1. EJERCICIOS
ESPACIOS VECTORIALES PARTE 2, BASE Y DIMENSIÓN
v v
1. Exprese los siguientes vectores como combinación lineal de 2,1,4 , 1, 1,3 ,
1 2
3
3,2,5 .
a . 5,9,5 b. 2,0,6 c. 0,0,0 d. 2,2,
v
  

k v  k v  k v  k  k  
k
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3
3
La combinación lineal de los tres vectores dados
2,1,4 1, 1,3 3,2,5
genera cualquier vector de la forma , , si son vectores dados son independientes.
La combinación lineal gene
b b b

1
 
1
ra la matriz 3 3:
2 1 3
1 1 2
4 3 5
Hallando la matriz inversa:
det 10 8 9 12 12 5 2 0
Luego existe . Los vectores dados son independientes.
1
Adj
det
11 3 7
cof 4 2 2 Adj
5 1 3
A
A
A
A A
A
A A


 
 
   
 
 
        

 
 
    
 
     
1
1
11 4 5
3 2 1
7 2 3
11 4 5
1
3 2 1
2
7 2 3
11/ 2 2 5 / 2
3 / 2 1 1/ 2
7 / 2 1 3 / 2
A
A


 
 
 
 
     
  
 
    
     
 
 
    
     

2.  
1
 

 2

 
 3

 
 
  
 
 

1

        
1
       
      2
      
           3
      
 
 
  
 
 

   
1
1
2
3
5
a. 9
5
11/ 2 2 5 / 2 5 3
3 / 2 1 1/ 2 9 4
7 / 2 1 3 / 2 5 1
De donde:
5,9,5 3 2,1, 4 4 1, 1,3 3, 2,5
2
b. 0
6
k
K k
k
B
K A B
k
k
k
B
K 
A B
k
k
k
 
 

 
 
 
      
     

1
1
2
3
11/ 2 2 5 / 2 2 4
3 / 2 1 1/ 2 0 0
7 / 2 1 3 / 2 6 2
De donde:
2,0,6 4 2,1, 4 0 1, 1,3 2 3, 2,5
0
c. 0
0
11/ 2 2 5 / 2 0 0
3 / 2 1 1/ 2 0 0
7 / 2 1 3 / 2 0 0
B
K A B
k
k
k
  
     
              
   
 
 
  
 
 

       
      
          
              



 


3. De donde:
0,0,0 0 2,1, 4 0 1, 1,3 0 3, 2,5
 
 

 
 
 

1
1
2
3
   
2
d. 2
3
11/ 2 2 5 / 2 2 1/ 2
3 / 2 1 1/ 2 2 1/ 2
7 / 2 1 3 / 2 3 1/ 2
De donde:
1 1 1
2, 2,3 2,1, 4 1, 1,3 3, 2,5
2 2 2
B
K 
A B
k
k
k
        
       
            
                 
   

4.  
2. Exprese los siguientes polinomios como combinación lineal de 2 4 ,
   
2
1
2 2
1 3 y 3 2 5
2 3
2 2
a . 5 9 5 b. 2 6 c. 0
P x x x
P x x x P x x x
x x x
  
     
  
 
2
2
1 1
1 1 2 2 3
d. 2 2 3
Este ejercicio es equivalente al ejercicio 1, donde cada polimonio corresponde a un vector.
Por ejemplo:
2 4 2,1,4
La combinación lineal de los tres vectores dados
x x
P x x x v
k v k v k
 
    
v k k k
  3 1 2 3
2,1,4 1, 1,3 3,2,5
genera cualquier vector de la forma , , si son vectores dados son independientes.
1 2 3
La combinación lineal genera la matriz 3 3:
2 1 3
1 1 2
4 3 5
Hallando la matriz inv
b b b
A
   

 
 
   
 
 
1
 
1
1
1
ersa:
det 10 8 9 12 12 5 2 0
Luego existe . Los vectores dados son independientes.
1
Adj
det
11 3 7 11 4 5
cof 4 2 2 Adj 3 2 1
5 1 3 7 2 3
11 4 5
1
3 2 1
2
7 2 3
A
A
A A
A
A A
A
A




        

     
   
      
   
           
 
 
  
 
     


11/ 2 2 5 / 2
3 / 2 1 1/ 2
7 / 2 1 3 / 2
 
 
   
     

5.         
       
            
                 
     
 
1
 
  2

 
 3

 
 
  
 
 

1

1
2
3
2 2 2 2
          
 
 
  
 
 

1
1
       
   2
        
           3
      
5
a. 9
5
11/ 2 2 5 / 2 5 3
3 / 2 1 1/ 2 9 4
7 / 2 1 3 / 2 5 1
De donde:
5 9 5 3 2 4 4 1 3 3 2 5
2
b. 0
6
k
K k
k
B
K A B
k
k
k
x x x x x x x x
B
K 
A B
k
k
k


      
      2 2 2 2
x x x x x x x
         
 
 
  
 
 

1
1
2
3
11/ 2 2 5 / 2 2 4
3 / 2 1 1/ 2 0 0
7 / 2 1 3 / 2 6 2
De donde:
2 6 4 2 4 0 1 3 2 3 2 5
0
c. 0
0
11/ 2 2 5 / 2 0
3 / 2 1 1/ 2 0
7 / 2 1 3 / 2 0
B
K 
A B
k
k
k
     
    
      
          
0
0
0
  
  
    
   
  

6. De donde:
0 0 2 4 0 1 3 0 3 2 5
 x x 2   x x 2   x x
2

        
     
 
 
  
 
 

1
1
2
3
2 2 2 2
2
d. 2
3
11/ 2 2 5 / 2 2 1/ 2
3 / 2 1 1/ 2 2 1/ 2
7 / 2 1 3 / 2 3 1/ 2
De donde:
1 1 1
2 2 3 2 4 1 3 3 2 5
2 2 2
B
K A B
k
k
k
x x x x x x x x

       
       
            
                 
          
u u
3. Determine si los vectores  1,  1,0 y  2, 
3,1 pertenecen al espacio vectorial
1 2
 v v v

generado por el conjunto de vectores  2,5,1 ,  3,4,1 , 
5,9,2
1 2 3
v v v
1 2 3
R/
El conjunto de vectores dados , y no gener
3 1 2
an un espacio vectorial ya que no son
linealmente independientes. Notese que:
v  5,9,2  2,5,1  3,4,1  v  v
4. Determine si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:
   
a. 0,1,0 , 1,1, 1 , 1,0,1 b. 2,0,0 , 0,2,0 , 0,0,0
R/
 
a. No, dado que:  1,0,1  0,1,0  1,1, 
1
b. No, dado que: 0,0,0  0 2,0,0  0 0,2,0

7. 3 5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en son linealmente independientes?
   
a. 2, 1,4 , 3,6,2 , 2,10, 4 b. 3,1,1 , 2, 1,5 , 4,0 3
R/
   
a. La combinación lineal gener
a la matriz 3 3:
2 3 2
1 6 10
4 2 4
2 3 2
A
A
det 1 6 10 48 120 4 48 40 12 32 0
4 2 4
Los vectores dados son independientes
b. La combinación lineal genera la matriz 3 3:
3 1 1
2 1 5
4 0 3
3 1 1
A
A
det 2 1 5

 
 
   
    
           


 
 
   
    
  9 20 0 4 0 6 39 0
4 0 3
       

Los vectores dados son independientes

8. 6. Detemina si los siguientes polinomios, del conjunto de todos los polinomios de grado 2, el
 
cual se simboliza son linealmente independientes?
2
 2

 
a. 1,1 ,1
  
2 2 2
b. 1 ,1 , ,
c.
P x
x x x
x x x x x x
   
 1  x 2 ,2

x
2

 
 
 
 
 
  
   
A
2 2
a.
1 0 0
1 1 0
1 1 1
1 0 0
A
det 1 1 0 1 0
1 1 1
Son linealmente independientes.
b. No son linealmente independientes, ya que:
x  x   x  
x
1 1
k
c. Si son linealmente independientes,ya que no existe un t
  2 2
al que:
2  x  k 1 x

9. a
7. ¿Para qué valores de el conjunto es linealmente dependiente?
a
 0 0   0 1 0   0 1 0

  ,   ,
 
 0 1 0   0 a a   0 a
0

a
Para 0 :
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
a a a
a
a
para 1:
0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0
 
 
 a


     
       
     

   
     
    0
El conjunto dado es linealmente dependiente.

10. v v v
8. Sean 2,1,0,3 , 3, 1,5,2 y 1,0,2,1 vectores de , ¿Cuáles de los
 
4
1 2 3
siguientes vectores 2,3, 7,3 , 0,0,0,0 , 1,1,1,1 , 4,6, 13,4 están en , , ?
1 2 3
R/
2,3, 7,3 :
2 3 1 2
1 1 0 3
0
0 5 2 7
3 2 1 3
0,0,0,0 :
lin v v v
    
  





4
1 2 3
2 3 1 0
1 1 0 0
0


0 5 2 0
3 2 1 0
1,1,1,1 :
2 3 1 1
1 1 0 1
35


0 5 2 1
3 2 1 1
 
4,6, 13,4


2 3 1 4
1 1 0 6
0
 

0 5 2 13
3 2 1 4


Todos excepto 1,1,1,1 que forma con v , v y v una base para .

11.      
9. Pruebe que los polinomios 1,1 , 1 , 1 forman una base del espacio vectorial
 
del conjunto de todos los polinomios de grado a lo sumo 3, el cual se simboliza .
 
 
2 3
3
2 2
3 2 3
R/
1 1 2
1 1 3 3
x x x
P x
x x x
x x x x
  
   
    
A
 
 
   
  
 
   
Hallando el determinante de la matriz generada por los 4 polinomios dados:
    
1 0 0 0
1 1 0 0
1 2 1 0
1 3 3 1
1 0 0 0
1 1 0 0
A

det   1  1 1  1  1 
0
1 2 1 0
1 3 3 1

 
   2  3
x x x
  Los polinomios 1,1  , 1  , 1 
son linealmente independi
  3
entes. Luego, forman una
base del espacio vectorial del conjunto de todos los polinomios de grado a lo sumo 3, el cual
se simboliza P x .

12. 10. Pruebe que las matrices:
1 0 0 1 0 0 0 0
       
           
       
M , M , M ,
M
1 2 3 4
0 0 0 0 1 0 0 1
2 2
son una base para el espacio vectorial .
a a
11 12
21 22
R/
A
Sea una matriz de 2 2. Tenemos que:
a a
a

 
   
 
a
         
11 12
             
         
1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
a a a a
11 12 21 22
a a
21 22
A  a M  a M  a M 
a M
11 1 12 2 21 3 22 4
2 
2
Las matrices dadas son una base para el espacio vectorial .