El documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de sustitución, el método de reducción y el método gráfico. Explica los pasos de cada método y aplica cada uno para resolver un ejemplo numérico. También presenta la solución de dos problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

1. SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
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2. Método de Sustitución
 Procedimiento:
 1. Ordena alfabéticamente y coloca un número a las
ecuaciones.
 2. Despeja una de las incógnitas en una de las
ecuaciones.
 3. El valor despejado de la incógnita se sustituye en la
otra ecuación.
 4. Simplificamos términos semejantes, resolvemos
operaciones y despejamos el valor de la incógnita en la
que se expresa la ecuación.
 5. Se sustituye el valor de la incógnita conocida en
cualquiera de las dos ecuaciones dadas y se obtiene el
valor de la otra incógnita.
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3. Método de Sustitución

9𝑥 + 7𝑦 = −4
11𝑥 − 13𝑦 = −48
 Despejamos una de las incógnitas y sustituimos en la
otra ecuación.

𝒙 =
−𝟒−𝟕𝒚
𝟗
𝟏𝟏(
−𝟒−𝟕𝒚
𝟗
) − 𝟏𝟑𝒚 = −𝟒𝟖
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4. Multiplicamos por 9 para quitar el
denominador.
𝟏𝟏(
−𝟒 − 𝟕𝒚
𝟗
) − 𝟏𝟑𝒚 = −𝟒𝟖
9*𝟏𝟏(
−𝟒−𝟕𝒚
𝟗
) − (𝟗)(𝟏𝟑𝒚) = (𝟗)(−𝟒𝟖)
𝟏𝟏(−𝟒 − 𝟕𝒚) − 𝟏𝟏𝟕𝒚 = −𝟒𝟑𝟐
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5. 𝟏𝟏(−𝟒 − 𝟕𝒚) − 𝟏𝟏𝟕𝒚 = −𝟒𝟑𝟐
Solucionamos paréntesis y despejamos
la incógnita y
−𝟒𝟒 − 𝟕𝟕𝒚 − 𝟏𝟏𝟕𝒚 = −𝟒𝟑𝟐
−𝟏𝟗𝟒𝒚 = −𝟒𝟑𝟐 + 𝟒𝟒
𝒚 =
−𝟒𝟑𝟐 + 𝟒𝟒
−𝟏𝟗𝟒 𝒚 = 𝟐
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6. Sustituimos el valor de y en cualquiera
de las ecuaciones iniciales.
𝟗𝒙 + 𝟕(𝟐) = −𝟒
𝟗𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟒
𝟗𝒙 + 𝟏𝟒 = −𝟒
𝒙 =
−𝟒 − 𝟏𝟒
𝟗
𝒙 = −𝟐 𝒚 = 𝟐
Soluciones del
sistema
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7. Método de Reducción
 Procedimiento:
 1. Ordena alfabéticamente y coloca un número a las
ecuaciones.
 2. Se buscan valores iguales de los coeficientes de una de las
incógnitas, a partir del m.c.m de los coeficientes, así mismo
buscar que estos valores queden con signos contrarios.
 3. Se realiza la suma algebraica de forma vertical de las
nuevas ecuaciones.
 4. Despejamos el valor de la incógnita que queda en la suma,
simplificando términos semejantes, resolvemos operaciones.
 5. Se sustituye el valor de la incógnita conocida en cualquiera
de las dos ecuaciones dadas y se obtiene el valor de la otra
incógnita.
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8. Método de Reducción

𝟗𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟒
𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟑𝒚 = −𝟒𝟖
Se buscan valores iguales de los
coeficientes de una de las
incógnitas, a partir del m.c.m de
los coeficientes, así mismo
buscar que estos valores queden
con signos contrarios.
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9. Método de Reducción
 El m.c.m. de 9 y 11 es 99, entonces multiplicamos
la ecuación (1) por 11 y la ecuación (2) por -9

(𝟏𝟏)(𝟗𝒙) + (𝟏𝟏)(𝟕𝒚) = (𝟏𝟏)(−𝟒)
(−𝟗)(𝟏𝟏𝒙) − (−𝟗)(𝟏𝟑𝒚) = (−𝟗)(−𝟒𝟖)

𝟗𝟗𝒙 + 𝟕𝟕𝒚 = −𝟒𝟒
−𝟗𝟗𝒙 + 𝟏𝟏𝟕𝒚 = 𝟒𝟑𝟐
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10. 3. Se realiza la suma algebraica de
forma vertical de las nuevas
ecuaciones.
4. Despejamos el valor de la
incógnita que queda en la suma,
simplificando términos semejantes,
resolvemos operaciones.
𝟗𝟗𝒙 + 𝟕𝟕𝒚 = −𝟒𝟒
−𝟗𝟗𝒙 + 𝟏𝟏𝟕𝒚 = 𝟒𝟑𝟐
194y=388
y=2INGRY CARINA COY CHACÓN

11. 5. Se sustituye el valor de la incógnita
conocida en cualquiera de las dos
ecuaciones dadas y se obtiene el valor
de la otra incógnita.
𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟑𝒚 = −𝟒𝟖
𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟑(𝟐) = −𝟒𝟖
𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝟔 = −𝟒𝟖
𝒙 =
−𝟒𝟖 + 𝟐𝟔
𝟏𝟏
X= -2
y=2
Solución del sistema de
ecuaciones
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12. MÉTODO GRÁFICO
Procedimiento:
1. Tabular para x=0 y y=0 para
las dos ecuaciones y graficar los
dos puntos.
2. El punto de intersección de
las dos gráficas es la solución la
pareja del plano cartesiano (x,
y).
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13. MÉTODO GRÁFICO

4𝑥 + 5𝑦 = −32 (1)
3𝑥 − 5𝑦 = 11 (2)
 1. Tabular para x=0 y y=0 para las dos ecuaciones
y graficar los dos puntos.
 4𝑥 + 5𝑦 = −32
 Si x=0 y =
−32
5
= −6,4 Tenemos el punto (0,−
32
5
)
 Si y=0 x= -8 Tenemos el punto (-8,0) con
dos puntos tenemos la gráfica de la primera ecuación.
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14. MÉTODO GRÁFICO
𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟏𝟏
Si x=0 y = −
𝟏𝟏
𝟓
= −𝟐, 𝟐
Tenemos el punto (0,−
𝟏𝟏
𝟓
)
Si y=0 x=
𝟏𝟏
𝟑
= 𝟑, 𝟔𝟕 Tenemos el
punto (
𝟏𝟏
𝟑
, 𝟎)
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15. MÉTODO GRÁFICO
2. El punto de intersección de las dos gráficas es la
solución la pareja del plano cartesiano (x, y).
Luego el punto solución es (-3,-4).
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16. SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Calcular el número de alumnas y
de alumnos que hay en el aula si el
total de aprobados es 26 en
gimnasia y 26 en historia.
En un aula, la
asignatura de
gimnasia la han
aprobado el 62,5%
de las alumnas y el
80% de los alumnos,
mientras que la
asignatura de
historia la han
aprobado 87,5% de
las alumnas y el
60% de los alumnos:
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17. Solución:
 Si x es el número de alumnas e y el de
alumnos, los porcentajes son:
𝟔𝟐, 𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟓𝒙
𝟖𝟎% 𝒅𝒆 𝒚 = 𝟎, 𝟖𝒚
𝟖𝟕, 𝟓% 𝒅𝒆 𝒙 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓𝒙
𝟔𝟎% 𝒅𝒆 𝒚 = 𝟎, 𝟔𝒚
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18. Solución:
 Obtenemos una ecuación por cada
columna:

𝟎, 𝟔𝟐𝟓𝒙 + 𝟎, 𝟖𝒚 = 𝟐𝟔
𝟎, 𝟖𝟕𝟓𝒙 + 𝟎, 𝟔𝒚 = 𝟐𝟔
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19. Resolvemos por Reducción
Podemos
multiplicar
por 1000
cada uno de
los términos
de las dos
ecuaciones
para no
trabajar con
decimales
Entonces las
dos ecuaciones
quedan

𝟔𝟐𝟓𝒙 + 𝟖𝟎𝟎𝒚 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟖𝟕𝟓𝒙 + 𝟔𝟎𝟎𝒚 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
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20. Hallamos el M.C.M

𝟔𝟐𝟓𝒙 + 𝟖𝟎𝟎𝒚 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟖𝟕𝟓𝒙 + 𝟔𝟎𝟎𝒚 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
 El m.c.m de 800 y
600 es 2400, por
tanto multiplicamos
la ecuación (1) por 3
y la ecuación (2) por
-4, para lograr que
en la suma se
cancele la incógnita
y

𝟏𝟖𝟕𝟓𝒙 + 𝟐𝟒𝟎𝟎𝒚 = 𝟕𝟖𝟎𝟎𝟎
−𝟑𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟐𝟒𝟎𝟎𝒚 = −𝟏𝟎𝟒𝟎𝟎𝟎
-1625x + 0 =-26000
𝒙 =
−𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
−𝟏𝟔𝟐𝟓
𝒙 = 𝟏𝟔
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21. Reemplazando el valor de x en
cualquiera de las ecuaciones
𝟔𝟐𝟓𝒙 + 𝟖𝟎𝟎𝒚 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒙 = 𝟏𝟔
𝟔𝟐𝟓 𝟏𝟔 + 𝟖𝟎𝟎𝒚 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟖𝟎𝟎𝒚 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎
y =
𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟖𝟎𝟎
y=20
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22. X=16 y= 20
Luego entonces hay 16
alumnas y 20 alumnos en
el aula
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23. Problema 2
Alberto y su padre se llevan
25 años de edad. Calcular la
edad de Alberto sabiendo que
dentro de 15 años la edad de
su padre será el doble que la
suya.
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24. Solución por Método de Sustitución
x = Edad de Alberto
y = Edad del Padre

𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝒚
𝟐 𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝒚 + 𝟏𝟓

𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝒚
𝟐𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝒚 + 𝟏𝟓
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25. 𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝒚
𝟐𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝒚 + 𝟏𝟓
Sustituimos el valor de
y en la segunda
ecuación
2x +30 = x+ 25 +15
Desarrollamos términos
semejantes y
despejamos el valor de x
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26. Hallamos la incógnita x, es decir
la edad de Alberto
2x – x =- 30+ 25 +15
x =
𝟏𝟎
𝟐
X =5 La edad de Alberto
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27. Hallamos la edad del padre, es
decir y
𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝒚
5 +𝟐𝟓 = 𝐲
y = 30 Edad del Padre
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