1. El cálculo y sus aplicaciones
Gabriel Jaime Posada Hernández
Índice

2. Índice
Introducción
Relaciones y funciones
Límite de funciones
Derivada de una función
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3. Introducción
En la actualidad, las áreas
administrativas, contables y económicas
requieren de un profesional con
conocimientos básicos de cálculo, de tal
forma que lo lleven a incursionar en el
campo investigativo y en la toma de
decisiones, para generar nuevos
conocimientos a partir de la integración
de los conceptos propios y de las
diferentes áreas de estudio, para ser
más competente en los retos del mundo
moderno.
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4. Relaciones y Funciones
El concepto de Relación-Función es uno de los más
importantes en Matemáticas. Comprenderlo y
aplicarlo se verá retribuido muchas veces.
Correspondencia
• La noción de correspondencia desempeña un papel
fundamental en el concepto de Relación – Función.
• En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos
tenido experiencia con correspondencias o
RELACIONES.
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5. Ejemplos de Correspondencias o
RELACIONES
• En un almacén, a cada artículo le corresponde un
precio.
• A cada nombre del directorio telefónico le
corresponde uno o varios números.
• A cada número le corresponde una segunda
potencia.
• A cada estudiante le corresponde un promedio de
calificaciones
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6. Ejemplos de Correspondencia (Relaciones –
Funciones)
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7. Definición de Relación y de Función
• Relación es la correspondencia de un primer
conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento
del Dominio le corresponde uno o más elemento del
Recorrido o Rango.
• Una Función es una relación a la que se añade la restricción
de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo
un valor del recorrido.
• (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las
relaciones son funciones)
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8. Tablas de valores
• Estas tablas de valores nos permiten
representar las ecuaciones (Relaciones) en el
Plano cartesiano.
• Cuando la gráfica es una línea recta la Función
es Lineal.
• Cuando la gráfica es una curva, ésta puede ser
una ecuación o una función cuadrática.
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9. Definición intuitiva de límite.
Consideremos la función x3 x
y
x 1
El dominio es Df = R - {1}
Evalúa la función en los números dados y explica el comportamiento.
X 0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999
y 0 0.75 1.44 1.71 1.9701 1.9970 1.9997
X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001
y 6 3.75 2.64 2.31 2.0301 2.0030 2.0003
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10. En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima y?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1
por la izquierda, el valor de y tiende a 2.
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima y?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la derecha, el
valor de y tiende a 2.
¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor dado, los
valores de y se aproximen más al valor observado?
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11. Concepto de límite
Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número l, conforme x
se aproxima a un número a tanto por la izquierda como por
la derecha, entonces “el límite de f(x) cuando x tiende a a
es l”, lo cual se denota como:
lím f ( x ) L
x a
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12. Ejemplo:
x 2
Sea la función f ( x)
x 2 2
Hallar lím2 f ( x)
x
2
X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2
y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493
Por lo tanto x 2
4
lím
x 2 x 2 2
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13. La derivada
• Ejemplo
Durante el periodo de 10 años de 1970 a 1980, se
encontró que la población de cierto país estaba dada
por la formula
P(t)=1+0,03t+t2
En donde P está dado en millones y t es el tiempo
medido en años desde el inicio de 1970.
Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de
1975
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14. Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con
respecto a x, denotada por dy/dx, se define por
dy y
lim
dx x 0 x
dy f (x x) f ( x)
lim
dx x 0 x
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15. A la derivada también se le da el nombre de coeficiente
diferencial y la operación de calcula la derivada de una función
se denomina diferenciación
Si la derivada de una función existe en un punto
particular, decimos que f es diferenciable en tal punto.
La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se denota por uno
de los simbolos siguientes
d df d
( y ), , ( f ), y ' , f ' ( x), Dx y, Dx f
dx dx dx
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16. Ejemplo
• Calcule la derivada de 2x2+3x+1
• Calcule dy/dx para la ecuación cubica
y=Ax3+Bx2+Cx+D
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16

17. n dy
Si y x , entonces nx n 1 ( Fórmula de la potencia)
dx
d 7
(x ) 7 x7 1
7 x6
dx
d 3/ 2 3 3 / 2 1 3 1/ 2
(y ) y y
dy 2 2
d 1 d 1/ 2 1 1/ 2 1 1 3/ 2
( ) (t ) t t
dt t dx 2 2
d 1 d
( 2) (u 2 ) 2u 2 1 2u 3
Índice du u dx

18. d du
(cu) c
dx dx
d n d n
(cx ) c x c(nx n 1 )
dx dx
d 4 d d 1 4
( ) (4t 1 ) 4 (t ) 2
4( 1t )
dt t dx dx t2
d du dv
(u v)
dx dx dx
Calcule dy/dx si y = x2 +x1/2
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19. Índice
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