Algebra linealsoniay rafael

APROXIMACIÓN
AL
ÁLGEBRA LINEAL:
un enfoque geométrico

Rafael ISAACS, Sonia SABOGAL
APROXIMACIÓN
AL
ÁLGEBRA LINEAL:
un enfoque geométrico
Bucaramanga, 2009

A nuestros hijos,
el mio, el tuyo
y la nuestra.

Contenido
Presentación iii
1. Algo sobre inducción matemática y números complejos 1
1.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Demostraciones por inducción matemática . . . . . . . . 4
1.3. Deﬁniciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Sumatoria y productoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Combinatoria y teorema del binomio . . . . . . . . . . . 19
1.6. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1. Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7. Algo sobre dinámicas complejas . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Rn
como espacio vectorial 37
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Rn
: el espacio donde viven las soluciones a sistemas de
ecuaciones con n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Combinaciones lineales e independencia lineal . . . . . . 55
2.4. Planos y rectas en R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.1. Ecuaciones paramétricas y cartesianas . . . . . . 63
2.4.2. Rectas que contienen el origen . . . . . . . . . . . 63
2.4.3. Rectas trasladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.4. Planos que contienen el origen . . . . . . . . . . . 66
2.4.5. Planos trasladados . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5. Subespacios vectoriales y subespacios aﬁnes de Rn
. . . . 70

ii Contenido
3. Transformaciones lineales y matrices 75
3.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Representación de transformaciones lineales por medio de
matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3. El núcleo y la imagen de una transformación lineal . . . 88
3.4. Álgebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.1. Suma y producto por escalar . . . . . . . . . . . . 94
3.4.2. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.3. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5. Transformaciones aﬁnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4. Rn
como espacio vectorial euclídeo 111
4.1. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Longitudes, ángulos, distancias y proyecciones . . . . . . 114
4.3. Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4. Similitudes e isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5. La función determinante 129
5.1. Áreas y volúmenes orientados . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2. Axiomas del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4. Inversa por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Respuestas a los ejercicios 151
Lecturas recomendadas 163

Presentación
Por sus múltiples aplicaciones, el estudio del álgebra lineal en los pro-
gramas universitarios cobra cada día más importancia. Esta rama de las
matemáticas se ocupa de ciertas estructuras llamadas espacios lineales o
vectoriales, e investiga de qué manera ellos se interrelacionan mediante las
llamadas transformaciones lineales; comprende además el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales y de las matrices. Los espacios vectoriales
y las transformaciones lineales se pueden ubicar como temas capitales
del álgebra moderna, y su teoría es extensamente usada en el análisis
funcional, en el análisis vectorial y en las ecuaciones diferenciales, entre
otros; por ejemplo, en el cálculo es importante para las derivadas de or-
den superior. Sus numerosas aplicaciones no se restringen al campo de las
matemáticas, sino que se extienden también al campo de las ciencias na-
turales y de las ciencias sociales. La historia del álgebra lineal moderna se
remonta a mediados del siglo XIX con los trabajos de William Hamilton,
de quien proviene el uso del término “vector”. Sin embargo, solamente en
la segunda mitad del siglo XX el álgebra lineal se institucionalizó como
una materia básica e introductoria en las matemáticas universitarias.
El material que presentamos en esta exposición ha sido escrito con el
objetivo de servir de apoyo y guía para el desarrollo de la asignatura
Álgebra Lineal I, que deben cursar los estudiantes de primer semestre de
ciencias e ingenierías de la Universidad Industrial de Santander (UIS);
por lo tanto, está dirigido fundamentalmente a los profesores y estudian-
tes de dicha asignatura. El programa de Álgebra Lineal I de la UIS ha
venido evolucionando a través de los años, y actualmente se puede decir
que se ha constituido como una introducción al álgebra lineal, fundamen-
talmente, mediante el estudio de un espacio vectorial particular como es
Rn
. Como el título lo indica (Aproximación al álgebra lineal: un enfoque

iv Presentación
geométrico), hemos querido hacer la introducción mencionada al álgebra
lineal, pero procurando observar cada concepto desde un punto de vista
geométrico, con el ánimo de establecer nociones y resultados básicos del
álgebra lineal haciendo énfasis en conocimientos e interpretaciones geo-
métricas muy concretas e intuitivas. Pensamos que, aunque los temas
tratados son los mismos que aparecen en la mayoría de los textos intro-
ductorios al álgebra lineal, el punto de vista y el orden en que se ven se
apartan un poco del tratamiento tradicional; por otra parte, en algunas
secciones y ejercicios (secciones 1.7, 3.5, 4.4 y ejercicios 1.3-(6), 3.5-(5) y
4.4-(10)) tocamos –muy ligeramente– temas no clásicos y relativamente
recientes de la matemática, como los fractales y los sistemas dinámicos.
Esperamos que lo expresado anteriormente justifique, hasta cierto punto,
la presente publicación.
El estudiante puede tomar este material como guía de estudio, pero su
lectura debe forzosamente estar acompañada y orientada por el profe-
sor, pues hay varios resultados fundamentales para el desarrollo de los
temas cuya demostración es dejada como ejercicio y que están marca-
dos con el símbolo ; por ejemplo, la demostración del teorema del
binomio, la demostración del teorema de la dimensión, la demostración
de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, entre otros. El desarrollo de estos
ejercicios muy seguramente requerirá de la ayuda del profesor.
Hemos distribuido nuestra exposición en cinco capítulos. Aunque en el
primer capítulo (“Algo sobre inducción matemática y números comple-
jos”) se tratan temas básicos muy importantes e interesantes, nos parece
que en realidad éste existe más por tradición que por conexión directa
con los temas centrales del curso; incluso se podría omitir en principio y
dejarlo para el final, lo cual podría ser conveniente teniendo en cuenta
que, según nuestra experiencia, abordar al inicio del curso las demostra-
ciones por inducción matemática produce generalmente cierta ansiedad y
desconcierto en los estudiantes recién ingresados a la universidad aunque,
por otra parte, se puede pensar en este capítulo como una bonita forma
de “calentamiento” antes de sumergirse en los temas centrales; así pues,
el dejarlo para el principio o el final del curso, queda a criterio de ca-
da profesor. Salvo este primer capítulo, podemos decir que todo el texto
se centra en resolver con cierta profundidad un problema con el cual el
estudiante debe estar familiarizado: hallar las soluciones de sistemas de

Presentación v
ecuaciones lineales en varias variables.
En el segundo capítulo (“Rn
como espacio vectorial”) se hace una intro-
ducción al álgebra lineal propiamente dicha proponiendo el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales lo cual, al observar la forma de las solu-
ciones de tales sistemas, motiva la definición del conjunto Rn
y el estudio
de su estructura de espacio vectorial, tomando siempre como base los ca-
sos particulares e interpretables geométricamente, como son el plano R2
y
nuestro espacio tridimensional R3
. En este capítulo se definen conceptos
básicos del álgebra lineal como son los de dependencia e independencia
lineal, sistemas de generadores, dimensión de un espacio vectorial y el
concepto de base, entre otros; se estudian también planos y rectas en el
espacio R3
y se finaliza el capítulo con las nociones de subespacio vecto-
rial y subespacio afín, identificando geométricamente los subespacios de
R3
.
El tercer capítulo (“Transformaciones lineales y matrices”) se dedica a
las funciones entre los espacios Rn
(estudiados en el capítulo anterior)
que respetan la estructura de espacio vectorial y a su íntima relación con
las matrices, mostrando cómo a cada transformación lineal se le puede
asociar una matriz y recíprocamente, de tal manera que las matrices y
las transformaciones lineales son, en cierta forma, “esencialmente lo mis-
mo.” Se analiza también en este capítulo el efecto geométrico (cambios
de escala, giros, reflexiones, etc.), que puede producir una transforma-
ción lineal del plano en el plano o del espacio tridimensional en sí mismo;
se introducen los conceptos de núcleo e imagen de una transformación
lineal, relacionándolos con los respectivos problemas de resolver ciertos
sistemas de ecuaciones lineales, y el teorema de la dimensión. Se deducen
las operaciones entre matrices a partir de las operaciones entre transfor-
maciones lineales lo cual, en nuestro concepto, justifica mejor el álgebra
de matrices y facilita un poco la comprensión de sus propiedades. Se ex-
pone también el tema de la inversa de una matriz, y al final del capítulo
se definen las transformaciones afines, lo que se aprovecha para mostrar,
mediante un ejemplo, cómo se pueden construir conjuntos fractales con
este tipo de transformaciones.
En el cuarto capítulo (“Rn
como espacio vectorial euclídeo”) se intro-
duce una nueva operación en Rn
: el producto interno o producto es-

vi Presentación
calar, el cual permite “hacer más geometría” en nuestro espacio Rn
, por
ejemplo calcular longitudes, ángulos, distancias, proyecciones, determi-
nar vectores perpendiculares, etc. Además, se define la operación pro-
ducto cruz o producto vectorial (operación exclusiva de R3
), que tiene
importantes aplicaciones geométricas en R3
y servirá, al combinarla con
el producto interno (combinación llamada producto mixto), como fuente
de inspiración para la definición de la función determinante que se estu-
dia en el siguiente capítulo. El capítulo cuarto termina con las nociones
de similitud e isometría, usando las similitudes para proporcionar una
definición formal de la noción de autosimilitud, característica esencial de
los conjuntos fractales.
Como ya se mencionó en el párrafo anterior, tomando como fuente de
inspiración las propiedades del producto mixto e interpretándolo como
un volumen orientado se aborda en el capítulo quinto (“La función deter-
minante”) la definición axiomática de la función determinante (al estilo
del tratamiento que hace Apóstol en su clásico libro de cálculo,*
Vol. II.),
viéndola entonces como una función que a cada matriz cuadrada le asigna
un número real y constituyendo un muy buen mecanismo teórico que in-
dica si n vectores dados de Rn
son o no linealmente independientes. Este
enfoque de los determinantes resulta muy bondadoso: permite, por ejem-
plo, deducir fácilmente propiedades como la de que el determinante de
un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las
matrices, deducción que de otra manera puede resultar muy dispendiosa.
Usando los axiomas de la función determinante, se deduce un sencillo
método para calcular el de cualquier matriz cuadrada, triangularizán-
dola mediante operaciones elementales sobre filas o sobre columnas. Se
deducen la regla de Cramer, el cálculo de la inversa de una matriz usando
cofactores y finalmente el método (que en la mayoría de los libros aparece
al principio del capítulo respectivo) para calcular determinantes desarro-
llándolos por alguna de las filas de la matriz. Por último incluimos un
pequeño apéndice con las respuestas a la mayoría de los ejercicios.
Queremos agradecer muy sinceramente a varias personas y entidades que
contribuyeron de una u otra forma con la elaboración del trabajo que es-
tamos presentando: a Claudia Granados, quien revisó y digitó una de las
*
APÓSTOL Tom, Calculus, Vol. I y Vol. II. Reverté-Barcelona, 2a. ed., 1974.

Presentación vii
primeras versiones de nuestro trabajo y además incluyó varios ejemplos
y ejercicios; a Angy Coronel y a Beatriz Rojas, que digitaron versiones
posteriores; a Jorge Angarita, quien revisó una buena parte de los ejer-
cicios propuestos en cada capítulo; a Gilberto Arenas, quien elaboró en
PSTricks**
la mayoría de las figuras y nos dio valiosas sugerencias; a los
profesores que han participado en el Seminario Docente de Álgebra Supe-
rior y Lineal que se realiza en la Escuela de Matemáticas de la UIS, pues
de este seminario surgieron varias inquietudes que hemos aprovechado
para la escritura de este material; obviamente a la Escuela de Matemá-
ticas de la Universidad Industrial de Santander y a la UIS misma, por
brindarnos la oportunidad de impartir el curso de Álgebra Superior a lo
largo de muchos años durante los cuales nuestro trabajo ha venido toman-
do forma. Por otra parte la segunda autora quiere también agradecer a
Colciencias por una beca-crédito que le otorgó durante los años 1994 a
1996 para adelantar estudios de doctorado en la Universidad Nacional
de Colombia, y a la Fundación Mazda para el desarrollo del Arte y la
Ciencia que le concedió una beca durante los años 1998 y 1999, con el
mismo objetivo.
Esperamos entonces que el material que estamos ofreciendo se convier-
ta en una buena alternativa de apoyo al desarrollo de las asignaturas
de matemáticas del ciclo básico que deben cursar los estudiantes de
primer semestre de ciencias e ingenierías de la Universidad Industrial
de Santander y de otras latitudes de habla hispana.
Una vez agotada la primera impresión presentamos esta reimpresión en
donde se han corregido algunos errores. Agradecemos la acogida por parte
de colegas y estudiantes a este texto y planeamos una próxima edición
enriquecida con sus comentarios y sugerencias y además con algunas
modificaciones un poco más profundas.
Los autores
Bucaramanga, abril de 2009
**
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Capítulo 1
Algo sobre inducción
matemática y números
complejos
1.1. Números naturales
¿Cuál es el primer conjunto de números que estudiamos desde la escuela
primaria? Se sabe que los números naturales constituyen la estructura
básica de las matemáticas. Recordemos aquí que el camino normal que
se recorre es partiendo de los naturales (N) pasar a los enteros (Z), de
estos a los racionales (Q) y luego a los reales (R), los cuales se extienden
a los complejos (C); el paso de un conjunto numérico a otro se da por
la necesidad de ampliar cada conjunto a otro (que lo contenga) y en el
cual se puedan resolver ciertos problemas que no tienen solución en el
conjunto dado.
Una definición muy “popular” pero nada formal de los números naturales
dice que “son los números que nos sirven para contar” (1, 2, 3, 4, . . . ). Sin
embargo, en matemáticas se debe dar una definición formal y una ma-
nera (muy usual) de hacerlo es axiomáticamente, es decir, estableciendo
una lista de “reglas” que se aceptan sin demostración y que definen el
concepto. Así, para el caso de los números naturales, el conjunto de los
axiomas universalmente aceptado es el conjunto de axiomas propuesto

2 1. Inducción matemática y complejos
por el matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932), que usa sólo
tres términos técnicos:
número natural;
primer número natural;
la función el siguiente de.
En los axiomas de Peano se establece la “esencia” de los números naturales
que corresponde a la idea intuitiva que tenemos de ellos: “empiezan en
algún momento” (existe el primero) y “van en ﬁla” (uno enseguida de
otro). Los axiomas son 5:
Figura 1.1. Giusseppe Peano.
N1: El 0 es un número natural (aquí puede ser 1 ó 0, o cualquier otro
“símbolo”, en realidad lo que importa es que existe al menos un
natural).
N2: A todo número natural n se le puede asociar otro número natural
llamado el siguiente de n.
N3: Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los
números son iguales.
N4: No existe un número natural cuyo siguiente es 0 (aquí nuevamente
puede ser 1 ó 0, o cualquier otro “símbolo”, lo que importa es que
existe un “primer elemento”).
[Aproximación al álgebra lineal:

1.1. Números naturales 3
N5: Si S es una colección de números naturales que cumple:
(i) 0 es un elemento de S, es decir, 0 ∈ S;
(ii) cada vez que un natural está en S, también el siguiente de él
está en S,
entonces S es el conjunto de todos los naturales.
Notas
1. El conjunto de los números naturales se simboliza N, así la expresión
k ∈ N signiﬁca que k es un número natural.
2. Si k ∈ N, el “siguiente” o “sucesor” de k se simboliza k + 1.
De los 5 axiomas de Peano queremos destacar el axioma N5 llamado
el Principio de Inducción Matemática (algunas veces el conjunto
N se deﬁne como el subconjunto “más pequeño” de R que satisface las
condiciones (i) y (ii) de N5). El Principio de Inducción Matemática
(P.I.M) constituye la base de las demostraciones que trabajaremos en la
siguiente sección.
Ejercicios 1.1
1. Si N es el conjunto de los naturales, Z el conjunto de los enteros, Q
el de los números racionales, I el conjunto de irracionales y R son
los reales, ¿cuál de las siguientes proposiciones no es cierta?
a) Z contiene a N;
b) Q contiene a N y a Z;
c) I contiene a N;
d) R contiene a N;
e) R contiene a I;
f ) R contiene a Q.
2. No existe un número natural mayor que todos los demás. ¿Por qué?
un enfoque geométrico]

1.2. Demostraciones por inducción
matemática
Es posible que el estudiante alguna vez se haya encontrado con afirma-
ciones como las siguientes:
∗ “para todo natural n, n2
+ n es par”.
∗ “Si r ∈ R, r 1 entonces 1 + r + r2
+ · · · + rn
= (1 − rn+1
)/(1 − r)
para todo n natural”.
∗ “2n
n, para todo natural n”.
∗ “Para todo natural n se tiene que 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)/2”.
Las afirmaciones anteriores tienen en común la expresión: “para todo na-
tural n”; en todas se afirma que algo es válido para todo número natural,
es decir todas ellas son de la forma: “p(n), para todo n ∈ N”, donde
p(n) es una proposición relativa al natural n. Es fácil verificar que cada
afirmación es válida, por ejemplo para 1, 2, 3, u otros valores particu-
lares, pero ¿cómo probar que en efecto p(n) es válida para todo número
natural?
La idea es la siguiente: si llamamos S al conjunto de números na-
turales que hacen cierta la proposición p(n), o sea S = {n ∈ N :
p(n) es verdadera}, entonces bastaría probar que S = N; para esto, usa-
mos el principio de inducción matemática, es decir, debemos probar:
i) que 0 ∈ S, o, lo que es lo mismo, que p(0) es verdadera;
ii) que si k ∈ S entonces k + 1 ∈ S, es decir, asumimos para algún
k, p(k) es verdadera (hipótesis de inducción) entonces se debe de-
mostrar que p(k + 1) es verdadera.
Al demostrar (i) y (ii), por el P.I.M, se concluye que S = N, es decir, que
p(n) es verdadera para todo n.
A continuación presentamos tres ejemplos de proposiciones que se pueden
demostrar por el principio de inducción matemática.

1.2. Demostraciones por inducción matemática 5
Ejemplo 1.2.1. La suma de los cubos de los primeros n enteros positivos
es igual a n2(n+1)2
4
; es decir 13
+ 23
+ 33
+ . . . + n3
= n2(n+1)2
4
.
Prueba. Sea P(n) la proposición: la suma de los cubos de los primeros
n enteros positivos es igual a n2(n+1)2
4
.
i) P(1) claramente es verdadera ya que 13
= 12(1+1)2
4
= 1.
ii) Supongamos que P(k) es verdadera. Veamos que P(k + 1) también
es verdadera.
Tenemos que:
P(k) : 13
+ 23
+ 33
+ . . . + k3
=
k2
(k + 1)2
4
hipótesis de
inducción
y P(k + 1) es la igualdad:
13
+23
+33
+. . .+k3
+(k +1)3
=
(k + 1)2
(k + 2)2
4
tesis de
inducción.
Partiendo de la hipótesis de inducción, sumamos a ambos lados de
la igualdad (k + 1)3
que es el término siguiente de la suma de la
izquierda, entonces tendríamos
13
+ 23
+ 33
+ . . . + k3
+ (k + 1)3
=
k2
(k + 1)2
4
+ (k + 1)3
;
sumando las fracciones algebraicas del lado derecho de la igualdad,
se obtiene
13
+ 23
+ 33
+ . . . + k3
+ (k + 1)3
=
k2
(k + 1)2
+ 4(k + 1)3
4
;
factorizando al lado derecho de la igualdad, tenemos
13
+ 23
+ 33
+ . . . + k3
+ (k + 1)3
=
(k + 1)2
(k + 2)2
4
.
Luego P(k+1) (la tesis) es verdadera y por el principio de inducción
matemática se sigue que la suma de los cubos de los primeros n
enteros positivos es igual a
n2
(n + 1)2
4
.

Ejemplo 1.2.2. Si n ∈ N y a es una constante mayor o igual que cero
entonces (1 + a)n
≥ 1 + na + n(n−1)a2
2
.
Prueba. Sea P(n) la proposición: si n ∈ N y a es una constante mayor
o igual que cero entonces (1 + a)n
≥ 1 + na + n(n−1)a2
2
.
i) P(1) claramente es verdadera ya que 1 + a ≥ 1 + a + 1(1−1)a2
2
.
es verdadera.
Tenemos que:
P(k) : (1 + a)k
≥ 1 + ka +
k(k − 1)a2
2
hipótesis de
inducción
y P(k + 1) es la desigualdad:
(1 + a)k+1
≥ 1 + (k + 1)a +
k(k + 1)a2
2
tesis de
inducción.
Partiendo de la hipótesis de inducción, por las propiedades de las
desigualdades multiplicamos a ambos lados por un número positivo
y la desigualdad no se altera, luego tenemos,
(1 + a)k+1
≥ 1 + ka +
k(k − 1)a2
2
(1 + a),
realizando el producto, tenemos,
(1 + a)k+1
≥ 1 + (k + 1)a +
k(k + 1)a2
2
+
k(k − 1)a3
2
;
podemos plantear las siguientes desigualdades ya que k(k−1)a3
2
≥ 0,
(1 + a)k+1
≥ 1 + (k + 1)a +
k(k + 1)a2
2
+
k(k − 1)a3
2
≥ 1 + (k + 1)a +
k(k + 1)a2
2
;
por la propiedad transitiva de las desigualdades, tenemos:
(1 + a)k+1
≥ 1 + (k + 1)a +
k(k + 1)a2
2
.
Luego P(k+1) (la tesis) es verdadera y por el principio de inducción
matemática se sigue que la desigualdad es verdadera para todo
número natural n.

Ejemplo 1.2.3. Para todo número natural n, n2
+ n es par.
Prueba. Sea P(n) la proposición: para todo número natural n, n2
+ n
es par.
i) P(1) claramente es verdadera ya que 12
+ 1 es par.
es verdadera.
Tenemos P(k), k2
+ k es par, es decir, k2
+ k = 2m para al-
gún m ∈ Z (hipótesis de inducción matemática), y P(k + 1) es
(k + 1)2
+ (k + 1) es par (tesis de inducción matemática). Veamos:
(k + 1)2
+ (k + 1) = k2
+ 2k + 1 + k + 1
= (k2
+ k) + 2(k + 1)
= 2m + 2(k + 1); usando la hipótesis
= 2(m + k + 1)
y llamando t = m + k + 1 ∈ Z obtenemos (k + 1)2
+ (k + 1) = 2t,
luego P(k + 1) es verdadera y por el principio de inducción
matemática se sigue que para todo número natural n, n2
+ n es
par.
Como ocurre con muchas cosas en la vida, la mejor manera de enten-
der y llegar a realizar con cierta destreza demostraciones por inducción
matemática, es haciendo varios ejercicios. Invitamos al estudiante a prac-
ticar e intentar por sí mismo. No se desanime ante las diﬁcultades o si
no logra realizar la demostración; cualquier intento, por fallido que sea,
es un paso importante en su proceso de aprendizaje. ¡Ánimo!
Ejercicios 1.2
1. Demostrar por inducción sobre n:
a) 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2;
b) a + (a + d) + (a + 2d) + · · ·+ (a + (n − 1)d) = n[2a + (n − 1)d]/2
(suma de una progresión aritmética);

c) 1 + x + x2
+ x3
+ · · · + xn
= (1 − xn+1
)/(1 − x) (suma de una
progresión geométrica, x no es 1);
d) 1 + 22
+ 32
+ · · · + n2
= n(n + 1)(2n + 1)/6;
e) 1 + 23
+ 33
+ · · · + n3
= (n(n + 1)/2)2
;
f) 1 − 4 + 9 − 16 + · · · + (−1)n+1
n2
= (−1)n+1
n(n + 1)/2;
g) 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + · · · + (2n − 1)(2n) = n(n + 1)(4n − 1)/3;
h) Si r 1 entonces rn
≥ 1;
i) 1 + 2n
3n
con n 1;
j) n 2n
.
2. Si b1, b2, b3, · · · , bn y r son números reales demostrar por inducción
que:
a) r(b1 + b2 + b3 + · · · + bn) = rb1 + rb2 + · · · + rbn.
b) |b1 + b2 + · · · + bn| ≤ |b1| + |b2| + · · · + |bn|.
3. Probar que n rectas en el plano, tales que dos cualesquiera de ellas
no son paralelas y tres cualesquiera de ellas no tienen un punto en
común, determinan (n2
+ n + 2)/2 regiones diferentes.
4. Sea b un número entero positivo ﬁjo. Demostrar que para todo
natural n existen q y r naturales tales que n = bq + r; 0 ≤ r b.
5. Sea x 0. Probar que para todo entero n ≥ 3 se tiene que:
(1 + x)n
1 + nx + nx2
.
6. ¿Cuál es el error en la siguiente “demostración” ?
“Teorema”: Todos los caballos tienen el mismo color.
Demostración: Sea Pn la proposición “todos los caballos de un
conjunto de n caballos son del mismo color”.
a) P1 es claramente verdadera.

b) Supongamos que Pk es verdadera. Veamos que Pk+1 también
es verdadera. Sean c1, c2, c3, · · · , ck+1 los k + 1 caballos en
un conjunto de k + 1 caballos. Consideremos el conjunto de
k caballos {c1, c2, c3, · · · , ck}. Por hipótesis de inducción to-
dos estos caballos son del mismo color. En el conjunto an-
terior reemplacemos ck por ck+1. Luego en el conjunto resul-
tante {c1, c2, c3, · · · , ck−1, ck+1} de k caballos, por hipótesis de
inducción, todos son del mismo color; como c1 y ck al igual
que ck+1 y c1 son de igual color, todos los k + 1 caballos son
del mismo color. Luego Pk+1 es verdadera y, por el principio
de inducción se sigue que, todos los caballos son del mismo
color.
7. Demostrar que si un conjunto S tiene n elementos entonces S tiene
2n
subconjuntos.
8. El famoso rompecabezas conocido como las Torres de Hanoi, consta
de un número ﬁnito de discos de diferentes diámetros, insertables
en tres varillas (en la Figura 1.2 se muestra el caso de cuatro dis-
cos). Los discos se encuentran insertados en una varilla, dispuestos
de mayor a menor; el propósito del rompecabezas es trasladar todos
los discos desde la varilla en que se encuentran hasta otra distinta,
moviendo los discos de uno en uno de tal manera que en ningún mo-
mento, un disco quede descansando sobre otro de diámetro menor.
Demuestre por inducción sobre n, que para un rompecabezas con n
discos, el menor número de movimientos para resolverlo es 2n
− 1.
Figura 1.2. Torres de Hanoi.
9. Un cuadrado de lado 4 = 22
con un extremo perdido (ver
Figura 1.3 a)), se puede “embaldosinar” o recubrir con piezas como
la de la Figura 1.3 b), llamada “triminó”, (ver Figura 1.3 c) Re-
cubrimiento con triminós). Demuestre por inducción sobre n, que

todo cuadrado de lado 2n
, n ≥ 1, con un extremo perdido, se puede
embaldosinar con triminós.
a)
Cuadrado de lado 4 con
un extremo perdido
b)
Trimin´o
c)
Recubrimiento con
trimin´os
Figura 1.3.

1.3. Definiciones recursivas 11
1.3. Definiciones recursivas
Otra aplicación importante del principio de inducción matemática la en-
contramos en las definiciones recursivas. Un concepto se dice definido
recursivamente, si se define explícitamente para el caso n = 1 (o n = 0,
o, en general, para un “primer caso”) y se da una regla (o lista de reglas)
que lo definen para el caso n-ésimo en términos del caso anterior. Por
ejemplo, el concepto de “potenciación” se puede definir recursivamente
así: “para a ∈ R definimos: a1
=: a y an
=: an−1
a, para todo n ≥ 2”; de
esta manera tendríamos, por ejemplo, que a2
= a2−1
a = a1
a = aa, a3
=
a3−1
a = a2
a = aaa, y así sucesivamente.
Muchas sucesiones de números se pueden definir recursivamente: sea, por
ejemplo, (Sn)n∈N la sucesión definida por: S1 =: 1 y Sn+1 = 2Sn + 1
entonces los cuatro primeros términos de esta sucesión serán:
1, 3, 7, 15.
En realidad, podemos afirmar que toda definición recursiva al fin y al cabo
lo que siempre define es una sucesión en un determinado conjunto X,
es decir una función f de dominio N y codominio X; así por ejemplo las
potencias de una base fija a se pueden obtener con la función f : N −→ R
definida por f(1) =: a y f(n) =: f(n − 1)a para n ≥ 2.
Ejercicios 1.3
1. El factorial de un número natural es el producto de sí mismo por
todos sus anteriores hasta 1. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 = 120.
Para 0 se considera 0! = 1.
a) Sin hacer las multiplicaciones de todos los términos muestre que:
10! = 6!7!; 16! = 14!5!2!; 10! = 7!5!3!; 9! = 7!3!3!2!
b) Definir recursivamente: n!
2. Demuestre utilizando la definición recursiva e inducción:
a) (ab)n
= an
bn
;
b) an
am
= an+m
;

c) 2n
n! para n 3.
3. Se define Sn recursivamente así:
S1 = 2; Sn+1 = Sn + n + 1,
demostrar que Sn = (n2
+ n + 2)/2, ∀n ≥ 1.
4. Se define Sn recursivamente así:
S0 = 1; Sn+1 = xSn + 1,
demostrar que Sn = 1 + x + x2
+ x3
+ · · · + xn
, ∀n ≥ 1.
5. A continuación se define recursivamente la sucesión an de diferentes
maneras:
a) a0 = 0; b0 = 1; an+1 = an + bn; bn+1 = xbn;
b) a0 = 0; b0 = 0; an+1 = an + bn; bn+1 = x + bn;
c) a0 = 0; b0 = 1; an+1 = an + bn; bn+1 = bn + 1;
d) a0 = 1; b0 = 1; an+1 = anbn; bn+1 = bn + 1;
e) a0 = 0; b0 = 0; an+1 = an + 2bn + 1; bn+1 = bn + 1;
f) a0 = 0; b0 = 1; c0 = 1;
an+1 = an + bn; bn+1 = bn
cn
; cn+1 = cn + 1.
A continuación están, en otro orden, las definiciones no recursivas
de an, halle las correspondientes:
I. an = n!
II. an = n2
;
III. an = n(n − 1)/2;
IV. an = 1 + x + x2
+ . . . + xn−1
, ∀n ≥ 1;
V. an = 1 + 1
1!
+ 1
2!
+ . . . + 1
n!
;
VI. an = xn(n − 1)/2.
6. Definir recursivamente las siguientes sucesiones de figuras:

1.3. Deﬁniciones recursivas 13
a)
, , ,
, , · · ·
b)
, , ,
, , · · ·
7. Demostrar que si x0 = 0, x1 = 1 y xn+2 = xn+1 + 2xn, entonces
para todo n se tiene:
xn =
1
3
(2n
− (−1)n
).
8. Demostrar que si x0 = 2, x1 = 1 y xn+2 = xn+1 +2xn entonces para
todo n se tiene:
xn = 2n
− (−1)n−1
.
9. Deﬁnir recursivamente la sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . (sucesión de
Fibonacci).

1.4. Sumatoria y productoria
Algunas veces debemos trabajar con sumas (finitas) de varios sumandos,
es decir expresiones de la forma: a1+a2+. . .+an. Una forma abreviada de
escribir esta suma es usando el símbolo , así:
n
i=1
ai que se lee: “sumatoria
(o simplemente suma) de los ai cuando i varía de 1 a n”. El símbolo
se puede definir recursivamente como sigue:
1
i=1
ai = a1;
n+1
i=1
ai =
n
i=1
ai + an+1; ∀n ≥ 1.
Notas
1. El subíndice es “aparente”, es decir podríamos usar cualquier otra
letra y el significado sería el mismo; por ejemplo:
4
i=1
i2
=
4
p=1
p2
=
4
k=1
k2
=
3
j=0
(j + 1)2
= 1 + 22
+ 32
+ 42
= 30.
2. Obsérvese que no siempre las sumas deben empezar en 1, en rea-
lidad pueden empezar en cualquier índice p entero, y en tal caso
tendríamos: q
i=p
ai = ap + . . . + aq; p ≤ q.
Por ejemplo:
10
i=3
iki
= 3k3
+ 4k4
+ . . . + 10k10
.
Proposición 1. Algunas propiedades del símbolo de sumatoria son:
i.
n
i=1
(ai + bi) =
n
i=1
ai +
n
i=1
bi ;
ii.
n
i=1
kai = k
n
i=1
ai ;
iii.
n
i=1
k = nk;

1.4. Sumatoria y productoria 15
iv.
n
i=1
(ai − ai−1) = an − a0 (Propiedad Telescópica);
v.
n
i=1
ai =
p
i=1
ai +
n
i=p+1
ai (siempre que 1 ≤ p n);
vi.
n
i=1
m
j=1
aibj =
n
i=1
ai
m
j=1
bj .
Todas las propiedades anteriores se pueden demostrar por inducción (ver
Ejercicio 3) aunque también se pueden dar argumentos intuitivos para
cada una de ellas, por ejemplo para la propiedad ii. podríamos escribir:
n
i=1
kai = ka1 + ka2 + · · · + kan = k (a1 + a2 + · · · + an) = k
n
i=1
ai.
Usando las propiedades de la Proposición 1 se puede calcular el valor de
ciertas sumas, por ejemplo de términos de progresiones tanto aritméticas
como geométricas.
A continuación mostramos una proposición que se demuestra por
inducción matemática, donde además se usan sumatorias y sus
propiedades.
Ejemplo 1.4.1. El polinomio
n
i=1
xn−i
yi−1
es igual a
xn
− yn
x − y
para todo
n ∈ N. Es decir:
n
i=1
xn−i
yi−1
=
xn
− yn
x − y
.
Prueba. Sea Pn la proposición,
n
i=1
xn−i
yi−1
=
xn
− yn
x − y
.
Nota. Una proposición P(n) también la notaremos Pn.
i. Claramente P1 es verdadera pues
1
i=1
x1−i
yi−1
= x0
y0
=
x1
− y1
x − y
= 1.

ii. Supongamos que Pk es verdadera. Veamos que Pk+1 también es
verdadera. Pk es la igualdad:
k
i=1
xk−i
yi−1
=
xk
− yk
x − y
(hipótesis de inducción matemática)
mientras que Pk+1 es la igualdad
k+1
i=1
xk+1−i
yi−1
=
xk+1
− yk+1
x − y
(tesis de inducción matemática).
Partiendo de la hipótesis de inducción, despejamos xk
y tendremos:
xk
= yk
+ (x − y)
k
i=1
xk−i
yi−1
,
multiplicando a ambos lados por x obtenemos:
xk+1
= xyk
+ x(x − y)
k
i=1
xk−i
yi−1
;
restando a ambos lados yk+1
se obtiene:
xk+1
− yk+1
= xyk
− yk+1
+ x(x − y)
k
i=1
xk−i
yi−1
;
factorizando tenemos:
xk+1
− yk+1
= yk
(x − y) + x(x − y)
k
i=1
xk−i
yi−1
;
factorizando nuevamente y con ayuda de las propiedades de suma-
toria, se sigue que:
xk+1
− yk+1
= (x − y)
k+1
i=1
xk+1−i
yi−1
;
multiplicando por
1
x − y
a ambos lados tenemos:
k+1
i=1
xk+1−i
yi−1
=
xk+1
− yk+1
x − y
.

1.4. Sumatoria y productoria 17
Luego Pk+1 (la tesis) es verdadera y por el principio de inducción
matemática se sigue que el polinomio
n
i=1
xn−i
yi−1
es igual a
xn
− yn
x − y
para todo número natural.
Así como existe una notación abreviada para sumas de varios sumandos,
existe también una notación abreviada para productos de varios factores
usando el símbolo . De esta manera, un producto de la forma: a1a2 · · ·an
se simboliza por:
n
i=1
ai
que se lee: “productoria (o multiplicatoria, o simplemente producto) de
las ai cuando i varía de 1 a n”. Todas las observaciones que se hicieron
respecto al símbolo de sumatoria, así como las propiedades, se pueden
extender al caso de la productoria, claro está, haciendo las modiﬁcaciones
adecuadas (ver Ejercicio 4).
Ejercicios 1.4
1. Calcular los valores numéricos de las siguientes expresiones:
a)
6
i=1
i2
;
b)
4
i=1
(−1)i+1
i2
;
c)
5
i=2
(3i + 1);
d)
4
i=1
(2i + 1);
e)
3
i=1
i
k=1
k;
f)
3
i=1
i
k=1
k.
2. Deﬁnir n! en términos de productoria.
3. Demostrar por inducción las propiedades de .
4. Formular propiedades de la productoria análogas a las enunciadas
para la sumatoria.
5. Dado por conocido el valor de
n
i=1
i y utilizando las propiedades de
la sumatoria encontrar:
a) La suma de los primeros n impares.

b) 2 + 8 + 14 + . . . + (6n − 4).
c) La suma de los n primeros números de la sucesión 3, 8, 13, . . .
6. Deducir una fórmula para:
a)
n
i=1
i2
; b)
n
i=1
i3
; c)
n
i=1
i.
7. Deducir una fórmula para hallar el valor de:
a)
n
i=1
xi
;
b)
n
i=1
1
i(i+1)
( Sugerencia: use la Propiedad Telescópica).
8. Deducir una fórmula para:
a)
k
i=1
i; b)
n
i=2
(1 − 1
i
); c)
n
i=2
(1 − 1
i2 ).
9. Un cuadro mágico de orden n es un cuadrado dividido en otros en
donde se colocan los números de 1 hasta n2
de tal manera que cada
columna, ﬁla o diagonal suman lo mismo. La Figura 1.4 muestra
un cuadro mágico de orden 4 que aparece en un grabado de Durero
(pintor y grabador alemán, 1471-1528).
Figura 1.4. Cuadro mágico en un grabado de Durero.
En general, ¿cuánto vale la suma de los números de cada columna,
ﬁla o diagonal de un cuadro mágico de orden n?

1.5. Combinatoria y teorema del binomio 19
1.5. Combinatoria y teorema del binomio
Seguramente el estudiante sabe de memoria el desarrollo de (a+ b)2
y de
(a+b)3
. Pero, ¿qué pasa si nos preguntamos por el desarrollo de (a+b)4
,
o de (a + b)10
, o de (a + b)54
? O tal vez por alguna razón no estemos
interesados en todo el desarrollo, sino sólo en un determinado término
del desarrollo. El Teorema del Binomio, cuya demostración es una con-
secuencia importante del Principio de Inducción Matemática, “muestra”
todos y cada uno de los términos en el desarrollo de (a + b)n
, para todo
entero positivo n. En la fórmula que proporciona el Teorema del Binomio
aparecen ciertos números llamados coeficientes binomiales que definire-
mos antes de enunciar el teorema.
Definición 1. Si n es un entero no negativo y k un entero con 0 ≤ k ≤ n,
entonces el coeficiente binomial o combinado de n y k, notado por
n
k
, se define como:
n
k
=
n!
k!(n − k)!
.
Teorema 2 (del Binomio). Sean a y b reales, entonces para todo natural
n se tiene que:
(a + b)n
=
n
k=0
n
k
an−k
bk
.
Analizando la fórmula que aparece en el teorema, es fácil hacer algunas
observaciones respecto al desarrollo de (a + b)n
, como las siguientes:
1. Tiene n + 1 términos.
2. El exponente de a disminuye desde n hasta 0 mientras que el de b
aumenta desde 0 hasta n.
3. En cada término la suma de los exponentes de a y de b es n.
4. Cada término es de la forma n
k
an−k
bk
.
5. El q-ésimo término se obtiene tomando k = q − 1.

Ejemplo 1.5.1. Por el teorema del binomio tenemos que el desarrollo de
(x + y)4
sería el polinomio que se obtiene de la sumatoria, cuyos términos
son
4
k=0
4
k
x4−k
yk
= 4
0
x4
y0
+ 4
1
x3
y1
+ 4
2
x2
y2
+ 4
3
x1
y3
+ 4
4
x0
y4
= x4
+ 4x3
y + 6x2
y2
+ 4xy3
+ y4
.
Ejemplo 1.5.2. Encontrar el término que contiene x en el desarrollo de
2x +
1
3x
7
.
Por el teorema del binomio tenemos que:
2x +
1
3x
7
=
7
k=0
7
k
(2x)7−k 1
3x
k
,
y como enunciamos anteriormente, el q-ésimo término se obtiene tomando
k = q − 1, es decir, el término q-ésimo es
Tq =
7
q − 1
(2x)7−(q−1) 1
3x
q−1
=
7
q − 1
(2x)8−q
(3x)−q+1
=
7
q − 1
28−q
3−q+1
x9−2q
y como nos piden x con exponente 1 debemos resolver la ecuación 9−2q =
1, de donde obtenemos que q = 4, entonces el término que buscamos es:
T4 =
7
3
28−4
3−4+1
x9−8
=
560
27
x.
Ejercicios 1.5
1. Encuentre el valor de cada uno de los siguientes coeﬁcientes bino-
miales:
a)
10
0
; b)
50
1
; c)
20
3
.

1.5. Combinatoria y teorema del binomio 21
2. Demostrar:
a)
n
n
=
n
0
= 1; b)
n
k
=
n
n − k
.
3. Use el teorema del binomio para encontrar todos los términos en la
expansión de las siguientes expresiones:
a) (a + b)5
; b) (m − n)7
; c) (3x − 4y)7
.
4. ¿Cuál es el coeficiente de x99
y101
en la expansión de (2x + 3y)200
?
5. Demuestre que:
n
i=0
n
i
= 2n
. (Sugerencia: expanda (1 + 1)n
).
6. Expandiendo (1 + (−1))n
, demuestre que:
n
i=0
(−1)i n
i
= 0.
7. Usando el ejercicio anterior compare los valores de
n
0
+
n
2
+
n
4
+ . . . y
n
1
+
n
3
+
n
5
+ . . .
8. Pruebe que si n, r y k son enteros tales que 0 ≤ k ≤ r ≤ n entonces:
n
r
r
k
=
n
k
n − k
r − k
.
9. Pruebe que:
r
r
+
r + 1
r
+ . . . +
n
r
=
n + 1
r + 1
.
10. Los coeficientes binomiales se pueden colocar formando el famoso
Triángulo de Pascal*
(también llamado de Tartaglia**
) como se
muestra en el arreglo.
*
Blaise Pascal, filósofo, físico y matemático francés, 1623-1662.
**
Matemático italiano (1499-1557), su verdadero nombre era Niccolá Fontana.
Tartaglia era un sobrenombre que significa tartamudo.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
...
...
...
...
Casi todas las propiedades de los coeﬁcientes binomiales se pueden
observar en el triángulo. Por ejemplo, la propiedad a) del Ejercicio
2, nos indica que en los bordes del triángulo siempre va 1, mientras
la propiedad b) del mismo ejercicio nos da razón de su simetría.
a) Interprete el resultado del ejercicio 7 en términos del Triángulo
de Pascal.
b) Los términos de una ﬁla, que no sean extremos, se pueden
obtener sumando los dos términos que están encima, esto
quiere decir que:
n
k − 1
+
n
k
=
n + 1
k
,
demostrar esta importante propiedad. Nótese que esta
propiedad es cierta para todo k si aceptamos que n
i
= 0
cuando i 0 o i n.
11. Demostrar por inducción el teorema del binomio en alguna
parte de la demostración, utilice la propiedad b), del ejercicio 10 .

1.6. Números complejos 23
1.6. Números complejos
“. . . Ya en el Renacimiento, los matemáticos asumieron que habían
descubierto todos los números en el universo. Se podía pensar que to-
dos los números estaban ubicados en una recta numérica, una línea
infinitamente larga cuyo centro es el cero. La recta numérica sugería
que la completud, aparentemente, se había logrado. Todos los números
parecían en su lugar listos a responder a cualquier pregunta matemáti-
ca. En cualquier caso, no había en la recta numérica campo para más
números. Entonces, durante el siglo XVI, hubo nuevos estruendos de
inquietud. El matemático italiano Rafaello Bombelli estaba estudiando
las raíces cuadradas de varios números cuando se tropezó con una pre-
gunta imposible contestar: ¿cuál es la raíz cuadrada de −1? El problema
parece insoluble. La solución no puede ser +1 ni −1, pues el cuadrado
de ambos es +1. Sin embargo, no hay otros candidatos obvios. Al mismo
tiempo, la completud exige que seamos capaces de contestar la pregunta.
La solución de Bombelli fue crear un número nuevo (i) llamado
número imaginario, que simplemente se definía como la solución a la
pregunta: ¿cuál es la raíz cuadrada del negativo de 1? Esta puede pare-
cer una manera cobarde de resolver el problema, pero no es diferente de
la manera como fueron introducidos los números negativos. Enfrenta-
dos a una pregunta que de otra manera no tenía respuesta, los hindúes
simplemente definieron a −1 como la respuesta a la pregunta ¿cuánto
es cero menos uno? Es más fácil aceptar el concepto de −1 sólo porque
conocemos el concepto análogo de “deuda”, mientras no hay nada en el
mundo real que respalde el concepto de número imaginario. El matemáti-
co alemán del siglo XVII Gottfried Leibniz describió en forma elegante
la extraña naturaleza del número imaginario: “El número imaginario es
un magnífico y maravilloso recurso del espíritu divino, casi un anfibio
entre el ser y el no ser”. Aunque las raíces cuadradas de los números ne-
gativos se conocen como números imaginarios, los matemáticos no con-
sideran que i sea más abstracto que un número negativo o un número
entero. Además, los físicos descubrieron que los números imaginarios
son el mejor lenguaje para describir algunos fenómenos del mundo real.
Con algunas manipulaciones menores los números imaginarios resultan
ser la manera ideal para analizar el movimiento natural de balanceo de
objetos como el péndulo. Este movimiento, técnicamente conocido co-
mo “oscilación sinusoidal”, se encuentra con frecuencia en la naturaleza,
así que los números imaginarios se han vuelto parte integral de muchos
cálculos físicos. Actualmente, los ingenieros eléctricos invocan a i para
analizar corrientes eléctricas oscilantes y los físicos teóricos calculan las
consecuencias de las funciones de onda mecánicas de los cuantos acu-
diendo al poder de los números imaginarios. . . ” (Tomado del libro El
enigma de Fermat, de Simon Singh.*
)
*
SINGH Simon, El enigma de Fermat, Editorial Planeta, 1998.

Figura 1.5. Leonhard Euler.
Al comenzar este capítulo anotábamos que el paso de un conjunto nu-
mérico al siguiente surge por la necesidad de ampliar el conjunto a otro
en el cual se puedan resolver ciertos problemas que no admiten solución
en el conjunto “más pequeño”. El sistema R de los números reales goza
de muy buenas propiedades; sin embargo si consideramos, por ejemplo,
la ecuación x2
+1 = 0, es claro que ella no admite solución en R, es decir,
no existe un número real que la satisfaga; entonces se hace necesario am-
pliar R a otro conjunto en el cual sí exista solución para esta ecuación y
aparece el conjunto C de los números complejos. Para esto asumimos
que el símbolo i representa un número (imaginario) que cumple i2
= −1
y consideramos entonces el conjunto de todos los números de la forma
a + bi donde a y b son números reales, es decir:
C =: {a + bi | a, b ∈ R}.
Si z = a + bi es un número complejo, a se llama la parte real de z, b
la parte imaginaria y se suele notar como Re(z) = a y Im(z) = b. Un
complejo cuya parte real es cero, es decir de la forma z = bi, se dice un
imaginario puro. Si la parte imaginaria es cero, el complejo es de la
forma z = a, es decir, es simplemente un número real, esto muestra que
R es un subconjunto de C.
Obsérvese que un número complejo está determinado por una pareja or-
denada de números reales, es decir z = a+bi lo podríamos identiﬁcar con
la pareja (a, b) y de esta manera una deﬁnición alternativa del conjunto
C sería:
C =: {(a, b) | a, b ∈ R}.

z = (a, b)
b
a
Eje
Imaginario
Eje
Real
1
Figura 1.6. Representación geométrica cartesiana de un complejo.
Por tratarse de parejas ordenadas tendremos que (a, b) = (c, d) si y sólo
si a = c y b = d.
Esta forma de ver los complejos corresponde a lo que, en el próximo
capítulo, llamamos R2
, que junto con ciertas operaciones constituye un
ejemplo importante de espacio vectorial, concepto fundamental de este
curso.
La expresión a + bi se llama la forma binómica mientras que (a, b) se
llama la forma rectangular o cartesiana; más adelante veremos otra
forma muy útil de escribir un número complejo. Observando la forma
rectangular es fácil deducir que el conjunto C se puede representar geo-
métricamente con el conjunto de puntos de un plano cartesiano (que debe
ser familiar para el estudiante); en este caso el eje x se llama también eje
real y el eje y, eje imaginario.
Si z = a + bi, un complejo asociado a z que resulta muy útil se llama el
conjugado de z, se nota ¯z y está dado por ¯z = a − bi. ¿Qué relación
geométrica hay entre z y ¯z?
Deﬁniremos ahora dos operaciones importantes en el conjunto C, suma
y multiplicación, las cuales le dan a los números complejos cierta
estructura especial. Si z1 = a + bi y z2 = c + di son números complejos,
se deﬁne la suma de z1 y z2 por:
z1 + z2 =: (a + c) + (b + d)i,
y la multiplicación de z1 y z2 por:
z1z2 =: (ac − bd) + (ad + cb)i;

se puede apreciar a simple vista que la suma se define de manera natural,
lo que no está claro es el caso del producto, aunque es fácil verificar que
éste se obtiene multiplicando común y corriente los binomios a+bi y c+di
y recordando que i2
= −1. Teniendo definidas estas dos operaciones el
paso siguiente es establecer qué propiedades cumplen.
Propiedad 1. Sean z1, z2, z3 ∈ C, entonces:
c1. z1 + z2 ∈ C y z1z2 ∈ C;
c2. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) y (z1z2)z3 = z1(z2z3);
c3. z1 + z2 = z2 + z1 y z1z2 = z2z1;
c4. existen 0 = 0 + 0i ∈ C y 1 = 1 + 0i ∈ C tales que z + 0 = 0 + z = z
y z1 = 1z = z para todo z ∈ C.
c5. Para todo z = a + bi ∈ C existe −z = −a + (−b)i ∈ C tal que
z+(−z) = 0, y para todo z = a+bi = 0 existe z−1
= a
a2+b2 + −b
a2+b2 i ∈
C tal que zz−1
= 1.
c6. z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
Las propiedades anteriores se llaman propiedades de campo. En ge-
neral, si un conjunto K, junto con dos operaciones (que por costumbre
se llaman adición y multiplicación), satisfacen las propiedades anteriores,
se dice entonces que la estructura K, +, · es un campo. Así, C, +, · es
un campo (ver ejercicio 3). Existen muchos otros campos, los más cono-
cidos: Q, +, · y R, +, · . En el ejercicio 2 se establece una diferencia
importante entre C y R.
1.6.1. Forma polar
Recordando la representación geométrica de los complejos en un plano
cartesiano, vamos a estudiar otra forma de notar un complejo. Sea P el
punto del plano cartesiano (de origen O) correspondiente al complejo.
Llamemos r la longitud del segmento OP y θ el ángulo que forma dicho
segmento con la parte positiva del eje real y tal que 0 ≤ θ 2π; entonces

z queda completamente determinado si conocemos r y θ. r se llama mó-
dulo o norma de z se nota r = |z|, θ se llama el argumento (principal)
de z y se nota Arg(z), obsérvese que cualquier ángulo coterminal con θ
sirve para determinar a z, es decir, en realidad existen muchos argumen-
tos; sin embargo con la condición 0 ≤ θ 2π estamos escogiendo sólo
uno (a veces llamado argumento principal).
P
z = r eiθr sen θ
r cos θ
Eje
Imaginario
Eje
Real
θ
r
O
Figura 1.7. Representación geométrica polar de un complejo.
Es fácil establecer las siguientes relaciones:
a = r cos θ, b = r sen θ, r =
√
a2 + b2, tan θ = b/a. (1.1)
luego: z = a + bi = r cos θ + ir sen θ = r(cos θ + i sen θ) y acepta-
mos sin demostración (por estar fuera de los alcances del curso) que
eiθ
= cos θ + i sen θ, con lo cual z = reiθ
, expresión que llamaremos la
forma polar de z; e es la llamada constante de Euler (en honor al
gran matemático suizo Leonhard Euler, 1707-1783), un número irracional
cuyo valor aproximado es 2,71828.
La forma polar es útil, por ejemplo, para hacer productos y cocientes
de complejos, así como para encontrar potencias n-ésimas y las raíces
n-ésimas de un complejo. Utilizando la forma polar es fácil deducir que
la norma de un producto de complejos es el producto de sus normas y el
argumento del producto es la suma de los argumentos. Esto nos da una
“receta” muy sencilla y útil para multiplicar complejos en forma polar:
Para multiplicar complejos se suman sus
argumentos y se multiplican sus normas.

Lo cual implica que la norma de un cociente es el cociente de las normas
y que el argumento del cociente de dos complejos es la diferencia de
sus argumentos. El lector debe deducir una sencilla receta para dividir
complejos, además ver que si n es un entero, y z ∈ C, la norma de zn
es
|z|n
y el argumento de zn
es n veces Arg(z). Todas estos resultados los
agrupamos en la siguiente proposición:
Proposición 2. Si z, z1, z2 ∈ C y n ∈ N entonces,
i) |z1z2| = |z1||z2| y Arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2);
ii) |z1/z2| = |z1|/|z2| y Arg(z1/z2) = Arg(z1) − Arg(z2), z2 = 0;
iii) |zn
| = |z|n
y Arg(zn
) = n · Arg(z).
Demostración. (Ejercicio 4).
Ejemplo 1.6.1. Sean z1 = 3 ei 45o
y z2 =
1
2
ei 38o
. Entonces:
z1z2 =
3
2
ei 83o
,
z1
z2
= 6 ei 7o
, y z4
1 = 81 ei 180o
.
Si z ∈ C, una raíz n-ésima de z será un complejo z0 tal que z0
n
= z.
Usando la parte iii) de la proposición anterior deducimos que |z0| = |z|1/n
,
es decir la norma de la raíz n-ésima de un complejo es la raíz n-ésima de la
norma del complejo. ¿Qué podemos decir del argumento de z0? Según la
parte iii) de la proposición anterior n Arg(z0) y Arg(z) deben ser ángulos
coterminales. Una posibilidad inmediata es que Arg(z0) = Arg(z)/n.
Pero hay otros ángulos que al multiplicarse por n resultan como un ángulo
coterminal con Arg(z). Nótese que, por ejemplo, 3 veces π/6 es π/2; pero
también 3 veces 5π/6 es 5π/2 ángulo coterminal con π/2. En realidad
cualquier argumento de la forma (Arg(z) + 2kπ)/n al ser multiplicado
por n nos da un ángulo coterminal con Arg(z). Entonces no podemos
hablar de la raíz n-ésima de un complejo, sino de las raíces n-ésimas
de un complejo. Se puede probar que hay exactamente n argumentos de
la forma Arg(z)+2kπ
n
, mutuamente no coterminales y se obtienen tomando
k ∈ {0, 1, . . ., n−1}. De esta manera, tenemos la siguiente “fórmula” para

calcular raíces n-ésimas llamada fórmula de De Moivre*
: si z = reiθ
,
n ∈ Z+
, entonces
z1/n
= r1/n
ei(θ+2kπ
n ) con k = 0, 1, 2, . . ., n − 1.
Ejemplo 1.6.2. Calculemos las raíces cúbicas del complejo z = 1
8
i.
Debemos escribir z en forma polar, para lo cual podemos usar las rela-
ciones establecidas en (1.1), con a = 0 y b = 1
8
para obtener que r = 1
8
y θ = π
2
, de modo que z = 1
8
eiπ/2
. Pero también en este caso podríamos
llegar a la forma polar simplemente observando la ubicación del complejo
z en el plano cartesiano que corresponde al punto de coordenadas 0, 1
8
,
de donde se deduce claramente que r = 1
8
y θ = π
2
. Aplicando entonces
la fórmula de De Moivre, con n = 3, r = 1
8
y θ = π
2
:
z1/3
= 1
8
1/3
ei
π/2+2kπ
3 , k = 0, 1, 2
obtenemos las tres raíces z1, z2, z3 buscadas, así:
∗ cuando k = 0, z1 = 1
2
ei π/2+0
3 = 1
2
ei π/6
;
∗ cuando k = 1, z2 = 1
2
ei
π/2+2π
3 = 1
2
ei 5π/6
;
∗ cuando k = 2, z3 = 1
2
ei π/2+4π
3 = 1
2
ei 3π/2
.
z = 1
8
i
z1 = 1
2
ei π/6z2 = 1
2
ei 5π/6
z3 = 1
2
ei 3π/2
Figura 1.8. Raíces cúbicas de z = 1
8 i.
*
Abraham de Moivre, matemático francés, 1667-1754.

Ejercicios 1.6
1. Efectuar la operación indicada y escribir la respuesta en la forma
z = a + bi:
a) (4 + i) + (3 − 5i);
b) (6−i)
(5+2i)
− (3+4i)
(2−5i)
;
c) (1 − i)2
(1 + i);
d) (5+4i)
(3−4i)
;
e) (8 − i
√
3)(8 + i
√
3);
f ) (i − 1)3
g) i104
;
h) (−i)101
.
2. Supongamos que los complejos se pueden ordenar y cumplen las
mismas propiedades de orden que los reales. ¿Qué problema hay
en considerar i 0?, ¿qué problema hay si consideramos i 0?
Como bajo cualquier consideración se llega a una contradicción, se
concluye que los complejos no se pueden ordenar cumpliendo las
mismas propiedades de orden que los reales.
3. Demostrar las propiedades de campo para números complejos.
4. Demostrar la Proposición 2.
5. Expresar en forma polar los siguientes complejos:
a) 3i;
b) 3i − 2;
c) (1 + i)/
√
2;
d) 2 − 2i;
e) cos α + i sen α + 1;
f ) cos α + i sen(α + π).
6. Sea α = π/4, β = 2π/3 y γ = π/6. Expresar en forma rectangular
los siguientes complejos:
a) eαi
;
b) 2eβi
;
c) 3e−βi
;
d) −e−γi
;
e) 4e(γ−α)i
.
7. Hallar los conjugados de los complejos de los ejercicios 5 y 6. Ex-
préselos en forma polar y rectangular.

8. Demostrar que el complejo z es real si y sólo si z es igual a su
conjugado.
9. Demostrar que z es imaginario puro si y sólo si z es igual al negativo
de su conjugado.
10. Encontrar z en forma rectangular tal que se cumpla la ecuación:
a) z(2 − 5i) = 1 + 5i;
b) (z + 1)(−4i) − 1 = i;
c) 2z(i − 1) = −i + 2.
11. Dibujar en el plano complejo los conjuntos de complejos z que
cumplen cada una de las condiciones dadas:
a) Re(z + 1) = 1;
b) Im(z − i) 0;
c) |z − i| = 1;
d) Re(z) + Im(z) 2;
e) |z + 1| 1;
f ) 0 Arg(z) π/3.
12. Hallar las raíces cuadradas de:
a) −i; b) 4eiπ/3
; c) 2 − 2
√
3i.
13. Halle todas las soluciones complejas de:
a) x3
+ 1 = 0;
b) x5
− 1 − i = 0;
c) x4
− x2
+ 1 = 0.
14. a) a) Demostrar que si z y w son complejos se tiene:
zw = ¯z ¯w y z + w = ¯z + ¯w.
b) Sea p(x) un polinomio con coeﬁcientes reales, demuestre que
si z es un complejo tal que p(z) = 0 entonces p(¯z) = 0.
c) Demuestre que un polinomio con coeﬁcientes reales siempre
tiene un número par de raíces complejas no reales.

1.7. Algo sobre dinámicas complejas
Imaginemos un “paseo” por el plano complejo; en el tiempo n usted estará
en el lugar zn. Partimos en el momento 0 del lugar z0 = 1 y para deter-
minar la posición zn+1 tomamos la posición zn, la elevamos al cuadrado
y le sumamos i, es decir, nuestro paseo obedece a la definición recursiva
z0 = 1 y zn+1 = z2
n + i, ∀n ≥ 1, (1.2)
así podemos calcular z1 = 1 + i; z2 = (1 + i)2
+ i = 3i; z3 = i − 9; etc.
Este paseo nos lleva a alejarnos cada vez más del origen, sin embargo
esto depende del punto de donde hayamos partido. Si partimos ya no de
1 sino de i, tenemos la definición recursiva
z0 = i y zn+1 = z2
n + i, ∀n ≥ 1
entonces, z0 = i; z1 = i − 1; z2 = (i − 1)2
+ i = −i; z3 = i − 1; etc.
Nos damos cuenta que z1 es igual a z3, y el paseo ya no es interesante es
más bien repetitivo y totalmente deducible, por ejemplo z100 = −i, (¿por
qué?). Quedamos “presos” ya que |zn| 2 para todo n. La sucesión z0,
z1, z2, z3, . . ., se llama órbita de i y decimos que es “acotada” porque
existe un k ∈ R tal que para todo n ∈ N, se tiene |zn| k, esto significa,
de una manera un poco mas informal, que todos los puntos de la órbita
quedan “encerrados” en el interior de algún círculo.
Ejercicio 1.7.1. Llene la siguiente tabla teniendo en cuenta la definición
recursiva que hemos estado trabajando y además que z0 varía en cada
línea horizontal.
z0 z1 z2 z3 z4
−i
−i + 1
−2 − i
−1
3 + i
De la tabla anterior nos podemos preguntar, ¿cuáles de los z0 de la tabla
tienen órbita acotada? Llamemos J el conjunto de los complejos z que
quedan “presos”, es decir que tienen órbita acotada:
J =: { z ∈ C | órbita de z es acotada}

1.7. Algo sobre dinámicas complejas 33
y al dibujar J (con ayuda de un computador) nos resulta una figura muy
sugestiva (Figura 1.9).
Figura 1.9. Conjunto J para zn+1 = z2
n + i.
Claramente la definición recursiva (1.2) se puede modificar de muchas
maneras, cambiando el valor inicial z0, o cambiando zn+1 = z2
n + i por
zn+1 = f (zn) donde f es una función de variable compleja y valor comple-
jo, y para cada función f se puede considerar el correspondiente conjunto
J que denotaremos Jf y el cual es llamado conjunto lleno de Julia
(en honor al matemático francés Gaston Julia, 1893–1978). Estos con-
juntos Jf desempeñan un papel muy importante en lo que actualmente
se conoce como la teoría de los sistemas dinámicos, la teoría del caos
y los fractales. Dibujar en el plano complejo el conjunto Jf resulta, en
la mayoría de los casos, una labor imposible de realizar sin la ayuda de
un computador; actualmente existen varios programas computacionales,
por ejemplo Fractint (el cual se puede bajar gratuitamente por internet),
con los cuales se pueden graficar y “manipular” estos conjuntos. Para la
definición recursiva (1.2) que hemos venido trabajando en esta sección, se
muestra su correspondiente conjunto J en la Figura 1.9 y para la defini-
ción recursiva del Ejercicio 1.7.2, se muestra su correspondiente J en la
Figura 1.10; ambas figuras fueron obtenidas con el programa Fractint.
Obsérvese la semejanza entre las dos figuras y su parecido con objetos
de la naturaleza como la raíz de una planta, una grieta en una pared o
un relámpago en una noche de tormenta. Quizá usted pueda encontrar
otros parecidos del mismo estilo.
Ejercicio 1.7.2. Llene la misma tabla del Ejercicio 1.7.1 pero tomando

ahora zn+1 = z2
n − i, para n ≥ 1. El conjunto J correspondiente a este
nuevo “paseo” se muestra en la Figura 1.10.
Figura 1.10. Conjunto J para zn+1 = z2
n − i.
Otro subconjunto del plano complejo que ocupa un lugar destacado en
la teoría de los sistemas dinámicos y fractales es el llamado conjunto
de Mandelbrot (en honor a su “descubridor” Benoit Mandelbrot, físico
nacido en Polonia en 1924 y quien es considerado el “padre de los frac-
tales”). Para construir el conjunto de Mandelbrot se considera no una
sola definición recursiva, sino toda una familia de definiciones recursivas
así:
z0 =: 0 y zn+1 =: z2
n + c, (1.3)
donde c es una constante compleja; por ejemplo, si tomamos c = −1
2
i, la
definición recursiva para esta valor de c es:
z0 = 0 y zn+1 =: z2
n − 1
2
i. (1.4)
Calculemos entonces la órbita de 0:
z1 = 02
− 1
2
i = −1
2
i;
z2 = −1
2
i
2
− 1
2
i = −1
4
− 1
2
i;
z3 = −1
4
− 1
2
i
2
− 1
2
i = − 3
16
− 1
4
i;
z4 = − 3
16
− 1
4
i
2
− 1
2
i = − 7
256
− 13
32
i.

1.7. Algo sobre dinámicas complejas 35
El estudiante puede, con un poco de paciencia y cuidado, verificar los
cálculos anteriores, encontrar z5 y ubicar estos complejos en el plano
para observar que esta órbita no se va a “escapar hacia el infinito” sino
que se queda encerrada, es decir, es acotada. Entonces el punto c = −1
2
i
va a pertenecer al conjunto de Mandelbrot, que notaremos M, es decir
−1
2
i ∈ M. Cambiemos ahora el valor de c por c = 1 de tal forma que la
definición recursiva queda como sigue:
z0 = 0 y zn+1 =: z2
n + 1. (1.5)
Entonces:
z1 = 02
+ 1 = 1;
z2 = 12
+ 1 = 2;
z3 = 22
+ 1 = 5;
z4 = 52
+ 1 = 26;
z5 = 262
+ 1 = 677.
Se observa claramente como en este caso la órbita de 0 se escapa rápida-
mente hacia el infinito, no es acotada y por tanto c = 1 /∈ M. Además se
puede apreciar que la órbita de 0 se escapa realizando “saltos” cada vez
más grandes sobre el eje real (ver Figura 1.11).
1 2 5 26
Figura 1.11. Órbita de 0 para zn+1 = z2
n + 1 (c = 1).
Con base en lo anterior, el conjunto M se define de la siguiente manera:
M =: {c ∈ C | órbita de 0 para zn+1 = z2
n + c, es acotada} .
Ejercicio 1.7.3. Determine cuáles de los siguientes complejos pertenecen
al conjunto de Mandelbrot: 0, i, 1 + i, −i y −2i.
Así como ocurre con los conjuntos de Julia, el conjunto de Mandelbrot
sólo se puede visualizar con la ayuda de un computador. En la Figura 1.12
se muestra una imagen de M, obtenida con el programa Fractint.

Al lector inquieto e interesado, le podemos sugerir una interesante lectura
sobre el conjunto de Mandelbrot, en el hermoso y revelador libro de R.
Penrose, La nueva mente del emperador (ver [11]).
Figura 1.12. Conjunto de Mandelbrot.
Ejercicio 1.7.4.
1. Sea c ∈ C y notemos Jc el conjunto lleno de Julia correspondiente a
zn+1 = z2
n + c. Demuestre que si z ∈ Jc entonces también −z ∈ Jc.
2. Investigue (por ejemplo en internet): si c ∈ M, qué se puede decir
del conjunto Jc correspondiente?

Capítulo 2
Rn como espacio vectorial
2.1. Sistemas de ecuaciones lineales
Todos conocemos ecuaciones con variables o incógnitas. En esta sección
nos interesaremos por las ecuaciones lineales, es decir aquellas en
donde las variables o incógnitas van solamente multiplicadas por cons-
tantes y sumadas. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones lineales con
incógnitas x, y, z:
2x + y = 3z,
2y = 5,
z − y = 2,
x + 4 = y + 3z,
2x = 0.
Las siguientes son ecuaciones en las variables x, y, z, pero no son
ecuaciones lineales:
y = sen(x + z),
x2
+ y = z2
,
y = 2(x+y)
,
5xy + 3z = 1.
Como nos interesa trabajar no sólo con tres variables, a veces no uti-
lizaremos las tradicionales x, y, z, como tales, sino que subindizaremos

38 2. Rn
como espacio vectorial
especialmente la x y estudiaremos ecuaciones lineales en las variables x1,
x2, x3, etc., estas variables se suelen escribir en orden al lado izquierdo de
la ecuación, dejando el lado derecho para el término independiente (cons-
tante). Realmente queremos estudiar sistemas de ecuaciones lineales,
es decir, estudiar las soluciones comunes a varias ecuaciones con incóg-
nitas x1, x2, . . . , xn. El estudiante debe tener experiencia del bachillera-
to en resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y de tres
ecuaciones con tres variables. Dado un sistema de ecuaciones con incóg-
nitas x1, x2, x3, . . . , xn, entenderemos por una solución del sistema, una
“n-upla” ordenada (s1, s2, . . ., sn) de números reales, tal que al sustituir
x1 por s1, x2 por s2, . . ., xn por sn, se satisfacen todas las ecuaciones
del sistema; la palabra “n-upla” no es castiza, pero signiﬁcará que se
tienen n números ordenados. La solución o conjunto solución del sis-
tema es el conjunto de todas las soluciones del sistema. Si un sistema de
ecuaciones tiene al menos una solución se dice que es consistente y en
caso contrario se dirá inconsistente.
Ejemplo 2.1.1. Una solución del sistema
2x + y = −4
−x − 1
2
y = 2
es la pareja (0, −4). Otras soluciones son (1, −6), (−1, −2), (1
2
, −5),
(−2, 0) y (π, −4 − 2π) (¡verifíquelo!). ¿Cuántas soluciones tiene este sis-
tema?, ¿cuál es su conjunto solución?
Un sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas
x1, x2, . . . , xn se puede escribir de la siguiente manera:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
cuando b1 = b2 = . . . = bm = 0 se dice que el sistema es homogéneo.
Un sistema homogéneo siempre es consistente, ¿por qué?

2.1. Sistemas de ecuaciones lineales 39
Muy seguramente el estudiante habrá “manipulado” matrices en algunos
de sus cursos de secundaria. Informalmente, una matriz es un arreglo
rectangular de números. Al trabajar con sistemas de ecuaciones, es muy
conveniente trabajar con ciertas matrices, determinadas por el sistema.
La matriz del sistema está conformada por los coeﬁcientes de las varia-
bles escritos ordenadamente:





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





.
La matriz ampliada del sistema incluye como última columna las
constantes: 




a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm





.
Ejemplo 2.1.2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales encon-
traremos la matriz del sistema y la matriz ampliada.
2x1 + 3x2 − x3 = −3
x2 + 2x3 = 7
−x1 + x3 = 2.
La matriz del sistema está dada por:


2 3 −1
0 1 2
−1 0 1

 ,
y la matriz ampliada por:


2 3 −1 −3
0 1 2 7
−1 0 1 2

 .

40 2. Rn
Figura 2.1. Karl Friedrich Gauss.
El método de Gauss*
para resolver sistemas de ecuaciones lineales con-
siste en encontrar, por medio de operaciones elementales entre ecuaciones
(ver Deﬁnición 3), un sistema equivalente**
más sencillo. Se toma la ma-
triz ampliada y se va transformando hasta encontrar una matriz,





d11 d12 . . . d1n e1
d21 d22 . . . d2n e2
...
...
...
...
...
dm1 dm2 . . . dmn em





en donde los dij sean 0 cuando i j, es decir, los elementos debajo
de la diagonal (entendemos por diagonal los elementos de la forma dii)
*
Karl Friedrich Gauss (1777-1855), nació en Brunswick, Alemania, en 1777. Ha
sido llamado el más grande matemático del siglo XIX y fue reconocido como “el
príncipe de las matemáticas”. Por fortuna, su genio fue reconocido desde la escuela
elemental. Una anécdota cuenta que a la edad de 10 años, Gauss sorprendió a su
maestro al sumar los números del 1 hasta el 100 en forma instantánea. Gauss había
observado que los números se podían arreglar en 50 pares que sumaban cada uno
101 (1+100, 2+99, etc.), y 50 × 101 = 5050. A los 18 años, inventó el método de
mínimos cuadrados; y antes de cumplir 19 años, resolvió un problema de dos mil
años de antigüedad: Gauss demostró cómo construir, con sólo regla y compás, un
polígono regular de 17 lados. Gauss realizó trabajos importantes en astronomía y
electricidad, pero la producción matemática es la más asombrosa. Su tesis doctoral
de 1799 dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra «que todo
polinomio de grado n, tiene, contando multiplicidades, exactamente n raíces». En
1801 su obra Disquisitiones Arithmeticae es el libro más inﬂuyente sobre la teoría de
números. Además, hizo contribuciones al álgebra y la geometría. Gauss fue catedrático
de matemáticas en Göttingen en 1807 hasta su muerte en 1855.
**
Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo
conjunto solución.

son nulos y además el primer elemento diferente de cero de la fila i está
a la derecha del primer elemento diferente de cero de la fila i − 1 (se
entiende que si hay filas que sólo contienen ceros, éstas quedan en la parte
inferior de la matriz). Este tipo de matriz recibe el nombre de triangular
superior o escalonada y su sistema correspondiente es muy fácil de
resolver. Es de anotar que el método de Gauss (llamado también método
de eliminación de Gauss), se puede aplicar y funciona con cualquier
sistema de ecuaciones lineales.
Definición 3. Hay tres tipos de operaciones elementales entre ecuaciones
(o filas):
Sumarle a una ecuación (fila) un múltiplo de otra ecuación.
Intercambiar dos ecuaciones (filas).
Multiplicar una ecuación (filas) por una constante diferente de cero.
De su experiencia de secundaria en resolver sistemas de ecuaciones li-
neales, el estudiante puede observar y deducir que al efectuar cualquiera
de estos tres tipos de operaciones en las ecuaciones de un sistema, este
no se altera, en el sentido de que su conjunto solución es el mismo. Sim-
bolizaremos cfi + fj la operación de sumar a la fila j, c veces la fila i (c
es una constante real); fi ↔ fj la operación de intercambiar las filas i y
j, y cfi la operación de multiplicar la fila i por la constante c = 0.
Ejemplo 2.1.3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x1 + 3x2 − x3 = −3
x2 + 2x3 = 7
−x1 + x3 = 2.
Solución. Por el método de Gauss, partiendo de la matriz ampliada,
tenemos:


2 3 −1 −3
0 1 2 7
−1 0 1 2

−−−−→
f1 ↔ f3


−1 0 1 2
0 1 2 7
2 3 −1 −3

 −−−−→
2f1 + f3


−1 0 1 2
0 1 2 7
0 3 1 1

−−−−−−→
(−3)f2 + f3


−1 0 1 2
0 1 2 7
0 0 −5 −20

 =⇒

42 2. Rn
la última matriz obtenida es triangular superior y su sistema correspon-
diente es equivalente al sistema original.
−x1 + x3 = 2
x2 + 2x3 = 7
−5x3 = −20,
de la tercera ecuación tenemos que x3 = 4, y reemplazamos este valor en
las dos primeras ecuaciones, de donde obtenemos, x1 = 2 y x2 = −1; la
solución del sistema se puede ver como la “tripla” (2, −1, 4).
Hay que tener en cuenta que cuando “sobran” variables se reemplazan
por parámetros que nos indican la forma de las soluciones. Además si se
obtiene una ﬁla de ceros cuyo término constante no es 0, el sistema no
tiene solución (es decir es inconsistente); ¿por qué?
Ejemplo 2.1.4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x1 + 3x2 − x3 = −3
x2 + 2x3 = 7
2x1 + 4x2 + x3 = 2.
tenemos:


2 3 −1 −3
0 1 2 7
2 4 1 2

−−−−−→
−f1 + f3


2 3 −1 −3
0 1 2 7
0 1 2 5

 −−−−−→
−f2 + f3


2 3 −1 −3
0 1 2 7
0 0 0 −2

 =⇒
2x1 + 3x2 − x3 = −3
x2 + 2x3 = 7
0x1 + 0x2 + 0x3 = −2,
Como la última ecuación no tiene ninguna solución, el sistema es incon-
sistente.
Según la forma de la matriz escalonada a la que se llegue, un sistema de
ecuaciones lineales puede tener una única, inﬁnitas o ninguna solución.

Ejemplo 2.1.5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que
es “casi” igual al del ejemplo anterior:
2x1 + 3x2 − x3 = −3
x2 + 2x3 = 7
2x1 + 4x2 + x3 = 4.
tenemos:


2 3 −1 −3
0 1 2 7
2 4 1 4

−−−−−→
−f1 + f3


2 3 −1 −3
0 1 2 7
0 1 2 7

 −−−−−→
−f2 + f3


2 3 −1 −3
0 1 2 7
0 0 0 0

 =⇒
2x1 + 3x2 − x3 = −3
x2 + 2x3 = 7
0x1 + 0x2 + 0x3 = 0,
ahora, la última ecuación no nos aporta nada ya que cualquier x1, x2, x3
la cumple entonces el sistema es equivalente al sistema con tres incógnitas
y dos ecuaciones:
2x1 + 3x2 − x3 = −3
x2 + 2x3 = 7,
en este sistema “sobra” una variable que podríamos suponer toma
cualquier valor, por ejemplo hagamos x3 = t (hemos introducido el
“parámetro” t) y obtenemos:
2x1 + 3x2 = −3 + t
x2 = 7 − 2t,
al solucionar este nuevo sistema, obtenemos todas las soluciones a nuestro
sistema original: x3 = t, x2 = 7 − 2t, 2x1 = −3 + t − 3x2 = −3 +
t − 3(7 − 2t) = −24 + 7t, es decir x1 = −12 + 7
2
t. Así las soluciones
al sistema se pueden ver como ternas (−12 + 7
2
t, 7 − 2t, t), como para
cada valor real t tenemos una solución, nuestro sistema original tiene
inﬁnitas soluciones; y el conjunto solución se puede escribir como sigue:
S = {(−12 + 7
2
t, 7 − 2t, t) | t ∈ R}.

44 2. Rn
En general, dado un sistema no es posible determinar cuántas soluciones
tiene sin haberlo resuelto. Sin embargo, para el caso particular de los
sistemas homogéneos tenemos la siguiente:
Proposición 3. Un sistema homogéneo con más incógnitas que
ecuaciones tiene inﬁnitas soluciones.
Demostración. Supongamos un sistema homogéneo de m ecuaciones con
n incógnitas y n m. Si el sistema no tiene inﬁnitas soluciones entonces
debe tener únicamente la solución trivial, es decir es equivalente al sis-
tema:
x1 = 0
x2 = 0
...
xn = 0,
lo cual implica que el sistema debe tener al menos n ecuaciones, o sea,
m ≥ n lo que contradice n m.
Ejercicios 2.1
1. Usando el método de eliminación gaussiana encuentre todas las
soluciones, si existen, de los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)



6x1 + x2 − x3 = 7
4x1 − x2 + 5x3 = 4
2x1 + 2x2 − x3 = 0;
b)



x1 + x2 − x3 = 7
x1 − x2 + 5x3 = 4
6x1 + x2 + 3x3 = 18;
c)



2x2 + 5x3 = 6
x1 − 2x3 = 4
2x1 + x2 = −2;
d)
x1 + 2x2 − x3 = 4
3x1 + 4x2 − 2x3 = 7;
e)



x1 + x2 = 4
2x1 − 3x2 = 7
3x1 + 2x2 = 8.

2. Dé una interpretación geométrica al hecho de solucionar un sistema
de la forma:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2.
Geométricamente, ¿qué significa que el sistema tenga una única
solución?, ¿que tenga infinitas soluciones?, ¿que sea inconsistente?
3. Considere el sistema:
2x1 + 3x2 − x3 = a
x1 − x2 + 3x3 = b
3x1 + 7x2 − 5x3 = c,
demuestre que el sistema es inconsistente si y sólo si c = 2a − b.
4. ¿Qué condiciones deben cumplir a, b y c para que el sistema:
x1 + x2 + 2x3 = a
x1 + x3 = b
2x1 + x2 + 3x3 = c,
sea consistente (tenga por lo menos una solución)?
5. Demuestre que el sistema:
ax + by = 0
cx + dy = 0
tiene un número infinito de soluciones si y sólo si ad − bc = 0.
6. Considere el sistema:
ax + by = c
bx + ay = d.
a) Encuentre condiciones sobre a y b para que el sistema tenga
una única solución.

46 2. Rn
b) Encuentre condiciones sobre a, b, c y d para que el sistema
tenga inﬁnitas soluciones.
7. Hallar el polinomio p(x) de grado 2 (es decir p(x) = ax2
+ bx + c
con a = 0), tal que se cumpla: p(1) = −1, p(−1) = 9 y p(2) = −3.
8. Sean x0, x1 dos números reales diferentes, entonces para cuales-
quiera y0, y1:
a) Demostrar que existe un único polinomio p(x) de grado 1 tal
que: p(x0) = y0 y p(x1) = y1.
b) Interpretar geométricamente el anterior resultado.
9. Sean x0, x1, . . . , xn, n + 1 números reales diferentes entonces para
cualesquiera y0, y1, . . ., yn:
a) Demostrar que existe un único polinomio p(x) de grado n tal
que: p(x0) = y0, p(x1) = y1, . . ., p(xn) = yn.
b) Interpretar geométricamente el anterior resultado.
10. Resolver los siguientes problemas:
a) Una alcancía tiene monedas de tres denominaciones diferentes.
Con 8 monedas de la primera denominación más 23 monedas
de la segunda denominación, más 17 monedas de la tercera
denominación se completarían $23.300. Además, tener 10 mo-
nedas de la primera denominación, más 10 monedas de la se-
gunda denominación sería lo mismo que tener 6 monedas de
la tercera denominación, mientras que tener 10 monedas de
la segunda denominación más 5 monedas de la tercera deno-
minación sería lo mismo que tener 12 monedas de la primera
denominación. ¿Cuáles son las denominaciones de las monedas
que contiene la alcancía?
b) Tres especies de ardillas han sido llevadas a una isla con una
población inicial total de 2.000. Después de 10 años, la especie
I ha duplicado su población y la especie II ha incrementado
su población en un 50 %, la especie III se ha extinguido. Si el
incremento en la población de la especie I es igual que el de la

especie II y si la población total se ha incrementado en 500,
determine la población inicial de las tres especies.
c) Una compañía de construcción ofrece tres tipos de casa.
El primer tipo de casa requiere 3 unidades de concreto, 2
unidades de madera para cancelería y 8 unidades de madera
para estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 7
y 4, 2, 10 unidades respectivamente. Si cada mes la compañía
dispone de 200 unidades de concreto, 150 de madera para can-
celería y 550 unidades de madera para estructuras, calcule el
número de diferentes tipos de casas que la compañía podrá
construir al mes si usa todos los materiales de que dispone.
11. Construya estas pirámides de números. El número cúspide es la
suma de los dos números inmediatamente inferiores y así sucesiva-
mente:
20 47
180
439
739
w x
y
z
3
8
21a) b) c)

48 2. Rn
2.2. Rn
: el espacio donde viven las soluciones
a sistemas de ecuaciones con n variables
En la sección anterior se trabajó un método para solucionar sistemas de
ecuaciones lineales. Pero, ¿qué es una solución de un sistema con n varia-
bles? ¿Dónde se encuentran esas soluciones? En esta sección introducimos
el “mundo” que llamamos Rn
; en él habitan las posibles soluciones a los
sistemas de ecuaciones con n variables.
(1, 20), (π, 1/2), (0, e), etc., son parejas de números reales, mientras que
(1, 2, −1), (2, 2π, −1) son triplas de números reales. Por ejemplo, algunas
soluciones de la ecuación
2x + y = 1
son (0, 1), (1, −1), (−1, 3), (2, −3), etc.; en general, las soluciones de esta
ecuación son todas las parejas de la forma
(t, 1 − 2t),
con t un número real. Algunas soluciones de la ecuación
x − y + 2z = 0
son (0, 0, 0), (1, 0, −1/2), (0, 1, 1/2), (1, 1, 0), etc. (¿Cómo es la forma
general de las soluciones de esta ecuación?).
Como se habrá notado, es conveniente entender una solución de un sis-
tema con dos variables como una pareja ordenada de números reales que
satisface las ecuaciones del sistema, una solución de un sistema con tres
variables es una tripla ordenada de números reales que satisface todas
las ecuaciones del sistema, y en general, una solución de un sistema con
n variables será una n-upla ordenada de números reales que satisface to-
das las ecuaciones del sistema. ¿Por qué es importante el orden en que
aparecen los números de la n-upla?
En general consideraremos n-uplas de números reales que notaremos
(x1, x2, . . ., xn),
donde cada xi ∈ R. Recordemos que la palabra “n-upla” no es castiza,
pero la usamos para indicar que se tiene n números ordenados. Esto

2.2. Rn
: el espacio donde viven las soluciones . . . 49
significa que si tenemos las n-uplas (x1, x2, . . . , xn) y (y1, y2, . . . , yn), para
que sean iguales es necesario y suficiente que sean iguales componente a
componente es decir,
(x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn) ⇔ x1 = y1, x2 = y2, . . ., xn = yn.
Las n-uplas son también llamadas vectores n-dimensionales. El tér-
mino vector es inspirado en la interpretación geométrica del caso parti-
cular n = 2, es decir en los vectores en el plano, seguramente familiares
para el estudiante. Cada vector n dimensional tiene entonces n compo-
nentes que se llaman también coordenadas del vector. Los vectores los
notaremos con letras mayúsculas. El conjunto de todos los vectores de
dimensión n con componentes reales lo notaremos Rn
. Así:
R2
= {(x1, x2) | x1 ∈ R, x2 ∈ R}
R3
= {(x1, x2, x3) | x1 ∈ R, x2 ∈ R, x3 ∈ R}
...
Rn
= {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R, i = 1, 2, . . ., n}.
R2
y R3
se pueden representar geométricamente como el plano carte-
siano y el espacio tridimensional respectivamente (ver Figura 2.2). En
ambos casos la representación se puede hacer de tres maneras, según la
conveniencia:
(a, b, c)
x
y
z
a
b
c
x
y
z
Figura 2.2. Representación geométrica de vectores tridimensionales.
a) Como un punto.
b) Como una flecha que va del origen al punto.

50 2. Rn
c) Como una flecha de igual longitud y sentido que la de b), pero que
parte de cualquier punto.
Nota. Diremos que dos flechas tienen la misma dirección si están sobre
rectas paralelas (consideraremos que toda recta es paralela a si misma),
el sentido de una flecha se refiere hacia donde ella apunta, de tal manera
que dos flechas pueden tener la misma dirección y el mismo sentido, o la
misma dirección pero diferente sentido (ver Figura 2.3).
a) b) c)
Figura 2.3. a) Flechas con igual dirección y sentido. b) Flechas con igual
dirección y diferente sentido. c) Flechas con diferente dirección.
Obsérvese que R2
se puede entender como el conjunto C de los números
complejos visto en el capítulo anterior.
Siendo X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn) vectores de Rn
, defini-
mos la suma vectorial X + Y ∈ Rn
así:
X + Y =: (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn);
también definimos αX, cuando α es un número real o escalar, así:
αX =: (αx1, αx2, . . . , αxn).
Esta operación se llama producto por escalar.
Estas dos operaciones son muy sencillas y naturales: para sumar vec-
tores se suman sus componentes correspondientes, para multiplicar un
vector por un escalar se toma cada componente y se multiplica por el
escalar, si pensamos en R2
o R3
, ¿cómo se interpretan geométricamente
las operaciones de suma y producto por escalar?
Con estas dos operaciones Rn
forma lo que se llama un espacio vectorial
pues cumple las siguientes propiedades:

2.2. Rn
EV0: Rn
es cerrado para la suma de vectores y para el producto por
escalar, es decir: si X, Y ∈ Rn
y α ∈ R, entonces X + Y ∈ Rn
y
αX ∈ Rn
.
EV1: La suma de vectores es conmutativa, es decir, para todo X, Y ∈ Rn
se tiene X + Y = Y + X.
EV2: La suma de vectores es asociativa: para todo X, Y, Z ∈ Rn
se tiene,
(X + Y ) + Z = X + (Y + Z).
EV3: La suma de vectores es modulativa: existe 0 ∈ Rn
tal que para todo
X ∈ Rn
se tiene, X + 0 = X, 0 también se llama vector nulo,
módulo o elemento neutro para la suma.
EV4: La suma de vectores es invertiva: para todo X ∈ Rn
existe (−X) ∈
Rn
tal que X + (−X) = 0, −X se llama el opuesto o inverso
aditivo de X y como en los números X + (−Y ) se notará X − Y .
EV5: Para todo a, b ∈ R y todo X ∈ Rn
, a(bX) = (ab)X.
EV6: Para todo a, b ∈ Rn
y todo X ∈ Rn
, (a + b)X = aX + bX.
EV7: Para todo a ∈ R y todo X, Y ∈ Rn
, a(X + Y ) = aX + aY .
EV8: Para todo X ∈ Rn
, 1X = X.
Rn
es un ejemplo muy importante de espacio vectorial, pero debemos
decir que existen muchos otros, también muy importantes en los cuales no
profundizaremos. Todo conjunto en donde se puedan deﬁnir operaciones
de suma entre sus elementos y producto por escalar y que cumpla las
propiedades EV0 a EV8 es un espacio vectorial. Ilustremos, por ejemplo,
la propiedad EV7 en el espacio R4
:
Sean a = 2
3
, X = (9, 0, −3, 1), Y = (2, −6, 0, 3). Efectuando a(X + Y ) se
tiene:
2
3
((9, 0, −3, 1) + (2, −6, 0, 3)) = 2
3
(11, −6, −3, 4) = 22
3
, −4, −2, 8
3
y por otra parte, efectuando aX + aY se tiene:
2
3
(9, 0, −3, 1) + 2
3
(2, −6, 0, 3) = 6, 0, −2, 2
3
+ 4
3
, −4, 0, 2
= 22
3
, −4, −2, 8
3
.

52 2. Rn
Se observa claramente que los dos resultados son iguales. Mostrar, como
acabamos de hacer, un ejemplo muy particular de la propiedad EV7, no
implica que la propiedad siempre se cumple en cualquier Rn
; para poder
aﬁrmar esto, se debe hacer una “prueba” o “demostración” mucho más
general; algo como lo que sigue:
Sean a ∈ R y X = (x1, x2, . . ., xn), Y = (y1, y2, . . . , yn) dos vectores
n-dimensionales cualesquiera. Tenemos entonces:
a(X + Y ) = a((x1, . . ., xn) + (y1, . . ., yn)), reemplazando X e Y ;
= a(x1 + y1, . . . , xn + yn), suma de vectores;
= (a(x1 + y1), . . . , a(xn + yn)), producto por escalar;
= (ax1 + ay1, . . . , axn + ayn), propiedad distributiva
de la multiplicación en R,
es decir,
a(X + Y ) = (ax1 + ay1, . . . , axn + ayn). (2.1)
Por otra parte veamos qué es aX + aY :
aX + aY = a(x1, . . . , xn) + a(y1, . . . , yn), reemplazando X e Y ;
= (ax1, · · ·axn) + (ay1, . . . , ayn), producto por escalar;
= (ax1 + ay1, . . . , axn + ayn), suma de vectores,
es decir,
aX + aY = (ax1 + ay1, . . . , axn + ayn). (2.2)
Comparando los resultados obtenidos en (2.1) y (2.2) se observa que son
iguales y ahora sí podemos aﬁrmar que la propiedad EV7 se cumple para
todo a ∈ R y todo X, Y ∈ Rn
; en otras palabras, se ha hecho una de-
mostración formal de dicha propiedad. El estudiante puede, a manera
de ejercicio, ilustrar con ejemplos cada una de las propiedades (EV0 a
EV8), así como escribir una demostración formal de cada una de ellas
(ver Ejercicio 10). Con base en estas propiedades se pueden demostrar
otras muchas; las más elementales se dejan como ejercicio (Ejercicio 11).

2.2. Rn
Ejercicios 2.2
1. a) Dibújense flechas con punto inicial (0, 0), correspondientes a
los vectores dados a continuación:
i) (1, 3);
ii) (−1, 2);
iii) (1, −2);
iv) (−3, −2).
b) Dibújense los mismos vectores partiendo del punto (1,2).
2. ¿Cuáles son las coordenadas del vector que parte del punto (1, 5) y
llega a (3, 1)?
3. Sea A el vector bidimensional que parte del punto (x1, y1) y llega al
punto (x2, y2). Halle las coordenadas de A (es decir ,las coordenadas
del punto final de A cuando se traslada al origen).
4. Sea A = (5, −2), B = (3, 1), α = 1/2, β = 3, escribir las coorde-
nadas de los vectores: A + B, αA + βB, αA − βB.
5. Sea A = (1, −2, 3), B = (−1, 3, 1), α = 1/3, β = 2, escribir las
coordenadas de los vectores: A + B, αA + βB, αA − βB.
6. Tomando los vectores de R2
como flechas que parten del origen,
interpretar geométricamente los vectores 0, −X, la suma y el pro-
ducto por escalar.
7. Sea A = (3, −1, 2), B = (1, −1, 0) y C = (3, 1, 3). Encontrar, si
existen, X, Y y Z, tales que: A+X = 2B, C+2Y = A, X+2Y −Z =
2C.
8. Sea A = (5, −2), B = (3, 1). Encontrar, si existen, α y β tales que
αA + βB = (1, 0).
9. Sea A = (5, −2, 1, 0), B = (3, 1, 3, −1) y C = (2, −1, 0, 2). De-
mostrar que no existen α y β tales que αA + βB = C.
10. Demostrar que Rn
con la suma y el producto por escalar es efecti-
vamente un espacio vectorial, es decir, cumple las propiedades EV0
a EV8.

54 2. Rn
11. Basándose en las propiedades EV0 a EV8, demostrar:
a) El módulo de la suma es único.
b) El inverso aditivo es único.
c) Multiplicar por el escalar 0 da el vector 0.
d) El inverso aditivo de X es (-1)X.
12. Demostrar usando vectores, que si A, B son puntos diferentes de
R3
, el punto medio del segmento determinado por A y B, se puede
escribir como αA + βB donde α = β = 1/2.
13. Sea A=(5, -2, -1) y B=(3, 1, 2); encontrar, usando vectores, los
puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales.
14. Considere el triángulo determinado por los puntos A, B y C de R3
.
Hallar la forma de los puntos de cada una de las medianas.
15. Demostrar vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo
se cortan en sus puntos medios.
16. Demostrar vectorialmente que el segmento que une los puntos
medios de los lados de un triángulo es paralelo al otro lado y mide
la mitad de tal lado.
17. Sea V = {f | f : Rn
−→ Rm
} (el conjunto de todas las funciones
de Rn
en Rm
), deﬁna una suma y un producto por escalar en V de
la siguiente manera: dadas f, g ∈ V y α ∈ R, entonces
f + g : Rn
−→ Rm
y αf : Rn
−→ Rm
se deﬁne:
(f + g)(x) =: f(x) + g(x) y (αf)(x) =: αf(x).
Demuestre que V, +, · es un espacio vectorial.

2.3. Combinaciones lineales e independencia lineal 55
2.3. Combinaciones lineales e independencia
lineal
Al aplicar sucesivamente las operaciones que ya conocemos a un conjunto
de vectores dados, obtenemos combinaciones lineales de ellos. Así por
ejemplo, 3X es combinación lineal del vector X, mientras que 2X − 3Y
es combinación lineal de X e Y y X−Y +1
3
Z+
√
2W es combinación lineal
de X, Y, Z y W. Más exactamente, dados los vectores X1, X2, . . ., Xk de
Rn
, el vector V será combinación lineal de X1, X2, . . . , Xk si existen
escalares α1, α2, . . . , αk tales que
V = α1X1 + α2X2 + . . . + αkXk.
Por ejemplo, (0, 7) es combinación lineal de (1, 3), (0, 4) y (2, 1) (¡ver-
ifíquelo!); (1, −1, 0) es combinación lineal de (1, 1, 2) y (1, 3, 4), mientras
que (1, 3, 7) no es combinación lineal de (1, 2, 3) y (−1, 0, 1) (¡verifíque-
lo!). También es fácil comprobar que todo vector en R2
es combinación
lineal de los vectores (1, 0) y (0, 1) y todo vector en R3
es combinación
lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). En general, cuando todo
vector en un espacio vectorial V es combinación lineal de un conjunto
finito de vectores, decimos que dicho conjunto es un sistema generador
del espacio vectorial. Al tener un sistema generador de alguna manera se
tiene todo el espacio, en el sentido que bastaría hacer todas las posibles
combinaciones lineales de los vectores del sistema generador para obtener
todos los vectores del espacio. Por esto conviene buscar aquellos sistemas
de generadores que tengan el menor número posible de vectores, de tal
manera que en un sistema de generadores, cada vez que alguno de los vec-
tores del sistema sea una combinación lineal de los otros, entonces dicho
vector se puede “descartar” puesto que los vectores que quedan seguirán
generando al espacio, así los sistemas de generadores con el menor número
posible de vectores, son aquellos en los cuales ninguno de los vectores del
sistema es combinación lineal de los otros, es decir, cuyos vectores son
“linealmente independientes” concepto que se introduce a continuación,
para terminar la sección con los conceptos formales de base y dimensión.
Definición. Un conjunto finito de dos o mas vectores X1, X2, . . . , Xp de
Rn
se dice linealmente dependiente si alguno de ellos es combinación

56 2. Rn
lineal de los otros. Caso contrario, cuando ninguno puede considerarse co-
mo combinación lineal del resto, decimos que los vectores X1, X2, . . . , Xp
son linealmente independientes.
El vector nulo 0 es el único vector (estrictamente, conjunto de un sólo
vector) que se considera linealmente dependiente. Por tanto todo conjun-
to de un sólo vector no nulo es linealmente independiente. Un conjunto
de dos vectores X1 y X2 será linealmente dependiente si se tiene para
algún escalar α, bien X1 = αX2, o bien, X2 = αX1. De acuerdo con esto,
y recordando lo que significa geométricamente multiplicar un vector en el
plano por un escalar, podemos afirmar que un conjunto {X1, X2} ⊆ R2
(los vectores X1, X2 aquí se están considerando como flechas que parten
del origen) es linealmente dependiente si y sólo si X1, X2 son colineales,
es decir, si están sobre una misma linea recta (ver Figura 2.4).
X2
X1
X1 y X2 son linealmente
dependientes
X2
X1
X1 y X2 son linealmente
independientes
Figura 2.4. Vectores linealmente dependientes e independientes.
De manera análoga, observando que si X, Y ∈ R3
, son no colineales,
entonces Π = {α1X + α2Y | α1, α2 ∈ R} corresponde al plano generado
por los vectores X e Y , ¿cómo se puede interpretar geométricamente la
afirmación: {X, Y, Z} ⊆ R3
es un conjunto linealmente independiente?
(Ejercicio 4).
De acuerdo con la definición anterior, para determinar si un conjunto
de p vectores en Rn
es linealmente dependiente, habría que comprobar
si alguno de ellos es combinación lineal de los otros, esto es tomar cada
uno de los p vectores y averiguar si es o no combinación lineal de los
p − 1 vectores restantes. Esto implicaría en general un trabajo un poco
dispendioso.

En la siguiente proposición se establece un criterio mucho más “práctico”
que nos permitirá ahorrarnos dicho trabajo.
Proposición 1. Los vectores X1, X2, . . . , Xp son linealmente indepen-
dientes, si y sólo si, dados α1, α2, . . . , αp escalares tales que
α1X1 + α2X2 + . . . , +αpXp = 0
entonces se puede deducir que los escalares son 0, es decir:
α1 = α2 = . . . = αp = 0.
Demostración. Ejercicio 12.
En otras palabras, los vectores son linealmente independientes si y sólo
si la única combinación lineal de ellos que produce el vector nulo (tal
combinación se llama combinación lineal nula) es la trivial, o sea cuando
todos los escalares son cero.
Ejemplo 2.3.1. Dados los vectores (1, −2, 0), (0, 2, −1) y (3, −1, 1), de-
terminar si son vectores linealmente independientes o linealmente depen-
dientes.
Solución. Partiendo de la igualdad α1(1, −2, 0) + α2(0, 2, −1) +
α3(3, −1, 1) = (0, 0, 0), debemos encontrar los valores de α1, α2 y α3.
Aplicando las operaciones de producto por escalar y suma de vectores
tenemos:
(α1 + 3α3, −2α1 + 2α2 − α3, −α2 + α3) = (0, 0, 0) ,
por igualdad de vectores tenemos el siguiente sistema homogéneo:
α1 + 3α3 = 0
−2α1 + 2α2 − α3 = 0
−α2 + α3 = 0.
Si encontramos la solución al sistema, tenemos que α1 = α2 = α3 = 0, de
donde concluimos que los vectores dados son linealmente independientes.

58 2. Rn
Recordemos el concepto de sistema generador que establecimos al comien-
zo de esta sección.
Definición. Un conjunto de vectores {X1, X2, ..., Xp} de un espacio vec-
torial se dice un sistema de generadores (o X1, X2, . . . , Xp generan el
espacio), si todo vector del espacio es combinación lineal de ellos.
Ejemplo 2.3.2. Encontremos ahora el conjunto que generan los tres
vectores del ejemplo anterior, esto es, el conjunto de todas las posibles
combinaciones lineales de ellos. Sea (a, b, c) un vector generado por los
tres vectores, entonces existen escalares α1, α2 y α3 tales que cumplen la
igualdad:
α1(1, −2, 0) + α2(0, 2, −1) + α3(3, −1, 1) = (a, b, c),
de donde se obtiene el siguiente sistema:
α1 + 3α3 = a
−2α1 + 2α2 − α3 = b
−α2 + α3 = c.
Resolviendo el sistema se deduce que para cualesquiera a, b y c el sistema
es consistente; entonces concluimos que los vectores generan a todo el
espacio R3
.
Definición. Un conjunto de vectores X1, X2, . . . , Xp de un espacio vec-
torial se dice que es una base del espacio si se cumple conjuntamente:
i) los vectores X1, X2, . . . , Xp son linealmente independientes;
ii) X1, X2, . . . , Xp generan todo el espacio.
El concepto de base permite definir el de dimensión.
Definición. La dimensión de un espacio vectorial es el número de ele-
mentos de cualquiera de sus bases.
Claro está que para que el concepto de dimensión quede bien definido
debemos garantizar que:

Proposición 2. Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo
número de elementos.
Ejemplo 2.3.3. dim(R2
) = 2, pues B = {E1, E2} donde E1 = (1, 0),
E2 = (0, 1) es una base (llamada la base canónica) que tiene dos ele-
mentos. Análogamente dim(R3
) = 3, pues la base canónica de R3
consta
de 3 vectores: E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0) y E3 = (0, 0, 1).
Ejemplo 2.3.4. Con base en la Proposición 2 y en el ejemplo anterior
podemos afirmar que todas las bases de R2
deben tener exactamente dos
vectores, de tal manera que cualquier subconjunto de R2
con sólo un
vector o con tres o más vectores no podrá ser una base de R2
, mientras
que por ejemplo el conjunto S = {(2, 1), (−1, 3)} si podrá serlo. ¿Cómo
saber si tal S es o no una base de R2
? Pues, en principio tendríamos que
verificar si S cumple las dos condiciones para ser una base. Sin embargo,
recordando lo que significa geométricamente que dos vectores de R2
sean
linealmente independientes (ver Figura 2.4), podemos deducir inmediata-
mente que S es linealmente independiente y además por el hecho de no
ser colineales, el conjunto de todas sus combinaciones lineales será R2
,
luego S si es una base de R2
. Obsérvese que, en general para determinar
si un conjunto de dos vectores de R2
es o no base, basta determinar si
tal conjunto es o no linealmente independiente, o basta determinar si es
o no, un sistema de generadores.
Más generalmente, si se tiene un conjunto de vectores, con tantos elemen-
tos como la dimensión del espacio vectorial correspondiente, entonces es
suficiente que dicho conjunto sea linealmente independiente o que genere
al espacio, para que sea una base. Más precisamente, tenemos la siguiente
proposición.
Proposición 3. Si dim(V ) = n, S ⊆ V , S con n vectores, se tiene:
i) Si S es linealmente independiente entonces S es una base de V .
ii) Si S genera a V entonces S es una base de V .

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