Comca agosto-2008

Transitividad Robusta de Conjuntos
Maximales Invariantes
Dante Carrasco-Olivera, C.A. Morales, B. San Martń
ı

DC-BS
Departamento de Matem´ ticas
a
Universidad Cat´ lica del Norte (UCN)-Antofagasta- Chile
o
CM
Instituto de Matem´ tica
a
Universidad Federal de Ró de Janeiro (UFRJ)-Ró de Janeiro-Brasil
ı ı

COMCA-2008-Universidad Arturo Prat
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 1/3

Esbozo de la charla
Motivación


Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares


Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares
Enunciados del Teorema Principal


Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares
Enunciados de resultados técnicos


Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares
Enunciados de resultados técnicos
Esbozo de la prueba del Teorema Principal


Motivación
Sea M una 3-variedad compacta conexa con borde
posiblemente no vacío ∂M . Denotamos por
X r (M, ∂M ), r ≥ 1, el espacio de C r campo de vectores
en M tangente a ∂M (si es no vacío) equipado con la C r
topogía. Fijamos X ∈ X r (M, ∂M ) y denotemos por
Xt , t ∈ R, el ﬂujo generado por X in M .

Por un ciclo singular de X nos referimos a un conjunto Γ
consistiendo de una singularidad σ, una órbita periódica
O (ambas hiperbólicas) y dos órbitas regulares
γ0 ⊂ W u (σ) ∩ W s (O) y γ1 ⊂ W u (O) ∩ W s (σ). En tal
caso decimos que el ciclo singular Γ está asociado a σ.


Estamos precisamente interesados en ciclos singulares
asociados a singularidades σ con autovalores reales
λu , λs , λss satisfaciendo la relación de autovalores
λss < λs < 0 < λu . (1)
Existe también una variedad central-inestable W cu (σ)
tangente en σ al autoespacio asociado a {λs , λu }.
Decimos que el ciclo es genérico si W s (O) es transversal
a W cu (σ) a lo largo de γ0 y W u (O) es transversal a
W s (σ) a lo largo de γ1 .


Ciclo Singular

ls
lss

lu

Figura 1: Ciclo Singular.

Secciones transversales

ls lss

lu

Figura 2: Ciclo Singular.

1. Resultado que motiva el trabajo
Morales-Paciﬁco-Pujals (C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I
Math. 326 (1998), Ann. of Math. (2) 160 (2004))
Sea M una 3-variedad compacta sin borde.
Teorema 1.1 Supóngase que X ∈ X 1 (M ) tiene un
conjunto C 1 robustamente transitivo Λ. Entonces para
uno de los dos campos de vectores X, −X, Λ es un
conjunto hiperbólico-singular, un atractor y cualquiera
de sus singularidades son tipo-Lorenz.


2. Objetivo de estudio
Teorema 2.1 Si X ∈ X 1 (M, ∂M ), exhibe un ciclo
genérico asociado a una singularidad σ ∈ ∂M con
autovalores reales satisfaciendo (1), entonces X también
exhibe un conjunto C 1 robustamente transitivo
conteniendo a σ
Corolario 2.2 Para toda 3-variedad compacta con
borde M existe X ∈ X 1 (M, ∂M ), exhibiendo un
conjunto C 1 robustamente transitivo el cual no es
singular-hiperbólico para X o −X.


Preliminares
2.1. Deﬁnici´ n
o
Sea Σ = [0, 1] × [0, 1] el cuadrado unitario cerrado y
U ⊂ R2 un conjunto abierto conteniendo a Σ. Fijemos
dos números reales a, b con 0 < a < b < 1.
Denote por p = (x, y) = (xp , yp ) el sistema de
coordenadas naturales en U . Pongamos
L0 = {y = 0}; La = {y = a};

Lb = {y = b}; L1 = {y = 1}.


Una curva c en U es la imagen de una aplición C 1
inyectiva c : Dom(c) ⊂ R → U con Dom(c) es un
intervalo compacto. Una curva c es horizontal si el
gráﬁco de una aplicación C 1 h : [0, 1] → [0, 1], i.e.,
c = {(x, h(x)) : x ∈ [0, 1]} ⊂ U .
Deﬁnición 2.3 Una foliación continua F sobre U es
llamada horizontal si sus hojas son curvas horizontales y
las curvas Lo , La , Lb , L1 son hojas de F .


Denotemos por
H0,a = [0, 1] × [0, a] y Hb,1 = [0, 1] × [b, 1].
Deﬁnición 2.4 (Aplicación triangular) Una aplicación
R : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U es llamada triangular si
contrae y deja invariante a una foliación F .
Además,
R(L0 ) ⊂ [0, 1),
R(La ) ⊂ U Σ,
R(Lb ) ⊂ U Σ y
R(L1 ) = {(x0 , 0)} para algún 0 < x0 < 1.


Dado p ∈ U , vp ∈ Tp U y un subespacio 1−dimensional
Vp ⊂ Tp U , deﬁnimos ∠(vp , Vp ) el a´ gulo entre el vector
n
vp y y el subespacio Vp . Dado γ > 0, denotamos por
C γ (p, Vp ) = C γ (p) el γ-campo de conos
C γ (p) = {vp ∈ Tp U : ∠(vp , Vp ) ≤ γ}.
Un γ-campo de conos C γ es:
invariante si DR(C γ (p)) ⊂ int(C γ (R(p))) para
todo p ∈ H0,a ∪ Hb,1 .
transversal a una foliación horizontal F si
Tp L ⊂ {v : v ∈ C γ (p)} para todo p ∈ L y ∀L ∈ F .
/

Deﬁnición 2.5 (Aplicación triangular
quasi-hiperbólica).
Sea R : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación triangular
con foliación horizontal asociada F . Dados K0 > 0,
K1 > 0, 1 < ν ≤ µ. Decimos que R es
(K0 , K1 , ν, µ)-quasi hiperbólica si
(H1) Existe α = αR > 1 tal que
α
yR(p) ≤ K0 | yp − 1 | , ∀p ∈ Hb,1 .

(H2) R es un C 1 -difeomorﬁsmo en
H0,a ∪ (Hb,1 {y = 1}).


(H3) Existen 0 < γ < 1 y un invariante γ−campo de
2
1−α
γ
conos C en U transversal a F tal que νµ α > 1,

DR(p)v ≥ K1 | yp − 1 |α−1 v ,
∀p ∈ Hb,1 , ∀v ∈ C γ (p).
y
ν v ≤ DR(p)v ≤ µ v ,
∀p ∈ H0,a , ∀v ∈ C γ (p). Ver ﬁgura 4.


Aplicación quasi-hiperbólica


Derivada Schwarziana para aplica-
ciones unidimensional
Deﬁnición 2.6 Sea h : Dom(f ) ⊂ R → R una C 3
aplicación tal que Dh(t) = 0 para todo t ∈ Dom(h). La
derivada Schwarziana de h en t ∈ Dom(h) es

D3 h(t) 3 D2 h(t) 2
Sh(t) = − .
Dh(t) 2 Df (t)
Decimos que h tiene derivada Schwarziana negativa si
Sh(t) < 0 para todo t ∈ Dom(h) tal que Dh(t) = 0.


Hipótesis (H)
A cualquier foliación horizontal F podemos asociar la
aplicaci´ n de holonomá ΠF : U → R definida por
o ı

ΠF (p) = F (p) ∩ {0} × R.
Toda foliación horizontal F induce un sistema de
coordenadas (x, y) en U como sigue: Defina
ϕ : U → R × R by

ϕ(x, y) = (x, ΠF (x, y)).
Entonces, (¯, y ) es definido por
x ¯

(¯, y ) = ϕ(x, y) = (x, ΠF (x, y)).
x ¯ (2)

Para una C 1 foliación F , consideramos que ΠF satisface

∂ΠF 1 ∂ΠF 3
| (x, y) |< and | (x, y) |> .
∂x 2 ∂y 4
Sea R : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación.
Para toda foliación horizontal F se deﬁne un sistema de
coordenadas (2). Si adicionalmente F es R-invariante,
¯
entonces podemos deﬁnir R = ϕ ◦ R ◦ ϕ−1 . La identidad
¯ x ¯
R(¯, y ) = (F (¯, y ), f (¯))
x ¯ y (3)

vale para algúnas C 0 aplicación f : Dom(f ) ⊂ R → R y
F : dom(F ) ⊂ R2 → R2 . Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 18/3

Deﬁnición 2.7 (Aplicaci´ n Schawarzian Contractiva).
o
Dados dos números reales r, s con 0 < r < s < 1 y sea
h : [0, r] ∪ [s, 1] una aplicación. Decimos que ella es
Schwarziana contractiva si:
(h1) h es una C 3 maplicación, creciente en [0, r] y
decreciente en [s, 1], h(0) = 0, h(1) = 0, existe
β > 1 tal que h(t) = β.t para todo t ∈ [0, r] y
Dh(t) = 0 si y sólo si t = 1. Adicionalmente,
h(r) > 1 y h(s) > 1.
(h2) h tiene derivada Schwarzian negativa sobre [s, 1).
Ver ﬁgura 4.


Aplicacion Schawarziana Contracti-
va

h h


Deﬁnición 2.8 (Hipótesis (H)). Sea
R : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación triangular con
foliación horizontal asociada F de clase C 3 . Decimos
que R satisface (H) si la aplicación f dada por (3) es
Schwarziana contractiva.


Notation. Sea A denota el conjunto de todas las
aplicaciones R : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U las cuales son
(K0 , K1 , ν, µ) − quasi-hiperbólicas con K0 > 0, K1 > 0,
1 < ν ≤ µ.
Deﬁnición 2.9 (C 1 -topología en A ) En el espacio A
consideramos la C 1 -topología, la cual es deﬁnida por la
métrica
ˆ
dC 1 (R, R) = m´x
a ˆ ˆ
R(p) − R(p) , DR(p) − DR(p)

| αR − αR |: p ∈ H0,a ∪ Hb,1 .
ˆ

Ahora enunciamos nuestro Teorema Principal.

Enunciado del Teorema Principal
Teorema 2.10 Considere R0 una aplicación
(K0 , K1 , ν, µ) − quasi-hyperbolic (i,e., R0 ∈ A )
satisfaciendo (H) con K0 > 0, K1 > 0 y 1 < ν ≤ µ.
Entonces existe una C 1 −vecindad U = U (R0 ) de R0
en A tal que para toda aplicación R ∈ U , el conjunto
maximal invariante,

Rn (Σ) (4)
n∈Z

es transitivo, i.e., existe un z en él tal que
{Rn (z) : n ∈ N} es denso en el conjunto maximal
invariante.

Resultados Técnicos
Teorema 2.11 Considere R0 una aplicación
(K0 , K1 , ν, µ) − quasi-hiperbólico (i,e., R0 ∈ A )
satisfaciendo (H) con K0 > 0, K1 > 0 y 1 < ν ≤ µ.
Entonces existe una C 1 -vecindad V = V (R0 ) de R0 en
A tal que para todo R ∈ V , el conjunto contenido en Σ,
∞
˜
ΛR = R−i (Σ), no contiene curvas tangentes a C γ .
i=0
Corolario 2.12 Considere V la C 1 -vecindad dada por
el Teorema 2.11. Entonces para toda R ∈ V y para toda
∞
curva ζ tangente a C γ con ζ ∩ ( R−i (Σ)) = ∅ existe
i=0
n = n(R, ζ) tal que ΠF (Rn (ζ)) ⊇ [0, 1].

Referente a ﬂujos
3. Teoremas que se pretender hacer
Teorema 3.1 Si X ∈ X r (M, ∂M ), r ≥ 3, exhibe un
ciclo genérico asociado a una singularidad σ ∈ ∂M con
autovalores reales satisfaciendo λ2 < λ3 < 0 < λ1 .,
entonces X también exhibe un C r,1 conjunto
robustamente transitivo conteniendo a σ.
Teorema 3.2 Si X ∈ X r (M, ∂M ), r ≥ 3, exhibe un
ciclo genérico asociado a una singularidad σ ∈ ∂M con
autovalores reales satisfaciendo λ2 < λ3 < 0 < λ1 .,
entonces X también exhibe un C 1 conjunto robustamente
transitivo conteniendo a σ.

´
Apendice
4. Esbozo de la prueba del Teorema
2.11
Fije R0 como en el enunciado del toerema. Considere V4 ,
δ4 and λ4 dados por la Proposición ??. Considere la
C 1 -vecindad V4 of R0 en A dado por el Corolario ??.
Take V = V4 ∩ V5 . Now ﬁx R ∈ V .
Fije la foliación invariante F dada por la hipótesis.
También denotamos por g la aplicación inducida por F .
Descomponemos la prueba en algunos pasos.
(1) R no tiene pozos.

∞
Suppose that ΛR = R−i (Σ), has a curve ζ tangent to
i=0
Cγ.
(2) For all m = n, [Rm (ζ)] ∩ [Rn (ζ)] has no interior.
(3) lengh(Rn (ζ)) → 0 cuando n → +∞
(4) ΠF (Rn (ζ)) acumula a 1.
Por (3) podemos considerar 0 < η < δ4 y un entero n0 en
tal sentido que ∀n ≥ n0 lengh(Rn (ζ)) < δ4 − η. Así, si
para n ≥ n0 , Rn (ζ) ∩ [0, 1] × (1 − η, 1) = ∅ entonces
Rn (ζ) ⊂ [0, 1] × (1 − δ4 , 1).


Por (3), existe una sucesión nk tal que
Rnk (ζ) ⊂ [0, 1] × (1 − δ4 , 1). Aplicamos (??) de la
Proposición ?? después de una reparametrización de la
curva ζ tenemos que

lengh(Rnk (ζ)) ≥ λnk −n0 .lengh(Rn0 (ζ)).
2

Como nk → ∞ tenemos que
lengh(Rnk (ζ)) → ∞
y esto es una contradicción con
(3).


5. Transividad Robusta
Una órbita de Xt es el conjunto
O = OX (q) = {Xt (q) : t ∈ R} para algún q ∈ M . El
conjunto omega-límite de un punto p es el conjunto
ωX (p) = {x : M : x =
l´ n→∞ Xtn (p)para alguna sucesióntn → ∞}. Una
ım
singularidad de Xt es un punto σ ∈ M tal que X(σ) = 0.
Una órbita periódica de Xt es una órbita OX (p) tal que
XT (p) = p para algún minimal T > 0. Una órbita
cerrada de Xt es bien una singularidad o una órbita
periódica de Xt .

Deﬁnición 5.1 Sea Xt un ﬂujo sobre M . Un conjunto
compacto Λ ⊂ M es:
invariante si Xt (Λ) = Λ, para todo t ∈ R;
Transitivo si Λ = ωX (p) para algún p ∈ Λ;
No trivial si Λ no es una órbita cerrada de Xt ;
Aislado si existe una vecindad compacta U (llamado
bloque aislante) de Λ tal que

Λ= Xt (U );
t∈R


Atractivo si es aislado y tiene un bloque aislante U
tal que ∀t ≥ 0, Xt (U ) ⊂ U .
Atractor si es un conjunto transitivo atractivo.

Denote por m(A) = ´ v =0 Av la norma mínima de un
ınf v
operador lineal A
Deﬁnición 5.2 Sea Λ un conjunto compacto invariante
de Xt . Una descomposición continua invariante
TΛ M = EΛ ⊕ FΛ sobre Λ es dominada si existen
constantes positivas K, λ tales que ∀t > 0 y ∀x ∈ Λ,
DXt (x)|Ex
≤ Ke−λt .
m(DXt (x)|Fx )

Definición 5.3 Un conjunto compacto invariante Λ es
parcialmente hiperb´ lico si exhibe una descomposición
o
s c s
dominada TΛ M = EΛ ⊕ EΛ tal que EΛ es contractivo,
i.e.,
s −λt
DXt (x)|Ex ≤ Ke ,
para todo t > 0 y todo x ∈ Λ.
Definición 5.4 Un conjunto hiperb´ lico-singular Λ de
o
Xt es un conjunto parcialmente hiperbólico con
c
singularidades hiperbólicas y el subfibrado central EΛ
expande volumen, i.e.,

| det(DXt (x)|EΛ |≥ K −1 eλ t,
c

para todo t > 0 y todo x ∈ Λ. Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 32/3

Deﬁnición 5.5 Un conjunto aislado Λ es C r
robustamente transitivo, si exhibe un bloque aislante U
tal que para todo Y ∈ X r (M, ∂M ) C r cercano a X la
continuación
ΛY = Yt (U ) (5)
t∈R

de Λ es un conjunto transitivo no-trivial de Y .


Deﬁnición 5.6 Un conjunto aislado Λ es C r,k ,
1 ≤ k ≤ r, robustamente transitivo, si exhibe un bloque
eislante U tal que para todo Y ∈ X r (M, ∂M ) C k
cercano a X la continuación

ΛY = Yt (U ) (6)
t∈R

de Λ es un conjunto transitivo no-trivial de Y .


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