Ecuaciones diferenciales ordinarias

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS
ARMADAS 'ESPE'
May 23, 2016
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINALES
TEMA: RICCATI
DEBER N°10
NOMBRE:
Asqui guillermo
nrc: 2110
FECHA: MAYO, 23 DE 2016
1

2. 1. verique si la funcion xy2
− y3
= c, es solucion de la ecuacion diferencial
ydx + (2x − 3y)dy = 0.
dy
dx = y
3y−2x
f(x) = xy2
− y3
= c
y + 2yy´ − 3y2
y´=0
y´(2xy − 3y2
) = −y2
dy
dx = −y2
2xy−3y2
dy
dx = y
3y−2x , entonces f(x) es solución
2.Verique si la función y = Ae5x
+ Be−2x
− 1
2 ex
es solucion de la ecuacion
diferencial y´´ − 3y´ − 10y = 6ex
f(x) : y = Ae5x
+ Be−2x
− 1
2 ex
y´ = 5Ae5x
− 2Be−2x
− 1
2 ex
y´ = 25Ae5x
+ 4Be−2x
− 1
2 ex
25Ae5x
+4Be−2x
− 1
2 ex
−3(5Ae5x
−2Be−2x
− 1
2 ex
)−10(Ae5x
+Be−2x
− 1
2 ex
) =
6ex
25Ae5x
+4Be−2x
− 1
2 ex
−15Ae5x
+6Be−2x
´+3
2 ex
−10Ae5x
−10Be−2x
+5ex
=
6ex
6ex
= 6ˆex
; la funcion f(x) es solución
3.Si xM(x, y)+yN(x, y) = 0; encuentre la solución de la ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
xM(x, y) + yN(x, y) = 0
d
dx (xM(x, y)) + d
dx (yN(x, y)) = 0
M(x, y) + dy
dx N(x, y) = 0
4.Resolver la ecuación diferencial dy
dx = 2y
x + x3
y +xtg( y
x2 ),haciendo el cambio
de variable y = xzn
eligiendoun valor conveniente a n.
dy
dx = 2y
x + x3
y + xtg( y
x2 )
y = xzn
y´ = zn
+ nxzn−1
z´
zn
+ nxzn−1
z´ = 2zn
x
x + x3
xzn + xtg(xzn
x2 )
zn
+ nxzn−1
z´ = 2zn
+ x2
zn + xtg(zn
x )
z = z
nxzn−1 + x2
zn(nxzn−1) + x
nxzn−1 tg(z
n
x )
z = z
nx + x
nzn−1 + 1
nzn−1 tg(z
n
x )
z = z
x + 1
n z
x
+ tg(z
x )
v = z
x ............z = v x + v
v x + v = vx
x + 1
nv + tgv
xv = ( 1
nv + tgv)
dv
( 1
nv +tgv)
=dx
x
cx = cos 4
x2 + 4
x2sen( y
x2 )
2

3. 5.Que función M(x, y) hace que la ecuacion diferencial M(x, y)dx + (xexy
+
2xy + 1
x )dy = 0
M(x, y)dx + (xexy
+ 2xy + 1
x )dy = 0
dM(x,y)
dy = dN(x,y)
dx
dN(x,y)
dx = exy
+ xyexy
+ 2y − 1
x2
dM(x,y)
dy = exy
+ xyexy
+ 2y − 1
x2
´
dM(x, y)=
´
(exy
+ xyexy
+ 2y − 1
x2 )dy
M(x, y) = exy
x + x
´
yexy
dy + y2
− y
x2´
yexy
:
u = y..........du = dy
dv = exy
dy..............v = exy
x´
yexy
= yexy
x −
´ exy
x dy
M(x, y) = exy
x + x(yexy
x − exy
x2 ) + y2
− y
x2
M(x, y) = exy
x + yexy
− exy
x + y2
− y
x2
M(x, y) = yexy
+ y2
− y
x2
6.Resolver la ecuacion diferencial [2cosx
seny + ex
]dx − senxcosy
sen2y dy = 0
dM(x,y)
dy = 2−cosxcosy
sen2y
dN(x,y)
dx = −cosxcosy
sen2y ; no es Ec. dif exacta
1°caso
(dM(x,y)
dy − dN(x,y)
dx )/N =
− cosxcosy
sen2y
− senxcosy
sen2y
= cosx
senx
u(x) = e
´ cosx
senx dx
= elnsenx
= senx
[2senxcosx
seny + senxex
]dx − sen2
xcosy
sen2y dy = 0
dM(x,y)
dy = −2senxcosxcosy
sen2y
dN(x,y)
dx = −2senxcosxcosy
sen2y ; es Ec. dif exacta
∃F/dF
dx = M : F1 :
´
[2senxcosx
seny + senxex
]dx
´
[2senxcosx
seny + senxex
]dx = sen2
x
seny +
´
ex
senxdx
m = senx........dm = cosxdx
dp = ex
dx.......p = ex
´
ex
senxdx = ex
senx −
´
ex
cosdx
m = cosx........dm = −senxdx
dp = ex
dx.......p = ex
´
ex
senxdx = ex
senx − ex
cosx −
´
ex
senxdx´
ex
senxdx = (ex
senx − ex
cosx)/2
F1 :sen2
x
seny +(ex
senx − ex
cosx)/2
∃F/dF
dy = N : F2 :
´
−sen2
xcosy
sen2y dy= −
´
sem2
xcosysen−2
ydy
F2 = −sen2
xsen−1
y = sen2
x
seny
F = F1UF2 =sen2
x
seny +(ex
senx − ex
cosx)/2
3

4. 7. Resolver la ecuación diferencial 2xyln(y)dx + (x2
+ y2
y2 + 1)dy = 0
dM(x,y)
dy = 2xylny + 2x
dN(x,y)
dx = 2x;no es Ec. dif exacta
2° caso
(dN(x,y)
dx − dM(x,y)
dy )/M = 2x−2xlny−2x
2xylny = −1
y
u(y) = e
´
− 1
y dy
= e−lny
= y−1
2xln(y)dx + (x
y
2
+ y y2 + 1)dy = 0
dM(x,y)
dy = 2x/y
dN(x,y)
dx = 2x/y; es Ec. dif exacta
∃F/dF
dx = M : F1 :
´
2xln(y)dx=x2
lny
∃F/dF
dy = N : F2 :
´
(x
y
2
+ y y2 + 1)dy
´
(x
y
2
+ y y2 + 1)dy=
´ x2
y dy +
´
y y2 + 1dy
m = y2
+ 1........dm = 2ydy
´
y
√
m 1
2y dm =
´ √
m
2 dm
F2 : x2
lny + m3/2
3 = x2
lny + (y2
+1)3/2
3
F : F1U F2 = x2
lny + (y2
+1)3/2
3
8.Para la siguiente ecuacion diferencial encuentre un factor intgrante de la
forma xn
ym
y resuelva la ecuación: (2y2
− 6xy)dx + (3xy − 4x2
)dy = 0
dM(x,y)
dy = 4y − 6x
dN(x,y)
dx = 3y − 8x
xn
ym
[(2y2
− 6xy)dx + (3xy − 4x2
)dy] = 0
[(2xn
ym+2
− 6xn+1
ym+1
)dx + (3xn+1
ym+1
− 4xn+2
ym
)dy] = 0
dM(x,y)
dy = (m + 2)2xn
ym+1
− 6(m + 1)xn+1
ym
dN(x,y)
dx = 3(n + 1)xn
ym+1
− (n + 2)4xn+1
ym
(m + 2)2xn
ym
y − 6(m + 1)xn
xym
= 3(n + 1)xn
ym
y − (n + 2)4xn
xym
(m + 2)2y − 6(m + 1)x= 3(n + 1)y − (n + 2)4x
y(2m − 3n + 1) = x(6m − 4n − 2)
2m − 3n + 1 = 0
6m − 4n − 2 = 0; (/3) suma
n = 1.......m = 1
(2xy3
− 6x2
y2
)dx + (3x2
y2
− 4x3
y)dy = 0
dM(x,y)
dy = 6xy2
− 12x2
y
dN(x,y)
dx = 6xy2
− 12x2
y; es Ec. dif exacta
∃F/dF
dx = M : F1 :
´
(2xy3
− 6x2
y2
)dx= x2
y3
− 2x3
y2
∃F/dF
dy = N : F2 :
´
(3x2
y2
− 4x3
y)dy = x2
y3
− 2x3
y2
F : F1U F2 = x2
y3
− 2x3
y2
4

5. 9. Resolver la ecuación diferencial y´= y
x+y3x2
dx
dy = x
y + x2
y2
dx
dy − x
y = x2
y2
..................n = 2
v = x1−n
= x1−2
= x−1
v´= −x−2
x´
−x−2
dx
dy − −x−2
x
y = −x−2
x2
y2
−x−2
dx
dy + x−1
y = −y2
v´+v
y = −y2
u(y) = e
´ dy
y = elny
= y
v = 1
y
´ −y2
y dy + c
y
v = 1
y (−y2
2 ) + c
y
v = −y
2 + c
y = 2c−y2
2y
1
x = 2c−y2
2y
x = −2y
y2+2c
10.Reslver la ecuación diferencial y´=(1+x+2x2
cos)−(1+4xcosx)y+2y2
cosx
y, (x) = x
y, ´(x) = 1
1 = 1 + x + 2x2
cosx − x − 4x2
cosx + 2x2
cosx
1 = 1; entonces y, (x)si es solución
y = z + y,
y´=z´+y, ´
z + y, = 1 + x + 2x2
cosx − (1 + 4xcosx)(z + y, ) + 2(z + y, )2
cosx
z +y, = 1+x+2x2
cosx−z−y, −z4xcosx−4xy, cosx+2z2
cosx+4zy, cosx+
2y, cosx
z = −4xzcosx − z + 2z2
cosx + 4zy, cosx
z = −4xzcosx − z + 2z2
cosx + 4zx, cosx
z = −z + 2z2
cosx
z +z = 2z2
cosx......................n=2
v = z1−n
= z1−2
= z−1
v = −z−2
z
−z−2
z +(-z−2
)z = 2(−z−2
)z2
cosx
−z−2
z + z−1
= −2cosx
v − v = −2cosx
u(x) = e
´
−dx
= e−x
v = 1
e−x
´
−2e−x
cosxdx + c
e−x´
e−x
cosxdx :
a = cosx.............da = senxdx
db = e−x
dx.........b = −e−x
´
e−x
cosxdx = −e−x
cosx + e−x
senx −
´
e−x
cosxdx´
e−x
cosxdx = (−e−x
cosx + e−x
senx)/2
v = 1
e−x − 2(−e−x
cosx + e−x
senx)/2 + c
e−x
5

6. v = −e−x
ex
senx + e−x
ex
cosx + cex
v = −senx + cosx + cex
1
z = 1
cosx−senx+cex
y = cosx − senx + cex
+ x
11.Resolver la ecuaión diferencial 2y cosx = 2cos2
x − ysenx + y2
; y, (x) =
senx
y, = senx
y , = cosx
2cos2
x = 2cos
2
x − sen2
x + sen2
x
2cos2
x = 2cos2
x entonces y,es solución
y = 1/z + y1
y = −1/z2
z + y1
2(−1z−2
z + y, )cosx = 2cos2
x − senx(z−1
+ y, ) + (z−1
+ y, )2
−2/z2
z cox + 2cosxy, = 2cos2
x − senx/z − senxy, +1/z2
+ 2/zy, +y2
−z−
2/2cosx
z = zsenx/(2cosx − 1/2cosx − zsenx/cosx)
z + z(−senx/2cosx) = −1/2cosx
u(x) = e
´
1/2tgxdx= e1/2lnsecx
= sec1/2
x
z = 1/(secx(1/2)
´
secx(1/2)(−1/2secx) + c/secx(1/2)
12.Resolver la ecuacion diferencial y = xdx
dy + 2 1 + (y )2
y = p
y = xp + 2 1 + p2
y = p + xp + 2pp√
1+p2
p = p + xp + 2pp√
1+p2
0 = xp + 2pp√
1+p2
0 = p (x + 2p√
1+p2
)
Si: p = 0 ....................... p = c
Si:x + 2p√
1+p2
= 0 .............x = − 2p√
1+p2
y = − 2p√
1+p2
p + 2 1 + p2
solución paramétrica
y = − 2p2
√
1+p2
+ 2 1 + p2
x = − 2p√
1+p2
13.Hallar la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparametrica
de circunferencias: x2
+ (y − c)2
= c2
x2
+ (y − c)2
= c2
2x + 2(y − c)y = 0
y = −x
y−c
6

7. dy
dx = x
c−y
dy
dx t.o = y−c
x
dy
y−c = dx
x
ln(y − c) = lnx + lnk
y − c = kx
y = kx + c
14. La ley de Enfriamiento/calentamiento de Newton establece que la rapidez
con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama tem-
peratura ambiente. Calcular la temperatura de un cuerpo luego de 60 minutos
si este es calentado a 1500 grados y enfriado dentro de un cuarto que tiene 300
grados. Se conoce tambien que luego de 5 minutos se mide la temperatura del
cuerpo y se determina que se encuentra a 1400.
dT
dt = k(T(t) − Ta)
dT
T (t)−T a = kdt
ln(T(t) − Ta) = kt
T(t) − Ta = ekt
T(t) = Ta + ekt
Ta = 300
T(t) = 300 + ekt
T(0) = 1500
1500 − 300 = e0
c
c = 1200
T − 300 = 1200ekt
Cuando: t = 5; T = 1400◦
C
1400 − 300 = 1200e5t
1100/1200 = e5k
k = 1/5ln|11/12|
15. El isotopo radiactivo de plomo, pb - 209 se desintegra en un instante
cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante
y tiene una semivida de 3,3 horas. Si inicialmente hay un gramo de plomo;
cuanto tiempo transcurrira para que se desintegre el 90% ?.
y = cantidadpresenteendichoinstante
t = 3.3h − 50
yo = 1g
t =?; y(t) = 0.9
dy/dt = ky´
dy/y =
´
kdt
ln|y| = kt + c
ln|y/c| = kt
y = ek
tc
condiciones iniciales
7

8. t = 0
yo = 1g
1 = e0
c
c = 1
y = ek
t
Si t = 3.3h
y(t) = ek
t
y(3.3) = e3
.3k
0.5 = e3
.3k
ln|1/2| = 3.3k
k = ln|1/2|(
1/3.3)
y(t) = e(
ln|1/2|(
1/3.3))
8