Por todos los caminos posibles

Por todos los caminos posibles
M.C. Juliho Castillo
Instituto de Matemáticas UNAM
M.C. Juliho Castillo (IMATE) Por todos los caminos posibles 1 / 41

Índice
Índice
Por el camino clásico
Por el camino cuántico
Por el camino estocástico
Todos los caminos llevan a Feynman

La ecuación de Newton
Sea F : R3
× R3
× R → R3
¨x = F(x, ˙x, t)
Bajo las condiciones del T.E.U. de E.D.O, la función F y las condiciones iniciales
determinan de manera única un movimiento.
Observación
Si F es un campo conservativo, existe un campo escalar V tal que F = − V .
Llamamos a V el potencial.

Funcionales
Un funcional es una función cuyo dominio es un espacio de dimensión inﬁnta: el
espacio X de todas las curvas (¿Que curvas?).
Ejemplo 2.1
La longitud de curva l : X → R
l(x) =
t1
to
1 + ˙x2dt

Funcionales diferenciables
Un funcional Φ es diferenciable en x ∈ X, si para h ∈ X,
Φ(x + h) − Φ(x) = F(x, h) + R(x, h), donde:
F depende linealmente en h
R = O h2
Observación
Si F existe, es única. En este caso, denotamos F(x, h) como δΦ|x (h).
Deﬁnición 2.1
Un extremal x de un funcional diferenciable Φ es una curva tal que
∀h ∈ X : δΦ|x (h) = 0.

Otra mirada a la mécanica clásica
Deﬁnición 2.2
El Lagrangiano L : R3
× R3
→ R de un sistema dinámico es una función
escalar que resume la dinámica de dicho sistema.
Sea x ∈ X y deﬁnimos la acción de nuestro Lagrangiano como
S(x) =
t1
t0
L(x(t), ˙x(t))dt.

Ejemplo 2.2
Deﬁnimos el Lagrangiano (de mecánica clásica) L ∈ C∞
(R3
× R3
),
L(x, v) =
1
2
v2
-V (x),
y el Hamiltaniano (de mécanica clásica) H ∈ C∞
(R3
× R3
),
L(x, v) =
1
2
v2
+V (x),

Observación
La energía de un sistema coincide (en este caso) con el Hamiltoniano.

Deﬁnición 2.3
La ecuación
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= 0
se llama de Euler-Lagrange para el funcional S.
Teorema 2.1
La curva x es un extremal del funcional S en el espacio X(xo, x1) ⊂ X de todas
las curvas que unen x0 con x1 si y solo si la ecuación de Lagrange se satisface

Ejemplo
Para L(x, ˙x) = 1
2 ˙x2
− V (x)
∂L
∂ ˙x
= ˙x
d
dt
∂L
∂ ˙x
= ¨x
∂L
∂x
= − V (x)
y la ecuación de Euler-Lagrange es
¨x + V (x) = 0

La ecuación de Hamilton-Jacobi
Si X es el espacio de curvas une x0 con x1, en un intervalo de tiempo [t0, t1]
deﬁnimos el potencial de acción de L(x, ˙x, t) como
Ψ(x0, t0, x1, t1) = «ınf
x∈X x
Ldt
Teorema 2.2
El potencial de acción satisface la ecuación
∂Ψ
∂t
+ H(x,
∂Ψ
∂x
, t) = 0
Esta es una E. D. P. no lineal de primer orden y es conocida como la ecuación de
Hamilton-Jacobi.

Crisis de la mecánica clásica
Espéctro de radiación del cuepo negro, resuelto por Max Plank cuantizando
la energía. El módelo clásico predecía una producción de energía inﬁnita con
longitudes de onda muy pequeñas.
La explicación del efecto fotoeléctrico, dada por Albert Einstein
Dualidad onda-partícula

Un espacio vectorial... ¡De ondas!
H ˙=L2
[0, 1] = {“f : [0, 1] → C |
1
0
|f |
2
dt ≤ ∞}
Este es un espacio de Hilbert (un espacio vectorial con producto interno completo)
separable, es decir, con base númerable y por tanto, de dimensión inﬁnita.
Producto interno: ·, · : H × H → C, f , g =
1
0
f (t)¯g(t)dt
Base (ortonormal): en : [0, 1] → C|s → e2πins
Estos son resultados de análisis de Fourier.

¿Otro espacio de Hilbert (separable)?
H = l2
(Z) = x = (xk )∞
k=1|xi ∈ C, Σ|xi |
2
≤ ∞
Producto interno: ·, · : H × H → C, x, y = xi ¯yi
Base (ortonormal): {en = (δk,n)∞
k=1}
Proposición 3.1
La Transformada de Fourier : H → H , f → ( f , ek )n
k=1 es un isomorﬁsmo (en el
sentido de espacios de Hilbert).
Teorema 3.2 (Mejor aún...)
Todos los espacios de Hilbert separables ¡Son isomorfos!

Funciones de onda
Una función Ψ : R × R+
→ C tal que
P(a ≤ x ≤ b) =
b
a
|Ψ(x, t)|
2
dx
sea la probabilidad de que una partícula este en el intervalo [a, b] en el instante t
se llama función de onda.

La ecuación de Schrödinger
La evolución temporal de un sistema cuántico se rige por la ecuación de
Schrödinger
i
∂
∂t
Ψ(t) = HΨ(t),
donde H = −2 ∆ + V (x) es el Hamiltoniano de la mecánica cuántica.
Ψ(t) es llamada la función de onda.

El propagador cuántico
La función de onda se puede separar en su parte real y su parte temporar
Ψ(t) = ψ(x)T(t). Usando el método de separación de variables, se pueden
obtener las siguiente ecuaciones
Hψ(x) = Eψ(x) (3.1)
T(t) = e−iEt/
, (3.2)
(3.1) se conoce como la ecuación de Schrödinger estacionaria, que es una
ecuación de valores propios y (3.2) es el propagador cuántico.

Observación
Por teoría espectral, el progagador cuántico su puede escribir como e−iHt/
, es
decir una solución de la ec. de Schrödinger se puede escribir como e−iHt/
ψ(x).

La ecuación del calor
La ecuación del calor
∂u
∂t
=
1
2
∆u
es una E.D.P. que describe la distribución del calor (o variación de temperatura)
en una región dada a través del tiempo.
En el caso unidimensional, la ecuación del calor, con condición inicial, tiene la
forma
ut(x, t) = 1
2 uxx (x, t) −∞ < x < ∞, 0 < t < ∞
u(x, 0) = g(x) −∞ < x < ∞

El núcleo de la ec. del calor
Para el caso g(x) = δ(x), la solución esta dada por
ρ(x, y, t) =
1
√
2πt
exp −
(x − y)2
t
2
.
Se puede obtener una solución general, para la condición inicial g(x), de la
siguiente forma
u(x, t) =
R
ρ(x, y, t)g(y)dy ≡ (Kg)(x, t).
Por esta razón se conoce a Φ como solución fundamental o núcleo de la ecuación
del calor.

Observación
Por teoría espectral, la solución u(x, t) de la ec. del calor se puede escribir en sus
partes temporal y espacial como u(x, t) = (Kg)(x, t) = e−tH0
g(x), donde
H0 = 1
2 ∆.

Movimiento Browniano
El movimiento Browniano (llamado así por el botánico Robert Brown) es un
movimiento aleatorio de particulas suspendidas en un ﬂuido (sea gas o líquido) o
el modelo matemático usado para describir tal clase de movimientos aleatorios.

Un recordatorio de probabilidad
Una variable aleatoria X se llama normal (o Gaussiana) con media µ y
varianza σ2
, N(µ, σ2
),si para todas −∞ ≤ a < b ≤ ∞
P(a ≤ X ≤ b) =
1
√
2πσ2
b
a
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx.
Dos variables aleatorias X y Y son llamadas independientes si
P(X ≤ T, Y ≤ s) = P(X ≤ t)P(Y ≤ s)
para toda t, s ∈ R.

Interpretación probabilista de la ec. del calor
1. Discretizamos el espacio del movimiento Browniano con un salto de longitud
∆x en un tiempo discreto ∆τ
2. La probabilidad de la partícula se mueva hacía adelante es p = 1
2 y hacía
atrás q = 1 − p = 1
2
3. Para un tiempo ﬁjo τ, tenemos que ∆τ = τ/n y cuando n → ∞, D(n), el
desplazamiento en el tiempo n∆τ, converje (débilmente) a
ρ(x, 0, t)dx =
1
√
2πt
exp −
x2
t
2
dx.

El proceso de Wiener
Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias
{X(t)|0 ≤ t < ∞} . la aplicación t → X(t, ω) es la ω-esíma trayectoria de
muestreo del proceso.
Deﬁnición 4.1
Un proceso estocástico (real-valuado) W (t) se llama proceso de Wiener o
movimiento Browniano si
1. W (0) = 0
2. Cada trayectoria de muestreo es continua
3. W (t) es Gaussiano con µ = 0 y σ2
= t
4. Para cualquier elección 0 < t1 < t2 < . . . < tn, las variables aleatorias
W (t1), W (t2 − t1), . . . , W (tn − tn−1)
son independientes.

El propagador cuántico
El núcleo del operador integral en L2
(R), e−H0t
es el propagador cuántico
G0(x, x0, t) =
1√
2πit
e−
(x−x0)2
2it t > 0
δ(x) t = 0
Observación
El núcleo del calor es
ρ(x, x0, τ) =
1√
2πτ
e−
(x−x0)2
2τ τ > 0
δ(x) τ = 0
El propagador cuántico se transforma en el núcleo de la ecuación del calor si
t = −iτ, τ ∈ R+
. Esta tranformación se conoce como la rotación de Wick.

Relación entre mecánica cuántica y mecánica lagrangiana
Paul Dirac propuso la siguiente relación entre el propagador cuántico y la acción
mecánica
G(x, x0, t) ≈ NeiSt (x,x0)/
, → 0,
donde N es una constante de normalización y St(x, x0) es la acción clásica para
trayectorias que inician en x0 y terminan en x, en un intervalo de tiempo [0, t].

Ejemplo para particula libre
Una trayectoria clásica esta dada por x(s) = x0 + vs, s ∈ [0, t], de manera que
St(x, x0) =
1
2
t
0
(˙x(s))
2
ds =
v2
t
2
=
(x − x0)2
2t
,
por lo que en este caso
G0(x, x0, t) =
1
√
2πit
e
iSt (x,x0)

Nota histórica
La extensión (no trivial) al caso de un potencial no cero fue desarrollada por
Richard Feynman y le condujo al descubrimiento de la representación por integral
de caminos de e−iHt
.

Fórmula de caminos de Feynman
Para un potencial V continuo y acotado inferiormente, H = H0 + V ,
e−iHt/
ψ(x) = l«ım
n→∞
Nn
n
∞
−∞
. . .
∞
−∞
eiSt,n(x,xn−1,...,x0)/
ψ(x0)dx0 . . . dxn−1,
donde
Nn =
n
2πi t
,
St,n(x, xn−1, ..., x0) = (5.1)
n−1
k=0
t
n
1
2
xk+1 − xk
t/n
2
− V (xi ) , xn = x. (5.2)

Interpretación de la integral
St,n puede verse como una aproximación a St(γ), donde γ es una curva que
pasa por x0, x1, ..., xn = x
La integral sobre los puntos intermedios x0, ..., xn = x puede interpretarse
como la integración sobre todas las posibles trayectorias tales que pasen por
x0 en el tiempo 0 y por x en el tiempo t.
Esto nos conduce a la integral de caminos de Feynman
G0(x, x0, t) =
γ(0)=x0,γt =x
eiSt (γ)
Dγ,
donde Dγ tiene el signiﬁcado “heurístico” de integración sobre todos los
caminos que cumplen las condiciones de frontera.

Diﬁcultades técnicas
El símbolo Dγ, el cuál debería ser el límite de Nn
n
n−1
j=1 dxj diveregen cuando
n → ∞.
La contribución principal de procesos estocásticos es que este problema no se
tiene para tiempos imaginarios, es decir, para el núcleo de e−τH
, τ ∈ R+
.

Fórmula de Feynman-Kac
Para ψ ∈ L2
(Rn
),
e−τH
ψ (x) = E e− τ
0
V (Ws )ds
ψ(Wτ )|W0 = x .
es una solución de
∂u
∂t
+ Hu = 0,
con condición inicial u(0, x) = ψ(x), donde H = −1
2 ∆ + V (·), V : Rn
→ R es una
función acotada inferiormente y Wt es un movimiento browniano (unidimensional).

Otra versión de la misma fórmula
Consideremos la ecuación
−
1
2
∆u + cu = f en U
u = 0 en ∂U
donde U es un abierto acotado, con frontera ∂U y f , c son funciones suaves con
c ≥ 0, en U.
Para cada x ∈ U,
u(x) = E
τx
0
f (Wt)e(− t
0
c(Ws )ds)dt ,
donde W0 = x y τx es el primer tiempo de contacto con ∂U.

Conclusiones
La resolución de problemas en física involucra el desarrollo de nuevas técnica
matemáticas
Los principios físicos nos dan posibles alternativas para resolver problemas
matemáticos
Al intentar resolver nuevos problemas en física, necesitamos diferentes
herramientas matemáticas y esto ayuda a elaborar nuevas teorías para atacar
estos problemas, donde se requieren como bases, dos o más campos de las
matemáticas

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