Este documento describe varios modelos de probabilidad, incluyendo la distribución binomial, la distribución de Bernoulli, la distribución de Poisson y la distribución multinomial. Explica las fórmulas y parámetros clave de cada modelo, así como ejemplos numéricos de cómo calcular probabilidades usando estos modelos.

1. MODELOS PROBABILIDAD
Sandra M. Pachón Peralta
Lic. UPN

2. PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DISTRIBUCIÓN DE
BERNOULLI
Es una distribución de probabilidad
discreta, y que toma un valor de 1, para la
probabilidad de éxito p y 0 para la
probabilidad de fracaso q=1-p
Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y
se realiza un único experimento con dos posibles
resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable
aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro p
Están representados por
B(n, p) experimento binomial con n
ensayos y una probabilidad p de
éxito.

3. Formula general para modelo de Bernoulli
Número combinatorio
donde:
n, número de pruebas
k, número de éxitos
p, probabilidad de éxitos
q, probabilidad de fracaso
Ejm:
Se lanza una moneda 6 veces; sea el
resultado cara un éxito. Este es un
experimento binomial con n=6 y p=q=1/2.
Encuentre la probabilidad de que ocurran
exactamente dos caras.
P(2)= 6 1 ² 1 ⁴ =
2 2 2
6 = 6x5 = 30 = 15
2 2 2
15 1 ² 1 ⁴ = 15 = 0.23
2 8 64
n=6, k=2, n-k=4,
p=q=1/2

4. Distribución binomial
Media o número esperado de éxitos µ = np
Varianza σ² = npq
µ = 6 x 1 = 6 = 3
2 2
σ² = 6 x 1 x 1 = 6 = 1.5
2 2 4
σ=
𝟔
𝟒
n=6, k=2, n-k=4, p=q=1/2

5. • La probabilidad de que Ana logre un objetivo
en cualquier momento es p = 1/3; de donde ella
pierde con probabilidad q= 1-p. Suponga que
ella dispara al objetivo 7 veces. Este es un
experimento binomial con n=7 y p = 1/3.
Encuentre la probabilidad de que ella alcance
el objetivo exactamente 3 veces.
• Hallar σ, σ² y µ

6. MODELO DE POISSON
Esta representada por POI(λ), aparece en muchos
fenómenos naturales, como el número de llamadas
telefónicas por minuto, el número de errores de
impresión por pagina o el número de partículas emitidas
por una sustancia radioactiva.
Proporciona una
buena aproximación
a la distribución
binomial para un k
pequeño.
P(K) = f(K;λ) = λ 𝑘 𝑒−λ
k!
Donde:
λ = np
n, número de pruebas
k, número de éxitos
p, probabilidad de éxitos

7. λ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
𝑒−𝜆 1,00 0,90
5
0,819 0,741 0,670 0,607 0,549 0,497 0,449 0,407
λ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑒−𝜆 0,386 0,135 0,049 0,018 0,0067 0,0024 0,00091 0,00033 0,00012 0,00004
VALORES DE 𝒆−𝑲

8. Supongamos que el 2% de los artículos producidos por una
fabrica están defectuosos. Encuentre la probabilidad P de que
haya tres artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos.
n = 100
P = 0,2
λ = 2
P(K) = f(3;2) = λ3
𝑒−2
3!
0,180 = 18%

9. MODELO MULTINOMIAL
En n ensayos repetidos la probabilidad de que A1
ocurra K1 veces, A2 ocurra K2 veces, A3 ocurra K3
veces….
p= n! 𝑝1 𝑘1 𝑝2 𝑘2 𝑝3 𝑘3… 𝑝𝑠 𝑘𝑠
k1!k2!k3!... Ks!

10. Se lanza un dado 8 veces. Encuentre la
probabilidad P de obtener 5 y 6 exactamente
dos veces y los demás números exactamente una
vez.
.
p= n! 𝑝1 𝑘1
𝑝2 𝑘2
𝑝3 𝑘3
… 𝑝𝑠 𝑘𝑠
k1!k2!k3!... Ks!
p= 8! 1 ² 1 ² 1 1 1 1
2! 2! 1! 1! 1! 1! 6 6 6 6 6 6