mecánica teórica

1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
EXAMEN FINAL (20 de Junio de 1994)
Apellidos Nombre N.o
Grupo
Ejercicio 4.o
(s´olo 1er. parcial) Tiempo: 50 min.
Un proyectil se lanza desde la superficie de la tierra con una determinada velocidad inicial
v0. Despreciando la resistencia de la atm´osfera, calcular la velocidad necesaria para que alcance
una ´orbita el´ıptica de semieje mayor 80000 km. Calcular asimismo la excentricidad de la ´orbita
si la direcci´on de lanzamiento forma un ´angulo de 45◦
con la vertical. Se puede suponer que
la tierra es esf´erica, con per´ımetro m´aximo 40000 km).
El radio de la tierra es R = 40000/2π = 6366 km. La velocidad necesaria se obtiene de
aplicar directamente la f´ormula que relaciona la energ´ıa con el semieje de la elipse,
v2
0 = GM
gR2
2
R
−
1
a
⇒ v0 = 10,951 km/s
Esta velocidad es independiente de la direcci´on de lanzamiento, que s´olo influir´a para la ex-
centricidad de la elipse.
La velocidad obtenida es la velocidad absoluta del proyectil, medida respecto de la esfera
terrestre en reposo. El enunciado no proporciona ning´un dato sobre la posici´on inicial del
cuerpo sobre la tierra, entendi´endose que el efecto de la velocidad de arrastre debida a la
propia rotaci´on de la tierra es peque˜no (en efecto, ´esta ser´ıa m´axima en el ecuador, con valor
v = 40000/86400 = 0,463 km/s).
Si se conoce la inclinaci´on del lanzamiento (45◦
), se puede obtener la constante de las ´areas,
C = R(R ˙ϕ) = R
v0
√
2
y por tanto el par´ametro p de la c´onica,
p =
C2
GM
=
C2
gR2
=
v2
0
2g
obteniendo finalmente la excentricidad pedida:
e2
= 1 −
p
a
= 1 −
v2
0
2ga
⇒ e = 0,961