La parte del suelo y el plano que forman entre las dos columnas corta el
“plano” de dicho suelo.

27. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
PLANOS
Los planos son PERPENDICULARES
si son secantes y el ángulo que forman
es recto (la distancia o inclinación del
plano con respecto al otro plano).

28. Rectas y planos en el espacio
En el ejemplo anterior, casualmente los planos forman ángulos
de 90º.

29. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
TIPOS DE
PLANOS
Los planos son PARALELOS si no se
cortan en ningún punto.
Si los planos se
“pegan”, serán
COINCIDENTES. Si
no, serán
PARALELOS.

30. Rectas y planos en el espacio
Estantería (los estantes están uno encima de otro y coinciden.
Sino, podría desequilibrarse).

31. Rectas y planos en el espacio
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL EJE CARTESIANO
• En Geometría, se
utiliza para representar
puntos de figuras
geométricas que
formemos, a la hora de
unirlos.

32. Rectas y planos en el espacio
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL EJE CARTESIANO
• En el eje de
ABSCISAS (línea
horizontal) va el punto
X.
• En el eje de
ORDENADAS
(vertical) va el punto
Y.
ACTIVIDADES

33. ACTIVIDADES
• Actividades 257 y 258, Tema 6: Representación de
un punto en el plano. Página 82.
• Actividades 259-263, Tema 6: Puntos, rectas y
plano. Página 83.

34. Rectas y planos en el espacio
ELEMENTOS
• 4-Espacio: Se dice que
las rectas y los planos
son conjuntos de puntos.
Se define el espacio
como el conjunto de
todos los puntos.
• El conjunto de puntos,
rectas y planos forman el
espacio.

35. Rectas y planos en el espacio
RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS
Punto -> Recta -> Plano -> Espacio
Una recta se forma por múltiples puntos unidos. Rectas
que se unen forman planos (ej: tres rectas forman un
triángulo) y en un espacio puede haber múltiples planos y
formas geométricas (por ejemplo, en un parque hay
bancos, árboles, arbustos, puestos de chucherías, etc.).

36. Rectas y planos en el espacio
RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS
Un punto está contenido en una
recta si la recta pasa por el
punto.
Un punto será exterior
a una recta si no está
contenida en el plano.

37. Rectas y planos en el espacio
RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS
Un punto está contenido en el
plano si está dentro del plano
Un punto será exterior a una recta
si no está contenido en ella

38. Rectas y planos en el espacio
RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS
La recta está contenida en el
plano si todos los puntos de la
recta pertenecen al plano.
La recta es exterior al
plano si no tienen ningún
punto común.

39. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS
• Figuras geométricas: Es
cualquier conjunto de
puntos y rectas que se
encuentran en el espacio,
formando figuras planas.
• El objetivo de la geometría
será describir, clasificar y
estudiar las propiedades de
las figuras geométricas.

40. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS
• Segmento AB: Conjunto
de puntos comprendido
entre los puntos A y B.
Son los extremos del
segmento AB, dichos
puntos.
• Es las figuras planas,
equivale a los lados de
dichas figuras.

41. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS
Los ángulos son esas
separaciones que hay entre
segmento y segmento
• Ángulo: Es la separación
existente que permite formar
figuras uniendo vértices y
segmentos. Según la
rotación o separación que
haya entre ambos, la figura
tendrá una forma
determinada.

42. Rectas y planos en el espacio
MEDIDA DEL ÁNGULO
La unidad de medida
que utilizamos para
medir los ángulos son
los grados.
Utilizamos el
transportador para
medir los ángulos.
Transportador (¡traeros uno a
clase!)

43. Rectas y planos en el espacio
MEDIDA DEL ÁNGULO

44. Rectas y planos en el espacio
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA

45. Rectas y planos en el espacio
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA

46. Rectas y planos en el espacio
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA
• Ángulo convexo: Son los
ángulos interiores de las
figuras, y suelen ser de
entre 0º y 180º.
• Ángulo cóncavo: Son los
ángulos exteriores de las
figuras u ángulos interinos
mayores de 180º.

47. Rectas y planos en el espacio
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA

48. ACTIVIDADES

Actividades de la página 84, Tema 6:
Ángulos.

49. Rectas y planos en el espacio
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD Y SU POSICIÓN
• Ángulos complementarios
son los que suman un recto
(90º).
• Se trata de unir los ángulos
que forman entre sí tres rectas.
• Son un “complemento” para
convertirse en un ángulo recto.

50. Rectas y planos en el espacio
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD Y SU POSICIÓN
• Ángulos suplementarios:
son los que suman un llano
(180º).
• Se trata de unir los ángulos
que forman entre sí tres rectas.
• Son un “complemento” para
convertirse en un ángulo llano.

51. Rectas y planos en el espacio
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD Y SU POSICIÓN
C
Á
L
C
U
L
O
TIPO DE ÁNGULOS FORMA DE
CALCULARLO
Complementario de
un ángulo
determinado
Restarle a 90º el
valor del otro ángulo
Suplementario de
un ángulo
determinado
Restarle a 180º el
valor del otro ángulo

52. ACTIVIDADES

Página 85, Tema 6: Clasificación de
ángulos según su amplitud y posición.

53. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS


Curva: Se define
como el conjunto de
puntos que un lápiz
traza al ser
desplazado por el
plano sin ser
levantado.
No tiene por qué ser
“redonda”.

54. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS


Cuando dibujamos una circunferencia, se
cierra en el mismo punto en donde empezó
La curva es simple
si el lápiz nunca
pasa dos veces
por el mismo
punto.
Si el lápiz se
levanta en el
mismo punto en
que comenzó a
trazar se dice que
la curva es cerrada
y simple.

55. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS


Se requiere que las
curvas tengan un
punto inicial y un
punto final, por lo que
las rectas, semirrecta
y ángulos no son
curvas.
¿Por qué no las
rectas? Las rectas
pueden tener valores
infinitivos.

56. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS



Curva poligonal: Se
define como una
curva simple formada
por segmentos
unidos por sus
extremos.
Pueden ser abiertas o
cerradas.
Forman en su
conjunto los
polígonos.

57. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS
Un diedro es un ángulo formado por dos semiplanos.
También podemos decir que un diedro es el espacio
engendrado por dos planos que se cortan en una recta.

58. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS
• Arista: Es la recta en la
que se cortan los
semiplanos.
• Cara: Es cada uno de los
planos que componen el
diedro.
Elementos del diedro

59. Rectas y planos en el espacio
MÁS ELEMENTOS