1. Unidad II
Distribuciones de probabilidad

2.  Lasmás simples de todas las distribuciones
de probabilidad discreta es donde la variable
aleatoria toma cada uno de los valores con
una probabilidad idéntica.
 Taldistribución de probabilidad se denomina
distribución uniforme discreta

3.  Si la variable aleatoria X toma valores x1, x2,
x3, …, xk, con idénticas probabilidades,
entonces la distribución uniforme discreta
está dada por
1
f x; k , x x1 , x 2 , x 3 ,..., x k
k

4.  Ejemplo
 Cuando se selecciona un foco al azar de una caja
que contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno
de 75 y uno de 100, cada elemento del espacio
muestral S= {40, 60, 75, 100} ocurre con una
probabilidad de 1/4 . Por lo tanto tenemos una
distribución uniforme con
1
f x;4 , x 40 , 60 , 75 , 100
4

5.  Ejemplo
 Cuando se lanza un dado, cada elemento de
espacio muestral S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ocurre con
una probabilidad 1/6. por lo tanto tenemos una
distribución uniforme con
1
f x ;4 , x 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6
6

6.  La media y varianza de la distribución
uniforme discreta f(x;k) son
k k
2
xi xi
i 1 2 i 1
y
k k

8.  Estadistribución fue elaborada por Jacobo
Bernoulli y es aplicable a un gran número de
problemas de carácter económico y en
numerosas aplicaciones como:
 Juegos de azar.
 Control de calidad de un producto.
 En educación.
 En las finanzas.

9.  Ladistribución binomial posee las siguientes
propiedades esenciales:
1. El espacio muestral contiene n ensayos
idénticos.
2. Las observaciones posibles se pueden obtener
mediante dos diferentes métodos de muestreo.
Se puede considerar que cada observación se
ha seleccionado de una población infinita sin
reposición o de una población finita con
reposición.

10.  Ladistribución binomial posee las siguientes
propiedades esenciales:
3. Cada observación se puede clasificar en una de dos
categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las
cuales son mutuamente excluyentes es decir E E' = 0.
4. Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en
un ensayo se mantienen constantes, durante los n
ensayos.
5. El resultado de cualquier observación es independiente
del resultado de cualquier otra observación.

11.  Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado
un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad
q=1-p. Entonces la distribución de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X. el numero de exitos en n
pruebas independientes es
n x n-x
b x; n, p p q , x 1, 2 , 3 ,..., n .
x
n! x n-x
b x; n, p p q , x 1, 2 , 3 ,..., n .
n x ! x!

12.  La media y la varianza de la distribución binomial son:
2
np y npq

13.  Ejemplo
 La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a
una prueba de choque dada es de ¾ . Encuentre la probabilidad de
que sobrevivan exactamente dos de los siguientes cuatro
componentes que se prueben
3
4 3 2 1 2
b 2;4 , 4 4 4
2
3
4! 3 2 1 2 27
b 2;4 , 4 4 4 128
2!2!

14.  Ejemplo
 La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad
sanguinea es de 0.4. si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad. ¿Cuál
es la probabilidad de que (a) sobrevivan al menos 10, (b) sobrevivan de 3 a 8 y
(c) sobrevivan exactamente 5?

17.  Si una prueba dada puede conducir a los k
resultados E1, E2, E3, …, Ek con
probabilidades p1, p2, p3, …, pk , entonces la
probabilidad de las variables aleatorias X1,
X2, X3, …, Xk, que representan el número de
ocurrencias para E1, E2, E3, …, Ek en n
pruebas independientes es
n x x x
f x1 , x 2 , .... , x k ; p1 , p 2 , .... , p k , n p1 1 p 2 2 ... p k k
x1 , x 2 , .... , x k
n! x x x
f x1 , x 2 , .... , x k ; p1 , p 2 , .... , p k , n p1 1 p 2 2 ... p k k
x1 ! x 2 !...... x k !

18.  Ejemplo
 Calcular la probabilidad de obtener dos veces
el número 4, dos veces el número 5 y una vez
el número 2, en el lanzamiento de un
dado 5 veces.
1 1 1
5! 1 2 1 2 1 1
f 2 , 2 ,1; , , ,5
6 6 6 6 6 6
0 . 00385
2! 2! 1!

21. k! N k !
.
k x ! x! N k n x ! n x!
h x; N , n, k , x 1, 2 , 3 ,..., n .
N!
N n ! n!

22. nk
media :
N
2 N n k k
var ianza : n 1
N 1 N N

23.  Ejemplo
 Considerando que en la urna hay un total de 10
objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de
seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que 2 sean defectuosos?

24.  Ejemplo
 Para evitar que lo descubran en la aduana, un
viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en
una botella que contiene 9 píldoras de
vitamina que son similares en apariencia. Si el
oficial de la aduana selecciona 3 tabletas
aleatoriamente para analizarlas,
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea
arrestado por posesión de narcóticos?
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado
por posesión de narcóticos?.

25.  Ejemplo

26.  Ejemplo
 De un lote de 10 proyectiles, 4 se
seleccionan al azar y se disparan. Si el lote
contiene 3 proyectiles defectuosos que no
explotarán, ¿cuál es la probabilidad de
que…
 a) los 4 exploten?
 b) al menos 2 no exploten?

29.  Consideremos un experimento donde las
propiedades son las mismas que las que se
indican par un experimento binomial, con la
excepción de que las pruebas se repetiran
hasta que ocurra un número fijo de éxitos.

30.  Si pruebas independientes repetidas pueden
tener como resultado un éxito con
probabilidad p y un fracaso con probabilidad
q=1-p, entonces la distribución de
probabilidad de la variables aleatoria x, el
número de la prueba en que ocurre el k-
ésimo éxito, es
*
x 1 k x k
b x; k , p p q , x k,k 1, k 2 ....
k 1

31.  Si pruebas independientes repetidas pueden
tener como resultado un éxito con
probabilidad p y un fracaso con probabilidad
q=1-p, entonces la distribución de
probabilidad de la variables aleatoria x, el
número de la prueba en que ocurre el primer
éxito, es
1
media :
x 1 p
g x; p pq , x 1, 2, 3, ....
2 1 p
var ianza : 2
p

32.  Sesabe que en cierto proceso de fabricación,
en promedio, uno de cada 100 artículos está
defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que
el quinto articulo que se inspecciona sea el
primer defectuoso que se encuentra?

33.  Ladistribución de probabilidad de la variable
aleatoria de Poisson X, que representa el
número de resultados que ocurren en un
intervalo dado o región especifica que se
denota con t, es
t x
e t
p x; t , x 0 , 1, 2 , ....
x!
 Donde es el número promedio de
resultados por unidad de tiempo o región y
e=2.71828
media , var ianza : t