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MATRICES

Las matrices son una forma útil de ordenar datos cuantificables, cuyo fin es almacenarlo
transmitirlo y manipularlo.

Partes de una matriz:

B (m,n) donde m es el numero de filas y n el numero de columnas.
Ejemplo:

                        B(2x2)=

Es una matriz de dos filas por dos columnas.

Las matrices se denotan con cualquier letra del abecedario en mayúscula y el conjunto de los
números ordenados se presentan encerrados en un paréntesis. Las líneas horizontales se les llama
filas y se denotan con la letra m y las líneas verticales se llaman columnas y se denotan con la letra
n, las filas se enumeran de arriba hacia abajo, mientras que las columnas se enumeras de izquierda
a derecha.

Los números que constituyen una matriz se llaman elementos y se designan con letras
minúsculas.

                                      IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices son iguales cuando en las dos se obtiene el mismo número de filas y columnas, y los
elementos de la matriz coincidan.

                                        TIPOS DE MATRICES

   1. MATRIZ FILA:
      Ejemplo

       A(1*3) =          
       

   2. MATRIZ COLUMNA:
      Ejemplo


                         A(3*1)=
3. MATRIZ NULA:
   Ejemplo



               ¨ 0 0 0¸
               ©       ¹
    A(3 X 3) ! © 0 0 0 ¹
               © 0 0 0¹
               ª       º
4. MATRIZ CUADRADA.
   Ejemplo


               ¨1 3¸
   A ( 2 x 2)
              !©
               ©5 7 ¹
                    ¹
               ª    º

5. MATRIZ DIAGONAL
   Ejemplo


             ¨ 3 0 0¸
             ©       ¹
   A(3 x3) ! © 0 6 0 ¹
             ©0 0 2¹
             ª       º



6. MATRIZ IDENTIDAD
   Ejemplo



                    ¨1 0 0¸
                    ©     ¹
   A ( 3 x 3)       ©0 1 0¹
                    ©0 0 1¹
                    ª     º
7. MATRIZ SIMETRICA
      Ejemplo



                  ¨ 1 2 3¸
                  ©       ¹
        A(3 x3) ! © 2 1 5 ¹
                  © 3 5 1¹
                  ª       º



   8. MATRIZ TRANSPUESTA

Ejemplo



                     ¨1            2¸
                     ©              ¹                        ¨1 3 5 ¸
          A(3 X 2) ! © 3           4¹ ;   A   ( 2 X 3)
                                                         ¡   ©
                                                             © 2 4 6¹
                                                                    ¹
                     ©5            6¹                        ª      º
                     ª              º




   9. MATRIZ 0PUESTA
      Ejemplo



                             ¨  1 3  5¸                                       ¨1  3 5 ¸
        A  ( 2 X 3)
                         ¢   ©
                             © 2  4 5 ¹ ; -- A( 2 X 3 )
                                        ¹
                                                                            £   ©
                                                                                ©  2 4  5¹
                                                                                           ¹
                             ª          º                                       ª          º

        OPERACIONES CON MATRICES

SUMA:

                                                         ¨5 6¸                                  ¨8 8 ¸
Sea A y B matrices tal que            A   ( 2 x 2)
                                                     ¤   ©
                                                         ©8 3¹ y
                                                             ¹              B    ( 2 x 2)
                                                                                            ¥   ©
                                                                                                © 9  5 ¹ entonces A+B=C
                                                                                                        ¹
                                                         ª   º                                  ª       º

                             ¨ 5  8 6  8¸                                 ¨  3 14 ¸
          C   ( 2 x 2)
                         ¦   ©
                             ©8  9 3  5 ¹
                                          ¹              C   ( 2 x 2)
                                                                        §   ©
                                                                            © 17  2 ¹
                                                                                     ¹
                             ª            º                                 ª        º
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR:


                                                            ¨5 4 2¸
                                                            ©       ¹
         Sea A una matriz y K un escalar tal que A(3 x3 ) ! © 5 4 3 ¹ y K= 5 entonces K.A =B
                                                            ©8 1 9¹
                                                            ª       º

                       ¨ 5 x5 5 x 4 5 x 2 ¸              ¨ 25 20 10 ¸
                       ©                  ¹              ©          ¹
         B ( 3 x 3 ) ! © 5 x5 5 x 4 5 x 3 ¹   B( 3 x3) ! © 25 20 15 ¹
                       © 5 x8 5 x1 5 x9 ¹                © 40 5 45 ¹
                       ª                  º              ª          º



MATRIZ EQUIVALENTES

Dos matrices A y B se dice que son equivalentes A~B si una de ellas se obtiene a partir de la otra
atreves de transformaciones lineales.

TRANSFORMACIONES LINEALES:

Son todas aquellas operaciones que se realizan con las filas y las columnas de una matriz dada, que
no altere ni su orden ni su rango.

Las transformaciones lineales más comunes son:

    y    Intercambio de filas y columnas
    y    Multiplicación de los números de una fila o una columna por un escalar distinto de cero
    y    La suma de los elementos de una fila o columna, con los correspondientes de otra fila o
         columna multiplicada por un número.

         Al efectuar esta serie de operaciones con la matriz la podemos llevar a la matriz
         escalonada.

Ejemplo: reducir la siguiente matriz a su forma escalonada.

                                F2 € -6F1+F2
                                   €p                 F2 € 1/4F2
                                                         €p

           ¨1    5  0¸   ¨1               5  0¸    ¨1       5  0¸         ¨1   5  0¸
           ©         ¹   ©                     ¹   ©             ¹        ©        ¹
A( 3 x3) ! © 6   ¨2 4¹ ~ ©0           ©   32 4 ¹ ~ © 0      8 1¹       ~ ©0   8 1¹
           ©3    5 2¹    ©0           ©   10 2 ¹   ©0      10 2 ¹        ©0   0 6¹
           ª         º   ª                     º   ª             º        ª        º

De esta manera llegamos a la matriz escalonada.                                    JULIO RODRIGUEZ.

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  • 1. MATRICES Las matrices son una forma útil de ordenar datos cuantificables, cuyo fin es almacenarlo transmitirlo y manipularlo. Partes de una matriz: B (m,n) donde m es el numero de filas y n el numero de columnas. Ejemplo: B(2x2)= Es una matriz de dos filas por dos columnas. Las matrices se denotan con cualquier letra del abecedario en mayúscula y el conjunto de los números ordenados se presentan encerrados en un paréntesis. Las líneas horizontales se les llama filas y se denotan con la letra m y las líneas verticales se llaman columnas y se denotan con la letra n, las filas se enumeran de arriba hacia abajo, mientras que las columnas se enumeras de izquierda a derecha. Los números que constituyen una matriz se llaman elementos y se designan con letras minúsculas. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices son iguales cuando en las dos se obtiene el mismo número de filas y columnas, y los elementos de la matriz coincidan. TIPOS DE MATRICES 1. MATRIZ FILA: Ejemplo A(1*3) = 2. MATRIZ COLUMNA: Ejemplo A(3*1)=
  • 2. 3. MATRIZ NULA: Ejemplo ¨ 0 0 0¸ © ¹ A(3 X 3) ! © 0 0 0 ¹ © 0 0 0¹ ª º 4. MATRIZ CUADRADA. Ejemplo ¨1 3¸ A ( 2 x 2) !© ©5 7 ¹ ¹ ª º 5. MATRIZ DIAGONAL Ejemplo ¨ 3 0 0¸ © ¹ A(3 x3) ! © 0 6 0 ¹ ©0 0 2¹ ª º 6. MATRIZ IDENTIDAD Ejemplo ¨1 0 0¸   © ¹ A ( 3 x 3) ©0 1 0¹ ©0 0 1¹ ª º
  • 3. 7. MATRIZ SIMETRICA Ejemplo ¨ 1 2 3¸ © ¹ A(3 x3) ! © 2 1 5 ¹ © 3 5 1¹ ª º 8. MATRIZ TRANSPUESTA Ejemplo ¨1 2¸ © ¹ ¨1 3 5 ¸ A(3 X 2) ! © 3 4¹ ; A ( 2 X 3) ¡ © © 2 4 6¹ ¹ ©5 6¹ ª º ª º 9. MATRIZ 0PUESTA Ejemplo ¨ 1 3 5¸ ¨1 3 5 ¸ A ( 2 X 3) ¢ © © 2 4 5 ¹ ; -- A( 2 X 3 ) ¹ £ © © 2 4 5¹ ¹ ª º ª º OPERACIONES CON MATRICES SUMA: ¨5 6¸ ¨8 8 ¸ Sea A y B matrices tal que A ( 2 x 2) ¤ © ©8 3¹ y ¹ B ( 2 x 2) ¥ © © 9 5 ¹ entonces A+B=C ¹ ª º ª º ¨ 5 8 6 8¸ ¨ 3 14 ¸ C ( 2 x 2) ¦ © ©8 9 3 5 ¹ ¹ C ( 2 x 2) § © © 17 2 ¹ ¹ ª º ª º
  • 4. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR: ¨5 4 2¸ © ¹ Sea A una matriz y K un escalar tal que A(3 x3 ) ! © 5 4 3 ¹ y K= 5 entonces K.A =B ©8 1 9¹ ª º ¨ 5 x5 5 x 4 5 x 2 ¸ ¨ 25 20 10 ¸ © ¹ © ¹ B ( 3 x 3 ) ! © 5 x5 5 x 4 5 x 3 ¹ B( 3 x3) ! © 25 20 15 ¹ © 5 x8 5 x1 5 x9 ¹ © 40 5 45 ¹ ª º ª º MATRIZ EQUIVALENTES Dos matrices A y B se dice que son equivalentes A~B si una de ellas se obtiene a partir de la otra atreves de transformaciones lineales. TRANSFORMACIONES LINEALES: Son todas aquellas operaciones que se realizan con las filas y las columnas de una matriz dada, que no altere ni su orden ni su rango. Las transformaciones lineales más comunes son: y Intercambio de filas y columnas y Multiplicación de los números de una fila o una columna por un escalar distinto de cero y La suma de los elementos de una fila o columna, con los correspondientes de otra fila o columna multiplicada por un número. Al efectuar esta serie de operaciones con la matriz la podemos llevar a la matriz escalonada. Ejemplo: reducir la siguiente matriz a su forma escalonada. F2 € -6F1+F2 €p F2 € 1/4F2 €p ¨1 5 0¸ ¨1 5 0¸ ¨1 5 0¸ ¨1 5 0¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ A( 3 x3) ! © 6 ¨2 4¹ ~ ©0 © 32 4 ¹ ~ © 0 8 1¹ ~ ©0 8 1¹ ©3 5 2¹ ©0 © 10 2 ¹ ©0 10 2 ¹ ©0 0 6¹ ª º ª º ª º ª º De esta manera llegamos a la matriz escalonada. JULIO RODRIGUEZ.