Pequeño tratado y ejemplos de los cuatro pasos de George Polya para la solución de problemas

1. LOS CUATRO PASOS DE POLYA
Y 10 PROBLEMAS RESUELTOS
EDIN QUIM

3. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
1
George Polya
Fue un matemático que nació en Budapest, Hungría en 1887 y murió en Palo alto, EUA a la edad de 97 años el 7 de
septiembre de 1985. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza.
En 1940, huyendo de Hitler, Pólya y su esposa suiza se trasladan a los Estados Unidos de América. Polya hablaba (según
él, bastante mal) además del húngaro, alemán, francés e inglés, y podía leer y entender algunos más. Se instalaron en
Palo Alto, California, y obtuvo trabajo en la Universidad de Brown pasando a la Universidad de Stanford en 1942.
Durante su larga vida, académica y profesional recibió numerosos premios y galardones por su excepcional trabajo
sobre la enseñanza de las matemáticas y su importantísima obra investigativa.
En cierta ocasión le preguntaron cuál era la razón, según él, por la que a finales del siglo surgieron en ese país buenos
matemáticos, respondió que fue porque las matemáticas son la ciencia más barata: no requieren de equipo costoso,
solamente papel y lápiz
Fue autor o coautor de más de 250 artículos en muchos idiomas, además de un gran número de libros; también fue un
brillante conferencista y profesor. A pesar de su capacidad es curioso que Polya nunca aprendiera a manejar un auto.
Método de los cuatro pasos de Polya
En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados
matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fué descubierta. Por ello, su enseñanza
enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar
a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:
1. Entender el problema
2. Formular un plan
3. Llevar a cabo el plan
4. Comprobar y revisar

4. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
2
Estrategias para resolver problemas
Elaborar una tabla o un diagrama.
Buscar un patrón.
Resolver un problema similar pero más sencillo.
Hacer un bosquejo.
Usar el razonamiento inductivo.
Reducir a una ecuación y resolverla.
Usar una fórmula.
Trabajar de atrás hacia adelante.
Aventurar suposiciones y verificarlas.
Utilizar el método de prueba y error.
Usar el sentido común.
Si una respuesta parece obvia o imposible, verificar si no hay trampa.

5. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
3
Problema numero 1
Prueba1
Animal Numero de patas Total de animales Subtotal de patas
Gallinas 2 4 8
Vacas 4 7 28
11 36
Estos datos no son correctos
Prueba1
Animal Numero de patas Total de animales Subtotal de patas
Gallinas 2 5 10
Vacas 4 6 24
11 34
Estos datos no son correctos
Prueba1
Animal Numero de patas Total de animales Subtotal de patas
Gallinas 2 6 12
Vacas 4 5 20
11 32
Estos datos si son correctos
El número de gallinas y vacas en una granja asciende a 11. El total de patas entre vacas y gallinas
es de 32. ¿Cuántas gallinas y cuántas vacas hay en la granja?
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*El numero de gallinas y de vacas que hay en la granja.
PASO 2.
Formular un plan:
*Aplicar la estrategia: Prueba y error.
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*El número de vacas y gallinas asciende a 11.
*El total de patas entre vacas y gallinas es de 32.
Paso 4.
Comprobar y revisar.
*La suma de los animales es igual a 11.
6 gallinas y 5 vacas.
*El total de patas es igual a 32.
12 patas de gallina y 20 patas de vacas.

6. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
4
Problema numero 2
Una dama va de compras y adquiere 3 toronjas, 2 naranjas y paga 28 centavos. Luego cambia de
parecer y regresa una naranja para tomar a cambio otra toronja, pero tiene que pagar un
centavo más. ¿Cuáles son los precios de las naranjas y las toronjas?
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*El precio de cada naranja y de cada toronja.
PASO 2.
Formular un plan:
*Aplicar la estrategia: Resolver una ecuación
de primer grado.
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*3 toronjas y 2 naranjas cuestan 28 centavos.
*4 toronjas y una naranja cuestan 29 centavos.
El total de patas entre vacas y gallinas es de 32.
( )
( )
*Solución para la ecuación:
Despejando “t” en la primera ecuación:
*Sustituyendo “t” en la segunda ecuación
*Sustituyendo “n” en la primera ecuación( ) ( )
( )
Paso 4.
Comprobar y revisar.
*Al sustituir los datos en la ecuación se comprueba
que el resultado es correcto:
*Precio de las toronjas: 6 centavos
*Precio de las naranjas: 5 centavos

7. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
5
Problema numero 3
Colocar los números enteros del 1 al 25 en las 25 casillas de un tablero de 5 x 5 de tal forma que
la suma de los números de las filas horizontal, vertical y diagonal tenga el mismo resultado.
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*Que la suma de todos los números en todos los sentidos sea
siempre el mismo.
PASO 2.
Formular un plan:
*Aplicar la estrategia: Buscar un patrón.
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*El cuadrado debe ser de 5 x 5
*Usar los números del 1 al 25
*Siguiendo un patrón en los números de 1 a 25
5
4 10
3 9 15
2 8 14 20
1 7 13 19 25
6 12 18 24
11 17 23
16 22
21
*Pasando los valores de los cuadros morado, celeste, azul y
amarillo dentro del cuadrado mágico y al lado contrario.
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
*Resultado final
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
PASO 4.
Comprobar y revisar.
*Se observa que el resultado de la suma en columnas,
filas y diagonales es igual a 65.
*Fila 1: 3+16+9+22+15=65
*Fila 2: 20+8+21+14+2=65
*Fila 3: 7+25+13+1+19=65
*Fila 4: 24+12+5+18+6=65
*Fila 5: 11+4+17+10+23=65
*Columna 1: 3+20+7+24+11=65
*Columna 2: 16+8+25+12+4=65
*Columna 3: 9+21+13+5+17=65
*Columna 4: 22+14+1+18+6=65
*Columna 5: 15+2+19+6+23=65
*Diagonal 1: 3+8+13+18+23=65
*Diagonal 2: 11+12+13+14+15=65

8. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
6
Problema numero 4
La policía atrapo a un ladrón con las manos en la masa y cuando le preguntaron cuántos años
tenía. La contestación fue compleja:
Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los años que tenía
hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora.
¿Cuántos años tiene ahora?
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*Los años que tiene ahora.
PASO 2.
Formular un plan:
*Aplicar la estrategia: Resolver una ecuación
de primer grado.
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*Tomar tres veces los años que tendrá dentro de
tres años.
*Restar tres veces los años que tenía hace tres
años.
( )
( )
( ) ( )
PASO 4.
Comprobar y revisar.
* Dentro de tres años tendrá 21 años.
* Hace tres años tenía 15 años.
* El triple de los que tendrá dentro de 3 años es 63.
* El triple de los que tenía hace tres años es 45.
* La diferencia entre estas dos cantidades es 18 (63-45).
* Es decir; 18 es la edad actual del ladrón atrapado con las manos en la masa.

9. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
7
Problema numero 5
Si GEOMETRIA=827423695, calcula: MI+GOMA+RITA
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*Que la suma de todos los números en todos los sentidos sea
siempre el mismo.
PASO 2.
Formular un plan:
*Aplicar la estrategia: Buscar un patrón.
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*Cada letra tiene un valor.
*calcular la suma de tres cantidades
GEOMETRIA = 827423695
G = 8
E = 2
O = 7
M = 4
E = 2
T = 3
R = 6
I = 9
A = 5
MI+GOMA+RITA
49+8745+6935
49
8745
+6935
15729
PASO 4.
Comprobar y revisar.
*Al sustituir cada una de las letras por las que le corresponden, observamos que la suma es igual a 15729
MI+GOMA+RITA
49+8745+6935
49
8745
+6935
15729

10. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
8
Problema numero 6
Determina la cifra que falta en cada recuadro para que la adición sea correcta
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*Los números que hacer falta en los cuadrados de color blanco
PASO 2.
Formular un plan:
*Aplicar la estrategia: Prueba y error.
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*Usar números dígitos
*No se deben alterar los datos existentes
El total de patas entre vacas y gallinas es de
32.
*Analizamos y resolvemos, según el orden posicional de las cifras:
unidades, decenas y centenas.
Unidades: 4 + 3 + 4 = 11 escribimos 1 y llevamos 1
Decenas: 1 + 7 + 8 + 7 = 23 escribimos 3 y llevamos 2
Centenas: 2 + 4 + 6 + 3 = 15 escribimos 5 y llevamos 1
U de mil: 1 + 6 + 2 = 9
*Ordenando los sumandos:
1 2 1
6 4 7 4
6 8 3
+ 2 3 7 4
9 5 3 1
PASO 4.
Comprobar y revisar.
*Se observa en la suma que los datos son
correctos ya que no se ha alterado ninguna de las
cantidades que ya existían.
*En la primera columna de izquierda a derecha el
número faltante es 4, para que la sumatoria sea 11.
*En la segunda columna el número faltante es 8.
porque se debe llegar a 23.
*En la tercera columna la sumatoria es igual a 15,
entonces el número faltante es 5.
* En la cuarta y última fila el número faltante es 6 para
que la suma sea 9.
1 2 1
6 4 7 4
6 8 3
+ 2 3 7 4
9 5 3 1

11. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
9
Problema numero 7
Construyendo tu árbol genealógico ¿Cuántos bisabuelos tuvieron tus abuelos?
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*La cantidad de bisabuelos que tuvieron mis abuelos
PASO 2.
Formular un plan:
*Hacer un diagrama
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*hacer un árbol genealógico YO 1
MIS PAPAS 2
MIS ABUELOS 4
BISABUELOS 8
Observamos que el diagrama va en forma exponencial con base 2.
Entonces hagamos un listado para ver el número de bisabuelos que
tuvieron mis abuelos:
Primera Categoría: 20
=1 (Yo)
Segunda categoría: 21
=2 (Mis papas)
Tercera categoría: 22
=4 (Mis abuelos)
Cuarta categoría: 23
=8 (Papas de mis abuelos)
Quinta categoría: 24
=16 (Abuelos de mis abuelos)
Sexta categoría: 25
=32 (Bisabuelos de mis abuelos)
H M H M H M H M
Y
o
H M
H M H M
PASO 4.
Comprobar y revisar.
*Se observa la progresión en potencia de base 2 a
partir de una persona.
*Si mis papas son 2, mis abuelos 4, mis
bisabuelos 8, etc…
*Entonces los papas de mis abuelos son 8, sus
abuelos son 16 y sus respectivos bisabuelos son
en total; 32
Primera Categoría: 20
=1 (Yo)
Segunda categoría: 21
=2 (Mis papas)
Tercera categoría: 22
=4 (Mis abuelos)
Cuarta categoría: 23
=8 (Papas de mis abuelos)
Quinta categoría: 24
=16 (Abuelos de mis abuelos)
Sexta categoría: 25
=32 (Bisabuelos de mis abuelos)

12. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
10
Problema numero 8
Un jardinero coloca carteles numerados en cada árbol, tal como muestra el grafico. ¿Qué
número va en el cartel en blanco?
25 21 17 13
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*El número que le corresponde al cartel del quinto árbol
PASO 2.
Formular un plan:
*Seguir un patrón
25, 21, 17, 13,
25 21 17 13
-4 -4 -4
Solución: 13 – 4 = 9
El número faltante es 9
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*Colocar un solo numero faltante al final
PASO 4.
Comprobar y revisar.
*Se observa que en la progresión numérica el
número faltantes es 9 ya que a cada número se
le debe de restar el valor de 4 para igualarse con
la información.
Primer número: 25
Segundo numero; 25-4=21
Tercer número: 21-4=17
Cuarto numero: 17-4=13
Quinto numero: 13-4= 9
Por lo tanto, decimos que el número buscado es 9

13. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
11
Problema numero 9
Hallar el 15° término de la progresión de 4, 7, 10…
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*El numero que ocupa el quinceavo puesto.
PASO 2.
Formular un plan:
*Usar una formula
( )
( )
( )
( )
La fórmula para una progresión aritmética es la siguiente:
Donde:
Utilizando la formula:
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*Se debe hallar el termino numero 15
*Se tiene a un primer término.
PASO 4.
Comprobar y revisar.
*Al hacer uso de la ecuación, se observa que el
resultado es de 46. Es decir, el quinceavo término
es igual a 46.
Primer término: 4
Segundo termino: 7
Tercer término: 10
Cuarto termino: 13
Quinto termino: 16
Sexto termino: 19
Séptimo termino: 22
Octavo termino: 25
Noveno termino: 28
Decimo término: 31
Decimo primer término: 34
Decimo segundo término: 37
Decimo tercer término: 40
Decimo cuarto término: 43
Decimo quinto término: 46
Resumen de la progresión:
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46

14. Los 4 pasos de Polya - Edin Quim
12
Problema numero 10
Las siguientes figuras están formadas por triángulos equiláteros congruentes ¿Cuántos triángulos
se necesitan para construir la n-ésima figura?
PASO 1.
Comprender el problema
¿Qué debo encontrar?
*El numero de triángulos que se necesitan para construir una
N-ésima figura
PASO 2.
Formular un plan:
*Buscar un patrón
Analicemos las figuras:
Figura 1 = 1 triangulo = 12
=1
Figura 2 = 4 triángulos = 22
=4
Figura 3 = 9 triángulos = 32
=9
Figura 4 = 16 triángulos = 42
=16
Según el formato de la sucesión, la quinta figura será de la
forma 52
, es decir, de 25 triángulos.
Por lo tanto, podemos observar que el número de figura
representa la base y el exponente siempre tendrá un valor
de 2.
Entonces el número de triángulos que formaran la
N-ésima figura será;
n=n2
Donde “n” es el número de figura a formar
PASO 3
Llevar a cabo el plan:
Condiciones:
*La primera figura tiene 1 triangulo
*La segunda figura tiene 4 triángulos
*La tercera figura tiene 9 triángulos
PASO 4.
Comprobar y revisar.
*Al hacer una quinta figura el resultado que la
formula nos daría es de 25.
Figura 5=52
=25