EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA RACIONAL (MECÁNICA ESTÁTICA)

1. 1.-Una fuerza única P actúa en C en una dirección perpendicular al asa BC de la manivela mostrada.
Sabiendo que Mx=-20 N.m, My=-8,75 N.m y Mz =+30 N.m. Determine la magnitud de P y los ángulos
 y . ¿Qué cambios hará usted en cuanto a las características de la fuerza para que toda la rotación
producida (el momento) sea usada para gira el eje 0A del dispositivo mostrado (mantenga el mismo
punto de aplicación de la fuerza)?
SOLUCIÓN:
El momento de la fuerza con respecto al origen de coordenadas se calcula a partir de la expresión
𝑀⃗⃗ 𝑜 = 𝑟 𝑥𝑃⃗
𝑀⃗⃗ 𝑜 = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
0,15 0,2𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0,2 cos(𝜃)
0 𝑃𝑠𝑒𝑛(𝜑) 𝑃𝑐𝑜𝑠(𝜑)
|
Pero conocemos las componentes del momento antes planteado, por lo cual se tiene
20 𝑖̂ − 8,75𝑗̂ − 30𝑘̂ = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
0,15 0,2𝑠𝑒𝑛(𝜃) 0,2 cos(𝜃)
0 𝑃𝑠𝑒𝑛(𝜑) 𝑃𝑐𝑜𝑠(𝜑)
|
Planteamiento del problema:
El vector producto vectorial que resulta al resolver el determinante anterior, debe ser igual al vector
dado o conocido de la izquierda de la ecuación; es decir después de resolver el determinante se aplica la
igualdad de vectores. Así, igualando las componentes se tiene:
20 = [0,2𝑠𝑒𝑛( 𝜃). 𝑃𝑐𝑜𝑠( 𝜑) − 0,2cos( 𝜃) . 𝑃𝑠𝑒𝑛(𝜑)] ec.(1)
−20 = 0,2𝑃𝑠𝑒𝑛( 𝜃 − 𝜑) ec. (1)
−8,75 = −0,15𝑃𝑐𝑜𝑠( 𝜑) ec.(2)
30 = 0,15𝑃𝑠𝑒𝑛( 𝜑) ec. (3)
Resolviendo las ecuaciones (2) y (3) obtenemos
𝜑 = 73,74

2. Al sustituir en ec. (2) o en ec. (3), se obtiene
𝑃 = 208,33 𝑁
Para elcálculo de θ, se usa la ec.(1) y los valores antes calculados. Por tanto,
−20 = 0,2𝑃𝑠𝑒𝑛( 𝜃 − 𝜑)
−28,69 = ( 𝜃 − 𝜑)
𝜃 = 45,05
𝑇⃗ 𝐸𝐹 = 𝑇𝐸𝐹 𝑢̂ 𝐸𝐹 = 𝑇𝐸𝐹 (
𝑟𝐸𝐹
𝑟𝐸𝐹
)
Geométricamente,
𝑇⃗ 𝐸𝐹 = 4500 𝑙𝑏 [
10,8𝑖̂ + 7𝑗̂ + 8𝑘̂
√229,64
] = 3207,9𝑖̂ + 2079,2𝑗̂ + 2376,2𝑘̂
𝑀⃗⃗ 𝑜 = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
8 −5 0
3207,9 2079,2 2376,2
| =
¡Queda al lector el cálculo del determinante!
2.-La sección ABCD de, 8 ft de
ancho, de una pasarela en voladizo
inclinada está parcialmente sostenida
por los elementos EF y GH. Si se
sabe que la fuerza ejercida por el
miembro EF sobre la pasarela en F es
de 4500 lb, calcule el momento de
dicha fuerza con respecto a la arista
AB.
𝑀⃗⃗ 𝑜 = 𝑟𝐴𝐸 𝑥𝑇⃗ 𝐸𝐹
𝑀⃗⃗ 𝑜 = |
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
8 −5 0
𝑇𝐸𝐹,𝑥 𝑇𝐸𝐹,𝑦 𝑇𝐸𝐹,𝑧
|