Solución matemática de Cuál es el número de la casa de enfrente?, problema famoso de la red

1. Problemade las tres niñas (El enunciado no es mío, la Soluciónsí)
1. Un viajerocaminapor primeravezporlas callesde unpueblo.
2. En la banquetade unacalle se encuentrantresniñassentadas,juntoasu padre.
3. El viajerole preguntaal padre:¿Que edadtienenlasniñas.?
4. El padre le responde: “Si sumasla edadde las tres,el resultadoseráigual al númerode la
casa de enfrente “.
5. El viajeroresponde:“Nolo puedosaber,me faltaundato.”
6. El padre le replica:“ La mayor de las niñasesla que estásentadaen medio.”
7. El viajerose retirasabiendolasedadesde lasniñas.
8. ¿ Cual esel númerode la casa de enfrente.?
Notas:
Las edadessonnúmerosenterosmayoresque cero.
Si encuentras la solución de estos problemas, comunícamelo a rcadena2@infosel.net.mx
y te colocaremos en el listado de superdotados.
SOLUCIÓN:
Sea X,Y,Z el ordende izquierdaaderecha en que están sentadas las tres niñas y Sean : x,y,z las
edadesrespectivasde lastresniñas,donde x eslaedadde la intermedia,yesla edad de la mayor,
y z es la edad de la menor, entonces según 6. Y la 1 ͣ nota, Serán: 0 < 𝑧 < 𝑥 < 𝑦. El análisis es
totalmente análogo si suponemos un orden Z,Y,X, ya que correspondería a inter cambiar los
valores de x , y de z en el resultado del análisis anterior.
SeaN, el númerode la casa de enfrente
CASO I) Hay una hijade mayor edad (y),ydos de menore igual edad (𝑥 = 𝑧), (aunque
aparentementeesto noesloque se deduce de la conversación)
Entonces el menor valor suma posible de tres números enteros positivos que cumplan la
condición impuesta por 6. Será: ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (1,2,1), es decir 𝑦 = 2, 𝑥 = 𝑧 = 1, son la solución, si
𝑁 = 4 , y no habrá solución entera positiva, para 𝑁 < 4
En este hipotéticocaso i, lasoluciónmatemáticaesinmediata,yestarádadapor:
𝑦 + 2𝑥 = 𝑁, de donde: 𝑦 = 𝑁 − 2𝑥 , y segúnel valorde las edades,tambiéndebe cumplirse:
𝑦 > 𝑥 ≥ 1
Podemosagrupar las posiblessolucionesenunatabla:

2. N x=z y Solución(x,y,z) Soluciónúnica
4 1 2 (1,2,1) si
5 1 3 (1,3,1) si
2 1 (y<x) No hay
6 1 4 (1,4,1) si
2 2 (y=x=z) No hay
7 1 5 (1,5,1) No hay
2 3 (2,3,2)
3 1 (y<x) No hay
8 1 6 (1,6,1) No hay
2 4 (2,4,2)
3 2 (y<x) No hay
9 1 7 (1,7,1) No hay
2 5 (2,5,2)
3 3 (y=x=z) No hay
10 1 8 (1,8,1) No hay
2 6 (2,6,2)
2 4 (3,4,3)
4 2 (y<x) No hay
Podemos aseverar sin temor a equivocarnos que para este supuesto caso, sólo habrá tres
solucionesposiblesdonde nose presenten dudas(soluciónúnica), segúnseael númerode la casa
de enfrente, a saber:
N=4 y : ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (1,2,1)
N=5 y : ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (1,3,1)
N=6 y : ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (1,4,1)
CASO II) Las tres hijastienenedadesdistintas siendox eslaedadde la intermedia,y la edad de
la mayor, y z la edad de la menor, entonces según 6. Y la 1 ͣ nota, Serán: 0 < 𝑧 < 𝑥 < 𝑦.
Entonces, de 4. , resulta 𝑁 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, siendo N el número de la casa de enfrente.
En este caso,el menorvalor sumade tres números enteros positivos que cumplan 6. Y la 1 ͣ nota,
será ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2,3,1), y en este caso resulta 𝑁 = 6, y no habrá solución entera positiva para
𝑁 < 6 .
Estudiemos cierto número de casos para valores de 𝑵 ≥ 𝟔, que nos permita generalizar
matemáticamente, si ello es posible:
Para ello también construiremos una tabla de resultados. En dicha tabla iremos dando valores
enteros sucesivos a la variable z (menor edad), y sólo cuando para un determinado valor de z,
obtengamosunasoluciónque nogenere dudas(opciones),ocontradicciones,consideraremosque
dicha solución es una solución única.

3. N x y z Objeción Soluciónúnica
6 2 3 1 ---- (2,3,1)
7 2 4 1 ---- (2,4,1)
-----
-----
3 3 1 y=x
3 2 2 y=z
8 2 5 1 ---- No hay
3 4 1 ----
4 3 1 y<x
3 3 2 y=x
9 2 6 1 ----
(3,4,2)
3 5 1 ----
4 4 1 y=x
3 4 2 ----
4 3 2 y<x
10 2 7 1 ----
(3,5,2)
3 6 1 ----
4 5 1 ----
5 4 1 y<x
3 5 2 ----
4 4 2 y=x
11 2 8 1 ---- No hay
3 7 1 ----
4 6 1 ----
5 5 1 y=x
3 6 2 ----
4 5 2 ----
5 4 2 y<x
4 4 3 y=x
12 2 9 1 ----
(4,5,3)
3 8 1 ----
4 7 1 ----
5 6 1 ----
6 5 1 y<x
3 7 2 ----
4 6 2 ----
5 5 2 y=x
4 5 3 ----
5 4 3 y<x
13 2 10 1 ----
3 9 1 ----
4 8 1 ----
5 7 1 ----
6 6 1 y=x
3 8 2 ----
4 7 2 ----
5 6 2 ----

4. 6 5 2 y<x
(4,6,3)4 6 3 ----
5 5 3 y=x
14 2 11 1 ---- No hay
3 10 1 ----
4 9 1 ----
5 8 1 ----
6 7 1 ----
7 6 1 y<x
3 9 2 ----
4 8 2 ----
5 7 2 ----
6 6 2 y=x
4 7 3 ----
5 6 3 ----
6 5 3 y<x
5 5 4 y=x
15 2 12 1 ----
(5,6,4)
3 11 1 ----
4 10 1 ----
5 9 1 ----
6 8 1 ----
7 7 1 y=x
3 10 2 ----
4 9 2 ----
5 8 2 ----
6 7 2 ----
7 6 2 y<x
4 8 3 ----
5 7 3 ----
6 6 3 y=x
5 6 4 ----
6 5 4 y<x
16 2 13 1 ----
3 12 1 ----
4 11 1 ----
5 10 1 ----
6 9 1 ----
7 8 1 ----
8 7 1 y<x
3 11 2 ----
4 10 2 ----
5 9 2 ----
6 8 2 ----
7 7 2 y=x
4 9 3 ----

5. 5 8 3 ----
(5,7,4)
6 7 3 ----
7 6 3 y<x
5 7 4 ----
6 6 4 y=x
17 2 14 1 ---- No hay
3 13 1 ----
4 12 1 ----
5 11 1 ----
6 10 1 ----
7 9 1 ----
8 8 1 y=x
3 12 2 ----
4 11 2 ----
5 10 2 ----
6 9 2 ----
7 8 2 ----
8 7 2 y<x
4 10 3 ----
5 9 3 ----
6 8 3 ----
7 7 3 y=x
5 8 4 ----
6 7 4 ----
7 6 4 y<x
6 6 5 y=x
Con estosvalores,podemospredecirde manerainmediatalassecuenciasparavalores de 𝑁 > 17,
y más aún, podemos generalizar, estableciendo la ecuación que gobierna en cada una de las
soluciones posibles:
Por ejemplo:
N Soluciónúnica
18 (6,7,5)
19 (6,8,5)
20 No hay
21 (7,8,6)
22 (7,9,6)
23 No hay
Primeroque nada podemosafirmar que no hay soluciónúnica para ningúncaso donde
𝑵 = 𝟓 + 𝟑𝒏, con 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,…, es decirpara N=5,8,11,14,17,20,23,...

6. Segundo:Sólo hay solucionesúnicas(que no dejan lugar a dudas entre varias opciones),para los
siguientesdoscasos:
𝑵 = 𝟑𝒏, y 𝑵 = 𝟑𝒏 + 𝟏, con 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓,…
Para 𝑵 = 𝟑𝒏, tendremos:
N 6 9 12 15 18 21 ... 3n
y 3 4 5 6 7 8 ... 𝒚( 𝑵)
Donde notamos que la razón incremental de la primera sucesión (valores de N), es 3, y la razón
incremental de la segunda (valores de y), es 1
Entonces, larelaciónmatemáticaentre N el númerode lacasa de enfrente,que el viajero conoce,
y la edad de la mayor de las hijas (y), vendrá dada por la ecuación lineal:
𝒚 =
𝑵
𝟑
+ 𝟏, así mismo las edadesde las otras dos hijas estarán dadas por:
𝒙 = 𝒚 − 𝟏 , edad de la intermedia
𝒛 = 𝒚 − 𝟐 , edad de la menor
Para el caso que sea 𝑵 = 𝟑𝒏 + 𝟏, tendremos:
N 7 10 13 16 19 22 ... 3n+1
y 4 5 6 7 8 9 ... 𝒚( 𝑵)
Donde notamosde nuevo que larazón incremental de laprimerasucesión(valoresde N),es3, y la
razón incremental de la segunda (valores de y), es 1
Entonces,larelaciónmatemáticaentre N el númerode lacasa de enfrente,que el viajero conoce,
y la edad de la mayor de las hijas (y), vendrá dada por la ecuación lineal:
𝒚 =
𝑵−𝟏
𝟑
+ 𝟐, así mismolas edadesde las otras dos hijas estarán dadas por:
𝒙 = 𝒚 − 𝟐 , edad de la intermedia
𝒛 = 𝒚 − 𝟑 , edadde la menor
Como el viajero se va sabiendo la edad de las niñas (7.), el valor de N, que vio en la casa de
enfrente debe corresponder a uno de los dos casos anteriores, y según corresponda a 𝟑𝒏,o a
𝟑𝒏 + 𝟏, él habrá hecho la deducción correspondiente.
Enrique R. Acosta R. Febrero2017