2. Objetivo: El alumno analizará y resolverá ejercicios de movimiento
plano de cuerpos rígidos, y de algunos mecanismos donde no
intervengan las causas que modifican dicho movimiento.
Cinemática del cuerpo rígido
3. Introducción
• Cinemática de cuerpos rígidos: relaciones entre el
tiempo y las posiciones, las velocidades y las
aceleraciones de las partículas que forman un cuerpo
rígido.
• Clasificación de los diferentes movimientos de cuerpo
rígido:
- movimiento general
- movimiento alrededor de un punto fijo
- movimiento plano general
- rotación alrededor de un eje fijo
• traslación curvilínea
• traslación rectilínea
- traslación:
4. Traslación
• Considerar un cuerpo rígido en traslación:
- la dirección de cualquier línea recta dentro del cuerpo
es constante,
- todas las partículas que forman el cuerpo se mueven en
líneas paralelas.
• Para cualquier par de partículas en el cuerpo,
A
B
A
B r
r
r
• La diferenciación con respecto al tiempo,
A
B
A
A
B
A
B
v
v
r
r
r
r
Todas las partículas tienen la misma velocidad.
A
B
A
A
B
A
B
a
a
r
r
r
r
• La diferenciación con respecto al tiempo de nuevo,
Todas las partículas tienen la misma aceleración.
5. Rotación alrededor de un eje fijo.
Velocidad
• Considerar la rotación de un cuerpo rígido
alrededor de un eje fijo AA’.
• El vector de velocidad de la partícula P es
tangente a la trayectoria con magnitud
dt
r
d
v
dt
ds
v
sen
sen
lím
sen
0
r
t
r
dt
ds
v
r
BP
s
t
ngular
a
velocidad
k
k
r
dt
r
d
v
• El mismo resultado se obtiene a partir de
6. Rotación alrededor de un eje fijo. Aceleración
• Diferenciación para determinar la aceleración,
v
r
dt
d
dt
r
d
r
dt
d
r
dt
d
dt
v
d
a
•
k
k
k
ngular
a
n
aceleració
dt
d
radial
n
aceleració
la
de
componente
al
n tangenci
aceleració
la
de
componente
r
r
r
r
a
• La aceleración de P es una combinación de dos
vectores,
7. Rotación alrededor de un eje fijo. Placa
representativa
15 - 7
• Considerar la propuesta de una placa representativa en
un plano perpendicular al eje de rotación.
• Velocidad de cualquier punto P de la placa,
r
v
r
k
r
v
• Aceleración de cualquier punto P de la placa,
r
r
k
r
r
a
2
• Resolviendo la aceleración en las componentes
tangencial y normal,
2
2
r
a
r
a
r
a
r
k
a
n
n
t
t
8. Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo
15 - 8
• El movimiento de un cuerpo rígido que gira alrededor de un
eje fijo a menudo es especificado por el tipo de aceleración
angular.
d
d
dt
d
dt
d
d
dt
dt
d
2
2
o
• Recordando
• Rotación uniforme, = 0:
t
0
• Rotación uniformemente acelerada, = constante:
0
2
0
2
2
2
1
0
0
0
2
t
t
t
9. Problema resuelto 15.1
15 - 9
El cable C tiene una aceleración constante de 9
in/s2 y una velocidad inicial de 12 in/s, ambas
dirigidas hacia la derecha.
Determinar a) el número de revoluciones
ejecutadas por la polea en 2 s, b) la velocidad
y el cambio en la posición de la carga B
después de 2 s, y c) la aceleración del punto D
sobre el borde de la polea cuando t = 0.
SOLUCIÓN:
• Debido a la acción del cable, la velocidad
tangencial y la aceleración de D son iguales a
la velocidad y la aceleración de C. Calcular la
velocidad angular inicial y la aceleración.
• Aplicar las relaciones de la rotación
uniformemente acelerada para determinar la
velocidad y la posición angular de la polea al
cabo de 2 s.
• Evaluar los primeros componentes
tangencial y normal de la aceleración de D.
10. Problema resuelto 5.1
15 - 10
SOLUCIÓN:
• La velocidad tangencial y la aceleración de D son iguales a la
velocidad y la aceleración de C.
s
rad
4
3
12
s
in.
12
0
0
0
0
0
0
r
v
r
v
v
v
D
D
C
D
2
s
rad
3
3
9
s
in.
9
r
a
r
a
a
a
t
D
t
D
C
t
D
• Aplicar las relaciones de la rotación uniformemente acelerada
para determinar la velocidad y la posición angular de la polea al
cabo de 2 s.
s
rad
10
s
2
s
rad
3
s
rad
4 2
0
t
rad
14
s
2
s
rad
3
s
2
s
rad
4 2
2
2
1
2
2
1
0
t
t
es
revolucion
de
número
rad
2
rev
1
rad
14
N rev
23
.
2
N
rad
14
in.
5
s
rad
10
in.
5
r
y
r
v
B
B
in.
70
s
in.
50
B
B
y
v
11. Problema resuelto 5.1
15 - 11
• Evaluar los primeros componentes tangencial y normal de la
aceleración de D.
s
in.
9
C
t
D a
a
2
2
2
0 s
in
48
s
rad
4
in.
3
D
n
D r
a
2
2
s
in.
48
s
in.
9 n
D
t
D a
a
Magnitud y dirección de la aceleración total,
2
2
2
2
48
9
n
D
t
D
D a
a
a
2
s
in.
8
.
48
D
a
9
48
tan
t
D
n
D
a
a
4
.
79
12. Movimiento plano general
15 - 12
• El movimiento plano general no es ni una traslación ni
una rotación.
• Un movimiento plano general puede considerarse como la
suma de una traslación y una rotación.
• El desplazamiento de las partículas A y B a A2 y B2 se
puede dividir en dos partes:
- traslación a A2 y
- rotación de alrededor de A2 a B2
1
B
1
B
13. Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
15 - 13
• Cualquier movimiento plano puede ser reemplazado por una
traslación de un punto de referencia arbitrario A y una rotación
simultánea alrededor de A.
A
B
A
B v
v
v
r
v
r
k
v A
B
A
B
A
B
A
B
A
B r
k
v
v
14. Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
15 - 14
• Suponiendo que la velocidad vA del extremo A es conocida, se desea determinar la velocidad vB
del extremo B y la velocidad angular en términos de vA, l y .
• Las direcciones de vB y vB/A son conocidas. Complete el diagrama de velocidad.
tan
tan
A
B
A
B
v
v
v
v
cos
cos
l
v
l
v
v
v
A
A
A
B
A
15. Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
15 - 15
• Seleccionar el punto B como punto de referencia y resolver para la velocidad vA del
extremo A, y la velocidad angular lleva a un triángulo de velocidad equivalente.
• vA/B tiene la misma magnitud, pero en sentido opuesto a vB/A. El sentido de la velocidad
relativa depende de la elección del punto de referencia.
• La velocidad angular de la varilla en su rotación alrededor de B es la misma que su
rotación alrededor de A. La velocidad angular no depende de la elección del punto de
referencia.
16. Problema resuelto 15.2
15 - 16
Un engrane doble rueda sobre una
cremallera estacionaria inferior; la
velocidad de su centro es 1.2 m/s.
Determinar a) la velocidad angular del
engrane, y b) las velocidades de la
cremallera superior R y del punto D del
engrane.
SOLUCIÓN:
• El desplazamiento del centro del engrane en
una revolución es igual a la circunferencia
exterior. Relacionar los desplazamientos de
traslación y angular. Diferenciar las relaciones
de las velocidades de traslación y angular.
• La velocidad de cualquier punto P en el engrane
puede escribirse como
• Evaluar las velocidades de los puntos B y D.
A
P
A
A
P
A
P r
k
v
v
v
v
17. Problema resuelto 15.2
15 - 17
x
y
SOLUCIÓN:
• El desplazamiento del centro del engrane en una revolución
es igual a la circunferencia exterior.
Para xA > 0 (moviéndose a la derecha), < 0 (girando en el
sentido de las manecillas del reloj).
1
2
2
r
x
r
x
A
A
Diferenciar la relación de las velocidades de traslación y
angular.
m
0.150
s
m
2
.
1
1
1
r
v
r
v
A
A
k
k
s
rad
8
18. Problema resuelto 15.2
15 - 18
• Para cualquier punto P sobre el engrane, A
P
A
A
P
A
P r
k
v
v
v
v
La velocidad de la cremallera superior
es igual a la velocidad del punto B:
i
i
j
k
i
r
k
v
v
v A
B
A
B
R
s
m
8
.
0
s
m
2
.
1
m
10
.
0
s
rad
8
s
m
2
.
1
i
vR
s
m
2
Velocidad del punto D:
i
k
i
r
k
v
v A
D
A
D
m
150
.
0
s
rad
8
s
m
2
.
1
s
m
697
.
1
s
m
2
.
1
s
m
2
.
1
D
D
v
j
i
v
19. Problema resuelto 15.3
15 - 19
La manivela AB tiene una velocidad angular
constante en el sentido de las manecillas del
reloj de 2000 rpm.
Para la posición indicada de la manivela,
determine a) la velocidad angular de la biela
BD, y b) la velocidad del pistón P.
SOLUCIÓN:
• Se determinará la velocidad absoluta del punto
D con
B
D
B
D v
v
v
• La velocidad se obtiene de los datos de la
rotación de la manivela.
B
v
• Las direcciones de la velocidad absoluta y
la velocidad relativa se determinan a partir
de la geometría del problema.
D
v
B
D
v
• Las incógnitas en la expresión del vector son las
magnitudes de velocidad que pueden ser
determinadas a partir del triángulo vectorial
correspondiente.
B
D
D v
v y
• La velocidad angular de la biela se calcula a
partir de .
B
D
v
20. Problema resuelto 15.3
15 - 20
SOLUCIÓN:
• Se determinará la velocidad absoluta del punto D con
B
D
B
D v
v
v
• La velocidad se obtiene de los datos de la rotación de la
manivela.
B
v
s
rad
4
.
209
in.
3
s
rad
4
.
209
rev
rad
2
s
60
min
min
rev
2000
AB
B
AB
AB
v
La dirección de la velocidad es como se muestra.
• La dirección de la velocidad absoluta es horizontal. La
dirección de la velocidad relativa es perpendicular a BD.
Calcule el ángulo entre la horizontal y la biela por la ley de
los senos.
D
v
B
D
v
95
.
13
in.
3
sen
in.
8
40
sen
21. Problema resuelto 15.3
15 - 21
• Determinar las magnitudes de las velocidades
del triángulo vectorial.
B
D
D v
v y
B
D
B
D v
v
v
sen76.05
s
in.
3
.
628
50
sen
95
.
53
sen
B
D
D
v
v
s
in.
9
.
495
s
ft
6
.
43
s
in.
4
.
523
B
D
D
v
v
s
rad
0
.
62
in.
8
s
in.
9
.
495
l
v
l
v
B
D
BD
BD
B
D
s
ft
6
.
43
D
P v
v
k
BD
s
rad
0
.
62
22. Centro instantáneo de rotación en el
movimiento plano
15 - 22
• El movimiento plano de todas las partículas en una placa siempre
puede reemplazarse por la traslación de un punto arbitrario A y
una rotación alrededor de A con una velocidad angular que es
independiente de la elección de A.
• Las mismas velocidades de traslación y rotación en A se obtienen
al permitir que la placa gire con la misma velocidad angular
respecto al punto C sobre una perpendicular a la velocidad en A.
• La velocidad de todas las demás partículas en la placa es la misma
que se definió originalmente, puesto que la velocidad angular y la
velocidad de traslación en A son equivalentes.
• En lo referente a las velocidades, la placa parece girar alrededor
del centro instantáneo de rotación C.
23. Centro instantáneo de rotación en el
movimiento plano
15 - 23
• Si se conoce la velocidad en los puntos A y B, el centro
instantáneo de rotación se encuentra en la intersección
perpendicular a los vectores de velocidad a través de A y B.
• Si los vectores de velocidad en A y B son perpendiculares a la
línea AB, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la
intersección de la línea AB con la línea que une los extremos de
los vectores de velocidad en A y B.
• Si los vectores de velocidad son paralelos, el centro instantáneo
de rotación es infinito y la velocidad angular es cero.
• Si las magnitudes de velocidad son iguales, el centro instantáneo
de rotación es infinito y la velocidad angular es cero.
24. Centro instantáneo de rotación en el
movimiento plano
15 - 24
• El centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de las
perpendiculares a los vectores de velocidad a través de A y B.
cos
l
v
AC
v A
A
tan
cos
sen
A
A
B
v
l
v
l
BC
v
• Las velocidades de todas las partículas en la varilla se comportan
como si fueran a girar alrededor de C.
• La partícula en el centro de rotación tiene velocidad cero.
• La partícula que coincide con el centro de rotación cambia con el
tiempo y la aceleración de la partícula en el centro instantáneo de
rotación no es cero.
• La aceleración de las partículas en la placa no puede determinarse si
ésta simplemente gira alrededor de C.
• El trazo del sitio del centro de rotación en el cuerpo es el centroide
cuerpo, y en el espacio es el espacio centroide.
25. Problema resuelto 15.4
15 - 25
Un engrane doble rueda sobre una
cremallera estacionaria inferior; la
velocidad de su centro es 1.2 m/s.
Determinar a) la velocidad angular del
engrane, y b) las velocidades de la
cremallera superior R y del punto D del
engrane.
SOLUCIÓN:
• El punto C está en contacto con la cremallera
estacionaria inferior y, al instante, tiene una
velocidad cero. Debe ser la ubicación del centro
instantáneo de rotación.
• Determine la velocidad angular respecto a C con
base en la velocidad dada en A.
• Evalúe las velocidades en B y D con base en su
rotación alrededor de C.
26. Problema resuelto 15.4
15 - 26
SOLUCIÓN:
• El punto C está en contacto con la cremallera estacionaria
inferior y, al instante, tiene una velocidad cero. Debe ser la
ubicación del centro instantáneo de rotación.
• Determine la velocidad angular respecto a C con base en la
velocidad dada en A.
s
rad
8
m
0.15
s
m
2
.
1
A
A
A
A
r
v
r
v
• Evaluar las velocidades en B y D con base en su rotación
alrededor de C.
s
rad
8
m
25
.
0
B
B
R r
v
v
i
vR
s
m
2
s
rad
8
m
2121
.
0
m
2121
.
0
2
m
15
.
0
D
D
D
r
v
r
s
m
2
.
1
2
.
1
s
m
697
.
1
j
i
v
v
D
D
27. Problema resuelto 15.5
15 - 27
La manivela AB tiene una velocidad angular
constante en el sentido de las manecillas del
reloj de 2000 rpm.
Para la posición indicada de la manivela,
determine a) la velocidad angular de la biela
BD, y b) la velocidad del pistón P.
SOLUCIÓN:
• Determinar la velocidad en B de los datos de la
rotación de la manivela.
• La dirección de los vectores de velocidad en B
y D son conocidos. El centro instantáneo de
rotación está en la intersección de las
perpendiculares a las velocidades a través de B
y D.
• Determinar la velocidad angular respecto al
centro de rotación basado en la velocidad en B.
• Calcular la velocidad en D con base en su
rotación alrededor del centro instantáneo de
rotación.
28. Problema resuelto 15.5
15 - 28
SOLUCIÓN:
• Del problema resuelto 15.3,
95
.
13
s
in.
3
.
628
s
in.
3
.
481
9
.
403
B
B v
j
i
v
• El centro instantáneo de rotación está en la intersección de
las perpendiculares a las velocidades a través de B y D.
05
.
76
90
95
.
53
40
D
B
sen50
in.
8
95
.
53
sen
05
.
76
sen
CD
BC
in.
44
.
8
in.
14
.
10
CD
BC
• Determine la velocidad angular respecto al centro de
rotación basado en la velocidad en B.
in.
10.14
s
in.
3
.
628
BC
v
BC
v
B
BD
BD
B
• Calcular la velocidad en D en función de su rotación
alrededor del centro instantáneo de rotación.
s
rad
0
.
62
in.
44
.
8
BD
D CD
v
s
ft
6
.
43
s
in.
523
D
P v
v
s
rad
0
.
62
BD
29. Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
15 - 29
• Aceleración absoluta de una partícula de la placa,
A
B
A
B a
a
a
• La aceleración relativa asociada con la rotación alrededor de A incluye
componentes tangencial y normal,
A
B
a
A
B
n
A
B
A
B
t
A
B
r
a
r
k
a
2
2
r
a
r
a
n
A
B
t
A
B
30. Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
15 - 30
• Dados
determinar
,
y A
A v
a
.
y
B
a
t
A
B
n
A
B
A
A
B
A
B
a
a
a
a
a
a
• El vector resultante depende del sentido de y de las
magnitudes relativas de n
A
B
A a
a y
A
a
• Debe conocer también la velocidad .
31. Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano
15 - 31
componentes x:
cos
sen
0 2
l
l
aA
componentes y:
sen
cos
2
l
l
aB
• Resolver para aB y .
• Escribir en términos de las dos ecuaciones de componentes,
A
B
A
B a
a
a
32. Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro
15 - 32
• En algunos casos esto es ventajoso para determinar la
velocidad y la aceleración absoluta de un mecanismo
directamente.
sen
l
xA
cos
l
yB
cos
cos
l
l
x
v A
A
sen
sen
l
l
y
v B
B
cos
sen
cos
sen
2
2
l
l
l
l
x
a A
A
sen
cos
sen
cos
2
2
l
l
l
l
y
a B
B
33. Problema resuelto 15.6
15 - 33
El centro del engrane doble tiene una
velocidad y una aceleración hacia la derecha
de 1.2 m/s y 3 m/s2, respectivamente. La
cremallera inferior es estacionaria.
Determinar a) la aceleración angular del
engrane, y b) la aceleración de los puntos B,
C y D.
SOLUCIÓN:
• La expresión de la posición del engrane como
una función de se diferencia en dos ocasiones
para definir la relación entre las aceleraciones
de traslación y angular.
• La aceleración de cada punto en el engrane se
obtiene sumando la aceleración del centro del
engrane y las aceleraciones relativas con
respecto al centro. Esto último incluye los
componentes normal y tangencial de
aceleración.
34. Problema resuelto 15.6
15 - 34
SOLUCIÓN:
• La expresión de la posición del engrane como una
función de se diferencia en dos ocasiones para definir
la relación entre las aceleraciones de traslación y angular.
1
1
1
r
r
v
r
x
A
A
s
rad
8
m
0.150
s
m
2
.
1
1
r
vA
1
1 r
r
aA
m
150
.
0
s
m
3 2
1
r
aA
k
k
2
s
rad
20
35. Problema resuelto 15.6
15 - 35
j
i
i
j
j
k
i
r
r
k
a
a
a
a
a
a
a
A
B
A
B
A
n
A
B
t
A
B
A
A
B
A
B
2
2
2
2
2
2
2
s
m
40
.
6
s
m
2
s
m
3
m
100
.
0
s
rad
8
m
100
.
0
s
rad
20
s
m
3
2
2
2
s
m
12
.
8
s
m
40
.
6
m
5
B
B a
j
i
s
a
• La aceleración de cada punto
se obtiene sumando la
aceleración del centro del
engrane y las aceleraciones
relativas con respecto al
centro.
Lo anterior incluye a los
componentes de las
aceleraciones normal y
tangencial.
36. Problema resuelto 15.6
15 - 36
j
i
i
j
j
k
i
r
r
k
a
a
a
a A
C
A
C
A
A
C
A
C
2
2
2
2
2
2
2
s
m
60
.
9
s
m
3
s
m
3
m
150
.
0
s
rad
8
m
150
.
0
s
rad
20
s
m
3
j
ac
2
s
m
60
.
9
i
j
i
i
i
k
i
r
r
k
a
a
a
a A
D
A
D
A
A
D
A
D
2
2
2
2
2
2
2
s
m
60
.
9
s
m
3
s
m
3
m
150
.
0
s
rad
8
m
150
.
0
s
rad
20
s
m
3
2
2
2
s
m
95
.
12
s
m
3
m
6
.
12
D
D a
j
i
s
a
37. Problema resuelto 15.7
15 - 37
La manivela AG del mecanismo tiene una
velocidad angular constante en el sentido de
las manecillas del reloj de 2000 rpm.
Para la posición que se muestra de la
manivela, determinar la aceleración de la
biela BD y la aceleración del punto D.
SOLUCIÓN:
• La aceleración angular de la biela BD y la
aceleración del punto D se determinan a
partir de
n
B
D
t
B
D
B
B
D
B
D a
a
a
a
a
a
• La aceleración de B se determina a partir de la
velocidad de rotación dada de AB.
• Las direcciones de las aceleraciones
se determinan a partir
de la geometría.
n
B
D
t
B
D
D a
a
a
y
,
• Las ecuaciones de componentes para la
aceleración del punto D se resuelven
simultáneamente para la aceleración de D y la
aceleración angular de la biela.
38. Problema resuelto 15.7
15 - 38
• La aceleración de B se determina a partir de la velocidad de
rotación dada de AB.
SOLUCIÓN:
• La aceleración angular de la biela BD y la aceleración del
punto D se determinan a partir de
n
B
D
t
B
D
B
B
D
B
D a
a
a
a
a
a
2
2
12
3
2
AB
s
ft
962
,
10
s
rad
4
.
209
ft
0
constante
s
rad
209.4
rpm
2000
AB
B
AB
r
a
j
i
aB
40
sen
40
cos
s
ft
962
10 2
39. Problema resuelto 15.7
15 - 39
• Las direcciones de las aceleraciones se determinan a
partir de la geometría.
n
B
D
t
B
D
D a
a
a
y
,
Del problema resuelto 15.3, BD = 62.0 rad/s, = 13.95o.
2
2
12
8
2
s
ft
2563
s
rad
0
.
62
ft
BD
n
B
D BD
a
j
i
a n
B
D
95
.
13
sen
95
.
13
cos
s
ft
2563 2
BD
BD
BD
t
B
D BD
a
667
.
0
ft
12
8
La dirección de (aD/B)t es conocida, pero el sentido no se conoce,
j
i
a BD
t
B
D
05
.
76
cos
05
.
76
sen
667
.
0
i
a
a D
D
40. Problema resuelto 15.7
15 - 40
n
B
D
t
B
D
B
B
D
B
D a
a
a
a
a
a
• Las ecuaciones de componentes para la aceleración del punto D se
resuelven simultáneamente.
componentes x:
95
.
13
sen
667
.
0
95
.
13
cos
2563
40
cos
962
10 BD
D
a
95
.
13
cos
667
.
0
95
.
13
sen
2563
40
sen
962
10
0 BD
componentes y:
i
a
k
D
BD
2
2
s
ft
9290
s
rad
9940
41. Problema resuelto 15.8
15 - 41
En la posición mostrada, la manivela AB tiene
una velocidad angular constante de 1 = 20
rad/s en sentido contrario al de las manecillas
del reloj.
Determinar las velocidades angulares y las
aceleraciones angulares de la barra acopladora
BD y de la manivela DE.
SOLUCIÓN:
• Las velocidades angulares son determinadas
resolviendo simultáneamente las ecuaciones
componentes para
B
D
B
D v
v
v
• Las aceleraciones angulares son determinadas
resolviendo simultáneamente las ecuaciones
componentes para
B
D
B
D a
a
a
42. Problema resuelto 15.8
15 - 42
SOLUCIÓN:
• Las velocidades angulares son determinadas resolviendo
simultáneamente las ecuaciones componentes para
B
D
B
D v
v
v
j
i
j
i
k
r
v
DE
DE
DE
D
DE
D
17
17
17
17
j
i
j
i
k
r
v B
AB
B
160
280
14
8
20
j
i
j
i
k
r
v
BD
BD
BD
B
D
BD
B
D
12
3
3
12
BD
DE
3
280
17
componentes x:
BD
DE
12
160
17
componentes y:
k
k DE
BD
s
rad
29
.
11
s
rad
33
.
29
43. Problema resuelto 15.8
15 - 43
• Las aceleraciones angulares son determinadas resolviendo
simultáneamente las ecuaciones componentes para
B
D
B
D a
a
a
j
i
j
i
j
i
j
i
k
r
r
a
DE
DE
DE
D
DE
D
DE
D
2170
2170
17
17
17
17
29
.
11
17
17 2
2
j
i
j
i
r
r
a B
AB
B
AB
B
5600
3200
14
8
20
0 2
2
j
i
j
i
j
i
j
i
k
r
r
a
D
B
D
B
D
B
D
B
BD
D
B
BD
B
D
2580
320
,
10
12
3
3
12
33
.
29
3
12 2
2
componentes x: 690
,
15
3
17
BD
DE
componentes y: 6010
12
17
BD
DE
k
k DE
BD
2
2
s
rad
809
s
rad
645
44. Razón de cambio con respecto a un sistema de referencia en rotación
15 - 44
• El sistema de referencia OXYZ
es fijo.
• El sistema de referencia Oxyz
gira alrededor del eje fijo OA
con velocidad angular
• La función vectorial varía
en dirección y magnitud.
t
Q
k
Q
j
Q
i
Q
Q z
y
x
Oxyz
• Respecto al sistema de referencia OXYZ,
k
Q
j
Q
i
Q
k
Q
j
Q
i
Q
Q z
y
x
z
y
x
OXYZ
• razón de cambio con
respecto al sistema de referencia rotatorio.
Oxyz
z
y
x Q
k
Q
j
Q
i
Q
• Sí está fijado en Oxyz, entonces es
equivalente a la velocidad de un punto en un cuerpo
rígido adjunto a Oxyz y
OXYZ
Q
Q
k
Q
j
Q
i
Q z
y
x
Q
• Respecto al sistema de referencia rotatorio Oxyz,
k
Q
j
Q
i
Q
Q z
y
x
• Respecto al sistema de referencia OXYZ,
Q
Q
Q Oxyz
OXYZ
45. Aceleración de Coriolis
15 - 45
• El sistema de referencia OXY es fijo y el sistema de referencia
rotatorio Oxy gira con velocidad angular .
• El vector de posición para la partícula P es el mismo en
ambos sistemas de referencia, pero la razón de cambio depende
de la elección del sistema de referencia.
P
r
• La velocidad absoluta de la partícula P es
Oxy
OXY
P r
r
r
v
• Imagine una placa rígida junto al sistema de referencia rotatorio
Oxy, o F para abreviar. Sea P’ un punto sobre la placa que
corresponde de manera instantánea a la posición de la partícula
P.
Oxy
P r
v
F velocidad de P a lo largo de su trayectoria
en la placa
'
P
v
velocidad absoluta del punto P’ sobre la placa
• La velocidad absoluta de la partícula P puede escribirse como
F
P
P
P v
v
v
46. Aceleración de Coriolis
15 - 46
F
P
P
Oxy
P
v
v
r
r
v
• La aceleración absoluta de la partícula P es
Oxy
OXY
P r
dt
d
r
r
a
Oxy
Oxy
P r
r
r
r
a
2
Oxy
Oxy
Oxy
Oxy
OXY
r
r
r
dt
d
r
r
r
pero
Oxy
P
P
r
a
r
r
a
F
• Utilizando el punto conceptual P’ sobre la placa,
• La aceleración absoluta para la partícula P se convierte en
2
2
2
F
F
F
P
Oxy
c
c
P
P
Oxy
P
P
P
v
r
a
a
a
a
r
a
a
a
aceleración de Coriolis
47. Aceleración de Coriolis
15 - 47
• Considerar un collar P hecho para deslizarse a una velocidad
relativa constante u a lo largo de la varilla OB. La varilla gira a
una velocidad angular constante . El punto A sobre la varilla
corresponde a la posición instantánea de P.
c
P
A
P a
a
a
a
F
• La aceleración absoluta del collarín es
0
Oxy
P r
a
F
u
a
v
a c
P
c
2
2
F
• La aceleración absoluta consiste en los vectores radial y
tangencial mostrados.
2
r
a
r
r
a A
A
donde
48. Aceleración de Coriolis
15 - 48
u
v
v
t
t
u
v
v
t
A
A
,
at
,
at
• El cambio de la velocidad superior a t está representado
por la suma de tres vectores
T
T
T
T
R
R
v
2
r
a
r
r
a A
A
recordando,
• se debe al cambio en la dirección de la velocidad del
punto A en la varilla,
A
A
t
t
a
r
r
t
v
t
T
T
2
0
0
lím
lím
T
T
• se derivan de los efectos combinados del
movimiento relativo de P y la rotación de la varilla
T
T
R
R
y
u
u
u
t
r
t
u
t
T
T
t
R
R
t
t
2
lím
lím
0
0
u
a
v
a c
P
c
2
2
F
recordando,
49. Problema resuelto 15.9
15 - 49
El disco D del mecanismo de Ginebra gira con
una velocidad angular constante de D = 10
rad/s en sentido contrario al de las manecillas
del reloj.
En el instante en que = 150o, determinar a)
la velocidad angular del disco S, y b) la
velocidad del pasador P relativa al disco S.
SOLUCIÓN:
• La velocidad absoluta del punto P puede
escribirse como
s
P
P
P v
v
v
• La magnitud y la dirección de la velocidad de
del pasador P se calculan a partir de la
velocidad angular y del radio del disco D.
P
v
• La dirección de la velocidad del punto P’
en donde S coincide con P es perpendicular al
radio OP.
P
v
• La dirección de la velocidad de P con
respecto a S es paralela a la ranura.
s
P
v
• Resolver el triángulo vectorial de la velocidad
angular de S y velocidad relativa de P.
50. Problema resuelto 15.9
15 - 50
SOLUCIÓN:
• La velocidad absoluta del punto P puede escribirse como
s
P
P
P v
v
v
• La magnitud y la dirección de la velocidad absoluta del pasador P se
calculan a partir de la velocidad angular y del radio del disco D.
s
mm
500
s
rad
10
mm
50
D
P R
v
• La dirección de la velocidad de P con respecto a S es paralela a la
ranura. De la ley de los cosenos,
mm
1
.
37
551
.
0
30
cos
2 2
2
2
2
r
R
Rl
l
R
r
De la ley de los cosenos,
4
.
42
742
.
0
30
sen
sen
30
sen
R
sen
r
6
.
17
30
4
.
42
90
El ángulo interior del triángulo vectorial es
51. Problema resuelto 15.9
15 - 51
• La dirección de la velocidad del punto P’ en donde S coincide con P
es perpendicular al radio OP. De la velocidad triangular,
mm
1
.
37
s
mm
2
.
151
s
mm
2
.
151
6
.
17
sen
s
mm
500
sen
s
s
P
P
r
v
v
k
s
s
rad
08
.
4
6
.
17
cos
s
m
500
cos
P
s
P v
v
j
i
v s
P
4
.
42
sin
4
.
42
cos
s
m
477
s
mm
500
P
v
52. Problema resuelto 15.10
15 - 52
En el mecanismo de Ginebra, el disco D
gira con una velocidad angular constante
de 10 rad/s en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. En el instante en que
j = 150o, determinar la aceleración
angular del disco S.
SOLUCIÓN:
• La aceleración absoluta del pasador P puede
expresarse como
c
s
P
P
P a
a
a
a
• La velocidad angular instantánea del disco S se
determinó como en el problema resuelto 15.9.
• La única incógnita involucrada en la ecuación de la
aceleración es la aceleración angular instantánea
del disco S.
• Resolver cada término de aceleración en la
componente paralela a la ranura. Determinar la
aceleración angular del disco S.
53. Problema resuelto 15.10
15 - 53
SOLUCIÓN:
• La aceleración absoluta del pasador P puede expresarse
como
c
s
P
P
P a
a
a
a
• Del problema resuelto 15.9,
j
i
v
k
s
P
S
4
.
42
sen
4
.
42
cos
s
mm
477
s
rad
08
.
4
4
.
42
• Considerando cada término de la ecuación de la
aceleración,
j
i
a
R
a
P
D
P
30
sen
30
cos
s
mm
5000
s
mm
5000
s
rad
10
mm
500
2
2
2
2
j
i
a
j
i
r
a
j
i
r
a
a
a
a
S
t
P
S
t
P
S
n
P
t
P
n
P
P
4
.
42
cos
4
.
42
sen
mm
1
.
37
4
.
42
cos
4
.
42
sen
4
.
42
sen
4
.
42
cos
2
nota: S puede ser positivo o negativo
54. Problema resuelto 15.10
15 - 54
• La aceleración relativa debe ser paralela a la ranura.
s
P
a
s
P
v
• La dirección de la aceleración de Coriolis se obtiene girando
la dirección de la velocidad relativa de 90° en el sentido
S.
j
i
j
i
j
i
v
a s
P
S
c
4
.
42
cos
4
.
42
sen
s
mm
3890
4
.
42
cos
4
.
42
sen
s
mm
477
s
rad
08
.
4
2
4
.
42
cos
4
.
42
sen
2
2
• Equiparando los componentes de los términos de aceleración
perpendicular a la ranura,
s
rad
233
0
7
.
17
cos
5000
3890
1
.
37
S
S
k
S
s
rad
233
55. Movimiento alrededor de un punto fijo
15 - 55
• El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un
punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo alrededor
de un eje que pasa por O.
• Con el eje instantáneo de rotación y velocidad angular la
velocidad de una partícula P del cuerpo es
,
r
dt
r
d
v
y la aceleración de la partícula P es
.
dt
d
r
r
a
• Las velocidades angulares tienen magnitud y dirección y
obedecen la ley del paralelogramo de adición. Son vectores.
• A medida que el vector se desplaza en el cuerpo y en el
espacio, genera un cuerpo y un espacio cónicos que son
tangentes a lo largo del eje instantáneo de rotación.
• La aceleración angular representa la velocidad de la punta de
.
56. Movimiento general
15 - 56
• Para las partículas A y B de un cuerpo rígido,
A
B
A
B v
v
v
• La partícula A está fija dentro del cuerpo, y el movimiento
de éste en relación con AX’Y’Z’ es el movimiento de un
cuerpo con un punto fijo
A
B
A
B r
v
v
• De manera similar, la aceleración de la partícula P es
A
B
A
B
A
A
B
A
B
r
r
a
a
a
a
• La mayor parte del movimiento general de un cuerpo rígido es equivalente a:
- una traslación en la que todas las partículas tienen la misma velocidad y la
aceleración de una partícula de referencia A, y
- a un movimiento en el que la partícula A se supone fija.
57. Problema resuelto 15.11
15 - 57
La grúa gira con una velocidad angular
constante 1 = 0.30 rad/s, y la pluma se eleva
con una velocidad angular constante 2 =
0.50 rad/s. La longitud de la pluma es l = 12
m.
Determinar:
• la velocidad angular de la pluma,
• la aceleración angular de la pluma,
• la velocidad de la punta de la pluma,
• la aceleración de la punta de la pluma.
• Aceleración angular de la pluma,
2
1
2
2
2
2
1
Oxyz
• Velocidad de la punta de la pluma,
r
v
• Aceleración de la punta de la pluma,
v
r
r
r
a
SOLUCIÓN:
Con
• Velocidad angular de la pluma,
2
1
j
i
j
i
r
k
j
6
39
.
10
30
sen
30
cos
12
50
.
0
30
.
0 2
1
58. Problema resuelto 15.11
15 - 58
j
i
r
k
j
6
39
.
10
50
.
0
30
.
0 2
1
SOLUCIÓN:
• Velocidad angular de la pluma,
2
1
k
j
s
rad
50
.
0
s
rad
30
.
0
• Aceleración angular de la pluma,
k
j
Oxyz
s
rad
50
.
0
s
rad
30
.
0
2
1
2
2
2
2
1
i
2
s
rad
15
.
0
• Velocidad de la punta de la pluma,
0
6
39
.
10
5
.
0
3
.
0
0
k
j
i
r
v
k
j
i
v
s
m
12
.
3
s
m
20
.
5
s
m
54
.
3
59. Problema resuelto 15.11
15 - 59
j
i
r
k
j
6
39
.
10
50
.
0
30
.
0 2
1
• Aceleración de la punta de la pluma,
k
j
i
i
k
k
j
i
k
j
i
a
v
r
r
r
a
90
.
0
50
.
1
60
.
2
94
.
0
90
.
0
12
.
3
20
.
5
3
50
.
0
30
.
0
0
0
6
39
.
10
0
0
15
.
0
k
j
i
a
2
2
2
s
m
80
.
1
s
m
50
.
1
s
m
54
.
3
60. Movimiento tridimensional. Aceleración
de Coriolis
15 - 60
• Con respecto al sistema de referencia fijo OXYZ y al sistema
de referencia rotatorio Oxyz,
Q
Q
Q Oxyz
OXYZ
• Considérese el movimiento de la partícula P respecto a un
sistema de referencia rotatorio Oxyz, o F para abreviar. La
velocidad absoluta puede expresarse como
F
P
P
Oxyz
P
v
v
r
r
v
• La aceleración absoluta puede expresarse como
Coriolis
de
n
aceleració
2
2
2
F
F
P
Oxyz
c
c
P
p
Oxyz
Oxyz
P
v
r
a
a
a
a
r
r
r
r
a
61. Sistema de referencia en movimiento
general
15 - 61
Considérese:
- el sistema de referencia fijo OXYZ,
- el sistema de referencia de traslación
AX’Y’Z’, y
- el sistema de referencia de traslación y
rotación Axyz, o F.
• Con respecto a OXYZ y AX’Y’Z’,
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
a
a
a
v
v
v
r
r
r
• La velocidad y la aceleración de P respecto a AX’Y’Z’
puede encontrarse en función de la velocidad, y la
aceleración de P respecto a Axyz.
F
P
P
Axyz
A
P
A
P
A
P
v
v
r
r
v
v
c
P
P
Axyz
A
P
Axyz
A
P
A
P
A
P
A
P
a
a
a
r
r
r
r
a
a
F
2
62. Problema resuelto 15.15
15 - 62
Para el disco montado en el brazo, las
velocidades rotatorias angulares indicadas
son constantes.
Determinar:
• la velocidad del punto P,
• la aceleración de P, y
• la velocidad angular y la aceleración
angular del disco.
SOLUCIÓN:
• Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y
un sistema de referencia en movimiento Axyz, o F,
unidos al brazo en A.
• Con P’ del sistema de referencia en movimiento
que coincide con P, la velocidad del punto P se
encuentra desde
F
P
P
P v
v
v
• La aceleración de P se encuentra desde
c
P
P
P a
a
a
a
F
• La velocidad angular y la aceleración angular
del disco son
F
F
D
63. Problema resuelto 15.15
15 - 63
SOLUCIÓN:
• Definir un sistema de referencia fijo OXYZ en O y un
sistema de referencia en movimiento Axyz, o F, unidos
al brazo en A.
j
j
R
i
L
r
1
k
j
R
r
D
A
P
2
F
• Con P’ del sistema de referencia en movimiento que
coincide con P, la velocidad del punto P se encuentra
desde
i
R
j
R
k
r
v
k
L
j
R
i
L
j
r
v
v
v
v
A
P
D
P
P
P
P
P
2
2
1
1
F
F
F
k
L
i
R
vP
1
2
64. Problema resuelto 15.15
15 - 64
• La aceleración de P se encuentra desde
c
P
P
P a
a
a
a
F
i
L
k
L
j
r
aP
2
1
1
1
j
R
i
R
k
r
a A
P
D
D
P
2
2
2
2
F
F
F
k
R
i
R
j
v
a P
c
2
1
2
1 2
2
2
F
k
R
j
R
i
L
aP
2
1
2
2
2
1 2
• Velocidad angular y aceleración del disco,
F
D
k
j
2
1
k
j
j
2
1
1
F
i
2
1
