Álgebra II

2.  DEF.- Sea X ≠ Ф. Llamaremos estructura
algebraica a dicho conjunto provisto de una o
más operaciones binarias sujetas a ciertas
propiedades.

3.  DEF.- Sea X ≠ Ф. Llamaremos operación
binaria en X (o definida sobre X) a una
función
* : X x X → X
*(a,b) = a*b
Tal que a cada par (a,b) de X x X le hacemos
corresponder el único elemento *(a,b) = a*b
de X

4. 1. La adición en N, Z, Q, R o C es una operación
binaria.
2. La multiplicación en N, Z, Q, R o C es una
operación binaria.
3. Sea S ≠ Ф. Sea X = { f : S  S} defina,
* : X x X  X
*(f,g) = g o f donde (g o f)(x) = g[f(x)] ∀
x∈S

5. 4. En el ejemplo 3) sea S = R
X = { f : R  R}
 Defina
*(f,g) = f + g donde
(f+g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ R

6. 5. defina en (4)
*(f, g) = fg
Donde (fg)(x) = f(x)g(x)

7. Sea (X,*,⊕) una estructura algebraica donde * y
⊕ son operaciones binarias sobre X
1. Propiedad de cerradura
para cualesquiera a, b ∈ X a*b ∈ X
2. Asociatividad
para cualesquiera a, b, c ∈ X,
(a*b)*c = a*(b*c)

8. 3. Conmutatividad
para cualesquiera a, b ∈ X,
a*b = b*a
4. Elemento identidad
∃ e ∈ X, tal que para cualesquiera a ∈ X, a*e
= e*a = a
NOTA.- si a*e = a se dice que e es identidad a
derecha,
Si e*a = a se dice que e es identidad a
izquierda.

9. 5. Elemento inverso
para cada a ∈ X, ∃ a-1 ∈ X tal que
a*a-1 = a-1*a = e
a-1 ∈ X se llama el inverso de a bajo la
operación *

10. 6. Distributividad
para cualesquiera a, b, c ∈ X,
a*(b⊕c) = (a*b) ⊕ (a*c)
en este caso la operación * se dice que es
distributiva sobre la operación ⊕

11. 7. Propiedad de cancelación
para cualesquiera a, b, c ∈ X y a≠ 0,
a*b = a*c ⇨ b = c
y
b*a = c*a ⇨ b = c

12. 8. Elemento idempotente
a ∈ X recibe el nombre de elemento
idempotente con respecto a la operación *, si
a*a = a

13. 1. Si X = N, Z, Q, R o C la adición y
multiplicación usuales son operaciones
binarias asociativas y conmutativas. Sus
elementos neutros son el 0 y el 1
respectivamente.
2. La composición de funciones es una
operación binaria asociativa pero no es
conmutativa

14. Sea S ≠ Ф. Sea X = { f : S  S} defina,
* : X x X  X
*(f,g) = g o f donde (g o f)(x) = g[f(x)] ∀
x∈S
Sean f, g, h ∈ X
¿(f o g) o h = f o (g o h)?
en efecto, ∀ x ∈ S
[(fog)oh](x) = (fog)(h(x)) = f[g(h(x))]
[fo(goh)](x) = fo[(goh)(x)] = f[g(h(x))]
⇨ (f o g) o h = f o (g o h)

15. Para ver que “o” no es conmutativa considere
S = {a, b} donde a ≠ b
defina las funciones constantes:
f: S →S por f(s) = a ∀ s ∈ S
g: S →S por g(s) = b ∀ s ∈ S
entonces,
(f o g)(s) =
(g o f)(s) =

16.  La “o” tiene identidad y es la función
e: S → S
e(s) = s ∀ s ∈ S,
en efecto,
Si f ∈ X  (f o e)(s) = f(e(s)) = f(s)  f o e = f
análogamente,
(e o f)(s) = e(f(s)) =f(s)  e o f = f

17. 4. Sea X= Z+
La adición en Z+ no tiene elemento neutro
La multiplicación en Z+ si tiene elemento
identidad que es 1.
5. Sea X ≠ ø
*: XxX  X
*(a,b) = a*b = a ∀ (a,b) ∈ XxX, entonces, *
es asociativa, no es conmutativa, tiene infinitas
identidades a derecha y no tiene identidad a
izquierda.

18. TEOREMA. Si una operación binaria tiene una
identidad a izquierda u y una identidad a
derecha v, entonces, u = v
DEMOSTRACIÓN
COROLARIO. Si una operación binaria tiene
elemento neutro entonces es único.
DEMOSTRACIÓN

19. Si el conjunto X en el cual está definida una
operación binaria es finito, es posible conocer
los productos de todos sus elementos
haciendo uso de las tablas de multiplicación,
i.e. si X = {x1, x2, …, xn} su tabla de
multiplicar consiste en un arreglo cuadrado
de n filas y n columnas, el producto del i-
ésimo elemento y el j-ésimo elemento se
encuentra en la intersección de la fila que
contiene al i-ésimo elemento y la columna
que contiene el j-ésimo elemento.

20. EJEMPLO:
Sea S = {a, b} hay 4 funciones de S  S
e(a) = a e(b) = b
f(a) = a f(b) = a
g(a) = b g(b) = b
h(a) = b h(b) = a
Hallar la tabla de multiplicar.

21. DEFINICIÓN. Sea X ≠ ø. Llamaremos semigrupo
al par (x, *) donde * es una operación binaria
asociativa.
DEFINICIÓN. Sea X ≠ ø. Llamaremos monoide al
semigrupo (X, *) tal que posee elemento
identidad (o neutro).

22. 1. Sea X = N, Z, Q, R, C, entonces, con la
adición usual son semigrupos, i.e.
(N, +); (Z, +); (Q, +); (R, +) y (C, +) son
semigrupos y también son monoides cuyo
elemento identidad es 0.
2. (N, .); (Z, .); (Q, .); (R, .) y (C, .) son
semigrupos y también son monoides cuyo
elemento identidad es 1.
3. (Z+, +) es un semigrupo pero no es monoide

23. 4. Sea X = N, Z, Q, R, defina
*: X x X  X
*(a,b)=a*b=a+b2 ∀ (a,b) ∈ XxX
entonces (X;*) no es semigrupo ni monoide,
en efecto,

24. 5. Sea X ≠ ø considere el conjunto potencia
P(X)
a) (P(X), ∪) es semigrupo y monoide
b) (P(X), ∩) es semigrupo y monoide
6. Sea P = {enteros pares}, entonces,
a) (P,+) es semigrupo y monoide
b) (P, .) es semigrupo pero no es monoide

25. 7. Sea Zn={enteros no negativos menores que
n}
defina
+: Zn x Zn  Zn
+(a,b) = a+b = resto de dividir
a+b por n
(Zn ,+) es un monoide llamado monoide
aditivo de los enteros módulo n

26. 8. Sea Zn={enteros no negativos menores que
n}
defina
.: Zn x Zn  Zn
.(a,b) = a.b = resto de dividir a.b
por n
(Zn ,.) es un monoide llamado monoide
multiplicativo de los enteros módulo n

27.  9. Sea X = {1, -1, i, -i} las raices cuartas de la
unidad  (X, .) es un semigrupo y tambien un
monoide, cuya tabla de multiplicar es:

28. DEFINICIÓN. Si (X, *) es un semigrupo tal que
∀ a, b ∈ X, a * b = b * a, entonces (X, *) se
dice que es un semigrupo conmutativo.
DEFINICIÓN. Si (X, *) es un monoide tal que ∀
a, b ∈ X, a * b = b * a, entonces (X, *) se dice
que es un monoide conmutativo.

29. 1. (N, +); (Z, +); (Q, +); (R, +); (C, +) son
monoides conmutativos.
2. (N, .); (Z, .); (Q, .); (R, .); (C, .) son monoides
conmutativos.
3. Sea X ≠ ø cualquier conjunto,
*: X x X  X
*(a,b) = a * b = a ∀ (a,b) ∈ X x X
 (X, *) es un semigrupo pero no es
conmutativo.