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Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables.
M. C. Juliho Castillo
Escuela de Ciencias Empresariales y Econ´omicas, Universidad Panamericana
7 de mayo de 2016
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 1 / 55
1 Funciones de varias variables
Curvas de nivel
2 Derivadas Parciales
C´alculo de derivadas parciales
3 Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
4 Optimizaci´on Restringida
5 Diferencial de una funci´on
Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
6 Referencias
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 2 / 55
Funciones de varias variables
Objetivos del aprendizaje
1 Definir y examinar funciones de dos o m´as variables.
2 Explorar gr´aficas y curvas de nivel de funciones de dos variables.
3 Estudiar la funci´on de producci´on de Cobb-Douglas, isocuantas y
curvas de indiferencia.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 3 / 55
Funciones de varias variables
Definici´on
Una funci´on f de dos variables x y y es una regla que asigna a cada
par ordenado (x, y) un n´umero real denotado por f (x, y).
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 4 / 55
Funciones de varias variables
La producci´on Q en una fabrica usualmente se considera como
funci´on de una cantidad K de inversi´on de capital y el tama˜no L de la
fuerza laboral.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 5 / 55
Funciones de varias variables
La producci´on Q en una fabrica usualmente se considera como
funci´on de una cantidad K de inversi´on de capital y el tama˜no L de la
fuerza laboral. Las funciones de producci´on de la forma
Q(K, L) = AKa
Lb
con A, a, b > 0 y a + b = 1 son conocidad como funciones de
producci´on Cobb-Douglas.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 5 / 55
Funciones de varias variables
Ejemplo
Supongamos que en cierta fabrica, la producci´on est´a dada por la
funci´on de producci´on Cobb-Douglas
Q(K, L) = 60K1/3
L2/3
, (1)
donde K es la inversi´on de capital medida en unidades de $1, 000 y L
es el tama˜no de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 6 / 55
Funciones de varias variables
Ejemplo
Supongamos que en cierta fabrica, la producci´on est´a dada por la
funci´on de producci´on Cobb-Douglas
Q(K, L) = 60K1/3
L2/3
, (1)
donde K es la inversi´on de capital medida en unidades de $1, 000 y L
es el tama˜no de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
1 Calcule la producci´on si la inversi´on del capital es $512, 000 y
1, 000 horas-trabajador son usadas.
2 Muestre que la producci´on en el inciso (1) se duplicar´a si tanto
la inversi´on de capital y tama˜no de la fuerza laboral se duplican.
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Funciones de varias variables
1 Sustituimos K = 512, L = 1000 en (1)
Q(512, 1000) = 60(512)1/3
(1000)2/3
= 48, 000.
2 Sustituimos K = 2 ∗ 512, L = 2 ∗ 1000 en (1)
Q(2 ∗ 512, 2 ∗ 1000) = 60(2 ∗ 512)1/3
(2 ∗ 1000)2/3
= 96, 000.
La comprobaci´on la puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=sqrmru.
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Funciones de varias variables
Observaci´on
En general, para funciones Cobb-Douglas como la anterior, se puede
demostrar que
Q(nK, nL) = nQ(K, L).
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 8 / 55
Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos (x, y) que satisface f (x, y) = C se llama curva
de nivel de f en C. Cuando C var´ıa sobre alg´un conjunto de n´umeros,
se genera toda una familia de curvas de nivel llamada mapa
topogr´afico.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 9 / 55
Funciones de varias variables Curvas de nivel
Ejemplo
Encuentre el mapa topogr´afico de f (x, y) = x2
+ y2
.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 10 / 55
Funciones de varias variables Curvas de nivel
Ejemplo
Encuentre el mapa topogr´afico de f (x, y) = x2
+ y2
.
La ecuaci´on de un c´ırculo con centro en el origen y radio r es
x2
+ y2
= r2
.
Por lo que las curvas de nivel de f (x, y) = r2
forman una familia de
c´ırculos.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 10 / 55
Funciones de varias variables Curvas de nivel
Figura 1: Mapa topogr´afico de f (x, y) = x2 + y2.
El c´odigo para generar este mapa topogr´afico se puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=vvfcyz.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 11 / 55
Funciones de varias variables Curvas de nivel
Isocuantas
Las curvas de nivel aparecen en diferentes aplicaciones. En econom´ıa,
si la producci´on Q(x, y) est´a determinada por los insumos x, y, la
curva de nivel Q(x, y) = C se llama isocuanta.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 12 / 55
Funciones de varias variables Curvas de nivel
Ejemplo
Figura 2: Isocuantas de Q(K, L) = 60K1/3L2/3
El c´odigo para generar este mapa topogr´afico lo puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=yhvatv.
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
Curvas de indiferencia
Un consumidor que considera la compra de varias unidades de cada
uno de dos art´ıculos se asocia con una funci´on de utilidad U(x, y),
que mide la satisfacci´on total (o utilidad) que el consumidor obtiene
por tener x unidades del primer art´ıculo, as´ı como y unidades del
segundo.
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
Una curva de nivel U(x, y) = C de la funci´on de utilidad se llama
curva de indiferencia y da todas las combinaciones (x, y) que
conducen al mismo nivel de satisfacci´on del consumidor.
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
Ejemplo
Encuentre las curvas de indiferencia de la funci´on de utilidad
U(x, y) = x3/2
y.
Figura 3: Curvas de indiferencia de U(x, y) = x3/2y.
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Derivadas Parciales
Objetivos del aprendizaje
1 Calcular e interpretar derivadas parciales.
2 Aplicar derivadas parciales para estudiar problemas de an´alisis
marginal en econom´ıa.
3 Calcular derivadas parciales de segundo orden.
4 Usar la regla de la cadena de derivadas parciales para encontrar
tasas de cambio y hacer aproximaciones incrementales.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 17 / 55
Derivadas Parciales
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial de f (x, y) respecto de x se denota por
∂x f (x, y) ´o fx (x, y)
y es la funci´on obtenida al derivar f respecto de x tratando a y como
una constante.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 18 / 55
Derivadas Parciales
Derivadas parciales de primer orden
De manera similar, la derivada parcial de f (x, y) respecto de y se
denota por
∂y f (x, y) ´o fy (x, y)
y es la funci´on obtenida al derivar f respecto de y tratando a x como
una constante.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 19 / 55
Derivadas Parciales
Algunas propiedades y f´ormulas
Proposici´on
Sean u(x, y), v(x, y) funciones de dos variables y h(y) una funci´on
que no depende de x.
1 ∂x h(y) = 0;
2 ∂x (h(y)u) = h(y)∂x u;
3 ∂x (u + v) = ∂x u + ∂x v;
4 ∂x (uv) = u∂x v + v∂x u;
5 ∂x un
= nun−1
∂x u;
6 ∂x eu
= eu
∂x u;
7 ∂x ln(u) = ∂x u
u
.
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Derivadas Parciales
Observaci´on
Las reglas siguen valiendo si: cambiamos ∂x por ∂y y h no depende
de y.
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Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales
Ejemplo
Encuentre las derivadas parciales de f (x, y) = x2
+ 2xy2
+ 2y
3x
El desarrollo completo del ejercicio lo puede encontrar en mi Canal de
YouTube. La comprobaci´on de la soluci´on la puede encontrar en
SageMathCell.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 22 / 55
Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales
Ejemplo
Encuentre las derivadas parciales de
f (x, y) = (x2
+ x ∗ y + y)5
.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en mi Canal
de YouTube. La comprobaci´on se puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=vrfhpv
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 23 / 55
Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales
Ejemplo
Encuentre las derivadas parciales de
f (x, y) = xe−2xy
.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en mi Canal
de YouTube. La comprobaci´on se puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=onrgkx
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 24 / 55
Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales
Evaluaci´on Continua
Evalue las derivadas parciales ∂x f (x, y) y ∂y f (x, y) en el punto
(x0, y0) dado:
1 f (x, y) = x3
y − 2(x + y), x0 = 1, y0 = 0;
2 f (x, y) = x +
x
y − 3x
, x0 = 1, y0 = 1;
3 f (x, y) = (x − 2y)2
+ (y − 3x)2
+ 5, x0 = 0, y0 = −1;
4 f (x, y) = xy ln
y
x
+ ln (2x − 3y)2
, x0 = 1, y0 = 1;
Puede verificar sus resultados con este este script.
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Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Definici´on (Extremos relativos)
Diremos la funci´on f(x,y) tiene un m´aximo relativo en (x0, y0) si
f (x0, y0) ≥ f (x, y)
para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0).
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Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Definici´on (Extremos relativos)
Diremos la funci´on f(x,y) tiene un m´aximo relativo en (x0, y0) si
f (x0, y0) ≥ f (x, y)
para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0). De manera
similar, diremos la funci´on f(x,y) tiene un m´ınimo relativo en (x0, y0)
si
f (x0, y0) ≤ f (x, y)
para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0).
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 26 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Los extremos relativos no siempre son extremos absolutos...
Figura 4: M´aximo Relativo
Est imagen la puede genera con el siguiente c´odigo:
http://sagecell.sagemath.org/?q=wdxppk
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Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Sin embargo, para puntos suficientemente cercano, un extremo
relativo s´ı lo es.
Esta imagen la puede generar con el siguiente c´odigo:
http://sagecell.sagemath.org/?q=butszu
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 28 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
De hecho, el mapa topogr´afico de la regi´on, nos indica que existen
punto a una mayor altura que el m´aximo relativo.
Figura 5: Mapa topogr´afico con alturas
Puede generar este mapa topogr´afico con el siguiente c´odigo
http://sagecell.sagemath.org/?q=zyutmy
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Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Definici´on (Puntos cr´ıticos)
Un punto (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y) si
∂x f (x0, y0) = 0, ∂y f (x0, y0) = 0.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 30 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Definici´on (Puntos cr´ıticos)
Un punto (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y) si
∂x f (x0, y0) = 0, ∂y f (x0, y0) = 0.
Todos los extremos relativos son puntos cr´ıticos...
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 30 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Pero no todos los puntos cr´ıticos son extremos relativos.
Figura 6: Punto de silla
http://sagecell.sagemath.org/?q=kmfhcx
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 31 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Diremos que un punto cr´ıtico que no es extremo local es un punto de
silla.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 32 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Figura 7: Mapa topografico de f (x, y) = x2 − y2
http://sagecell.sagemath.org/?q=mjknwh
Observaci´on
(0, 0) es punto de silla de f (x, y) = x2
− y2
.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 33 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Hessiano de una funci´on
Definici´on (Segundas derivadas)
Las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) son
∂xx f (x, y) = ∂x (∂x f (x, y)) = fxx (x, y)
∂xy f (x, y) = ∂x (∂y f (x, y)) = fyx (x, y)
∂yx f (x, y) = ∂y (∂x f (x, y)) = fxy (x, y)
∂yy f (x, y) = ∂y (∂y f (x, y)) = fyy (x, y)
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 34 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Hessiano de una funci´on
Definici´on (Segundas derivadas)
Las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) son
∂xx f (x, y) = ∂x (∂x f (x, y)) = fxx (x, y)
∂xy f (x, y) = ∂x (∂y f (x, y)) = fyx (x, y)
∂yx f (x, y) = ∂y (∂x f (x, y)) = fxy (x, y)
∂yy f (x, y) = ∂y (∂y f (x, y)) = fyy (x, y)
Hess f (x, y) =
∂xx f (x, y) ∂yx f (x, y)
∂xy f (x, y) ∂yy f (x, y)
(2)
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 34 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
El determinante Hessiano de f (x, y) se define como
D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − ∂xy f (x, y)∂yx f (x, y).
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 35 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
El determinante Hessiano de f (x, y) se define como
D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − ∂xy f (x, y)∂yx f (x, y).
Observaci´on
Si las derivadas parciales mixtas ∂xy f (x, y), ∂yx f (x, y) existen y son
continuas, entonces
∂xy f (x, y) = ∂yx f (x, y),
de manera que
D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − (∂xy f (x, y))2
.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 35 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Teorema (Clasificaci´on de puntos cr´ıticos)
Supongamos que todas las derivas de primer y segundo orden de
f (x, y) existe y que (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y). Entonces
Si D(x0, y0) < 0, entonces (x0, y0) es un punto de silla.
Si D(x0, y0) > 0 y ∂xx f (x0, y0) > 0, entonces (x0, y0) es un
m´ınimo relativo.
Si D(x0, y0) > 0 y ∂xx f (x0, y0) < 0, entonces (x0, y0) es un
m´aximo relativo.
Observaci´on
Si D(x0, y0) = 0, la informaci´on no es concluyente.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 36 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Ejemplo
Clasifique los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x2
+ y2
.
Puede ver el desarrollo completo del ejercicio en
https://youtu.be/9Vz-qouiRPw.
Para encontrar los puntos cr´ıticos, puede este script.
Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede utilizar este script.
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Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Ejemplo
Clasifique los puntos cr´ıticos de f (x, y) = 12x − x3
− 4y2
.
Puede ver el desarrollo completo del ejercicio en
https://youtu.be/oY3DjTSqado.
Para encontrar los puntos cr´ıticos puede usar este script.
Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede utilizar este script.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 38 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Ejemplo
Clasifique los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x3
− y3
+ 6xy.
Puede ver el desarrollo completo del ejercicio en
https://youtu.be/oCk2O9SpJG4.
Para encontrar los puntos cr´ıticos puede usar este script.
Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede usar este script.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 39 / 55
Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos
Evaluaci´on Continua
Clasifique los puntos cr´ıticos de cada una de las siguientes funciones:
1 f (x, y) = 5 − x2
− y2
2 f (x, y) = 16
x
+ 6
y
+ x2
− 3y2
3 f (x, y) = x3
+ y2
− 6xy + 9x + 5y + 2
4 f (x, y) = (x2
+ 2y2
)e1−x2−y2
Puede verificar sus resultados, utilizando este este script.
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Optimizaci´on Restringida
M´etodo Lagrangiano
Teorema
Si (x0, y0) optimiza la funci´on f (x, y) sujeta a la restricci´on
g(x, y) = C, entonces (x0, y0) resuelve las siguientes ecuaciones:
∂x f (x0, y0) = λ∂x g(x0, x0) (ML1)
∂y f (x0, y0) = λ∂y g(x0, y0) (ML2)
g(x0, y0) = C (ML3)
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Optimizaci´on Restringida
M´etodo Lagrangiano
Teorema
Si (x0, y0) optimiza la funci´on f (x, y) sujeta a la restricci´on
g(x, y) = C, entonces (x0, y0) resuelve las siguientes ecuaciones:
∂x f (x0, y0) = λ∂x g(x0, x0) (ML1)
∂y f (x0, y0) = λ∂y g(x0, y0) (ML2)
g(x0, y0) = C (ML3)
Al parametro λ se le llama multiplicador de Lagrange.
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Optimizaci´on Restringida
Observaci´on
Si f (x, y) alcanza su m´aximo o m´ınimo absoluto en (x0, y0),
restringido a g(x, y) = C, entonces las ecuaciones anteriores se
satisfacen.
Sin embargo, no todos los puntos que satisfacen
(ML1)-(ML2)-(ML3) son m´aximos o m´ınimos absolutos.
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Optimizaci´on Restringida
Ejemplo
M´aximizar f (x, y) = xy sujeta a 2x + y = 4.
Puede ver completo el desarollo del ejercicio en
https://youtu.be/-5P9wcAJAmQ
Para comprobar los resultados, visite
http://sagecell.sagemath.org/?q=vyrfpy
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Optimizaci´on Restringida
Ejemplo
Maximizar f (x, y) = 60x
1
3 y
2
3 sujeto a 2x + 5y = 30.
Para ver completo el desarrollo del ejercicio, visite
https://www.youtube.com/watch?v=6wT0C w3LIY
Para comprobar los resultados, visite
http://sagecell.sagemath.org/?q=utuygm
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 44 / 55
Optimizaci´on Restringida
Ejemplo
Maximizar f (x, y) = x2
+ 3xy + y2
sujeto a x + y = 100.
Para ver completo el desarrollo del ejercicio, visite
https://www.youtube.com/watch?v=5aHV 0w6j-c
Para comprobar los resultados, visite
http://sagecell.sagemath.org/?q=gknhrm
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Optimizaci´on Restringida
Evaluaci´on Continua
Resolver los siguientes problemas de optimizaci´on restringida:
1 Maximizar xy sujeto a x + 3y = 24.
2 Maximizar 10x1/2
y1/3
sujet0 a 2x + 4y = 20.
3 Maximizar x1/2
y1/2
sujeto a 50, 000x + 20, 000y = 1, 000, 000.
4 Minimizar x2
+ y2
sujeto a x + 2y = 4.
5 Minimizar x2
+ 2y2
sujeto a x + y = 12.
Observaci´on
Todos los problemas de esta secci´on tienen un ´unico punto que es
candidato a ser soluci´on. En todos los casos, este punto es de hecho
la soluci´on. Puede verificar sus resultados este script.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 46 / 55
Diferencial de una funci´on
Si f es una funci´on de x, y y, a su vez, tanto x como y son funciones
de una tercera variable t, entonces podemos usar la siguiente versi´on
de la regla de la cadena:
d
dt
[f (x(t), y(t)] =
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
. (RC)
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 47 / 55
Diferencial de una funci´on
Si f es una funci´on de x, y y, a su vez, tanto x como y son funciones
de una tercera variable t, entonces podemos usar la siguiente versi´on
de la regla de la cadena:
d
dt
[f (x(t), y(t)] =
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
. (RC)
Abusando de la notaci´on, escribimos f (t) = f (x(t), y(t) y podemos
reescribir la regla de la cadena como
f (t) = ∂x f (x, y)x (t) + ∂y f (x, y)y (t).
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 47 / 55
Diferencial de una funci´on
En la ecuaci´on anterior, podemos omitir la dependencia dt de la
variable t
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 48 / 55
Diferencial de una funci´on
En la ecuaci´on anterior, podemos omitir la dependencia dt de la
variable t
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
y obtenemos la siguiente
Definici´on (Diferencial de f (x, y))
df (x, y) = ∂x f (x, y)dx + ∂y f (x, y)dy. (df)
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 48 / 55
Diferencial de una funci´on
Podemos interpretar la f´ormula (df), en t´erminos de aproximaciones
por incrementos.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 49 / 55
Diferencial de una funci´on
Podemos interpretar la f´ormula (df), en t´erminos de aproximaciones
por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como ∆y ≈ 0, entonces
∆f ≈ ∂x f (x, y)∆x + ∂y f (x, y)∆y.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 49 / 55
Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx
= 1,
dy
dx
= y .
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 50 / 55
Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx
= 1,
dy
dx
= y .
Entonces obtenemos el caso especial
df
dx
= ∂x f (x, y) + ∂y f (x, y)y (x).
Si fijamos una curva de nivel, f (x, y) al derivar respecto de x de
ambos lados tenemos que df
dx
= 0, y sustituyendo la f´ormula anterior,
obtenemos
∂x f (x, y) + ∂y f (x, y)y (x) = 0.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 50 / 55
Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Finalmente, al despejar y (x), obtenemos la siguiente f´ormula para
derivaci´on implicita con derivadas parciales
dy
dx
= −
∂x f (x, y)
∂y f (x, y)
(DIDP)
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 51 / 55
Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Ejemplo
Encuentre dy
dx
a partir de x2
− 6 xy + 9 y2
= 9 con la f´ormula (DIDP).
En este caso f (x, y) = x2
− 6 xy + 9 y2
. Calculamos las parciales



∂x f (x, y) = 2 x − 6 y
∂y f (x, y) = −6 x + 18 y
y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos
dy
dx
= −
(2 x − 6 y)
(−6 x + 18 y)
=
1
3
.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 52 / 55
Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Ejemplo
Encuentre dy
dx
a partir de 4 x2
− 4 xy + y2
= 4 con la f´ormula (DIDP).
En este caso f (x, y) = f (x, y) = 4 x2
− 4 xy + y2
. Calculamos las
parciales 


∂x f (x, y) = 8 x − 4 y
∂y f (x, y) = −4 x + 2 y
y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos
dy
dx
= −
(8 x − 4 y)
(−4 x + 2 y)
= 2.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 53 / 55
Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Evaluaci´on Continua
Encuentre dy
dx
por usando la f´ormula (DIDP):
1 x2
y = 1.
2 (2x + 3y)5
= x + 1.
3 x2
+ 2y3
=
3
xy
.
4 4x2
+ y2
= 1.
5 3x2
− 2y2
= 6.
Observaci´on
Recuerde que antes debe reescribir la ecuaci´on de modo que el lado
derecho sea constante.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 54 / 55
Referencias
Nuestros libros de texto
1 HOFFMANN, Laurence et. al.; ”Matem´aticas Aplicadas a la
Administraci´on y los Negocios”. 1a ed. M´exico: McGraw-Hill,
2014.
2 SYDSAETER, Knut et. al.; “Matem´aticas para el An´alisis
Econ´omico”, 2a. ed., M´exico: Pearson, 2012.
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 55 / 55

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Optimización en Varias Variables

  • 1. Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. M. C. Juliho Castillo Escuela de Ciencias Empresariales y Econ´omicas, Universidad Panamericana 7 de mayo de 2016 M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 1 / 55
  • 2. 1 Funciones de varias variables Curvas de nivel 2 Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales 3 Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos 4 Optimizaci´on Restringida 5 Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales 6 Referencias M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 2 / 55
  • 3. Funciones de varias variables Objetivos del aprendizaje 1 Definir y examinar funciones de dos o m´as variables. 2 Explorar gr´aficas y curvas de nivel de funciones de dos variables. 3 Estudiar la funci´on de producci´on de Cobb-Douglas, isocuantas y curvas de indiferencia. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 3 / 55
  • 4. Funciones de varias variables Definici´on Una funci´on f de dos variables x y y es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) un n´umero real denotado por f (x, y). M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 4 / 55
  • 5. Funciones de varias variables La producci´on Q en una fabrica usualmente se considera como funci´on de una cantidad K de inversi´on de capital y el tama˜no L de la fuerza laboral. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 5 / 55
  • 6. Funciones de varias variables La producci´on Q en una fabrica usualmente se considera como funci´on de una cantidad K de inversi´on de capital y el tama˜no L de la fuerza laboral. Las funciones de producci´on de la forma Q(K, L) = AKa Lb con A, a, b > 0 y a + b = 1 son conocidad como funciones de producci´on Cobb-Douglas. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 5 / 55
  • 7. Funciones de varias variables Ejemplo Supongamos que en cierta fabrica, la producci´on est´a dada por la funci´on de producci´on Cobb-Douglas Q(K, L) = 60K1/3 L2/3 , (1) donde K es la inversi´on de capital medida en unidades de $1, 000 y L es el tama˜no de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 6 / 55
  • 8. Funciones de varias variables Ejemplo Supongamos que en cierta fabrica, la producci´on est´a dada por la funci´on de producci´on Cobb-Douglas Q(K, L) = 60K1/3 L2/3 , (1) donde K es la inversi´on de capital medida en unidades de $1, 000 y L es el tama˜no de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. 1 Calcule la producci´on si la inversi´on del capital es $512, 000 y 1, 000 horas-trabajador son usadas. 2 Muestre que la producci´on en el inciso (1) se duplicar´a si tanto la inversi´on de capital y tama˜no de la fuerza laboral se duplican. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 6 / 55
  • 9. Funciones de varias variables 1 Sustituimos K = 512, L = 1000 en (1) Q(512, 1000) = 60(512)1/3 (1000)2/3 = 48, 000. 2 Sustituimos K = 2 ∗ 512, L = 2 ∗ 1000 en (1) Q(2 ∗ 512, 2 ∗ 1000) = 60(2 ∗ 512)1/3 (2 ∗ 1000)2/3 = 96, 000. La comprobaci´on la puede encontrar en http://sagecell.sagemath.org/?q=sqrmru. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 7 / 55
  • 10. Funciones de varias variables Observaci´on En general, para funciones Cobb-Douglas como la anterior, se puede demostrar que Q(nK, nL) = nQ(K, L). M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 8 / 55
  • 11. Funciones de varias variables Curvas de nivel El conjunto de puntos (x, y) que satisface f (x, y) = C se llama curva de nivel de f en C. Cuando C var´ıa sobre alg´un conjunto de n´umeros, se genera toda una familia de curvas de nivel llamada mapa topogr´afico. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 9 / 55
  • 12. Funciones de varias variables Curvas de nivel Ejemplo Encuentre el mapa topogr´afico de f (x, y) = x2 + y2 . M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 10 / 55
  • 13. Funciones de varias variables Curvas de nivel Ejemplo Encuentre el mapa topogr´afico de f (x, y) = x2 + y2 . La ecuaci´on de un c´ırculo con centro en el origen y radio r es x2 + y2 = r2 . Por lo que las curvas de nivel de f (x, y) = r2 forman una familia de c´ırculos. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 10 / 55
  • 14. Funciones de varias variables Curvas de nivel Figura 1: Mapa topogr´afico de f (x, y) = x2 + y2. El c´odigo para generar este mapa topogr´afico se puede encontrar en http://sagecell.sagemath.org/?q=vvfcyz. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 11 / 55
  • 15. Funciones de varias variables Curvas de nivel Isocuantas Las curvas de nivel aparecen en diferentes aplicaciones. En econom´ıa, si la producci´on Q(x, y) est´a determinada por los insumos x, y, la curva de nivel Q(x, y) = C se llama isocuanta. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 12 / 55
  • 16. Funciones de varias variables Curvas de nivel Ejemplo Figura 2: Isocuantas de Q(K, L) = 60K1/3L2/3 El c´odigo para generar este mapa topogr´afico lo puede encontrar en http://sagecell.sagemath.org/?q=yhvatv. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 13 / 55
  • 17. Funciones de varias variables Curvas de nivel Curvas de indiferencia Un consumidor que considera la compra de varias unidades de cada uno de dos art´ıculos se asocia con una funci´on de utilidad U(x, y), que mide la satisfacci´on total (o utilidad) que el consumidor obtiene por tener x unidades del primer art´ıculo, as´ı como y unidades del segundo. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 14 / 55
  • 18. Funciones de varias variables Curvas de nivel Una curva de nivel U(x, y) = C de la funci´on de utilidad se llama curva de indiferencia y da todas las combinaciones (x, y) que conducen al mismo nivel de satisfacci´on del consumidor. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 15 / 55
  • 19. Funciones de varias variables Curvas de nivel Ejemplo Encuentre las curvas de indiferencia de la funci´on de utilidad U(x, y) = x3/2 y. Figura 3: Curvas de indiferencia de U(x, y) = x3/2y. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 16 / 55
  • 20. Derivadas Parciales Objetivos del aprendizaje 1 Calcular e interpretar derivadas parciales. 2 Aplicar derivadas parciales para estudiar problemas de an´alisis marginal en econom´ıa. 3 Calcular derivadas parciales de segundo orden. 4 Usar la regla de la cadena de derivadas parciales para encontrar tasas de cambio y hacer aproximaciones incrementales. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 17 / 55
  • 21. Derivadas Parciales Derivadas parciales de primer orden La derivada parcial de f (x, y) respecto de x se denota por ∂x f (x, y) ´o fx (x, y) y es la funci´on obtenida al derivar f respecto de x tratando a y como una constante. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 18 / 55
  • 22. Derivadas Parciales Derivadas parciales de primer orden De manera similar, la derivada parcial de f (x, y) respecto de y se denota por ∂y f (x, y) ´o fy (x, y) y es la funci´on obtenida al derivar f respecto de y tratando a x como una constante. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 19 / 55
  • 23. Derivadas Parciales Algunas propiedades y f´ormulas Proposici´on Sean u(x, y), v(x, y) funciones de dos variables y h(y) una funci´on que no depende de x. 1 ∂x h(y) = 0; 2 ∂x (h(y)u) = h(y)∂x u; 3 ∂x (u + v) = ∂x u + ∂x v; 4 ∂x (uv) = u∂x v + v∂x u; 5 ∂x un = nun−1 ∂x u; 6 ∂x eu = eu ∂x u; 7 ∂x ln(u) = ∂x u u . M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 20 / 55
  • 24. Derivadas Parciales Observaci´on Las reglas siguen valiendo si: cambiamos ∂x por ∂y y h no depende de y. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 21 / 55
  • 25. Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales Ejemplo Encuentre las derivadas parciales de f (x, y) = x2 + 2xy2 + 2y 3x El desarrollo completo del ejercicio lo puede encontrar en mi Canal de YouTube. La comprobaci´on de la soluci´on la puede encontrar en SageMathCell. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 22 / 55
  • 26. Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales Ejemplo Encuentre las derivadas parciales de f (x, y) = (x2 + x ∗ y + y)5 . El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en mi Canal de YouTube. La comprobaci´on se puede encontrar en http://sagecell.sagemath.org/?q=vrfhpv M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 23 / 55
  • 27. Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales Ejemplo Encuentre las derivadas parciales de f (x, y) = xe−2xy . El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en mi Canal de YouTube. La comprobaci´on se puede encontrar en http://sagecell.sagemath.org/?q=onrgkx M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 24 / 55
  • 28. Derivadas Parciales C´alculo de derivadas parciales Evaluaci´on Continua Evalue las derivadas parciales ∂x f (x, y) y ∂y f (x, y) en el punto (x0, y0) dado: 1 f (x, y) = x3 y − 2(x + y), x0 = 1, y0 = 0; 2 f (x, y) = x + x y − 3x , x0 = 1, y0 = 1; 3 f (x, y) = (x − 2y)2 + (y − 3x)2 + 5, x0 = 0, y0 = −1; 4 f (x, y) = xy ln y x + ln (2x − 3y)2 , x0 = 1, y0 = 1; Puede verificar sus resultados con este este script. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 25 / 55
  • 29. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Definici´on (Extremos relativos) Diremos la funci´on f(x,y) tiene un m´aximo relativo en (x0, y0) si f (x0, y0) ≥ f (x, y) para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0). M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 26 / 55
  • 30. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Definici´on (Extremos relativos) Diremos la funci´on f(x,y) tiene un m´aximo relativo en (x0, y0) si f (x0, y0) ≥ f (x, y) para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0). De manera similar, diremos la funci´on f(x,y) tiene un m´ınimo relativo en (x0, y0) si f (x0, y0) ≤ f (x, y) para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0). M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 26 / 55
  • 31. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Los extremos relativos no siempre son extremos absolutos... Figura 4: M´aximo Relativo Est imagen la puede genera con el siguiente c´odigo: http://sagecell.sagemath.org/?q=wdxppk M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 27 / 55
  • 32. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Sin embargo, para puntos suficientemente cercano, un extremo relativo s´ı lo es. Esta imagen la puede generar con el siguiente c´odigo: http://sagecell.sagemath.org/?q=butszu M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 28 / 55
  • 33. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos De hecho, el mapa topogr´afico de la regi´on, nos indica que existen punto a una mayor altura que el m´aximo relativo. Figura 5: Mapa topogr´afico con alturas Puede generar este mapa topogr´afico con el siguiente c´odigo http://sagecell.sagemath.org/?q=zyutmy M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 29 / 55
  • 34. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Definici´on (Puntos cr´ıticos) Un punto (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y) si ∂x f (x0, y0) = 0, ∂y f (x0, y0) = 0. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 30 / 55
  • 35. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Definici´on (Puntos cr´ıticos) Un punto (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y) si ∂x f (x0, y0) = 0, ∂y f (x0, y0) = 0. Todos los extremos relativos son puntos cr´ıticos... M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 30 / 55
  • 36. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Pero no todos los puntos cr´ıticos son extremos relativos. Figura 6: Punto de silla http://sagecell.sagemath.org/?q=kmfhcx M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 31 / 55
  • 37. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Diremos que un punto cr´ıtico que no es extremo local es un punto de silla. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 32 / 55
  • 38. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Figura 7: Mapa topografico de f (x, y) = x2 − y2 http://sagecell.sagemath.org/?q=mjknwh Observaci´on (0, 0) es punto de silla de f (x, y) = x2 − y2 . M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 33 / 55
  • 39. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Hessiano de una funci´on Definici´on (Segundas derivadas) Las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) son ∂xx f (x, y) = ∂x (∂x f (x, y)) = fxx (x, y) ∂xy f (x, y) = ∂x (∂y f (x, y)) = fyx (x, y) ∂yx f (x, y) = ∂y (∂x f (x, y)) = fxy (x, y) ∂yy f (x, y) = ∂y (∂y f (x, y)) = fyy (x, y) M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 34 / 55
  • 40. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Hessiano de una funci´on Definici´on (Segundas derivadas) Las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) son ∂xx f (x, y) = ∂x (∂x f (x, y)) = fxx (x, y) ∂xy f (x, y) = ∂x (∂y f (x, y)) = fyx (x, y) ∂yx f (x, y) = ∂y (∂x f (x, y)) = fxy (x, y) ∂yy f (x, y) = ∂y (∂y f (x, y)) = fyy (x, y) Hess f (x, y) = ∂xx f (x, y) ∂yx f (x, y) ∂xy f (x, y) ∂yy f (x, y) (2) M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 34 / 55
  • 41. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos El determinante Hessiano de f (x, y) se define como D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − ∂xy f (x, y)∂yx f (x, y). M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 35 / 55
  • 42. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos El determinante Hessiano de f (x, y) se define como D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − ∂xy f (x, y)∂yx f (x, y). Observaci´on Si las derivadas parciales mixtas ∂xy f (x, y), ∂yx f (x, y) existen y son continuas, entonces ∂xy f (x, y) = ∂yx f (x, y), de manera que D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − (∂xy f (x, y))2 . M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 35 / 55
  • 43. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Teorema (Clasificaci´on de puntos cr´ıticos) Supongamos que todas las derivas de primer y segundo orden de f (x, y) existe y que (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y). Entonces Si D(x0, y0) < 0, entonces (x0, y0) es un punto de silla. Si D(x0, y0) > 0 y ∂xx f (x0, y0) > 0, entonces (x0, y0) es un m´ınimo relativo. Si D(x0, y0) > 0 y ∂xx f (x0, y0) < 0, entonces (x0, y0) es un m´aximo relativo. Observaci´on Si D(x0, y0) = 0, la informaci´on no es concluyente. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 36 / 55
  • 44. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Ejemplo Clasifique los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x2 + y2 . Puede ver el desarrollo completo del ejercicio en https://youtu.be/9Vz-qouiRPw. Para encontrar los puntos cr´ıticos, puede este script. Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede utilizar este script. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 37 / 55
  • 45. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Ejemplo Clasifique los puntos cr´ıticos de f (x, y) = 12x − x3 − 4y2 . Puede ver el desarrollo completo del ejercicio en https://youtu.be/oY3DjTSqado. Para encontrar los puntos cr´ıticos puede usar este script. Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede utilizar este script. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 38 / 55
  • 46. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Ejemplo Clasifique los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x3 − y3 + 6xy. Puede ver el desarrollo completo del ejercicio en https://youtu.be/oCk2O9SpJG4. Para encontrar los puntos cr´ıticos puede usar este script. Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede usar este script. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 39 / 55
  • 47. Clasificaci´on de Puntos Cr´ıticos Evaluaci´on Continua Clasifique los puntos cr´ıticos de cada una de las siguientes funciones: 1 f (x, y) = 5 − x2 − y2 2 f (x, y) = 16 x + 6 y + x2 − 3y2 3 f (x, y) = x3 + y2 − 6xy + 9x + 5y + 2 4 f (x, y) = (x2 + 2y2 )e1−x2−y2 Puede verificar sus resultados, utilizando este este script. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 40 / 55
  • 48. Optimizaci´on Restringida M´etodo Lagrangiano Teorema Si (x0, y0) optimiza la funci´on f (x, y) sujeta a la restricci´on g(x, y) = C, entonces (x0, y0) resuelve las siguientes ecuaciones: ∂x f (x0, y0) = λ∂x g(x0, x0) (ML1) ∂y f (x0, y0) = λ∂y g(x0, y0) (ML2) g(x0, y0) = C (ML3) M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 41 / 55
  • 49. Optimizaci´on Restringida M´etodo Lagrangiano Teorema Si (x0, y0) optimiza la funci´on f (x, y) sujeta a la restricci´on g(x, y) = C, entonces (x0, y0) resuelve las siguientes ecuaciones: ∂x f (x0, y0) = λ∂x g(x0, x0) (ML1) ∂y f (x0, y0) = λ∂y g(x0, y0) (ML2) g(x0, y0) = C (ML3) Al parametro λ se le llama multiplicador de Lagrange. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 41 / 55
  • 50. Optimizaci´on Restringida Observaci´on Si f (x, y) alcanza su m´aximo o m´ınimo absoluto en (x0, y0), restringido a g(x, y) = C, entonces las ecuaciones anteriores se satisfacen. Sin embargo, no todos los puntos que satisfacen (ML1)-(ML2)-(ML3) son m´aximos o m´ınimos absolutos. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 42 / 55
  • 51. Optimizaci´on Restringida Ejemplo M´aximizar f (x, y) = xy sujeta a 2x + y = 4. Puede ver completo el desarollo del ejercicio en https://youtu.be/-5P9wcAJAmQ Para comprobar los resultados, visite http://sagecell.sagemath.org/?q=vyrfpy M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 43 / 55
  • 52. Optimizaci´on Restringida Ejemplo Maximizar f (x, y) = 60x 1 3 y 2 3 sujeto a 2x + 5y = 30. Para ver completo el desarrollo del ejercicio, visite https://www.youtube.com/watch?v=6wT0C w3LIY Para comprobar los resultados, visite http://sagecell.sagemath.org/?q=utuygm M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 44 / 55
  • 53. Optimizaci´on Restringida Ejemplo Maximizar f (x, y) = x2 + 3xy + y2 sujeto a x + y = 100. Para ver completo el desarrollo del ejercicio, visite https://www.youtube.com/watch?v=5aHV 0w6j-c Para comprobar los resultados, visite http://sagecell.sagemath.org/?q=gknhrm M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 45 / 55
  • 54. Optimizaci´on Restringida Evaluaci´on Continua Resolver los siguientes problemas de optimizaci´on restringida: 1 Maximizar xy sujeto a x + 3y = 24. 2 Maximizar 10x1/2 y1/3 sujet0 a 2x + 4y = 20. 3 Maximizar x1/2 y1/2 sujeto a 50, 000x + 20, 000y = 1, 000, 000. 4 Minimizar x2 + y2 sujeto a x + 2y = 4. 5 Minimizar x2 + 2y2 sujeto a x + y = 12. Observaci´on Todos los problemas de esta secci´on tienen un ´unico punto que es candidato a ser soluci´on. En todos los casos, este punto es de hecho la soluci´on. Puede verificar sus resultados este script. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 46 / 55
  • 55. Diferencial de una funci´on Si f es una funci´on de x, y y, a su vez, tanto x como y son funciones de una tercera variable t, entonces podemos usar la siguiente versi´on de la regla de la cadena: d dt [f (x(t), y(t)] = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt . (RC) M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 47 / 55
  • 56. Diferencial de una funci´on Si f es una funci´on de x, y y, a su vez, tanto x como y son funciones de una tercera variable t, entonces podemos usar la siguiente versi´on de la regla de la cadena: d dt [f (x(t), y(t)] = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt . (RC) Abusando de la notaci´on, escribimos f (t) = f (x(t), y(t) y podemos reescribir la regla de la cadena como f (t) = ∂x f (x, y)x (t) + ∂y f (x, y)y (t). M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 47 / 55
  • 57. Diferencial de una funci´on En la ecuaci´on anterior, podemos omitir la dependencia dt de la variable t df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 48 / 55
  • 58. Diferencial de una funci´on En la ecuaci´on anterior, podemos omitir la dependencia dt de la variable t df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt y obtenemos la siguiente Definici´on (Diferencial de f (x, y)) df (x, y) = ∂x f (x, y)dx + ∂y f (x, y)dy. (df) M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 48 / 55
  • 59. Diferencial de una funci´on Podemos interpretar la f´ormula (df), en t´erminos de aproximaciones por incrementos. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 49 / 55
  • 60. Diferencial de una funci´on Podemos interpretar la f´ormula (df), en t´erminos de aproximaciones por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como ∆y ≈ 0, entonces ∆f ≈ ∂x f (x, y)∆x + ∂y f (x, y)∆y. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 49 / 55
  • 61. Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que dx dx = 1, dy dx = y . M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 50 / 55
  • 62. Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que dx dx = 1, dy dx = y . Entonces obtenemos el caso especial df dx = ∂x f (x, y) + ∂y f (x, y)y (x). Si fijamos una curva de nivel, f (x, y) al derivar respecto de x de ambos lados tenemos que df dx = 0, y sustituyendo la f´ormula anterior, obtenemos ∂x f (x, y) + ∂y f (x, y)y (x) = 0. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 50 / 55
  • 63. Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales Finalmente, al despejar y (x), obtenemos la siguiente f´ormula para derivaci´on implicita con derivadas parciales dy dx = − ∂x f (x, y) ∂y f (x, y) (DIDP) M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 51 / 55
  • 64. Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales Ejemplo Encuentre dy dx a partir de x2 − 6 xy + 9 y2 = 9 con la f´ormula (DIDP). En este caso f (x, y) = x2 − 6 xy + 9 y2 . Calculamos las parciales    ∂x f (x, y) = 2 x − 6 y ∂y f (x, y) = −6 x + 18 y y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos dy dx = − (2 x − 6 y) (−6 x + 18 y) = 1 3 . M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 52 / 55
  • 65. Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales Ejemplo Encuentre dy dx a partir de 4 x2 − 4 xy + y2 = 4 con la f´ormula (DIDP). En este caso f (x, y) = f (x, y) = 4 x2 − 4 xy + y2 . Calculamos las parciales    ∂x f (x, y) = 8 x − 4 y ∂y f (x, y) = −4 x + 2 y y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos dy dx = − (8 x − 4 y) (−4 x + 2 y) = 2. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 53 / 55
  • 66. Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales Evaluaci´on Continua Encuentre dy dx por usando la f´ormula (DIDP): 1 x2 y = 1. 2 (2x + 3y)5 = x + 1. 3 x2 + 2y3 = 3 xy . 4 4x2 + y2 = 1. 5 3x2 − 2y2 = 6. Observaci´on Recuerde que antes debe reescribir la ecuaci´on de modo que el lado derecho sea constante. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 54 / 55
  • 67. Referencias Nuestros libros de texto 1 HOFFMANN, Laurence et. al.; ”Matem´aticas Aplicadas a la Administraci´on y los Negocios”. 1a ed. M´exico: McGraw-Hill, 2014. 2 SYDSAETER, Knut et. al.; “Matem´aticas para el An´alisis Econ´omico”, 2a. ed., M´exico: Pearson, 2012. M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimizaci´on de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 55 / 55