Clase Introductoria para la materia de Comunicación Digital en la Carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones de la Universidad de Las Américas, UDLA, Ecuador

1. Dr. Henry Carvajal M.
Comunicación Digital
Ingeniería en Telecomunicaciones
Procesos Estocásticos
y Ruido
(Parte 1)

2. Objetivos
• Entender la transmisión de un proceso aleatorio a través
de un filtro y las implicaciones matemáticas.
• Conocer la densidad espectral de potencia de un proceso
aleatorio y cómo calcularla.

3. Contenido
2. Transmisión de un proceso aleatorio a través
de un filtro lineal invariante en el tiempo.
3. Densidad espectral de potencia.
1. Recordando: Procesos Estocásticos.

4. 4
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Procesos Estocásticos
Proceso Determinístico
No hay incertidumbre acerca del comportamiento del proceso a lo largo del tiempo y en cualquier instante.
Proceso Estocástico o Aleatorio
Existe incertidumbre acerca del comportamiento del proceso a lo largo del tiempo y en cualquier instante.
Su comportamiento se describe en términos probabilísticos.
Ejemplo:
Señal transmitida + RuidoSeñal transmitida
tiempo
Propiedades:
1. Son funciones del tiempo.
2. Son aleatorios, porque antes de llevar a cabo un experimento, no es posible definir con exactitud las
formas de onda que se observarán en el futuro.

5. 5
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Procesos Estocásticos
EspacioMuestral(S)
…
Posible resultado del experimento
tiempo
tiempo
tiempo
- Si el espacio muestral está compuesto por funciones que son aleatorias en el tiempo, entonces el espacio
muestral se denomina proceso aleatorio o estocástico.
𝑡1 𝑡 𝑘
𝑠1
𝑠2
𝑠 𝑛
𝑥2(𝑡1)
𝑥1(𝑡1)
𝑥 𝑛(𝑡1)
…
𝑥2(𝑡 𝑘)
𝑥1(𝑡 𝑘)
𝑥 𝑛(𝑡 𝑘)
- Para un tiempo fijo 𝑡 𝑘 el conjunto de muestras 𝑥1 𝑡 𝑘 , 𝑥2 𝑡 𝑘 , … , 𝑥 𝑛(𝑡 𝑘) constituye una variable aleatoria 𝑋 𝑡 𝑘 .
- Por lo tanto:
• Para una variable aleatoria, el resultado de un experimento es un número.
• Para un proceso estocástico, el resultado de un experimento es una forma de onda que es función del tiempo.

6. 6
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Procesos Estocásticos
EspacioMuestral(S)
…
Posible resultado del experimento
tiempo
tiempo
tiempo
Proceso estocástico estacionario
𝑠1
𝑠2
𝑠 𝑛
…
Intervalo de tiempo 1 Intervalo de tiempo 𝑘
Si un proceso estocástico es dividido en intervalos de tiempo y en estos intervalos presenta las mismas
propiedades estadísticas, entonces se dice que es un proceso estocástico estacionario.

7. 7
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Procesos Estocásticos
EspacioMuestral(S)
…
Posible resultado del experimento
tiempo
tiempo
tiempo
Proceso estocástico estacionario
𝑠1
𝑠2
𝑠 𝑛
…
Si un proceso estocástico es dividido en intervalos de tiempo y en estos intervalos presenta las mismas
propiedades estadísticas, entonces se dice que es un proceso estocástico estacionario.
𝑡1 𝑡 𝑘
𝑥2(𝑡1)
𝑥1(𝑡1)
𝑥 𝑛(𝑡1)
𝑥2(𝑡 𝑘)
𝑥1(𝑡 𝑘)
𝑥 𝑛(𝑡 𝑘)
En un proceso estacionario en el sentido estricto se cumple que 𝑓𝑋(𝑡 𝑘) 𝑥 = 𝑓𝑋(𝑡 𝑘+𝜏) 𝑥 para cualquier 𝑡 𝑘 y 𝜏,
dónde 𝑓𝑋(𝑡)(𝑥) es la función densidad de probabilidad (PDF) de la variable aleatoria 𝑋(𝑡).
𝜏

8. 8
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Funciones Media y Autocorrelación
Función Media
Para un proceso estacionario en el sentido estricto, definimos la media del proceso 𝑋(𝑡) como el valor
esperado de la variable aleatoria obtenida al observar el proceso en un tiempo 𝑡, esto es
𝜇 𝑥 𝑡 = E 𝑋 𝑡 = න
−∞
∞
𝑥𝑓𝑋 𝑡 𝑥 𝑑𝑥
En consecuencia, la media de un proceso estrictamente estacionario es una constante, 𝜇 𝑥, pues, 𝑓𝑋 𝑡 𝑥 es la
misma para cualquier valor de 𝑡.
Función de Autocorrelación
La función de autocorrelación de un proceso 𝑋(𝑡) se define como la media del producto de dos variables
aleatorias 𝑋(𝑡1) y 𝑋(𝑡2), obtenidas al observar el proceso 𝑋(𝑡) en los tiempos 𝑡1 y 𝑡2, respectivamente.
𝑅 𝑥(𝑡1, 𝑡2) = E[𝑋(𝑡1)𝑋(𝑡2)]
Si el proceso es estacionario en el sentido estricto, entonces la función de autocorrelación depende
únicamente de la diferencia de los tiempos, es decir, 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1, pues la variable aleatoria 𝑋 𝑡 𝑘 tiene las
mismas estadísticas para cualquier 𝑡 𝑘, por lo tanto, usando que 𝑡2 = 𝑡, podemos escribir que
𝑅 𝑥(𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)]
Si la media de un proceso estocástico es una constante y si su función de autocorrelación depende
únicamente de la diferencia de los tiempos, es decir, cumple con la ecuación anterior, entonces se denomina
proceso estacionario en el sentido amplio (WSS).

9. 9
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Funciones Media y Autocorrelación
Función de Autocorrelación
𝑅 𝑥(𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)]
Propiedades
1. El valor cuadrático medio del proceso aleatorio se puede obtener usando 𝜏 = 0 en 𝑅 𝑥(𝜏).
𝑅 𝑥 0 = E 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 0 = E 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 = E 𝑋2
𝑡
2. La función de autocorrelación es una función par de 𝜏, es decir,
𝑅 𝑥(𝜏) = 𝑅 𝑥(−𝜏)
Recuerde que una función par
es simétrica al eje vertical.
3. La función de autocorrelación tiene su magnitud máxima en 𝜏 = 0.
𝑅 𝑥(𝜏) ≤ 𝑅 𝑥(0)
𝜏𝜏
𝑅 𝑥(𝜏) 𝑅 𝑥(𝜏)

10. 10
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Funciones Media y Autocorrelación
Función de Autocorrelación
𝑅 𝑥(𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)]
Significado Físico
Proporciona un medio para describir la interdependencia entre dos variables aleatorias obtenidas al
observar un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) separadas un tiempo de 𝜏 segundos.
Cuanto más rápido cambie en el tiempo el proceso aleatorio 𝑋 𝑡 , entonces más rápido la función de
correlación disminuye a partir de su valor máximo en 𝑅 𝑥(0) cuando 𝜏 aumenta.
Interdependencia: Que tan dependientes son la una de la otra. Que tan relacionadas están entre sí. Qué tanto se parecen.

11. 11
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Funciones Media y Autocorrelación
Función de Autocorrelación
𝑅 𝑥(𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)]
Significado Físico
Atenuación del Canal inalámbrico en función
de la frecuencia de transmisión
Función de autocorrelación normalizada en función de la
frecuencia

12. 12
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Funciones Media y Autocorrelación
Ejemplo 1
Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente
distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine el valor medio y la función de autocorrelación para el proceso 𝑋 𝑡 .

13. 13
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Funciones Media y Autocorrelación
Ejemplo 1
Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente
distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine el valor medio y la función de autocorrelación para el proceso 𝑋 𝑡 .

14. 14
Recordando:
Procesos
Estocásticos
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Funciones Media y Autocorrelación
𝐸[𝑋 𝑡 ] = 0
𝑅 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 𝜏 = 𝑅 𝑥 𝜏 =
𝐴2
2
cos(2π𝑓𝑐 𝜏)
Respuestas
Ejemplo 1
Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente
distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine el valor medio y la función de autocorrelación para el proceso 𝑋 𝑡 .

15. 15
Transmisión
Proceso
Aleatorio a
través de un
filtro LTI
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Transmisión de un Proceso Aleatorio a través de un filtro LTI
Suponga que un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) WSS se aplica como entrada a un filtro (sistema) lineal invariante en
el tiempo (LTI) con respuesta al impulso ℎ(𝑡), produciendo un nuevo proceso aleatorio WSS a la salida 𝑌 𝑡 .
Filtro LTI
ℎ(𝑡)
𝑋(𝑡) 𝑌(𝑡) = ℎ 𝑡 ∗ 𝑋(𝑡)
convolución
= න
−∞
∞
ℎ 𝜏 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
El valor medio de 𝑌(𝑡) es:
𝜇 𝑦(𝑡) = E 𝑌 𝑡 = 𝐸 න
−∞
∞
ℎ 𝜏 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = න
−∞
∞
ℎ 𝜏 E[𝑋 𝑡 − 𝜏 ]𝑑𝜏 = න
−∞
∞
ℎ 𝜏 𝜇 𝑥 𝑑𝜏 = 𝜇 𝑥 න
−∞
∞
ℎ 𝜏 𝑑𝜏
Sistema Estable,
Proceso Aleatorio 𝑋(𝑡)
𝑋 𝑡 es WSS
𝜇 𝑦 𝑡 = 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑥 𝐻(0)
Es una constante
dónde 𝐻(0) es la respuesta en frecuencia del filtro (sistema) evaluada en 𝑓 = 0.
𝐻 𝑓 = න
−∞
∞
ℎ 𝜏 exp j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏

16. 16
Transmisión
Proceso
Aleatorio a
través de un
filtro LTI
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Transmisión de un Proceso Aleatorio a través de un filtro LTI
Suponga que un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) WSS se aplica como entrada a un filtro (sistema) lineal invariante en
el tiempo (LTI) con respuesta al impulso ℎ(𝑡), produciendo un nuevo proceso aleatorio WSS a la salida 𝑌 𝑡 .
Filtro LTI
ℎ(𝑡)
𝑋(𝑡) 𝑌(𝑡) = ℎ 𝑡 ∗ 𝑋(𝑡)
convolución
= න
−∞
∞
ℎ 𝜏 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
La función de autocorrelación de 𝑌(𝑡) es:
𝑅 𝑦(𝜏) = න
−∞
∞
න
−∞
∞
ℎ 𝜏1 ℎ 𝜏2 𝑅 𝑥 𝜏 − 𝜏1 + 𝜏2 𝑑𝜏1 𝑑𝜏2
Finalmente, el valor cuadrático medio del proceso aleatorio 𝑌(𝑡) es:
E 𝑌2
𝑡 = 𝑅 𝑦(0) = න
−∞
∞
න
−∞
∞
ℎ 𝜏1 ℎ 𝜏2 𝑅 𝑥 𝜏2 − 𝜏1 𝑑𝜏1 𝑑𝜏2

17. 17
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
A diferencia de lo visto anteriormente, a través de lo cual caracterizamos los procesos aleatorios en el
dominio del tiempo, la densidad espectral de potencia (PSD) permite caracterizar a los procesos aleatorios
en el dominio de la frecuencia.
La densidad espectral de potencia o espectro de potencia, 𝑆 𝑥(𝑓), del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) se define como la
transformada de Fourier de la función de autocorrelación de dicho proceso, es decir,
𝑆 𝑥 𝑓 = න
−∞
∞
𝑅 𝑥 𝜏 exp −j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏
La PSD indica cómo está distribuida la potencia del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) en las distintas frecuencias que
lo componen.
Significado Físico
PSD(dBm/Hz)
PSD(dBm/Hz)
frecuencia (Hz) frecuencia (Hz)

18. 18
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
Propiedades
1. La PSD y la función de autocorrelación de un proceso estacionario forman un par de transformadas de Fourier
(Relaciones de Einstein-Wiener-Khintchine)
𝑆 𝑥 𝑓 = න
−∞
∞
𝑅 𝑥 𝜏 exp −j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏 𝑅 𝑥 𝜏 = න
−∞
∞
𝑆 𝑥 𝑓 exp j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝑓
2. Si evaluamos la PSD en 𝑓 = 0, entonces obtenemos el área bajo la curva de la función de autocorrelación:
𝑆 𝑥 0 = න
−∞
∞
𝑅 𝑥 𝜏 exp −j2𝜋0𝜏 𝑑𝜏 = න
−∞
∞
𝑅 𝑥 𝜏 𝑑𝜏
3. El valor cuadrático medio de un proceso estacionario es igual al área bajo la curva de la PSD, esto es,
E 𝑋2
𝑡 = 𝑅 𝑥 0 = න
−∞
∞
𝑆 𝑥 𝑓 exp j2𝜋𝑓0 𝑑𝑓 = න
−∞
∞
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓
4. La PSD de un proceso estacionario siempre es no negativa, es decir, 𝑆 𝑥 𝑓 ≥ 0 para todo 𝑓.
6. La PSD normalizada tiene las propiedades que se asocian a la función densidad de probabilidad. La forma
normalizada de la PSD se obtiene de la siguiente manera:
𝑝 𝑥 𝑓 =
𝑆 𝑥 𝑓
‫׬‬−∞
∞
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓
5. La PSD de un proceso aleatorio de valores reales es una función par, es decir, 𝑆 𝑥(𝑓) = 𝑆 𝑥(−𝑓).

19. 19
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
Ejemplo 2
Con base en las propiedades 4 y 5, cuáles de las siguientes funciones podría representar una PSD?.
a)
b)
c)
d)

20. 20
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
Suponga que un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) WSS se aplica como entrada a un filtro (sistema) lineal invariante en
el tiempo (LTI) con respuesta al impulso ℎ(𝑡), produciendo un nuevo proceso aleatorio WSS a la salida 𝑌 𝑡 .
Filtro LTI
ℎ(𝑡)
𝑋(𝑡) 𝑌(𝑡)
El valor cuadrático medio del proceso aleatorio 𝑌(𝑡) es:
E 𝑌2
𝑡 = න
−∞
∞
𝐻 𝑓 2
𝑆 𝑥(𝑓) 𝑑𝑓 dónde 𝐻 𝑓 2
es la respuesta en magnitud del filtro al cuadrado.
Recuerde que si 𝑥 es un número complejo, entonces su magnitud al
cuadrado se calcula 𝑥 2
= 𝑥𝑥∗
, dónde 𝑥∗
representa el conjugado de 𝑥.
Finalmente, la PSD del proceso aleatorio 𝑌(𝑡) es:
𝑆 𝑦(𝑓) = 𝐻 𝑓 2 𝑆 𝑥(𝑓)

21. 21
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
Ejemplo 3
Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente
distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine la PSD para el proceso 𝑋 𝑡 .

22. 22
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
Ejemplo 3
Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente
distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine la PSD para el proceso 𝑋 𝑡 .
𝑆 𝑥 𝑓 =
𝐴2
4
𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐
Respuesta
𝑓𝑓𝑐−𝑓𝑐
𝐴2
4
𝑆 𝑥 𝑓

23. 23
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
Ejemplo 4
En la figura, la respuesta en magnitud de un filtro es
y la PSD del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) es 𝑆 𝑥 𝑓 = sinc2
𝑓 .
Filtro LTI
ℎ 𝑡 , 𝐻(𝑓)
𝑋(𝑡) 𝑌(𝑡)
Determine la potencia media y la PSD del proceso 𝑌(𝑡) .
𝐻(𝑓) = ቐ
1
2
, 𝑓 ≤ 5 Hz
0, caso contrario

24. 24
Densidad
Espectral de
Potencia
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
Densidad Espectral de Potencia
Ejemplo 4
En la figura, la respuesta en magnitud de un filtro es 𝐻(𝑓) = ቐ
1
2
, 𝑓 ≤ 5 Hz
0, caso contrario
y la PSD del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) es 𝑆 𝑥 𝑓 = sinc2
𝑓 .
Filtro LTI
ℎ 𝑡 , 𝐻(𝑓)
𝑋(𝑡) 𝑌(𝑡)
Determine la potencia media y la PSD del proceso 𝑌(𝑡) .
E 𝑌2
𝑡 = 0,2449
Respuestas
𝑆 𝑦(𝑓) = ቐ
sinc2 𝑓
4
, 𝑓 ≤ 5 Hz
0 , caso contrario

25. 25
Bibliografía
Ingeniería en
Telecomunicaciones
Comunicación Digital
S. Haykin, Sistemas de Comunicación, Limusa Wiley, 2002.
Bibliografía

26. Ingeniería en Telecomunicaciones
Henry Carvajal M.
henry.carvajal@udla.edu.ec
http://orcid.org/0000-0003-0529-8224