Concepto y definición de tipos de Datos Abstractos en c++.pptx
Expresiones algebraicas
1. CURSO: MATEMATICAS
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD Nº 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones
aritméticas: adición (+), sustracción (-), multiplicación, división y potenciación.
TERMINO ALGEBRAICO
Un término algebraico es una expresión en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el
producto y la potencia de exponente natural. Consta de:
a) signo: ( + ó - )
b) coeficiente numérico o número
c) factor literal o letra
d) Exponente
GRADO DE UN TÉRMINO
Grado absoluto: Es la suma de los exponentes del factor literal
Grado relativo: de un término respecto a una letra está dado por el exponente de la parte literal
indicada
Ejemplo:
En el término 4x2
y3
Tiene grado absoluto 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)
Tiene grado relativo 2 respecto a x y 3 respecto a y
TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
De acuerdo al número de términos pueden ser:
MONOMIO: tiene un término Ej. 5x2
yz4
;
ba
yx
+
− 22
BINOMIO: tiene dos términos Ej. 5
7 yxy + ; p + q
TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2
+ 3x - 5
POLINOMIO O MULTINOMIO: En general son los que tienen varios términos.
LENGUAJE ALGEBRAICO COMO UNA MANIFESTACION DEL LENGUAJE COMUN
En general se utilizan expresiones compuestas por números y letras y las diferentes operaciones para
representar modelos matemáticos de situaciones concretas de la cotidianidad
Ejemplo: Escribe para cada situación una expresión algebraica:
a. El producto de dos números desconocidos
b. El incremento en $5000 en el precio de un artículo
Solución
a. Considérense los números x e y: El producto de estos dos números se representa como: xy
b. Llámese x el precio del artículo; El incremento en $5000 en el precio se representa: x + 5000
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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES
2. GRADO DE UN POLINOMIO
• Grado absoluto de un Polinomio: es la mayor suma de los exponentes, en las partes literales, de cada
uno de los términos.
• Grado relativo de un Polinomio: es el mayor exponente respecto a una letra
Ejemplo:
En la expresión 3x3
+ 5y5
tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)
En el término 4x2
y
3
– 4b3
y2
z7
tiene grado 12 (por el grado del segundo termino)
ORDEN DE UN POLINOMIO.
Los polinomios pueden ordenarse en forma ascendente ( de menor a mayor) o descendente ( de mayor a
menor), con respecto al exponente de una letra
TERMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar,
sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.
Ejemplo: El término 3x2
y y el término 2x2
y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da
5x2
y
VALOR NUMERICO O EVALUACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
A cada letra o factor literal se le asigna un determinado valor numérico.
Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a =
3
2
y b =
2
1
, evaluemos la expresión:
3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =
3
3
2
- 2
2
1
- 5
3
2
+ 4
2
1
- 6
3
2
+ 3
2
1
=
2 - 1 -
3
10
+ 2 - 4 +
2
3
=
6
17
−
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas:
a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos signos,
b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, se debe Sumar su opuesto, es decir, cambiar el signo de
los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.
TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE Nº 1
I) En cada término algebraico, determina cada una de sus partes
a) 3x2
y b) m c) mc2
d) –vt e) 0,3ab5
f) 3 g) -8x3
y2
z4
h) a
3
2
− i)
3
2
1
x− j)
3
7 2
a
k)
4
3m
− l)
24
4
3
ba
II. Escribe una expresión algebraica para cada una de las expresiones matemáticas
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Ejemplo:
Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:
3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =
3 • 3 - 2 • 2 - 5 • 3 + 4 • 2 - 6 • 3 + 3 • 2 =
9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14
3. a. La tercera parte del precio de un lote b. Se vendió la mitad de un lote de computadores
c. La suma de un número con el doble de otro d. El cuadrado de una cantidad
e. El cuadrado de la suma de dos cantidades f. Un número incrementado en la tercera parte
g. El cociente de dos números
h. La suma del producto de dos números y el triple del cociente de los números
i. El precio de un artículo disminuido un 30% j. El 40% del cubo de un número
III) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
a) 7x2
y + xy b) -3 + 4x – 7x2
c) -2xy d) vt +
2
2
1
at e) 7m2
n – 6mn2
f)
2
cba ++
g) x2
+ 8x + 5 h) 2(3x + 4y) i) 2x2
(3x2
+ 6y) j)
4
432
hcb +
IV) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
a. 5m + 2m b. x+2x+9x c. m2
– 2m2
– 7m2
d. 15c+13c -12b-11c-4b-b e.
5
6
2
3
3
2
5
2222
baababba
−+−
V) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso
por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión.
a) 3ab – b + 2ab + 3b b) 3a2
b – 8 a2
b – 7a2
b + 3a2
b c) 2a2
b –
2
3
a2
b – 1
d) ab2
– b2
a + 3ab2
e) baba
10
7
4
5
5
4
2
3
−−+ f) bbbb
14
1
5
1
7
2 22
+−+−
VI) Calcula el valor numérico de las siguientes Expresiones Algebraicas, considera para cada caso a = 2;
b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0
a) 5a2
– 2bc – 3d b) 2a2
– b3
– c3
– d5
c) ( )a
cb +
d) fbca
8
7
2
1
5
2
4
3
+−− e) ( )( ) f)da(
cba 32 −
+− f)
72
badc +
+
−
VII) Evalúa la expresión x2
+ x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4,…, 40. ¿Qué característica tienen los
números que resultan?
VII) Elimina los paréntesis
1) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) 2) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z )
3) -( x - 2y ) - [ { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }] 4) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c )
5) 9x + 13 y - 9z - [7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }] =
6) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
7) 8x - ( 1
2
1
y + 6z - 2
4
3
x ) - ( -3
5
3
x + 20y ) - ( x +
4
3
y + z ) =
8) 9x + 3
2
1
y - 9z - =
−
+−−+−− zzyxzyx 359
3
1
52
2
1
7
9) ( )[ ]nmnmnm −−+−−− 232
10)
−−− aaaa
3
2
2
1
5
1
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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4. 1. ADICION O SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para sumar dos o más polinomios se tiene en cuenta lo siguiente
• Se ordenan los polinomios ya sea en forma ascendente o descendente (siempre y cuando sea posible)
• Se escriben los términos de los polinomios uno debajo del otro, de manera que coincidan los semejantes
• Se procede como en la suma de monomios
Ejemplo: sumar xxxconxxx 325243 2323
−−+−−
Solución
xxx
xxx
xxx
−−
−−
+−−
23
23
23
62
325
243
2. SUSTRACCION O RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para restar dos polinomios se procede de la siguiente forma:
• Se ordena los polinomios de ser posible ascendente o descendentemente
• Se le cambian los signos a los términos del polinomio sustraendo
• Se procede como en la suma de polinomios
Ejemplo: de xxxrestarxxx 325243 2323
−−+−−
Solución
El sustraendo es 5x3
-2x2
-3x, su inverso aditivo es -5x3
+2x2
+3x , luego la operación queda
xxx
xxx
xxx
528
325
243
23
23
23
+−−
++−
+−−
3. PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar dos polinomios se procede de la siguiente forma
• Se ordenan los polinomios respecto a la misma letra ya sea en forma ascendente o descendente
• Se multiplica cada uno de los términos de polinomio multiplicador, por cada uno de los términos del
polinomio multiplicando
• Se reducen los términos semejantes que hayan
Ejemplo: multiplicar 32
4653 xconxx −−+−
Solución
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio
345
3
2
242012
4
653
xxx
x
xx
+−
−
−+−
Ejemplo: Multiplicar 232
23243 xconxxx +−+−−
Solución
Se ordenan ambos polinomios en forma descendente )x()xxx( 32432 223
−−−
Se organizan para efectuar la multiplicación término a término Se multiplica -3 con cada uno de los términos del
primer polinomio: obteniéndose:
xxx)xxx( 12964323 2323
++−=−−−
La operación completa sería:
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5. 4. COCIENTE O DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para dividir dos polinomios se tienen en cuenta los siguientes pasos:
a. Se ordenan en forma descendente ambos polinomios, con respecto a una misma letra.
b. Si en el polinomio dividendo hacen falta términos, se completan esas casillas con cero.
c. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término de divisor y este resultado se escribe
en el cociente
d. Este resultado se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se le resta al
dividendo
e. Se coloca el resultado de la resta y se bajan los siguientes términos
f. Se repite nuevamente el proceso
Ejemplo: dividir 242
112 xxentrexxx +++−−−
Solución
• Se ordenan los polinomios 112 224
++÷−−− xxxxx
• En el polinomio dividendo hay un espacio con respecto al exponente de la x, observe la secuencia de los
exponentes 4, 2, 1, 0, este espacio corresponde a x3
, se rellena este espacio con 0x3
, con lo que la
expresión anterior puede escribirse
• Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
x4
÷ x2
= x2
• Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
dividendo:
• Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor –x3
÷ x2
= -x, y
el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
• Se repite nuevamente el proceso, se divide el primer término del nuevo polinomio
–x2
÷ x2
= -1 y se multiplica por cada uno de los términos del divisor.
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6. La división es exacta, púes su residuo es cero
5. DIVISION SINTETICA
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división,
llamado regla de Ruffini.
Ejemplo: Resolver por la regla de Ruffini la división:
323 24
−÷+− xxx
1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2. Se colocan los coeficientes del dividendo en una línea.
3. A la derecha colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4. Se traza una raya y bajamos el primer coeficiente.
5. Se multiplica ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. (1×3 = 3)
6. se suman los dos coeficientes. (0+3 = 3)
7. Se repite el proceso anterior.
Se repite el proceso hasta obtener el último número.
8. El último número obtenido, 56, es el residuo o resto
9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que
hemos obtenido.
1863 23
+++ xxx , residuo 56
TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N° 2
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7. I. resolver las siguientes adiciones
1. cbaconcba ++−+ 3223 2. 5312523 2424
+−++− xxxconxx
3. 222222
98636543 xxyy;yxxy,yxyx −−−−+−+−
4. abaconaba
6
1
2
1
3
3
5 22
+−−
5. Sumar
1111
2
5
2
71265 −+−+
−−−+− xxxxxx
aaaconaaa
6. Sumar 3
2
1
64
8
5
5
3
75
4
1 452345
+−+−−+−+− xxxconxxxxx
7. x
2
– y
2
, 2x
2
– 3y
2
, –x
2
; 2x
2
– 3y
2
8. Si P = x
2
+ 3x – 2 y Q = 2x
2
– 5x + 7, obtener P + Q.
9. Si P = x
3
– 5x
2
– 1; Q = 2x
2
– 7x + 3 y R = 3x
3
– 2x + 2, obtener P + Q y P+ R
10. Si
2
ba
P
+
= y
2
ba
Q
−
= , obtener P + Q
II. Resolver las siguientes sustracciones
1. cbarestarcbaDe ++−+ 3223 2. 5312523 2424
+−++− xxxdexxstarRe
3. 2222
986365 xxyyrestar;yxxyDe −−−−+−
4. abarestarabaDe
6
1
2
1
3
3
5 22
+−−
5.
1111
2
5
2
71265 −+−+
−−−+− xxxxxx
aaarestaraaaDe
6. 3
2
1
64
8
5
5
3
75
4
1 452345
+−+−−+−+− xxxdexxxxxstarRe
7. (x
2
– y
2
) - (2x
2
– 3y
2
),
8. Si P = x
2
+ 3x – 2 y Q = 2x
2
– 5x + 7, obtener P - Q.
9. Si P = x
3
– 5x
2
– 1; Q = 2x
2
– 7x + 3 y R = 3x
3
– 2x + 2, obtener P – Q, Q-R y P- R
10. Si
2
ba
P
+
= y
2
ba
Q
−
= , obtener P - Q
III. Resolver los siguientes productos
1. )xxx)(xx( 287658 3423
−+−+− 2. )xx)(xx( 3
3
1
2
5
6
7
2
1 3424
−+−+
3. )xx)(xx( 227435 2325
−+−−− 4. )xx)(xx( 332525 3423
−+−++
1. )xxx)(xxx( 44531863 23423
+−−+++ 6. )xx)(xxx( aaaa 4312
7
3
1
53 −−+
−+−
7. )yyxyx)(xyyxyx( 3
4
3
32
3
1
5
2 324223
−+−++ 8. )xxy)(xyx( a
7352 322
−−+
9. Si P = x
2
+ 3x – 2 y Q = 2x
2
– 5x + 7, obtener P . Q.
10. Si
2
ba
P
+
= y
2
ba
Q
−
= , obtener P - Q
IV. Resolver las siguientes divisiones
1. 3322
+−+ aentreaa 2. 53202
+−+− xentrexx
3. xentrexx 221422 3
+−−− 4 xyentreyxyx 26 22
+−− . 5.
2364726 242536
+−+−−−+ mmentremmmmm 6. 13
+++
aentreaa xx
7. 2243245
82116205 yxyxentrexyyxxx −−−−+− 8. 112 224
++−−− xxentrexxx
9. 521512 225
+−−−− xxentrexxx 10. 112 224
−−−−− yyentreyyy
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