Resultante de Fuerzas

2. El efecto de un Sistema de Fuerzas sobre un
cuerpo siempre se expresa en función de su
Resultante, ya que el valor de ésta deter-
mina el movimiento del cuerpo.
Si la Resultante es igual a cero entonces el
cuerpo estará en equilibrio, tal y como se
manifestó en el segundo principio.

3. n
i = 1
Un sistema de n Fuerzas Colineales tiene
una Resultante que se obtiene por una
simple suma algebraica, donde:
R = Σ Fi R = Σ Fi

4. Por ejemplo
F1= 3 Kg
+
Determinar la Resultante de las siguientes
fuerzas colineales
F2= 5 Kg
F3= 1 Kg
F4= 2 Kg
n
i = 1
R = Σ Fi = F1 + F2 + F3 + F4
R = 3 + (-5) + 1 + 2
R = 1 Kg (en el sentido de F1)

6. 2.3.1.- Resultante de Dos Fuerzas:
De acuerdo a la Ley del Paralelogramo
podemos sumar dos vectores F1 y F2
obteniendo una Resultante
F1
F2
R
R = F1 + F2

7. Como el Paralelogramo construido con los
vectores F1 y F2 no depende del orden que
toman estos vectores se concluye que la
suma de dos vectores es conmutativa.
F1
F2
R
R = F1 + F2 = F2 + F1
F2
F1
F2
R

8. De la Ley del Paralelogramo se puede obtener
un segundo método para determinar la suma
de 2 vectores, llamado la Regla del Triángulo
que consiste en colocar el origen de un vector
en el extremo del otro, y unirlos por la
Resultante.
F1
F2
R
F2
F1
F2
R

9. 2.3.2.- Componentes de una Fuerza
Resultante
Por el contrario una fuerza (Resultante)
puede reemplazarse en 2 fuerzas llamadas
componentes, las cuales producen el
mismo efecto sobre un cuerpo, este
proceso se llama descomposición de una
Fuerza, para su solución se recurre a
aspectos de Trigonometría

10. F1
F2
R

11. 2.3.3.- Componentes Rectangulares de
una Fuerza
Según sean las direcciones especificadas,
hay un infinito número de componentes de
una fuerza, por lo que es más conveniente
descomponer una Fuerza en 2 componen-
tes que sean perpendiculares, paralelas a
los ejes cartesianos.

12. β
θ
Fy
ejey(+) Fx
eje x (+)
R
Fx y Fy son Componentes Rectangulares
Fx = R Cos θ = R Sen β
Fy = R Sen θ = R Cos β

13. Por ejemplo
+
Determinar las Componentes Rectangu-
lares de la siguiente Fuerza:
Fx = 180 Cos 49° = 118.0 Lbs
Fy = 180 Sen 49° = 135.8 Lbs
θ = 49°
Fx = ? eje x (+)
R = 180 Lbs
Fy = ?
ejey(+)
+

14. Fx = 118 Lbs eje x (+)
R = 180 Lbs
Fy = 135.8 Lbs
ejey(+)

15. Y si por el contrario tenemos los valores de
las componentes, entonces se pueden
calcular los ángulos y la Resultante con:
Tang θ = Fy Tang β = Fx
Fx Fy
R = Fx² + Fy²
2.3.4.- Resultante a partir de Componentes
Rectangulares

16. Por ejemplo
Determinar la Resultante de las dos fuerzas
mostradas en la figura:
R = (90)² + (50)² = 102.95 Kg
Tang θ = 50/90  θ = 29°
Fx = 90 eje x (+)
Fy = 50 Kg
ejey(+)

17. eje x (+)
R = 102.95 Kg
ejey(+)
Fx = 90 Kg
Fy = 50 Kg
θ = 29°

18. 2.3.5.- Resultante a partir de Componentes
No Rectangulares
Habrá problemas en donde una de las
componentes no coincide con los ejes
cartesianos y para encontrar la Resultante
haremos uso de la Ley de Cosenos

19. α
F1y(+)
F2
x (+)
R² = (F1 Sen α )² +( F2 + F1 Cos α)²
R = F1² + F2² + 2 F1 F2 Cos α
Tang θ = (F1 Sen α ) / ( F2 + F1 Cos α)
θ
R α
F1
y(+)
F2

20. F2 = 42 Nw
F1 = 34 Nw
Determinar la Resultante de las dos fuerzas
mostradas en la figura:
α = 30°
x (+)
R
α
y(+)

21. x (+)
R
F1 = 34 Nw
α
y(+)
R = (34)² + (42)² + 2 (34) (42) Cos 30°
Tang θ = (34 Sen 30° ) / ( 42 + 34 Cos 30°)
θ = 13° 24´
F2 = 42 Nw
R² = (F1 Sen α )² +( F2 + F1 Cos α)²

22. α
F1
y(+)
F2
x (+)
R = F1² + F2² - 2 F1 F2 Cos (180° - α)
Tang θ = F1 Sen (180° - α )
( F2 - F1 Cos (180° - α)
θ
R
α
F1
y(+)
F2

23. 2.3.6.- Combinación de Componentes con
la Resultante
Habrá problemas en donde se hagan
combinaciones de cualquier de las dos
componentes con la resultante.
A continuación se verán los siguientes
cuatro casos:

24. Primer Caso:
Datos: Se tiene magnitud, dirección y
sentido de la resultante y de una de las
componentes.
Incógnitas: Magnitud, dirección y sentido
de la otra Componente

25. θ = ?
10°
F1 = 150 Lbs
ejey(+)
F2 = ?
eje x (+)
R = 450 Lbs

26. θ
10°
F1 = 150 Lbs
ejey(+)
F2
eje x (+)
R = 450 Lbs
80°
Aplicar Ley de Cosenos

27. F2 = (450)² + (150)² + 2 (450) (150) Cos 80°
F2 = 498.44 Lbs
Tang θ = (150 Sen 80° )
(450 + 150 Cos 80°)
θ = 17.23°

28. θ = 17.23°
10°
F1 = 150 Lbs
y(+)
F2 = 498.44 Lbs
x (+)
R = 450 Lbs
10°
F1 = 150 Lbs

29. Segundo Caso:
Datos: Se tiene magnitud, dirección y
sentido de la resultante y la dirección y
sentido de las componentes.
Incógnitas: Magnitud de las 2 componentes

30. 30° 25°
y(+)
F1 = ?
x (+)
R = 700 Lbs
F2 = ?

31. 30°
25°
y(+)
F1 = ?
x (+)
R = 700 Lbs
F2 = ?
R = 700 Lbs
25°
F2 = ?

32. 30°
25°
y(+)F1 = ?
x (+)
R = 700 Lbs
F2 = ?
60°30°
65°

33. Ω = 55°y(+)
F1
x (+)
R = 700 Lbs
F2
φ = 60°
Ψ = 65°
Aplicar Ley de Senos

34. F1 = F2 = R
Sen ψ Sen φ Sen Ω
F1 = F2 = 700
Sen 65 Sen 60° Sen 55°
F2 = 700 Sen 60° = 740 Lbs
Sen 55°
F2 = 700 Sen 65° = 774.50 Lbs
Sen 55°
Ley de Senos

35. 30°
25°
y(+)
F1 = 740
x (+)
R = 700 Lbs
F2 = 774.5
R = 700 Lbs
25°
F2 = 774.5

36. Tercer Caso:
Datos: Se tiene magnitud, dirección y
sentido de la resultante y las Magnitudes y
sentido de las Componentes.
Incógnitas: Las direcciones de las dos
componentes

37. θ= ? β=?
y(+)
F1 = 84 Kg
x (+)
R = 106 Kg
F2 = 62 Kg

38. θ= ? β=?
y(+)
F1 = 84 Kg
x (+)
R = 106 Kg
F2 = 62 Kg
R = 106 Kgβ=?
F2 = 62 Kg

39. φ
Ω
R=106
ψ
Aplicar Ley de Tangentes

40. S = R + F1 + F2
2
Tang ψ = ( S – R ) ( S - F2 )
S ( S - F1 )
Tang φ = ( S – R ) ( S - F1 )
S ( S - F2 )
Tang Ω = ( S – F1 ) ( S - F2 )
S ( S - R )
Ley de Tangentes

41. S = 106 + 84 + 62 = 126
2
Tang ψ = ( 126 – 106 ) ( 126 - 62 )
2 126 ( 126 - 84 )
Tang φ = ( 126 – 106 ) ( 126 - 84 )
2 126 ( 126 - 62 )
Tang Ω = ( 126 – 84 ) (126 - 62)
2 126 ( 126 - 106 )

42. Tang ψ = 0.2419
2
Tang φ = 0.1042
2
Tang Ω = 1.0667
2

43. ψ = 52.38°
φ = 35.77°
Ω = 91.85°

44. Φ =35.77°
Ω = 91.85°
R=106
Ψ=52.38°

45. θ= 54.23° β=37.62°
y(+)
F1 = 84 Kg
x (+)
R = 106 Kg
F2 = 62 Kg

46. Cuarto Caso:
Datos: Se tiene magnitud, dirección y
sentido de la resultante y la Magnitud de
una componente y la dirección de la otra
componente.
Incógnitas: La dirección de una componente
y la magnitud de la otra componente.

47. θ= ?β= 60°
y(+)
F2 = 1.2 Ton
x (+)
R = 2 Ton
F1 = ?

48. θ= ?
β= 60°
y(+)
x (+)
R = 2 Ton
F1 = ?
Ψ= 30°
θ= ?

49. θ= ?
y(+)
x (+)
R = 2 Ton
F1 = ?
Ψ= 30°
θ= ?
Hay dos soluciones

50. y(+)
x (+)
R = 2 Ton
F1 = ?
Ψ= 30°
θ= ?
Primera Solución

51. y(+)
R = 2 TonF1 = ?
Ψ= 30°
Ω= ?
Primera Solución
δ= ?

52. y(+)
R = 2 TonF1 = ?
Ψ= 30°
Ω= ?
Ley de Senos
δ= ?

53. F1 = F2 = R
Sen Ω Sen Ψ Sen δ
F1 = 1.2 = 2
Sen Ω Sen 30° Sen δ
Sen δ = ( 2 ) Sen 30° = 0.8333
1.2
δ = 56.44°
Ley de Senos

54. Ω = 180° - 30° - 56.44° = 93.56°
F1 = 1.2 = 2
Sen 93.56° Sen 30° Sen 56.44°
F1 = ( 1.2 ) Sen 93.56° = 2.395 Ton
Sen 30°
Ley de Senos

55. y(+)
R = 2 Ton
F1 = 2.395 Ton
Ψ= 30°
Ω= 93.56°
Sustituyendo valores
δ= 56.44°

56. y(+)
R = 2 Ton
F1 = 2.395 Ton
Ψ= 30°
Ω= 93.56°
Primera Solución
δ= 56.44°
θ= 3.56°
β= 60°

57. y(+)
R = 2 Ton
F1 = 2.395 Ton
Primera Solución
θ= 3.56°β= 60°

58. θ= ?
y(+)
x (+)R = 2 TonF1 = ?
Ψ= 30°
θ= ?
Segunda Solución

59. λ= ?
y(+)
x (+)
R = 2 Ton
Ψ= 30°
Recordando: en un triángulo isósceles
hay dos ángulos iguales
δ= 56.44°
δ= 56.44°

60. λ= ?
y(+)
x (+)
R = 2 Ton
Ψ= 30°
λ = 180° - 56.44° = 123.56°
δ= 56.44°
δ= 56.44°

61. λ= 123.56°
y(+)
x (+)
R = 2 Ton
Ψ= 30°
Ω = 180° - 123.56° - 30° = 26.44°
Ω= ?
F1 = ?
F2 = 1.2 Ton

62. F1 = 1.2 = 2
Sen 26.44° Sen 30° Sen 123.56°
F1 = ( 1.2 ) Sen 26.44° = 1.068 Ton
Sen 30°
Ley de Senos

63. λ= 123.56°
y(+)
x (+)
R = 2 Ton
Ψ= 30°
θ = 123.56° - 60° = 63.56°
Ω= 26.44°
F1 = 1.068 Ton
F2 = 1.2 Ton
θ= ?

64. y(+)
x (+)
R = 2 Ton
β= 60°
F1 = 1.068 Ton
F2 = 1.2 Ton
θ= 63.56°

65. y(+)
x (+)
R = 2 Ton
β= 60°
F1 = 1.068 Ton
F2 = 1.2 Ton
θ= 63.56°
Segunda Solución

66. En Resumen:
Para el caso de dos fuerzas concurrentes y
una resultante se tiene:
Caso
Resultante
Primera
Componente
Segunda
Componente Posible
Solución
Primer
Segundo
Tercer
Cuarto
Magnitud Dirección MagnitudMagnitud Dirección Dirección
  
  
 


 
 







Ley de Cosenos
Ley de Senos
Ley de Tangentes
Ley de Senos (2)

67. 2.3.7.- Componentes Axiales de una
Resultante
Cuando se quiere obtener la Resultante de
tres o mas fuerzas concurrentes se puede
obtener una resultante parcial sobre el eje
de las «x» y otra sobre el eje de la «y»,
(como si trabajáramos dos sistemas de
fuerzas Colineales) y de esas dos obtener la
Resultante General por medio de la
ecuación de Pitágoras.

68. α
F1
y(+) F2
x (+)
ΣFx = Rx = F1 Cos α + F2 Cos φ - F3 Cos β
F3
β φ
x (-)
ΣFy = Ry = F1 Sen α - F2 Sen φ - F3 Sen β
y(-)

69. α
F1
y(+) F2
x (+)
ΣFx = Rx = F1 x + F2x - F3x
F3
β φ
x (-)
ΣFy = Ry = F1y - F2y - F3y
y(-)
F1y
F1x
F2y
F2x
F3y
F3x

70. y(+) R
x (+)
θ
x (-)
y(-)
Rx
Ry
R = Rx² + RY²
Tang θ = Ry / Rx

71. α
F1
y(+)
F2
x (+)
F3
β φ
x (-)
y(-)
En otras palabras:
φ
F2
F3
β
R
θ

72. β= 67°
y(+)
F3 = 156 Lbs
x (+)
F1 = 91 Lbs
Ejemplo: Obtener la Resultante de el siguiente sistema
de fuerzas
F2 = 204 Lbs
4
3
5
15
8
17

73. β= 67°
y(+)
F3 = 156 Lbs
x (+)
F1 = 91 Lbs
F2 = 204 Lbs
4
3
5
15
8
17
ΣFx = Rx = - F1 Cos β - F2 Cos φ + F3 Cos α
ΣFx = Rx = - 91 (Cos 67°) - 204 (15/17) + 156 (3/5)
αφ

74. β= 67°
y(+)
F3 = 156 Lbs
x (+)
F1 = 91 Lbs
F2 = 204 Lbs
4
3
5
15
8
17
ΣFx = Rx = - 35.6 – 180 + 93.6
Rx = - 122 Lbs
αφ

75. β= 67°
y(+)
F3 = 156 Lbs
x (+)
F1 = 91 Lbs
F2 = 204 Lbs
4
3
5
15
8
17
ΣFy = Ry = F1 Sen β - F2 Sen φ - F3 Sen α
ΣFy = Ry = 91 (Sen 67°) - 204 (8/17) - 156 (4/5)
αφ

76. β= 67°
y(+)
F3 = 156 Lbs
x (+)
F1 = 91 Lbs
F2 = 204 Lbs
4
3
5
15
8
17
ΣFy = Ry = 83.8 - 96 – 124.8
Ry = - 137 Lbs
αφ

77. y(+)
Ry = 137 Lbs
x (+)
θ = 48.31°
Rx = 122 Lbs
R = 183.4 Lbs
R = Rx² + RY² = (122)² + (137)² = 183.4
Tang θ = Ry / Rx = Tang θ = 137/122 = 48.31°

78. β= 67°
y(+)
F3 = 156 Lbs
x (+)
F1 = 91 Lbs
F2 = 204 Lbs
4
3
5
15
8
17
y(+)
x (+)
θ = 48.31°
R = 183.4 Lbs


80. 2.4.1.- Concepto de Momento de una Fuerza:
El Momento de una fuerza, respecto a un
punto, es la medida de la tendencia a girar,
que la fuerza produce al obrar sobre un
cuerpo que esté ligado a un eje perpendicular
al plano.

81. En la siguiente figura una fuerza «F» de
Momento «F.e» hace girar el disco alrededor
del eje:
F
e
M = F.e
La distancia «e» siempre tiene que ser perpendicular a la línea
de acción de la Fuerza

82. Para unificar criterios: las Fuerzas que giren
en favor de las manecillas del reloj tendrán
signo positivo, si lo hacen al contrario tendrán
signo negativo.
+ -

83. F1 = 2.5 Ton
Ejemplo: Obtener el Momento Resultante del siguiente
sistema de fuerzas, con respecto al punto A:
A
3 m
3 m
C
4
B
F2 = 5 Ton
F1 = 2.5 Ton
E
D
AD = (5.5)² + (3)² = 6.24 m por lo tanto AB = BD = 3.12

84. F1 = 2.5 Ton
A
3 m
3 m
C
4 m
B
F2 = 5 Ton
F1 = 2.5 Ton
E
D
ΣMA = M = 5 (3.12 m) + 2.5 (6.24 m) = 31.2 Ton-m

85. F1 = 2.5 Ton
Ejemplo: Obtener el Momento Resultante del siguiente
sistema de fuerzas, con respecto al punto A:
A
3 m
3 m
C
4 m
B
F2 = 5 Ton
F1 = 2.5 Ton
E
D

86. F1 = 2.5 Ton
Ejemplo: Obtener el Momento Resultante del siguiente
sistema de fuerzas, con respecto al punto A:
A
3 m
3 m
C
4 m
B
F2 = 5 Ton F3 = 2.5 Ton
E
D
Tang θ = 3/5.5 = θ = 28.61°

87. F1 = 2.5 Ton
A
3 m
3 m
C
4 m
B
28.61° E
D
ΣMA = M = 4.4 (3.12 m) + 2.2 (6.24 m) = 27.46 Ton-m

88. 2.4.2.- Teorema de Varignon:
El Momento de una fuerza resultante de dos
fuerzas concurrentes, respecto a un punto
cualquiera, en su plano es igual a la suma de
los momentos de las dos componentes
respecto al mismo punto.

89. y(+)
F = 27.2 Kg
x (+)
0.8 m
0.6 m0.9 m
A
B
C
AC = (1.5)² + (0.8)² = 1.7 m

90. y(+)
F = 27.2 Kg
x (+)
0.8 m
0.6 m0.9 m
A
B
C
Fx = 27.2 (1.5/1.7) = 24 Kg
Fy = 27.2 (0.8/1.7) = 12.8 Kg

91. y(+)
x (+)
0.8 m
0.6 m0.9 m
A
B
C
Fy = 12.8 Kg
o
Fx = 24 Kg
ΣMo = M = 24 (0.8 m) - 12.8 (0.6 m) = 11.52 Ton-m

92. y(+)
F = 27.2 Kg
x (+)
0.8 m0.48
0.6 m0.9 m
1.5 = 0.8
0.9 ?
? = 0.48 m
A
B
C o

93. y(+)
x (+)
0.8 m
0.6 m0.9 m
A
B
C
Fy = 12.8 Kg
o
Fx = 24 Kg
ΣMo = M = 24 (0.48 m) = 11.52 Ton-m
0.48 m

94. y(+)
F = 27.2 Kg
x (+)
0.8 m
0.6 m0.9 m
A
B
C o

95. y(+)
x (+)
0.8 m
0.6 m0.9 m
A
B
C
Fy = 12.8 Kg
o
Fx = 24 Kg
ΣMo = M = 12.8 (0.9 m) = 11.52 Ton-m

96. y(+)
x (+)
0.8 m
0.6 m0.9 m
A
B
C
o
Distancia perpendicular = M / P = 11.52 Ton-m / 27.2
Ahora bien, si queremos saber la distancia
perpendicular a la cual la Fuerza de 27.2 Ton causa el
mismo momento de 11.52 Ton-m procedemos como:
Distancia perpendicular = M / P = 0.423 m
F = 27.2 Kg
90° 0.48 m

97. 2.4.3.- Un Par de Fuerzas:
Dos fuerzas paralelas, no colineales, de la
misma magnitud y de opuesta dirección,
constituyen un par de fuerzas.
F1 = F2
F1
F2

98. El Momento de un Par de Fuerzas respecto a
un punto cualquiera de su plano es igual a la
suma de los momentos de las dos fuerzas del
par respecto al punto dado y tiene siempre
un valor igual al producto de la magnitud de
una de las fuerzas del par por la distancia que
existe entre las líneas de acción de las dos
fuerzas

99. F1
e
e
F2
Como F1 = F2
Entonces F1 = F2 = F
Por lo tanto:
M = F.e + F.e
M = F (e + e)
M = F . d
d

100. La Resultante de un Sistema de Pares de
Fuerzas, es otro par de fuerzas (Momento)
igual a la suma de los momentos de los pares
sumados, respetando la convención de signos

101. y(+)
F1 = 180 Lbs
x (+)4’
8’
6’
Ejemplo: Obtener el Momento Resultante del siguiente
sistema de fuerzas:
6’
6’
F1 = 180 Lbs
F2 = 200 Lbs
F2 = 200 Lbs
F3 = 340 Lbs
F3 = 340 Lbs

102. F1 = 180 Lbs
x (+)4’
8’
6’6’
6’
F1 = 180 Lbs
F2 = 200 Lbs
F2 = 200 Lbs
F3 = 340 Lbs
F3 = 340 Lbs
M = + 180 (14’) – 200 (16’) – 340 (6 x 8/10) = - 2312 Lbs-pie

103. x (+)4’6’
Si queremos representar el Momento atreves de dos
fuerzas, supondremos la distancia de 16’
6’
F = 144.5 Lbs
F = 144.5 Lbs
F = M/d = 2312/16 = 144.5 Lbs

104. 2.4.4.- Par de Transporte:
Cuando una fuerza obra sobre un cuerpo de
manera que su línea de acción pasa por un
punto, los efectos externos que produce
sobre el cuerpo son iguales a los producidos
por la misma fuerza aplicada en otro punto
más un par cuyo momento es igual a M.d

105. F
Por ejemplo:
d
BA
Usar el Par de transporte para que la fuerza
F actúe sobre el punto «A»

106. F
Por ejemplo:
d
BA
F
Se colocan dos fuerzas colineales de igual
valor y en sentido contrario, esto no altera
el sistema F

107. F
Por ejemplo:
d
BA
F
Las Fuerzas marcadas forman un par de
fuerzas
F

108. M = F.d
Por ejemplo:
BA
El par de fuerzas se pueden sustituir por la
acción de un Momento
F

109. 2.4.5.- Análisis para encontrar la Resultante
de un sistema de Fuerzas Paralelas
La Resultante de este sistema (si existe), es
una Fuerza paralela a las fuerzas del sistema
de Magnitud igual al valor absoluto de la
suma algebraica de las magnitudes de todas
las fuerzas del sistema y cuya dirección está
dada por el signo de dicha suma algebraica.
R = Σ Fi
i=1
n

110. El Momento de la Resultante (si existe) de un
sistema de fuerzas paralelas, respecto a un
punto cualquiera de su plano es igual a la
suma de los momentos de todas las fuerzas
del sistema respecto al mismo punto
M = Σ Fi di
i=1
n

111. La ubicación de la Resultante será igual al
valor proporcionado por la división del
Momento entre la Resultante del sistema
d = M
R

112. ΣF = R = F1 + F2 – F3 + F4 – F5
R = 80 + 100 – 90 + 120 - 10
R = 200 Lbs (como salió positivo la R va hacia arriba)
x (+)
12’8’8’
F1 = 80 Lbs
F2 = 100 Lbs
F3 = 90 Lbs
F4 = 120 Lbs
6’
F5 = 10 Lbs
R = Σ Fi
i=1
n
+
A

113. ΣM = M = F1 d1 - F2 d2 + F3 d3 - F4 d4 + F5 d5
M = 80 (0) - 100 (8) + 90 (16) - 120 (28) + 10 (34)
M = -2,380 Lbs–pie (en el sentido contrario a las manecillas
del reloj)
x (+)
12’8’8’
F1 = 80 Lbs
F2 = 100 Lbs
F3 = 90 Lbs
F4 = 120 Lbs
6’
F5 = 10 Lbs
M = Σ Fi di
i=1
n
+
A

114. d = M = 2380 Lbs-pie / 200 Lbs = 11.90 pies
( como la Resultante es positiva va hacia arriba y como
el Momento es negativo hace que la Fuerza se ubique al
lado derecho del punto A)
d = M / P
x (+)
12’8’8’
R = 200 Lbs
6’A
d = 11.90 pies

115. x (+)
12’8’
2o ejemplo: Obtener el valor de la Resultante del
siguiente sistema de fuerzas paralelas, asi como su
ubicación con respecto al punto A
8’
F1 = 80 Lbs
F2 = 100 Lbs
F3 = 90 Lbs
F4 = 120 Lbs
6’
F5 = 110 Lbs
A

116. ΣF = R = F1 + F2 – F3 + F4 – F5
R = 80 + 100 – 90 + 120 - 110
R = 100 Lbs (como salió positivo la R va hacia arriba)
x (+)
12’8’8’
F1 = 80 Lbs
F2 = 100 Lbs
F3 = 90 Lbs
F4 = 120 Lbs
6’
F5 = 110 Lbs
R = Σ Fi
i=1
n
+
A

117. ΣM = M = F1 d1 - F2 d2 + F3 d3 - F4 d4 + F5 d5
M = 80 (0) - 100 (8) + 90 (16) - 120 (28) + 110 (34)
M = + 1020 Lbs–pie (en el sentido de las manecillas del reloj)
x (+)
12’8’8’
F1 = 80 Lbs
F2 = 100 Lbs
F3 = 90 Lbs
F4 = 120 Lbs
6’
F5 = 10 Lbs
M = Σ Fi di
i=1
n
+
A

118. d = M = 1020 Lbs-pie / 100 Lbs = 10.20 pies
( como la Resultante es positiva va hacia arriba y como
el Momento es positivo hace que la Fuerza se ubique al
lado izquierdo del punto A)
d = M / P
x (+)
12’8’8’
R = 100 Lbs
6’A
d = 10.20 pies

119. x (+)
1m0.5 m
3er ejemplo: Obtener el valor de la Resultante del
siguiente sistema de fuerzas paralelas, asi como su
ubicación con respecto al punto A
1m
F1 = 60 Kgs
F2 = 200 Kgs
F3 = 180 Kgs
F4 = 60 Kgs
0.8m
F5 = 100 Kgs
A

120. x (+)
1m0.5 m1m
F1 = 60 Kgs
F2 = 200 Kgs
F3 = 180 Kgs
F4 = 60 Kgs
0.8m
F5 = 100 Kgs
A
ΣF = R = F1 - F2 + F3 + F4 – F5
R = 60 - 200 + 180 + 60 - 100
R = 0 Lbs (como salió cero se trata de un par de fuerzas)
R = Σ Fi
i=1
+
n

121. x (+)
1m0.5 m1m
F1 = 60 Kgs
F2 = 200 Kgs
F3 = 180 Kgs
F4 = 60 Kgs
0.8m
F5 = 100 Kgs
A
ΣM = M = - F1 d1 + F2 d2 - F3 d3 - F4 d4 + F5 d5
M = - 60 (0) + 200 (1) - 180 (1.5) - 60 (2.5) + 100 (3.3)
M = 110 Kgs-m (en el sentido de las manecillas del reloj)
+
M = Σ Fi di
i=1
n

122. x (+)1m0.5 m1m
F = 110 Kgs
F = 110 Kgs
0.8mA
M = 110 Kgs-m
M = F d
F = M/d
Si d = 1 m, entonces:
F = 110 / 1 = 110 Kgs
+

124. La Resultante de un Sistema de «n» fuerzas Ni
Concurrentes Ni Paralelas, en un plano, o sea
se trata de un sistema general de fuerzas, se
obtiene deslizando cada una de las «n»
fuerzas del sistema sobre su línea de acción
hasta su intersección con uno de los ejes
coordenadas y resolviéndolo en dicho punto
en dos componentes rectangulares, con lo
que el sistema original queda resuelto en dos
sistemas de fuerzas:
Colineales y Paralelas

125. x (+)
F
Fx
Fy

126. x (+)
F
Fx
Fy

127. Las ecuaciones a usar son:
Rx = Σ Fix
i=1
n
+ Ry = Σ Fiy
i=1
n
+
R = Rx² + RY²
Tang θ = Ry / Rx

128. Para encontrar la posición de la Resultante
usamos:
dx = M / Ry
dy = M / Rx
M = Σ Fi di
i=1
n
+

129. x (+)
2 m60°
Por ejemplo: Obtener el valor de la Resultante del
siguiente sistema de fuerzas Ni concurrentes Ni
Paralelas, así como su ubicación con respecto a los ejes
coordenadas
5 m
F1 = 4 Tons
F2 = 5 Tons
F3 = 6 Tons
2 m
F5 = 3 Tons
45°
30°

130. x (+)
2 m60°5 m
F1 = 4 Tons
F2 = 5 Tons
F3 = 6 Tons
2 m
F4 = 3 Tons
45°
30°
ΣFx = Rx = F1 + F2 Cos 60° + F3 Cos 45° + F4 Cos 30°
Rx = 0 + 5 (Cos 60°) + 6 (Cos 45°) + 3 (Cos 30°)
+
Rx = 9.2 Ton

131. x (+)
2 m60°5 m
F1 = 4 Tons
F2 = 5 Tons
F3 = 6 Tons
2 m
F4 = 3 Tons
45°
30°
ΣFy = Ry = F1 + F2 Sen 60° + F3 Sen 45° - F4 Sen 30°
Ry = 4 + 5 (Sen 60°) + 6 (Sen 45°) + 3 (Sen 30°)
+
Ry = 3 Ton

132. x (+)
2 m5 m
Ry = 3 Ton
2 m
Rx = 9.2 Ton
R = Rx² + RY² = (9.2)² + (3)² = 9.67 Ton
Tang θ = Ry / Rx = Tang θ = 3/9.2 = 18°

133. x (+)
2 m5 m
Ry = 3 Ton
2 m
Rx = 9.2 Ton
18°
R = 9.67 Ton
R = Rx² + RY² = (9.2)² + (3)² = 9.67 Ton
Tang θ = Ry / Rx = Tang θ = 3/9.2 = 18°

134. x (+)
2 m60°5 m
F1 = 4 Tons
F2 = 5 Tons
F3 = 6 Tons
2 m
F4 = 3 Tons
45°
30°
ΣMo = M = F1 d1 + F2y d2 - F3y d3 + F4y d4
M = - 4 (5) + 5 Sen 60° (0) – 6 Sen 45° (2) + 3 Sen 30° (4)
M = - 20 + 0 – 8.485 + 6
M = - 22.485 Ton-m ( En sentido contrario a las manecillas del
reloj)
+
Para encontrar su ubicación:

135. x (+)
2 m5 m 2 mo
Opción Posible
Opción No Posible
Opción No Posible
Opción No Posible
Opción Posible
Opción Posible

136. x (+)
2 m5 m
Ry = 3 Ton
2 m
Rx = 9.2 Ton
18°
R = 9.67 Ton
dx = M / Ry = 22.485 / 3 = 7.495 m
dy = M / Rx = 22.485 / 9.2 = 2.444 m

137. x (+)
2 m 2 m
18°
R = 9.67 Ton
dx = 7.495 m
dy = 2.444 m

138. x (+)
d = 2 .325 m
18°
R = 9.67 Ton
d = M / R = 22.485 / 9.67 = 2.325 m
dx = 7.495 m
dy = 2.444 m

139. x (+)
20 cm
2° ejemplo: Obtener el valor de la Resultante del
siguiente sistema de fuerzas Ni concurrentes Ni
Paralelas, así como su ubicación con respecto al punto o
40 cm
F3 = 16 K
Separación entre remaches 5 cm
F3 = 16 K
F2 = 15 K
F1 = 10 K
o
20 cm

140. x (+)
20 cm
40 cm
F3 = 16 K
Separación entre remaches 5 cm
F3 = 16 K
F2 = 15 K
F1 = 10 K
o
20 cm
ΣFx = Rx = - F1 - F3 (3/3.6)
Rx = - 10 - 16 (3/3.6)
+
Rx = - 23.33 Kg
3
2
3.6

141. x (+)
20 cm
40 cm
F3 = 16 K
Separación entre remaches 5 cm
F3 = 16 K
F2 = 15 K
F1 = 10 K
o
20 cm
ΣFy = Ry = F2 + F3 (2/3.6)
Ry = 15 + 16 (2/3.6)
+
Ry = 23.90 Kg
3
2
3.6

142. x (+)
20 cm
40 cm
F3 = 16 K
Separación entre remaches 5 cm
F3 = 16 K
F2 = 15 K
F1 = 10 K
o
20 cm
3
2
3.6
R = Rx² + RY² = (23.33)² + (23.90)² = 33.4 Kg
Tang θ = Ry / Rx = Tang θ = 23.9/23.33
θ = Tang ¯¹ (23.9/23.33) = 45.7°

143. x (+)
20 cm
40 cm
F3 = 16 K
Separación entre remaches 5 cm
F3 = 16 K
F2 = 15 K
F1 = 10 K
o
20 cm
3
2
3.6
ΣMo = M = - F1 d1 - F2 d2 - F3y d3 - F3x d4
M = - 10 (40) - 15 (10) – 16 (3/3.6) (10) – 16 (2/3.6) (40)
M = - 400 – 150 – 133.33 - 355.55
M = -1,038.88 Kg-cm (En sentido contrario a las manecillas del
reloj)
+

144. x (+)
44.53 cm
43.46 cm
F3 = 16 K
Separación entre remaches 5 cm
R = 33.4 K
o
45.7°
dx = M / Ry = 1038.88 / 23.90 = 43.46 cm
dy = M / Rx = 1038.88 / 23.33 = 44.53 cm

145. 3er ejemplo: Con respecto al problema anterior,
trasladar la Resultante al punto «o»
x (+)
44.53 cm
43.46 cm
F3 = 16 K
Separación entre remaches 5 cm
R = 33.4 K
o
45.7°

146. x (+)
43.46 cm
F3 = 16 K
R = 33.4 K
o
45.7°
M = 1038.88 K-cm
d = M / R = 1038.88 / 33.40 = 31.10 cm