El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo factorización simple, completando el cuadrado, la fórmula cuadrática y características de parábolas como orientación, puntos de corte, eje de simetría y vértice. También cubre el movimiento parabólico y sus ecuaciones.
2. ECUACIONES CUADRATICAS
1 Factorización simple
este es el ejercicio que se desarrollara
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x + 4 ) (x – 2) = 0
4 y –2 4 + -2 = 2 por que al restar 4 menos -2 da 2 entonces donde
quedaba x pasa el 4 y donde estaba el 4 pasa el -2
4 · -2 = -8 se multiplican
Y aquí están las dos respuestas
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2
3. Ecuaciones cuadráticas
Completando el cuadrado
Se despeja la contante de a que es 4
x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto
4x2 + 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2 + 2x + 1 = 8 + 1
4. Se continua en esta diapositiva
( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
5. Formula cuadrática
X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
respuesta
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6 x = -2 - 6
2 2
x = 4 x = -8
2 2
x = 2 x = - 4
6. Tiro parabólico
Ecuaciones del movimiento parabólico
Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:
1.
2.
donde:
1 es el módulo de la velocidad inicial.
2 es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
3 es la aceleración de la gravedad.
a velocidad inicial se compone de dos partes:
que se denomina compone velocidad inicial se compone de dos partes:
v_0 , cos{phi} que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo v_{0x} ,
v_0 , sin{phi} que se denomina componente vertical de la velocidad inicial. Entre horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo
que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
7. Continua en esta dispositiva
La veloLa velocidad inicial se compone de dos partes:
v_0 , cos{phi} que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo v_{0x} ,
v_0 , sin{phi} que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
En lo sucesivo v_{0y} , cidad inicial se compone de dos partes:
que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo
que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
En lo sucesivo
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el áng ulo de la velocidad inicial.
Ecuación de la aceleración
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el áng ulo de la velocidad inicial.
Ecuación de la aceleración
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
mathbf{a} = -g , mathbf{j}
que es vertical y hacia abajo.
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
que es vertical y hacia abajo.
8. Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función
cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los
valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola
cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas
o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5
9. Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con
puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
10. Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de
corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
12. Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como
un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
funcion_cuadr_graficar005
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
funcion_cuadr_graficar004curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
