Funciones de varias variables: límites, continuidad y derivabilidad
1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 1
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
[5.1] Hallar y representar gráficamente las curvas de nivel de la función 2(,)fxyxy.
Solución
Por definición 22,/mCxyxy .
Por tanto:
2220,/0,/0Cxyxyxyxy
2222,/,/mmCxyxymxyyx si 0m
2. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
2 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.2] Hallar y representar gráficamente las curvas de nivel de la función (,)1fxyxy
Solución
Por definición 2,/1mCxyxym.
Por tanto, como 1mxy , deducimos que 1m. En este caso:
Para 11:0,0mC
Para : 1m
Si ,0:11xyxymyx
Si ,0:11xyxymyx
Si 00:11xyxymyx
Si 00:11xyxymyx
Por tanto:
10,0C
22,/100,/100mCxyyxmxyxyyxmxy 22,/100,/100paxyyxmxyxyyxmxyra m
3. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 3
[5.3] Demostrar que los siguientes límites no existen:
1.- 2(,)(1,1) 1lim xyxyxy
2.- 224(,)(0,0) lim xyxyxy
Solución
1.- 2(,)(1,1) 1lim xyxyxy
Límites reiterados 221111121111111limlimlimlimlim111111limlimlim11 xyxxxyxxxyxxxyxxxxxyyxyy
Los límites reiterados existen y son distintos, por lo que no existe el límite doble.
2.- 224(,)(0,0) lim xyxyxy
Límites reiterados 224200022440000limlimlim00limlimlim0 xyxyxyxyxyxxyxyy
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.
4. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
4 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Límites según una dirección, 2xmy 22442424442(,)(0,0)00limlimlim(1)1xyyyxmy xymymy xymyyym
Los límites según diferentes parábolas existen y son distintos, por lo que no existe el límite doble.
5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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[5.4] Estudiar la existencia de los siguientes límites:
1.- 222(,)(0,0)3lim xyyxy
2.- 222(,)(0,0) ()lim xyxyxy
Solución
1.- 222(,)(0,0)3lim xyyxy
Límites reiterados 232220003224/32220000330limlimlim0limlimlimlim0 xyxyxyyyxyxyyyxyy
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy 22224/32222(,)(0,0)0033sen[0,1] 0senlimlimlimsen0xyyxy
6. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
2.- 222(,)(0,0) ()lim xyxyxy
Límites reiterados 2222200022222000()limlimlim1()limlimlim1 xyxyxyxyxxyxxyyxyy
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy 222222222(,)(0,0)00()(cossen)(cossen)limlimlim(cossen) xyxyxy
Como el valor del límite depende del valor de podemos concluir que 222(,)(0,0) ()lim xyxyxy.
7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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[5.5] Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1.- 22 ,0,0(,) 0 ,0,0 xyxyxxyyfxyxy
2.- 2222 ,0,0(,) 0 ,0,0 xyxyxexyfxyxy
Solución
1.- 22 ,0,0(,) 0 ,0,0 xyxyxxyyfxyxy
Si , ,0,xy (,)fxy es continua por ser cociente de funciones continuas y el denominador no nulo.
Si , tenemos que comprobar que: ,0,xy
(,)(0,0) lim(,)(0,0) xyfxyf
Si calculamos los límites reiterados: 22200001limlimlimlim0(0,0) xyxxxyxfxxyyxx
Por tanto, como (,)(0,0) lim(,) xyfxy, f no es continua en (0,0). Luego f es continua en 20,0.
8. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
8 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
2.- 2222 ,0,0(,) 0 ,0,0xyxyxexyfxyxy
Si , ,0,xy0(,)fxy es continua por ser producto de funciones continuas.
Si , tenemos que comprobar que: ,0,xy
(,)(0,0) lim(,)(0,0) xyfxyf
Si calculamos los límites reiterados: 222222220001000limlimlim0limlimlim00xyxyxyxxyxyyxyxexexee
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy 2222222222(cossen) (cossen) (,)(0,0)00(*) limlimcoslimcos0xyxyxyxeee
(*) Utilizamos que es el producto de una función que tiende a cero por una función acotada.
Por tanto f es continua en . 2
[5.6] Estudiar la derivabilidad de la función: 2222() ,0,0(,) 0 ,0,0 xyxyxyxyfxyxy
Solución
Si , ,0,xy (,)fxy es derivable por ser cociente de funciones derivables y el denominador no nulo.
9. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Si , hay que estudiar la existencia de las derivadas parciales ,0,xy y 0,0 : 0000(0,0)(0,0)000,0limlim0(0,0)(0,0)000,0limlim0 hhkkffhfxhffkfyk
Por tanto f es derivable en . 2
[5.7] Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente función en el punto (0,0): 0(,) 0 0 xyxyxyfxyxy
Solución
Comprobemos si (,)(0,0) lim(,)(0,0) xyfxyf.
Si calculamos los límites reiterados: 000limlimlim0 xyxxyxxy
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy 22(,)(0,0)000cossen(cossen)cossenlimlimlimlimsencossencossencosxyxyxy
Por tanto f no es continua en (0,0). Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 9
10. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
10 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Para comprobar la derivabilidad en (0,0) analizamos la existencia de las derivadas parciales 0,0 fx y 0,0 fx: 0000(0,0)(0,0)000,0limlim0(0,0)(0,0)000,0limlim0 hhkkffhfxhffkfyk
Por tanto f es derivable y no continua en (0,0).
[5.8] Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente función en el punto (0,0): 2y 0(,) 3 0 xyfxyy
Solución
Comprobemos si . (,)(0,0) lim(,)(0,0)3 xyfxyf 2(,)(0,0)(,)(0,0) lim(,)lim0(0,0)3 xyxyfxyxyf
Por tanto f no es continua en (0,0).
Para comprobar la derivabilidad en (0,0) analizamos la existencia de las derivadas parciales 0,0 fx y 0,0 fx: 0000(0,0)(0,0)330,0limlim0(0,0)(0,0)030,0limlim hhkkffhfxhffkfyk
Por tanto f no es derivable en (0,0).
11. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 11
[5.9] Comprobar que cxazeaybx es solución de la EDP :
0czbzazyx
Solución:
Se tiene: cxcxcxaaaxyczebezaea
De donde: 0cxcxcxcxaaaaxycazbzczaebebaecea
[5.10] Comprobar que 332xzyxy es solución de la EDP:
3222(3)(3)xyxzyxyzz
Solución: 233423321;3xyxxzyzyyyy
3222(3)(3xy xzyxyzz 233322433233221(3)33xxxyyxyyyyyy 32232233325322(3)3xxyxyxyyyyy 32232255(3)22(3)xxyxyxyy
12. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
12 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.11] Comprobar que la función 2lnyzxx cumple la ecuación de Euler: 2zzxyzxy
Solución: 222222ln2lnln1zyxyyxxxxxyxxyzxxzxxxyyxy
Al sustituir en la ecuación de Euler: 222ln2ln2zzyxyxyxxxyxxyxyx [5.12] Demostrar que la función , siendo 22(zyxy una función arbitraria y diferenciable, satisface la ecuación: 211zz xxyyy
Solución:
Se tiene: 222zzyxyxy
Sustituyendo: 21122zzyy xxyyyyy
13. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 13
[5.13] Dada la función ()senx zxyxy obtener lo más simplificadamente posible el valor de la expresión: zzxyxy
Solución: 2sen()cossencos() zxxxyxxyxy xxyxyxyxyxyxy sencos[1] zxxyxxxxxyxyxy 2sen()cossencos() zxxxxxxy yxyxyxyxyxyxy sencos[2] zxxyxyyyxyxyxy
14. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
14 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Haciendo [1] + [2]: ()senzzxxyxyxyxy
[5.14] Dada la función 22220zyzx , demostrar que 211zzxxyyz
Solución: 22222222222222222102022222zzzxzyzzxxxyzyzzzzzxxxyzxzyzz 222222222222221020222zyzzyzyzzxyyzzzyzyzyyyzyzzyz
15. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 15
22222222221122yzzzyxxxyyyzyzzxzyzz 22222222222211222yzyzzzyzzzyzzzyzz 211zzxxyyz
[5.15] Se considera la función (,)zzxy definida mediante la ecuación: 2122yxyzxx
donde designa una función arbitraria diferenciable. Hallar de manera simplificada el valor de la expresión diferencial: ()
zzxyxyxy
Solución:
Al derivar la ecuación respecto a x e y2242222422xzyzxyzxyxxxxx
16. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
16 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
2122222yzzxzxyxyxyx
y sustituir en la expresión diferencial: 4222222zzxyyzxxzxyxyxyxyxyxyxy 21(422)(22)2212212xxyyzyxxzxxyzxyzxyz [5.16] Sea la función (,)zfxy definida implícitamente por la relación:
22224611xyzxyz
Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie (,)zfxy en el punto (1,1,1)P
Solución:
La ecuación del plano tangente a una superficie en un punto es: 0000(,,)Pxyz
000000(,)()(,)()xyzzzxyxxzxyyy 22224611022260xDzzxyzxyzxzxx 1(26)22(1,1,1)03xzzxzxzxxz 22224611022460yDzzxyzxyzyzyy 2(26)24(1,1,1)3/43yzzyzyzyyz
Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a la superficie dada en P(1 es: ,1,1) 310(1)(1)443334704zxyzyyz
17. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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[5.17] Dada la función , donde 232uxyvx calcular dz
Solución:
Aplicando la regla de la cadena: 22323222(4)2228422166216(3)6 zzuzdvvxuvvxuvxxyxxuxvdxxyxzzuvyxyyuy
Luego: 232(6216)6zzdzdxdyxyxdxxydyxy
[5.18] Comprobar que 1()(zyfaxygaxy , donde fy son funciones arbitrarias diferenciables de segundo orden, es solución de la EDP: g 22222zazyxyyy
Solución:
Derivando respecto de : 222()(;zafgzafgxyxy
Derivando respecto de y: 22()(zfgfgz yfgyfgyyyy
Por tanto: 2()()()(z yfgfgyfgyfgyy
De donde: 22222()azafgy yyyy
18. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
18 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.19] Dada la función , demostrar que 30zxzy 2223(3) (3) zz xyzx
Solución:
Derivando implícitamente respecto de ()x: 22230(3) 3zzzzzzzxzxzxxxx [1]
Derivando implícitamente respecto de (: )y 2221310(3)13zzzzzxzxyyy [2]
Derivando [1] respecto de ()y: 222222222(3)6(3) (3) 3(3)(3)(3) zzzzxzzzxzzzzyyy xyyxyzxzxzxzx
[5.20] Si 23cossenrrxeye calcular (,) (,) rxy utilizando propiedades del jacobiano.
Solución:
Utilizaremos la propiedad: (,)1(,)(,) (,) rxyxyr 225252332cossen(,)2cos3sen(,)3sencosrrrrrrxxeexyreeyyreer
52252(2cos3sen)(2sen)rree
Luego: 552(,)11(,)(,)(2sen)2sen(,) rrrexyxyer
19. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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20. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
20 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.21] Obtener los extremos locales de la función
32(,)6632fxyxyxyxy
Solución:
Se determinan los puntos críticos (valores que anulan a las derivadas parciales): 2323660(,)66322630fxyxfxyxyxyxyfyxy 21227275,5,6502263331,1,222xyPxxxyxyP
Hallamos la matriz hessiana 2222226662ffxxxyHffyxy
Y los dos menores preferentes 2126fHxx 266123662xHHx
En 1275,2P hay un mínimo local ya que 123006036240HH 271175,24f
En 231,2P hay un punto silla, 21236240H 311,24f
21. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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[5.22] Determinar los extremos locales de la función f definida por:
442(,)24yyfxyexxe
Solución 00fffxy 3232428808()0(44)0440yyyyyyfxxexxexfeexexey
342232220(4)040imposible8()00(44)04(1)010yyyyyyyyyyyxeeexxexeeeeeeey
Como 2211yxexx
Se obtienen dos puntos críticos: 12(1,0)y(1,0)PP.
Hallamos la matriz hessiana 22224222224888164yyyyffxxyxexeH xeexffyxy
Y los dos menores preferentes 22122422248(248)(164)(8) yyyyfHxexHHxeexxe
En hay un mínimo local ya que 1(1,0)P1224816016.12641280HH
1,01f
En hay también un mínimo local, 2(1,0)P1224816024.12641280HH
1,01f
22. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
22 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.23] Sea la función fdefinida por: 22(,)fxyxyxy donde es un número real. Hallar los valores de de forma que la función f tenga extremos locales.
Solución 2202020202040(4) 2fxyxyxfyxyyyyyy
02y
Si el punto 00yx1(0,0)P es un punto crítico
Si 2yx los puntos 2(,)Pxx son puntos críticos x
Si 2yx los puntos 3(,)Pxx son puntos críticos x
Veremos si son extremos estudiando la matriz hessiana y los menores preferentes en cada uno de ellos. 22222222ffxxyHffyxy 21222204(2)(2fHxHH
1) 1(0,0)P
Al ser estudiamos las diferentes posibilidades para según el valor de 10H2H
(1a) es un mínimo local 22040(2H2)1 P
(1b) no es un extremo sino un punto de silla 220402H21P
(1c) Si 222H y es un caso dudoso con este criterio, pero observamos que 222222(,)2( 2(,)2( fxyxyxyxyfxyxyxyxy
y, en ambos casos, para todos los puntos (,)xy(0,0) de un entorno del origen se cumple que en (,)(0,0)0fxyf 1P hay un mínimo local
23. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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2) 22y(,)Pxx
mientras que 222(,)2()0fxyxyxyxy2()(,)0fPfxx en hay un mínimo local 2P
3) 32y(,)Pxx
mientras que 222(,)2()0fxyxyxyxy3()(,)0fPfxx en hay un mínimo local 3P
[5.24] Sean las funciones 1 y ff definidas por:
221(,),(,)1fxyxyfxyxy
Hallar los extremos locales de f condicionados por la ecuación . 1(,)0fxy
Solución
Consideramos la función auxiliar 22(,,)(1)Lxyxyxy 2210xy y buscamos los puntos críticos que cumplan la ecuación 22020222222222021222021212111xyLyyxxxyxyxLxxyxyxxyyxyxyxyxy
Si 11donde 2212112donde 222yyxxyyx
Si 11donde 2212112donde 222yyxxyyx
luego los puntos críticos son:
24. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
24 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
121111, y ,2222PP asociados al valor 12 341111, y , 2222PP asociados al valor 1= 2
Además, la matriz 11002ffAxy es de rango 1 siempre que (,)(0,0)xy
Hallamos la matriz hessiana orlada: 11221222120022()221212ffxyxyfLLHLxxxxyyfLLyyxy
Para 111, y = 222P :
10221121180,22211HLP Mínimo local condicionado 11, 222f
Para 211, y = 222P :
20221121180,22211HLP Mínimo local condicionado 11, 222f
25. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 25
Para 311, y = 222P :
30221121180,22211HLP Máximo local condicionado 11, 222f
Para 411, y = 222P :
40221121180,22211HLP Máximo local condicionado 11, 222f
[5.25] Hallar los extremos condicionados de la función 2(,)zxyxy , estando ligadas las variables x e y por la relación 1xyab .
Solución:
Consideramos la función Lagrangiana: 22(,,)1xyLxyxyab
Igualando a cero las derivadas parciales de la función Lagrangiana y teniendo presente la condición 1(,)10xyfxyab se obtienen los posibles extremos relativos: 2222222222120212021010210abLxxabxaaxaxbyLaybyyxyybabxyabxyabababab
Además, la matriz 11001/1/ffAxy es de rango 1 ya que
26. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
26 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Para determinar si el punto es máximo o mínimo se calcula el determinante de la matriz hessiana orlada en dicho punto: 11221222212001/1/ 22()1/2001/02ffxyabfLLHLaxxyxbbfLLyyxy
La función tiene un mínimo local en el punto 222222,ababxyabab condicionado por la ecuación 1xyab . Además, 222222222,abababzababab
[5.26] Sean las funciones 1 y ff definidas por:
1(,,),(,,)8fxyzxyxzyzfxyzxyz
Hallar los extremos locales de f condicionados por la ecuación . 1(,,)0fxyz
Solución
Resolveremos el problema por el método de los multiplicadores de Lagrange.
Consideramos la función auxiliar (,,,)(8)Lxyzxyxzyzxyz 80xyz y buscamos los puntos críticos que cumplan la ecuación 0008LyzyzxLxzxzyLxyxyzxyz 888yzyzxzyzyzxzxyxzxzxyyzxzxzxyxyxyzxyzxyxyz
3281xyzxyzx
Obtenemos un sólo punto crítico, el (2,2,2)P asociado al valor 1
27. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
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Además, la matriz 111000444fffAyzxzxyxyz en el punto es de rango 1. (2,2,2)P
Hallamos la matriz hessiana orlada 11122212222122221200011() 101110fffxyzyzxzxyfLLLxxxyxzyzzHL xzzfLLLyyxyyzxyyxfLLLzzxzyz
que evaluada en el punto ( es: 04444011() 41014110HL
y los dos últimos menores preferentes: 1122132221200444011616320410ffxyfLLHxxxyfLLyyxy 4011110111648011011110HH
cuyos signos coinciden con (-1)1=(-1)nº de condiciones
Se deduce que la función (,,)fxyzxyxzyz1(,,) tiene un mínimo local en el punto condicionado por la ecuación (2,2,2)80zfxyzxy
28. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
28 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao