MatFin

TECNICAS FINANCIERAS
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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA-Facultad de Estudios a Distancia
Programas de Estudio a Distancia
www.unipamplona.edu.co
Esperanza Paredes Hernández
Rectora
María Eugenia Velasco Espitia
Decana Facultad de Estudios a Distancia
Técnicas
Financieras

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PROLOGO
Este libro de fundamentos y aplicaciones de las matemáticas financieras tiene
como propósito principal, presentar diferentes herramientas de evaluación del
dinero en el tiempo utilizado para este fin un, lenguaje sencillo que el estudiante
con pocos conocimientos sobre el tema, los pueda abordar con facilidad otro
propósito es que para el desarrollo de algunos temas, se utiliza el uso de la
calculadora HEWLETT PACRARD como también la hoja electrónica Excel,
herramientas que ayudan y facilitan y hacen más sencillo los procedimientos para
solucionar los diferentes problemas y casos de la Matemáticas Financiera.
Es de aclarar que este libro no pretende desarrollar modelos Matemáticos, ni
explicar detalladamente de donde y como resultan las fórmulas, lo que buscan es
saber las aplicaciones y el uso de las fórmulas en la vida cotidiana de las personas
como de las empresas con el único objetivo que es el de tomar decisiones de tipo
económico.
Cada capitulo tiene su objetivo general, desarrollando los contenidos en una forma
clara y sencilla explicando los ejercicios paso a paso y con el uso de las diferentes
herramientas como la calculadora H.P., el Excel y sobre todo elaborando los
ejemplos con situaciones reales que se presentan en el diario vivir de un,
ciudadano o empresa.
Este libro va dirigido a los estudiantes de administración de empresas, contaduría y
carreras afines que les proporciona conceptos básicos y fundamentales para el
desempeño de sus funciones y para utilizar mejor en todos los casos el Valor del
dinero en el tiempo.

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CAPITULO 1. INTERÉS SIMPLE
OBJETIVO
Al finalizar el estudio de éste capitulo, el estudiante podrá:
Definir los conceptos de interés, interés simple, valor presente, valor futuro, tasa
de interés, tiempo o periodos de pago.
TEMAS
1.1 Introducción y conceptos básicos.
1.2 Cálculo de intereses.
1.3 Representación gráfica o diagrama de tiempo.
1.4 Cálculo de valor Presente.
1.5 Cálculo de plazo o tiempo.
1.6 Cálculo de tasa de interés.
1.1. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

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Introducción.
En toda actividad comercial y financiera se acostumbra pagar un interés por uso
del dinero prestado. La gran fuente de ingresos de las Entidades Financieras es
originada por los intereses de los usuarios.
CONCEPTOS O DEFINICIONES
INTERÉS
 Es el precio que se paga por usar el dinero de otro en un tiempo determinado.
 Valor del dinero en el tiempo.
 Utilidad o ganancia que genera un capital o rendimiento de una
Inversión.
Por un dinero que se presta es necesario pagar un precio. Este precio está
representado por una suma que se debe pagar en el plazo estipulado, este valor se
denomina interés.
Cuando se invierte un capital en un negocio o inversiones se espera recuperar un
mayor valor de la suma invertida, esta utilidad del capital o de la inversión, se
llama tasa de retorno que la podemos asimilar a la tasa de interés, en otras
palabras, la utilidad de la inversión es igual al interés del capital aportado.
INTERÉS SIMPLE
Se dice que una operación comercial o financiera se maneja con interés simple
cuando los intereses no generan intereses.
CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS SIMPLE
 El capital inicial no varía durante el tiempo de la operación ya
Que los intereses no se suman al capital.
 Los intereses solo se aplican al capital inicial.
 Los intereses serán siempre iguales para cada uno de los
Periodos.
Para dar claridad a las definiciones anteriores se expone el siguiente ejemplo:

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El Señor Carvajal, prestó $ 1.000.000 de pesos al Señor Cañas, para
que le devuelva $ 1.100.000 de pesos dentro de dos meses.
Aquí se aprecia que el Señor Carvajal se gana $ 100.000 por prestarle él $
1.000.000 al Señor Cañas. Los $ 100.000 pesos son los intereses que se ganó en
los dos meses o sea $ 50.000 cada mes. Del ejemplo anterior se deduce lo
siguiente:
1. Él $ 1.000.000 del Señor Carvajal representa el capital invertido. Esto
también se llama valor presente y lo representamos en este libro con la
palabra P, también se denomina C= Capital Invertido o prestado.
2. Él $ 1.100.000 pagados por el Señor Cañas representa el dinero y lo
representamos con la letra F que significa valor futuro.
3. $ 100.000 representan los intereses ganados por el Señor
Carvajal en los dos meses y lo representamos con la letra I
De aquí resulta la siguiente fórmula:
I = F – P
I = Interés
P= Valor Presente
F= Valor Futuro
I = 1.100.000 – 1.000.000
I = 100.000
Si en los dos meses los intereses fueron de $ 100.000 esto quiere decir que $
50.000 son los de un mes. Si queremos conocer el porcentaje se ejecuta la
siguiente operación:
05.0
000.100
000.50
 Esto corresponde al índice porcentual que para
Expresarlo en porcentaje lo multiplicamos por 100 o sea, 0.05x100 equivale al
5%.Otra forma de calcular los intereses es aplicar la fórmula aprendida en la
secundaria que es aplicar fórmula siguiente:
I = CxRxT (2)

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Donde: I = Interés
C = Capital = 1.000.000
r = Rata o Tasa de Interés = 5% = 0.05
T = Tiempo = 2 meses
Con base en el ejemplo anterior
I = 1.000.000x0.05x2
I = 100.000
Representación Gráfica.
Una de las técnicas para la solución de problemas de Matemáticas financieras o del
valor del dinero a través del tiempo es la representación gráfica que consiste en
trasladar la información del problema o sus datos, a un diagrama que nos permita
visualizar y controlar la solución que le estamos dando. La representación gráfica
se inicia trazando una línea horizontal que nos permite ver el tiempo que dura la
transacción.
Hoy Mañana
Presente Futuro
Si las operaciones se realizan mensual, bimestral, trimestral, etc. Dividirá esa línea
horizontal en el número de veces que dura la operación.
Ejemplo: Si una operación dura 8 trimestre la línea horizontal estará dividida en 8
partes.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Las flechas hacia arriba en una línea de tiempo representan los ingresos a caja.
Las flechas hacia abajo en una línea de tiempo representan los egresos de caja.
Si representamos el ejemplo del Señor Carvajal en una línea de tiempo quedará
así:
F = 1.100.000
I = 0.05

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2 0
Meses
P = 1.000.000
Volviendo a retomar la formula (2)
Podemos cambiar algunos términos como son:
C = Capital por P valor Presente
r = Rata por i tasa de interés
n = Número de periodos
i = Interés
Nos quedaría entonces así:
PniI 
Despejamos P nos queda así:
ni
I
P 
Pn
I
i 
Pi
I
n 
Para calcular el valor futuro volvemos a la fórmula (1) que es I = F – P;
despejando F = P + I.
Pero como I es igual Pni; F= P+Pni;
Entonces factorizando nos queda:
)1( nipf  ( 3 )
De la fórmula (3) podemos calcular P y nos queda:
niI
f


De la formula (3) despejamos I :
I = CxRxT (2)
1

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_________________________________________________________________________
)
1
(
1
p
f
n
i


De la formula (3) despejamos n
)
1
(
1
p
f
i
n


Ahora para dar mayor claridad definimos cada uno de los componentes de la
formula 3.
 Valor Presente: Es la suma de dinero que toma o se entrega en
préstamo hoy. El valor presente indica una cantidad de dinero ubicado en el
periodo cero, y se representa con la letra P, en otros libros con las letras VP.
 Valor Futuro: Es la suma de dinero recibida o pagada por un préstamo en
un futuro, está ubicado al final de un periodo n y se representa con la letra F y
en otros libros con las letras VF.
 Tasa de Interés: Es la relación entre el interés y el valor presente.
Generalmente se expresa en porcentaje y se representa con la letra i. Periodo
de Pago: Son los intervalos de tiempo durante los cuales el valor presente gana
interés. Los periodos pueden ser anuales, semestrales, trimestral, mensuales,
etc.
PROBLEMAS RESUELTOS....
Ejemplo 1.1 Luisa Cañas, deposita hoy $ 1.000.000 en el Banco que reconoce el
2% mensual. ¿Cuánto retirará al final del primer año?
P = 1.000.000
NOTA: Es importante que el n y el i o
sea tasa de interés y periodos de pago,
se expresen en el mismo tiempo, en
otras palabras los periodos de pagos
son mensuales, la tasa de interés debe
estar expresado también en meses.

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N = 12 MESES
I = 2%
F = ? F = ?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.000.000 12 MESES
F = P ( 1 + ni)
F = 1.000 ( 1 + 12 X0.02 ) F = 1.000.000 (1.24)
F = 1.240.000
Ejemplo 1.2. ¿Cuánto tengo que depositar hoy, si dentro de 8 trimestres quiero
tener $ 3.000.000 y el banco reconoce el 8% trimestral?
3.000.000
8
1 2 3 4 5 6 7
i = 0.08 trimestrales
?p
)1( ni
f
p


)08.0*81(
000.000.3

p
64.1
000.000.3
p
29,268.829.1p
Ejemplo 1.3. Hoy deposité $ 1.000.000 en un Banco y dentro de 12 meses
recibo la suma de $ 1.360.000 ¿Qué interés mensual me reconocieron?
1)(
1

P
F
n
i

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
i = 0.03
n = 33.3333 ( 1.36 – 1 )
n = 12 meses
P = 1.000.000 i = 0.08333 (1.36-1)
f = 1.360.000 1)
000.000.1
000.360.1
(
12
1
i i = 0.08333 (0.36)
n = 12 meses i = 0.03
I =?
Ejemplo 1.4. Con base en el ejemplo anterior decimos, hoy deposito $
1.000.000 en un Banco que reconoce el 3% ¿En cuantos meses tendré $
1.360.000?
P = 1.000.000 )1(
1

P
F
i
n
F = 1.360.000
n = ? )1
000.000.1
000.360.1
(
03.0
1
n
Ejemplo 1.5. Rubén Cañas deposita $ 4.000.000, por un año en el banco que
reconoce una tasa de Intereses trimestrales del 5%, el interés es cancelado
trimestralmente. ¿ Que suma recibe Rubén trimestralmente?.
4.000.000
P = 4.000.000 I = ? I = ? I = ?
i = 0.05
n = 01 4
I = ? TRIMESTRE
1 2 3
Lo podemos hacer de dos formas:
Primera: Como habíamos definido que interés era capital por rata por tiempo; I
= c x r x t esto es lo mismo que I = P x i x n.
I = 4.000.000 x 0.05 x 1
I = 200.000
Esto significa que cada trimestre Rubén puede retirar $ 200.000 pesos.
Segunda: Calculando el valor futuro para un periodo.
F = P ( 1 + ni ) I = F – P
0.03 x 100 = 3%
Mensual
Los multiplicamos por
100 para expresarlo en
Porcentajes

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F = 4.000.000 ( 1 + 0.05 X 1 ) I = 4.200.000 – 4.000000
F = 4.200.000 I = 2.000.000
Ejemplo 1.6. El Señor Rangel recibe mensualmente $ 60.000 de intereses
¿Cuánto dinero depositaría s la tasa es del 36% mensual?
P = ?
I = 60.000
i = 36% = 3% mensual
n = 1 mes
I = P x i x n; despejando P nos queda:
P = I P = 60.000 = 2.000.000 P = 200.000
i x n 0.02 x 1
2.000.000
60.000
60.000 60.000 60.000 60.000
1 2 3 4 12
2.000.000
Ejemplo 1.7. Si por depositar $ 5.000.000 en una cuenta de ahorros pagan $
150.000 trimestral por concepto de intereses, ¿Qué tasa de interés reconoce el
Banco?
5.000.000
150.000 150.000 150.000 150.000 150.000
EL DIAGRAMA DE
ESTE EJERCICIO
QUEDARÍA ASÍ:

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i = ? n = Trimestre
P = 5.000.000
I = P x i x n; despejemos I nos queda:
np
I
i
*

1*000.000.5
000.150
i
000.000.5
000.150
i
03.0i
Ejemplo 1.8 Si hoy deposito $ 2.000.000 en una Institución financiera que paga
el 2.5% mensual ¿Cuántos meses tengo que dejarlo para obtener el doble?
4.000.000
1 2 3 4 5 6 7 n
P = 2.000.000 i = 0.025 meses
Hay dos formas para desarrollarlo:
Primera: I = P x i x n
Si decimos que va a obtener el doble, eso quiere decir que si deposito $
2.000.000, los intereses serán $ 2.000.000, despejando la formula anterior.
ip
I
n
*

025.0*000.000.2
000.000.2
n Meses40
000.50
000.000.2

Segunda:
Si P = 2.000.000 F será el doble $ 4.000.000 i = 0.025 y el n no se conoce.
)1(
1

p
f
i
n

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
)1
0000.000.2
000.000.4
(
025.0
1
n
)12(40 n
40n
Ejemplo 1.9 Hoy vendemos mercancías por valor de $ 3.500.000, con el
compromiso de cancelarla en un solo pago dentro de 5 meses. Si cobramos una
tasa del 24% anual, ¿Cuánto dinero recibiremos en el momento del cobro?
P = 3.500.000
n = 5 meses
i = 24 anual
F =?
F = ?
5
1 2 3 4 MESES
3.500.000
I = 0.08
El interés que es del 24% anual lo dividimos en 12 meses y nos da un interés
mensual de 0.24/12 = 0.02 o sea el 2%.
F = P (1+ ni)
F = 3.500.000 (1 + 5 x 0.02)
F = 3.500.000 (1.10)
F = 3.850.000 RECIBIMOS LA SUMA DE
$ 3.850.000,00

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PROBLEMAS PROPUESTOS
1.1 Hoy deposito $ 2.500.000 en una cuenta que reconoce el 22% anual ¿
Cuánto dinero tendré dentro de 2 años?. Respuesta $ 3.600.000.
1.2 Si deseo tener dentro de 3 años $ 4.000.000, ¿ Cuanto tengo que
ahorrar hoy, si el Banco reconoce el 18% anual? Respuesta $
2.597.403.
1.3 ¿Qué capital produce un interés mensual de $ 280.000 sí él
Banco reconoce el 1.5% mensual? Respuesta $ 18.666.667.
1.4 Luisa Mojica prestó la suma de $ 15.000.000 y recibe trimestralmente
$ 900.000 por concepto de intereses ¿ A qué tasa trimestral prestó el
dinero? Respuesta 6% Trimestral.
1.5 Hoy presté $ 2.000.000 y me entregaron un tiempo
después $ 2.265.000. Si la tasa de interés que me pagaron
fue del 1.5% mensual, ¿ Cuánto días tuve que dejar el
dinero ? Respuesta 265 días.
1.6 Un inversionista estima que dentro de 2 años una casa puede
costar $ 38.000.000 ¿ Cuánto puede pagar hoy si el interés
es del 20% anual? Respuesta 27.142.857.
1.7 Un inversionista debe elegir entre las siguientes alternativas:
a- Comprar una casa de contado por $ 30.000.000, esperando venderla
dentro de 3 años en $ 60.000.000.
b- Prestar los $ 30.000.000 a un amigo que paga el 30% anual.
Respuesta Alternativa a.
1.8 El 01 de enero consigna $ 600.000 en una cuenta de ahorros,
el 15 de abril consigne $ 800.000 y el 01 de Julio $ 500.000.
Si el Banco reconoce el 2% mensual ¿Cuánto dinero puedo
Retirar el 30 de diciembre? Respuesta 2.256.000.

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CAPITULO 2 INTERÉS COMERCIAL Y REAL DESCUENTOS
OBJETIVOS
Al finalizar el estudio de éste capitulo, el estudiante podrá:
 Explicar los conceptos y diferencias entre interés comercial e interés real.
 Calcular los días comerciales y exactos.
 Distinguir, explicar la diferencia entre descuento comercial y descuento
racional.
 Plantear y resolver problemas sobre los temas antes
Mencionados.
TEMAS
2.1 Interés Comercial.
2.2 Interés Real.

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2.3 Determinación de Tiempo.
2.4 Descuentos Bancarios.
2.4.1 Descuentos Comerciales o Bancarios.
2.4.2 Descuentos Racional o Matemáticos.
2.5 Problemas Resueltos
2.6 Problemas propuestos
2.1 INTERÉS COMERCIAL
El interés Comercial es también llamado ordinario y es el que se calcula para años
de 360 días.
2.2 INTERES REAL
Es aquel que se calcula sobre los días exactos, o sea, sobre años de 365 días o
366 días si es año bisiesto.
Ejemplo. Calcular el interés real de $ 1.000.000 al 18% durante 125 días.
2.3 DETERMINACIÓN DEL TIEMPO
Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los
intereses. En el cálculo del tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha
terminal, se acostumbra excluir el primer día e incluir el último, pero en algunos
casos se incluyen ambos, o sea, las fechas inicial y final.
EJEMPLO. Calcular el interés ordinario
de $ 1.000.000 al 18% anual durante 125
días.
I = P.n.i I = 1.000.000 x 125 0.18
P = 1.000.000 360
n = 125 días
i = 18% anual I = 62.500
I = P x n x i
I = 1.000.000x 125 x 0.18
365
I = 61.643,83

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Ejemplo. Un préstamo otorgado el 10 de marzo y pagado el 25 de marzo, el
tiempo transcurrido es de 15 días, porque el 25 - 10 es igual a 15, en este caso se
excluye la fecha inicial. En otras partes se toma la fecha inicial y final y sería
entonces 16 días.
Una de las maneras para calcular los días es el siguiente: Siempre colocamos la
fecha final en el numerador y le restamos la fecha inicial o sea, el denominador,
restando años con años, meses con meses y días con días.
Ejemplo. Cuantos días hay entre el 15 de abril de 1995 de 30 de junio del 2.001.
30 06 2001 Fecha Final
15 04 1995 Fecha Inicial
15 días 2 meses 6 años
6 años x 360 días = 2.160
2 Meses x 30 días = 60
25 días 15
2.235
¿Pero qué sucede cuando el numerador de los meses o días es menor que
el denominador?
En ese caso, como se puede ver, los años tienen 12 meses, los meses tienen 30
días. Cuando el numerador de los meses es menor que el denominador, se le
quita un año al numerador de los años y se le suma los 12 meses del numerador
de los meses, si el numerador de los días es menor, se le quita un mes al
numerador de los meses y se le suman 30 días al numerador de los días y así
puedo proceder a la resta.
Ejemplo. ¿Cuántos días hay del 30 de noviembre de 1997 al 15 de Marzo del
2000. ?

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_________________________________________________________________________
15 03 2000 Fecha Final
30 11 1997 Fecha Inicial
Aquí observamos que al 2000 se le puede restar 1997; al 03 no se le puede restar
11 ni a 15 se le puede restar 30. Entonces, el año 2000 queda convertido en
1999 y los meses que son 03 se le suman los 12 meses que se le restaron al año
2000, quedando 15 meses en el numerador y así se le puede restar los 11 del
denominador.
Como a 15, que es el numerador de los días, no se le puede restar 30 días, que es
el denominador, entonces los meses le prestan un mes a los días, o sea, 30 días
quedando convertido
El numerador en 45 días y así se puede restar. Entonces queda así:
14
45 15 1999
15 11 2000 NUMERADOR
45 14 1999
30 11 1997
15 días 3 Meses 2 años
2x360 = 720
3x30 = 60
15
795 días
Otra forma para calcular los días es a través de las tablas de tiempo, para este
caso el año se toma de 365 días y los meses de 30 y de 31 días respectivamente,
por lo tanto, el cálculo es más exacto, o sea, los verdaderos días calendarios
transcurridos entre 2 fechas.
Tabla No 1. Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto)
Desde
el día
del mes
inicial
Al mismo día del mes terminal
ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
ENE 365 31 59 90 120 151 181 212 243 27 304 334
FEB 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303
MAR 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275
ABR 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 215 244
MAY 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214
JUN 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183
JUL 185 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153
AGO 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122
SEP 122 153 181 22 242 273 303 334 365 30 61 91
OCT 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61
NOV 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30
DIC 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
La tabla fue tomada del libro de matemáticas financieras Linconyan Poetus G
Cuando la fecha inicial, ejemplo 6 de marzo, es igual a la fecha final, ejemplo 6 de
noviembre, se mira la intersección de los meses de marzo y noviembre dándonos
como resultado 245 días, es de anotar que la fecha inicial es la primera columna
(vertical) y la fecha final es la fila (horizontal) y 245 es la intersección de las dos.
Cuando la fecha inicial, ejemplo 5 de julio, es menor
que la fecha, ejemplo 20 de diciembre, se toma la
diferencia entre la fecha final y la fecha inicial y el
resultado se le suma a la intersección.
20 - 5 = 15
La intersección de Julio - Diciembre es
de 153 días, entonces
153 + 15 = 168 días.
Cuando la fecha inicial, ejemplo 20 de abril,
Es mayor que la fecha final, 8 de octubre,
se toma la diferencia entre la fecha inicial y
final 20 – 8 = 12 y este resultado se le resta
al número de la intersección.

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Ejemplo. Calcular los días que hay entre el 6 de junio y el 10 de febrero del año
siguiente
Ejemplo. Calcular los días entre el 16 de mayo de 1998 y el 10 de enero del
2001.
2.4 DESCUENTOS BANCARIOS
El descuento es una operación de crédito que consiste en comprar o vender una
obligación hoy, que se vence en un futuro, descontando intereses que devengaría
el documento entre la fecha de compra o venta y la fecha de vencimiento.
En los descuentos se usan algunas expresiones que es necesario definir:
 Valor Nominal de un Pagaré: Es el que está inscrito en la obligación,
para el comerciante en general se trata de capital.
 Descontar un pagaré: Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a
cambio de una suma mayor comprometida en una fecha futura.
BOGOT
Á
Intersección 183 – 12 = 171 días
10 – 6 = 4
Intersección = 245
245 + 4 = 249 días
16 – 10 = 6
Intersección = 245
245 – 6 = 239 días
2años x 356 = 780 + 239 = 969 días

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
 Descuentos: Es el valor que le restamos al valor nominal en el momento
de pagar el pagaré, en otras palabras, es la diferencia entre el valor nominal y el
valor que se recibe o se paga en el momento de descontar el documento.
 Valor Liquido: Es la diferencia entre el valor nominal y el descuento, en
otras palabras es el dinero que se recibe o se paga al vender o comprar un
documento.
2.4.1 DESCUENTOS COMERCIAL O BANCARIO
Es aquel que se calcula sobre el valor nominal del documento.
De la formula I = P.n.i. se reemplaza y nos queda:
Dc = S.n.d.
Dc = Descuento Comercial
S = Valor pagaré o valor nominal
d = Tasa de descuento
n = Tiempo
Ejemplo. Una letra de $ 5.000.000 que vence dentro de 90 días se compra hoy
con un descuento del 18% anual. ¿Cuál es el valor del descuento y el valor líquido
Dc = S.n.d.
S = 5.000.000
n = 90 días
d = 0.18 anual, lo dividimos en 360 días.
Dc = 5.000.000x 90x 0.18
360
000.225
D
Valor Líquido = S –D
Valor Líquido = 5.000.000 – 225.000
Valor Líquido = 4.775.000
LETRA CAMBIO
Descuento = $ 225.000

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Esto significa que la letra que se vencía dentro de 90 días me la cancelaron hoy
por un valor de $ 4.775.000.
Otra forma de calcular el valor líquido (VL)...
VL = VN (1-nd)
Con base en el ejemplo anterior:
VL = 5.000.000 ( 1-90x 0.18 )
360
VL = 5.000.000 ( 0.9550)
VL = 4.775.000
2.4.2 DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO
Es la diferencia entre lo que se pagará en el futuro y lo que se va a pagar hoy,
valor presente, o sea, calcular sobre el valor efectivo del documento.
Con base en el ejemplo anterior el descuento racional será:
Dr = 225.000
1 + 90 x 0.18
360
Dr = 225.000 = 215.311
1045
El valor líquido será entonces:
Dr = Descuento Racional
Dc= Descuento Comercial
VL = Vn – Dr
VL = 5.000.000 - 215. 311
VI = 4.784.689
nI
Dc
Dr


1

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Otra forma de calcular el valor líquido directamente es :
689.784.4
045.1
000.000.5
3601.0*901
000.000.5
1





ni
Vn
VL
Si comparamos el descuento comercial con el descuento real, vemos que en
tiempos iguales y a una misma tasa de interés, el descuento comercial o Bancario,
siempre será mayor al descuento racional o matemático y por consiguiente, el
valor liquido en el descuento comercial, siempre será menor que el racional.
2.5PROBLEMAS RESUELTOS
2.5.1. Calcular, el interés comercial y el interés real de un depósito de $ 1.800.000,
que el Banco reconoce el 14% para 180 días.
Para el interés comercial tomamos loa años de 360 días y nos quedó así:
I = P.n.i
I = 1.800.000 x 180 x 0.14
360
I = $ 126.000
Para el interés real tomamos los años de 365 días y nos queda así:
I = 1.800.000 x 180 x 0.14
365
I = $ 124.274
2.5.2 ¿ Cuantos días hay entre el 6 de marzo y el 14 de septiembre.?

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Miremos la intersección en la tabla 1 que es 184 días, a la fecha final 14 le
restamos la inicial que es 6 y el resultado 8 se lo sumanos a la intersección 184.
184 + 8 = 192 días
2.5.3 Cuántos días hay entre el 20 de mayo y el 5 de diciembre
Miramos la intersección en la tabla que es 214 días y a la fecha inicial 20 le
restamos la final que es 5 y nos da como resultado 15 y a la intersección le
restamos esa cantidad.
2.5.4 Calcular el descuento comercial y el descuento racional como también
sus valores líquidos de una letra por $ 800.000 descontando 200 días
antes de su vencimiento a una tasa del 12% anual.
Descuento Comercial Valor Líquido
Dc = S.n.d. VL = S – D
Dc = 800.000 x 200 0.12 VL = 800.000 – 53.333
360
Dc = 53.333 VL = 746.667
Descuento Racional Valor Líquido
Dr = Dc
(1+ni) VL = Vn-Dr
Dr = 53.333 VL = 800.000-49.998
1+200 x 0.12
360 VL = 750.000
Dr = 53.333
1.0667
Dr = 49.998
214 - 15 = 199 días

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2.5.5 Un comerciante compra dos pagares con un interés del 18% anual, el
primero son $ 2.000.000 que vence en 90 días y otro por $ 1.000.000 que
vence a los 60 días. ¿Cuánto pagó el comerciante?
Primer Pagaré Segundo Pagaré
000.000.2VL )36018.0*901(  000.000.1VL )36018.0*601( 
)9550.0(000.000.2VL )97.0(000.000.1VL
000.910.1VL 000.970VL
000.880.2000.970000.910.1 
2.5.6 Hallar el valor líquido con descuento racional de un pagaré por $ 1.800.000
con vencimiento a 90 días y un interés del 24% anual.
VL = Vn
1+ni
VL = 1.800.000
1+90 x 0.24
360
VL = 1.800.000
1.06
VL = 1.698.113
2.5.7 Un comerciante presta a un cliente la suma de $ 2.000.000 con vencimiento
a 180 días y un interés del 24% anual, el cliente firma una letra por los $
2.000.000 más los intereses. 30 días después el comerciante vende la letra un
banco, que descuenta un interés del 18% anual.
a. ¿Por cuánto firma la letra el cliente?
b. ¿Cuánto recibe el comerciante al descontarle el Banco?
a. Teniendo $ 2.000.000 como valor presente cálculo un valor futuro para los
180 días.
F = P 1+ni
F = 2.000.000 1+180 x 0.24

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
360
F = 2.000.000 (1.12)
F = 2.240.000 Valor que firma la letra el cliente
b. La letra se firmó a 180 días, eso quiere decir que 30 días después faltan
para vencerse 150 días.
VL = Vn =(1-nd)
VL = 2.240.000 1-150 x 0.18
360
VL = 2.240.000 (0.9250)
VL = 2.072.000 Valor que recibió el comerciante.
2.5.8 Calcular los días en que se descuenta un pagaré por valor de $ 2.500.000 si
se recibió $ 2.050.000 y el interés es del 36% anual.
VL = Vn (1-nd)
d
VN
VL
n


1
VL = (1 nd)
Vn 1 - 2.050.000
Reemplazando nos queda 2.500.000
nd = 1- VL 0.36
Vn
2.5.9 Un pagaré por $ 3.000.000 se descuenta por la suma de $ 2.730.000 en 90
días. ¿Cuál fue la tasa de descuento anual?.
n = 0.50 años;
lo multiplicamos por 360
360 x 0.50 años = 180 días

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
n
VN
VL
d


1
36.0
25.0
09.0
360
90
09.0
360
90
000.000.3
000.730.2
1


d
anuald %36100*036.0 
2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
2.6.1. Calcular el interés Comercial de $ 1.200.000 al 24% anual para 120 días
Respuesta $ 96.000.
2.6.2 Calcular el interés real con base en el problema anterior. Respuesta $
94.684,93
2.6.3. ¿Cuántos días hay entre el 20 de septiembre y el 18 de febrero del año
siguiente?. Respuesta 151 días.
2.6.4 ¿Cuántos días hay entre el 5 de mayo y el 5 de noviembre? Respuesta 214
días.
2.6.5 ¿Cuántos días hay entre el 16 de abril y el 29 de noviembre? ? Respuesta
227 días.
2.6.6 El Señor Pérez compra una letra de
$ 500.000 que vence dentro de 6 meses y
la descuenta con un interés del 3% mensual
a. ¿Cuál es el descuento comercial? Rta. 90.000
b. ¿Cuál es el valor liquido? Rta. 410.000
2.6.7 El Banco compra un pagaré por $ 5.000.000 con un descuento del 2.5%
mensual y faltan 150 días para su vencimiento.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
a. ¿Cuál es el descuento racional? Rta: $ 555.556
b. ¿Cuál es el valor líquido. ? Rta: $ 4.444.444
2.6.8 Un comerciante compra un pagaré de $ 2.000.000 que vence dentro de 180
días con un descuento del 3% mensual, 60 días, después lo vende a un
inversionista que cobra el 3.2% mensual.
a. ¿Cuál fue el valor liquido que pago el comerciante? ? Rta: $
1.640.000.
b. ¿Cuál fue el valor líquido que pago el inversionista. ? Rta $ 1.744.000.
c. ¿Cuánto dinero ganó el comerciante. ? Rta: $ 104.000
d. ¿Cuánto dinero gana el inversionista?. Rta $ 256.000
2.6.9 Calcular la fecha en que se descuenta un pagaré con vencimiento el
28 de octubre cuyo valor nominal son $ 2.000.000 y su valor líquido es de $
1.820.000 con descuento del 3%. Rta: 30 de Julio.
2.6.10 Un pagaré por $ 5.000.000 se descuenta por la suma de $ 4.625.000 en 90
días, ¿Cual fue la tasa de descuento mensual? ? Rta: 2.5% mensual.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
CAPITULO 3 INTERÉS COMPUESTO
OBJETIVO
Al finalizar el estudio de éste capítulo el estudiante podrá :
Definir el interés compuesto y la diferencia con el interés simple. Deducir de un
valor presente, valor futuro, períodos y tasa de interés utilizando la calculadora HP
y como hoja electrónica Excel.
TEMAS
3.1 Introducción
3.2 Valor futuro
3.2.1 Utilizando la fórmula
3.2.2 Utilizando las tablas
3.2.3 Utilizando la HP.
3.2.4 Utilizando Excel

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3.3 Valor Presente
3.3.2 Utilizando las tablas
3.3.4 Utilizando Excel
3.4 Cálculo del número de períodos
3.4.2 Utilizado la HP.
3.4.3 Utilizando el Excel
3.5 Calculo de la tasa de interés
3.5.2 Utilizando el Excel
3.6 Problemas resueltos
3.1 INTRODUCCIÓN
El dinero y el tiempo son factores que se encuentran estrechamente ligado con la
vida de las personas y de los negocios.
Cuando a las personas y negocios le sobran dineros o efectivo, se ahorran o se
invierten durante un periodo determinado, con el propósito de ganar un
rendimiento o interés y por consiguiente aumentar el capital. Si en caso contrario
las personas o los negocios les hace falta efectivo se debe acudir a préstamos y
pagar un interés por uso. En el interés simple el capital inicial siempre permanece
constante. Mientras que en el interés compuesto los intereses que se van
acumulando van aumentando el capital y a su vez, ese nuevo capital va a generar
un mayor interés para el siguiente período. En otras palabras, los intereses
generan intereses.
3.2 VALOR FUTURO
El valor futuro es la suma de dinero recibido o pagado en un futuro,, por un dinero
prestado o recibido tiempo atrás, en el interés compuesto está dado por el capital
inicial más los intereses que se van
capitalizando cada periodo, esto lo podemos ver en el siguiente
cuadro, con el siguiente ejemplo:
Pedro Carvajal deposita $ 1.000.000 en el Banco Bogotá, el cual
reconoce una tasa del 24 % anual, con capitalización trimestral, ¿
Cuánto recibirá al final del año? . Cómo la capitalización es trimestral,

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
eso quiere decir que el interés que es 24 % anual, se divide en 4
trimestres que tiene el año.
0,24 = 24%
4 = Trimestres
Nos da como resultado 0.06 % trimestral.
Periodos ( n )
Valor Presente o
Capital Inicial ( P
)
Intereses de
cada Periodo ( i )
Valor
Futuro
( F )
1
2
3
4
1.000.000
1.060.000
1.123.600
1.191.016
60.000
63.600
67.416
71.460,96
1.060.000
1.123.600
1.191.016
1.262.476
Podemos concluir, que el señor CARVAJAL depositó hoy $ 1.000.000 y después de
un año retiro $ 1.262.476,96, porque el banco Bogotá pagó el 24% anual,
capitalizado trimestral neto, eso quiere decir, que reconoció la entidad financiera
un 6 % de intereses por cada uno de los periodos del años en este caso 4
períodos.
3.2.1 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA FORMULA
El valor futuro se calcula mediante la formula que es:
F = P ( 1+ i )n
Donde:
F = Valor futuro
P = Valor Presente ( Capital depositado, capital tomado en préstamo )
n = Períodos de Capitalización o número de veces que el interés se capitaliza.
i = Tasa de interés fijada por períodos de capitalización
El ejemplo anterior lo podemos resolverlo así:
P = 1.00.000
n = 4 trimestres tiene el año
i = 0.06 trimestral 24 % = 6 % = 0,06
4
F = ?
F = P ( 1 + i )n
F = 1.000.000 ( 1 + 0.06 )4
F = 1.000.000 ( 1,06 )4

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
F = 1.000.000 ( 1, 262477 )
F = 1.262.476,96
3.2.2 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO TABLAS
El cálculo del valor futuro se puede realizar a través de las tablas que han sido
elaboradas con base en la fórmula anterior. Para éste caso se busca la tabla I
(Valores del Factor de Valor Futuro a Interés compuesto) en otras tablas la
notación estándar sería ( F/P, i %, n ).
Para un interés del 6 % y buscamos la intersección del 6 % con un n igual a 4 en
este caso es de ( 1,26247696 ).
Teniendo el valor de la tabla lo multiplicamos por el capital o valor presente.
1000.000 ( 1,26247696 ) = 1.262.476,96
3.2.3 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA CALCULADORA
HEWLETT - PACKARD
Para calcular el valor futuro utilizando la HP.
Tomemos nuevamente el ejercicio del señor CARVAJAL
PRIMER PASO
Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y nos da una nueva
pantalla con los siguientes menú o tecla.
VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC.
SEGUNDO PASO
Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla
12 pagos / año: MODO FINAL
N %IA VA PAGO VF OTRO
Esta pantalla está dada por la parte superior y por la parte inferior.
La parte superior significa que son 12 períodos o capitalizaciones al año o sea
mensualmente y MODO FINAL significa vencido, como en el ejemplo la
capitalización es trimestral, o sea, 4 períodos en el año, tengo que cambiar a 12 /
año por 4 pagos / año y se hace de la siguiente forma.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
TERCER PASO
Se oprime la tecla OTRO de la pantalla inferior y da la
siguiente pantalla:
P/AÑO INIC FINAL AMRT.
CUARTO PASO
Se oprime el número 4 seguido de la tecla P/AÑO y la tecla de la
calculadora EXIT y da una nueva pantalla:
4 Pagos/Año MODO FINAL
La parte inferior significa lo siguiente
N = Número de periodos
%IA = Interés anual
V.A = Valor Presente o actual
PAGO = Esta tecla es para anualidades ( no la usamos )
V.F = Valor Futuro
OTRO = Para cambiar los periodos
Retomando el ejercicio anterior se tiene lo siguiente:
P = 1.000.000 n = 4 i = 0,06 Trimestral
Cómo en la calculadora pide interés anual, multiplica por 4

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
0,06 x 4 = 0,24 y procede a suministrar la información a la calculadora para
pedirle la respuesta o el F o Valor Futuro de la siguiente manera:
QUINTO PASO
Cómo los períodos son cuatro se oprime el número 4 en la calculadora seguido de
la tecla N , como el dinero depositado fue $ 1000.000
y es el valor presente se coloca en números 1.000.000 en el tablero
más la tecla +/- y luego se oprime, VA , luego como el interés anual
es el 24% se coloca el número 24 en la pantalla y oprimo %IA.
Hasta acá, se ha suministrado la información necesaria para que nos
de la respuesta.
Como lo que estamos buscando es el valor futuro se oprime la tecla
VF y nos da la respuesta y en este caso la pantalla nos dice que el
3.2.4 CALCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO EXCEL
Retomando el Ejemplo anterior, queda así: queda así con los siguientes
pasos:
1. Construimos el Excel, inicialmente no tiene archivados todos los
comandos, para activarlos se hace click en Herramientas de la barra
de ese mismo menú, se hace click en complementos y aparece un,
cuadro titulado COMPLEMNTOS y se debe activar Herramientas para
el análisis y se hace click en la casilla del frente.
2. Construimos la estructura o tabla.
3. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx.
4. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de
función click en VF.
V F =1.262.476,96

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5. Se hace click en aceptar.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
6. Para introducir la información se hace click en B3, se hacer click en
Nper y luego click en B4, se hacer click en VA y luego click en B2.
7. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6.
3.3.VALOR PRESENTE
Es la suma de dinero que se deposita hoy o se entrega en préstamo
hoy y se representa con la letra P.
Para poder ver más claramente, se hace un ejemplo ¿ Sí al cabo de un
año quiero tener en el Banco $ 1.200.000, ¿cuánto tengo que
depositar hoy, si el Banco reconoce el 30 % anual, capitalizable
mensualmente ?.
3.3.1 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA
FORMULA
La formula del valor presente es :

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
P =
ni
F
)1( 
Conocemos
F = 1.200.000
N = 12 períodos
i = 0,30 /12 = 0,025
94,266.892
344889,1
000.200.1
)025,1(
000.200.1
)025.01(
000.200.1
)1( 1212





ni
F
P
Hoy tengo que depositar $ 892.266,94 para que dentro de 12 meses
pueda tener $ 1.200.000 si el interés mensual es del 0,025 o 2,5 %.
3.3.2 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LAS
TABLAS
Para el valor presente se busca la tabla II, llamada: “valores del factor
del valor presente a interés compuesto”. O en otras tablas la anotación
estándar (P/F, i%, n); se busca en la tabla II el interés 2,5 % para un
n = 12; la tabla muestra el factor, que es (0,74355589); ese factor se
multiplica por el valor futuro ($ 1.200.000).
1.200.000 ( 0.74355589 ) = $ 892.267
3.3.3 CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA H.P.
Para calcular el valor presente se hace en el ejercicio anterior, de la siguiente
manera:
PRIMER PASO
Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla
con los siguientes menú o teclas.
SEGUNDO PASO
Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
12 pagos / año : MODO FINAL
N %IA VA PAGO OTRO
La parte superior de la pantalla 12 PAGOS / AÑO : MODO FINAL
significa que los periodos son 12 en el año y como ejercicio de
capitalización es mensual se deja así.
La parte inferior de la pantalla se describió anteriormente cuando se
calculó el valor presente.
TERCER PASO
Estando en la pantalla anterior procedemos a incluir la información que
tenemos :
n = 12 F = 1.200.000 IA = 30 % A = ?
Se escribe el número 12 en la pantalla seguido de la tecla N
Se escribe 30 y se oprime la tecla %IA
Se escribe 1.200.000 en la pantalla y oprimo la tecla VF Hasta que el
momento se ha suministrado la información; para que de la
respuesta, se oprime la tecla VA y la respuesta es $ 892.267,06.
3.3.4 CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO EL EXCEL
Utilizando el ejemplo anterior, queda así: Construimos la estructura
o tabla
1. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx
2. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de función click
en VP.
3. Se hace click en aceptar
4. Para introducir la información, se hace click en B3, se hace click en Nper y
luego en B4, se hace click en VF y click en B2.
5. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3.4 CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS
Así como se ha calculado el valor presente y futuro, también se puede
calcular el número de períodos n. Es importante resaltar que los
intereses pueden pagarse o cobrarse anualmente, semestral,
trimestral, mensual, entre otros. Esto se denomina períodos de
capitalización. Es de anotar que la tasa de interés está expresada
anualmente y los períodos de capitalización están dados en meses, se
tiene que dividir el interés anual en 12, para que dé un interés
mensual, que es igual al período de capitalización meses.
De la Fórmula de
Se despeja n y queda
)1( iLog
P
F
Log
n


F = P ( 1 + i )n

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3.4.1 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS
UTILIZANDO LA FORMULA
Ejemplo:
Hoy, deposito $ 1.500.000 en un banco y el banco reconoce el 24 % anual
capitalizable mensualmente. ¿ Cuántos meses tengo que dejar el dinero en el
banco para tener $ 3.059.831?.
Como el interés es 24 % y el período de capitalización es mensual
12
24
= 2%
)1( iLog
P
F
Log
n


)2.0,1(
000.500.1
831.059.3
Log
Log
n 
02,1log
039887,2Log
n 
008600,0
309606,0
n
36n
Como el período de capitalización son meses, la respuesta es 36 meses.
3.4.2 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO LA H.P.
Retomando el ejemplo anterior
PRIMER PASO
Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla
con los siguientes menús.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
SEGUNDO PASO
Se Oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:
12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL
N %IA VA PAGO OTRO
Como en la parte superior de la pantalla aparece 12, pagos eso significa que la
capitalización es mensual y se deja así.
TERCER PASO
Como se conoce P = 1.500.000 F = 3.059831 y el interés anual que es 24 %
procede a suministrar la información así:
Cómo $ 1.500.000 es lo que se deposita debe incluir con signo negativo así: se
escribe 1.500.000 luego oprimimos la tecla +/- y luego la tecla VA
.
Luego se escribe 24 en la pantalla, que son los intereses anuales y se
oprime la tecla, %IA sigue escribiendo 3.059.831 y se oprime la tecla
VF y para que dé la respuesta se oprime la tecla N y da 36 meses.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3.4.3 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO EXCEL
Recurriendo al ejemplo anterior
1. Construimos la estructura o tabla
2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx
3. En categorías de función clic en FINANCIERA y en el nombre de función clic
en Nper.
4. Hacemos clic en aceptar.
5. Para introducir la información hacemos clic en B3, hacemos clic en Va y clic
en B2, hacemos clic en VF y clic en B4.
6. Hacemos clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B6.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3.5 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS
3.5 .1 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON
LA FORMULA
i =
P
F
n - 1
Ejemplos si hoy deposito 1.500.000 y dentro de 3 años obtengo $
4.218.997,17 y el banco reconoce los intereses trimestralmente, ¿Que tasa me
reconoció ? .
Se Aplica la fórmula i = n
P
F
- 1
Como la capitalización es trimestral y el año tiene 4 trimestres y el
dinero se depositó durante 3 años, entonces 3 x 4 = 12 trimestres será
n.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
i = 12
000.500.1
17,997.218.4
- 1
i = 12
812665,2 - 1
i = 1,09 - 1
i = 0,09 = 9% trimestral
3.5.2. CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON LA
H.P.
Con base en el ejemplo anterior:
PRIMER PASO
con el siguiente menú:
VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC
SEGUNDO PASO
Se oprimo la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:
12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL
N %IA VA PAGO OTRO
Como los intereses son trimestrales, eso quiere decir que el año tiene
4 períodos, entonces se procede a cambiar la parte superior de la
pantalla así: Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla seguido de
la tecla P/AÑO y la tecla EXIT y da como una nueva pantalla:

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4 PAGOS AÑ: MODO FINAL
N %IA VA PAGOS OTROS
Como conocemos VA = 1.500.000 VF = 4.218.997.17 como
conocemos n = 12 y no conocemos iA procedemos a meter la
información así:
Tercer Paso:
Escribimos $ 1.500.000 en la pantalla, se oprime la Tecla +/- y la
tecla VA, Se escribe 4.218.997,17 mas la tecla N y por último se
oprime %IA y nos da como Respuesta 36% anual que es = 9%
trimestral.
3.5.3 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS UTILIZANDO EL EXCEL
1. Construimos la estructura o tabla
2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx
3. En categoría de función hacemos clic en Financiera y en el
nombre de función clic en TASA.
4. Hacemos clic en aceptar

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5.Para introducir la información se hace clic en B4 y clic en VA, se hace clic en
B2 y clic en VF luego se hace click en B3.
5. Se hace clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B6.
Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla, seguido de la tecla P/AÑO y la
Tecla EXIT y da una nueva pantalla:
4 PAGOS AÑO: MODO FINAL

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
N %IA VA PAGO OTRO
Como se conoce V.A = 1.500.000 V.F = 4.218.997,17, como se conoce n = 12
y no se conoce se procede a suministrar la información así:
TERCER PASO
Se escribe $ 1.500.000 en la pantalla, se oprime la tecla +/- y la tecla VA se
escribe 4.218.997,17 más la tecla VF se escribe 12 en la pantalla más la tecla N y
por último se oprime la tecla %IA y da como respuesta 36% anual, que es igual
9% trimestral.
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
3.6.1 Hoy se depositan $ 2.000.000 en el Banco Superior que reconoce un 18%
anual capitalizable trimestralmente. ¿ Qué suma se retira al cabo de 3 años ?.
4,5 % Trimestral
F ?
1 2 3 4 5 6 11 12 Trimestres
P = 200.000
F =  iP 1 n
F = 2.000.000  045,01 12
F = 2.000.000  045,1 12

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
F = 3.391.762,86
3.6.2 ¿ Cuánto se debe depositar hoy en una entidad financiera que paga el 24%
anual, capitalizable bimestralmente, si quiero tener dentro de 4 años $ 600.000 ?
2 % Bimestrial F=6.000.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...22 23 24
P = ?
P =
 i
F
1
n
P =
 02,01
000.000.6

24
P =
 02,1
000.000.6 24
P =
608437,1
000.000.6
P = 3.730.329,50
3.6.3 Hace 10 años se depositaron $ 4.000.000 y hoy se recibieron
$ 14.000.000; si el banco paga intereses semestralmente ¿Cuál fue la
tasa de interés semestral?
10 años corresponden a 20 semestres = n
i = n
P
F
- 1

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
i = 1
000.000.4
000.000.1420 
i = 20
5,3 - 1
i = 1,0646 – 1
i = 0,0646 i = 0,046 x 100 = 6,46% semestral
3.6.4 Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy
deposito $ 500.000 ¿ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero
retirar $ 1.000.000 ?
Como el interés está anual lo dividimos en 12
12
33,23
= 1,944
n =
 iLog
P
F
Log
1
n =
 01944,01
000.000.5
000.000.1
Log
Log
n =
01944,1
2
Log
Log
n =
008361,0
301029,0
n = 36 meses
3.6.5 ¿ Cuál es el valor futuro de $ 600.000 del 7,8% anual capitalizable
mensualmente en 5 años, 6 meses ?
5 años x 12 = 60 meses + 6 meses = 66 meses
7,8% anual / 12 meses = 0,65% = 0,0065

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
F = P i1 n
F = 600.000  0065,1 66
F = 920.154
Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy deposito
$ 500.000 ¿ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero retirar $ 1.000.000 ?
Se Puede inventar para este ejemplo, cualquier valor presente. Ejemplo: $
1.000.000 para que se duplique el valor futuro será $ 2.000.000 y el n es
igual a 12 trimestres y buscamos i .
i = n
P
F
- 1 = 12
000.000.1
000.000.2
- 1
i = 12
2 - 1
i = 1,05946 - 1
i = 0,05946 x 100 = 5,94% trimestral
3.6.7 Una persona compra unas mercancías por valor de $
10.000.000, que le será entregada dentro de un año, hoy tiene que pagar $
4.000.000 y un año después de recibir la mercancía $ 6.000.000. El día que recibe
las mercancías la vende en $ 9.600.000.
¿ Si puede invertir el dinero al 10% anual debe hacer el negocio?,
¿cuánto interés ganó ?
9.600.000

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2 años
4.000.000 6.000.000
1. Como los $ 9.600.000 los puede invertir al 10% esto significa 9.600.000
(1,10)1
= $ 10.560.000. A los $ 10.560.000 le restamos el pago de $
6.000.000 y nos queda $ 4.560.000 eso significa que $ 4.000.000 de pesos
que cancele el primer mes se convierten en $ 4.560.000 eso quiere decir
que si hacen el negocio.
2. Para saber cuánto interés ganó, el valor inicial o valor presente fue $
4.000.000 . El valor futuro $ 4.560.000 los periodos son 2 años queda
entonces:
I = n
P
F
- 1 i = 2
000.000.4
000.560.4
- 1
I = 2
14,1 - 1
I = 1,067708 - 1
I = 0,067708 x 100 = 6,77% anual
3.6.8 Una corporación me presta $ 1.000.000 al 24% anual
capitalizable trimestralmente para ser cancelado dentro de 3 años; la
misma corporación me presta $ 2.000.000 un año después del 24%
anual capitalizable semestralmente par ser cancelados dentro de 2
años. ¿ Cuánto dinero tengo que pagarle al banco?.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
1.000.000 2.000.000
3 años
0 1 2
VF ?
Para el primer $ 1.000.000 como la capitalización es trimestral
4
24
= 6%
F = P  i1 n
F = 1.000.000 (1,06)12
F = 2.012.196,47
Para los $ 2.000.000 como la capitalización es semestral
12
24
= 12%
F = P  i1 n
F = 2.000.000 (1,12)4
F = 3.147.038,72
Tendrá que hacer un solo pago por $ 5.159.235.
3.6.9 Si para la graduación de mi hijo necesito $ 3.000.000 y se gradúa dentro 3
años cuanto tengo que ahorrar hoy si el banco recorre el 12% anual
capitalizable mensualmente.
P =
 i
F
1
n

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
P =
 01,1
000.000.3 36
P =
769.430.1
000.000.3
P = 2.096.818,49
3.6.10 un cliente dentro de 3 años debe pagar $ 3.000.000 y dentro de 5 años $
6.000.000 cuándo hace un solo pago en 4 año si la tasa de interés es del
12% capitalizable trimestralmente. ¿ Cuál es el valor del pago ?
0
1 2 3 4 5
3.000.000 5.000.000
Como los $ 3.000.000 los tenia que pagar en el año 3 y se van a pagar en el año
4 se lleva a valor futuro.
F = P  i1 n
4
12
= 3% trimestral
F = 3.000.000 (1,03)4
F = 3.376.526,43
Como los $ 5.000.000 los tenía que pagar en el año 5 y se van a pagar en el año 4
se lleva a valor presente.
P =
 i
F
1
n

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
P = 5.000.000
(1,03)4
P = 5.000.000
1,125509
P = 4.442.434,48
$ 3.376.526,43 + 4.442.434,48 = $ 7.818.960,91
Se hace un solo pago en el cuarto año por $ 7.818.960,91
3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS
3.1.1 Calcular el valor futuro de un deposito de $ 4.000.000 al 9 % de interés
anual capitalizable mensualmente durante dos años y 6 meses ?
Respuesta: $ 5.005.087.
3.1.2 Un cliente recibe un préstamo un préstamo de $ 800.000 a 6 años con un
interés del 12 % anual capitalizable semestralmente. Calcule cuanto tiene
que cancelar al vencimiento ?.
Respuesta: $ 1.609.757.
3.1.3 Cuánto tengo que depositar hoy si dentro de 5 años quiero tener $
10.000.000 si el banco reconoce el 16% anual capitalizable trimestralmente
?. Respuesta: $ 4.563.869,46.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3.1.4 Si dentro de 18 meses tengo que pagarle al banco $ 1.600.000 que
reconoce el 14% anual capitalizable mensualmente . ¿ Cuánto fue el
préstamo?. Respuesta: $ 1.298.512.
3.1.5 ¿ Cuántos semestres hay que dejar un deposito de $ 4.000.000 para que se
convierta en $ 8.000.000 si el banco pago el 8% anual. Respuesta: 17,67
semestres.
3.1.6 Hoy deposita $ 2.000.000 en un banco que reconoce el 12% de interés
anual capitalizable trimestralmente si retira $ 3.000.000 ¿ Cuántos años deja
el dinero ?.
Respuesta: 3,43 años.
3.1.7 Qué es más conveniente invertir en un CDT que duplica el capital invertido
cada 8 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofreced el 8% anual
capitalizable trimestralmente ?.
Respuesta: Invertir en el CDT.
3.1.8 Hoy se invierten $ 500.000 en una corporación que reconoce sin sus
intereses trimestralmente y al cabo de 3 años se recibe $ 800.516. Qué
interés trimestral reconocieron ?. Respuesta: 4% trimestral.
3.1.9 Un cliente me debe $ 5.000.000 que vencen dentro de 1 año y $
10.000.000 que vencen dentro de 5 años si la tasa que cobra es de 12%
anual capitalizable trimestralmente. El cliente decide hacerme un solo pago
al tercer año. ¿ Cuánto dinero tendrá que pagarme ?. Respuesta: $
14.227.942.
3.1.10 Un cliente tiene la oportunidad de comprar una casa que costo $ 2.800.000
hace 20 años y está dispuesto a reconocer un 20% anual. ¿ Cuánto debe
ofrecer por la casa ?. Respuesta: $ 107.345.280.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
CAPITULO 4 TASAS NOMINALES, EFECTIVAS Y EQUIVALENTES
OBJETIVO
Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá definir ¿Qué
es una tasa nominal, y una tasa efectiva?. Hacer las diferentes
conversiones de las tasas. Desarrollar algunos temas la calculadora
H.P. y la hoja electrónica Excel.
TEMAS
4.1 Introducción
4.2 Tasa Nominal
4.3 Tasa Efectiva
4.4 Conversión Tasas Nominales

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.4.1 Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando la formula
4.4.2 Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando la H.P
4.4.3 Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando el EXCEL
4.4.4 Conversión de una tasa nominal anual a una tasa nominal periódica
4.4.5 Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva periódica
4.4.6 Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa nominal anual utilizando
la fórmula.
la H.P .
el EXCEL.
4.4.9 Conversión de tasas efectivas
4.4.9.1 Conversión de una tasa efectiva anual a tasa efectiva
periódica
4.4.9.2 Conversión de una tasa efectiva periódica a tasa efectiva anual
4.4.9.3 Conversión de una tasa efectiva periódica a otra tasa efectiva
periódica
4.10 Capitalizaciones Anticipadas
4.10.1 Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva
utilizando la formula
4.10.2 Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva utilizando la
H.P.
la formula.
la H.P
4.11 Resumen de formulas
4.11.1 Vencidas
4.11.2 Anticipadas
4.12 Problemas resueltos

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.1 INTRODUCCIÓN
Cuando se realiza cualquier operación financiera, se pacta un interés, y
para medir la rentabilidad o el costo de la inversión se hace a través de
la tasa de interés efectivo.
Por lo general, cuando hablamos de interés, lo hacemos haciendo referencia a la
tasa nominal; por eso es necesario calcular la tasa efectiva, que es la que mide la
verdadera rentabilidad y el costo de cualquier inversión.
4.2 TASA NOMINAL
Es la tasa que por lo general se refieren todas las operaciones
financieras y se expresa generalmente sobre la base de un año.
Es una tasa aparente, pues si hay varios períodos de capitalización no refleja la
realidad.
La tasa nominal anual será igual a tasa nominal periódica multiplicado por los
números de periodos que tiene el año.
Ejemplo: Una tasa nominal de 3% mensual es equivalente a 3 x 12 = 36 al 36%
nominal anual.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.3TASA EFECTIVA
Cuando la tasa de interés nominal anual se capitaliza en forma semestral,
trimestral, mensual, la cantidad que se paga o se gana es mayor si la capitalización
es anual.. Cuando esto sucede se denomina tasa efectiva.
En otras palabras, es la tasa que se utiliza para determinar el interés
periódico, que efectivamente debe sumarse al capital en el momento
de la liquidación.
El interés efectivo es el que verdaderamente pagamos al utilizar un
crédito, o recibimos al invertir un dinero.
Cuando la capitalización es anual, la tasa efectiva siempre será igual a la tasa
nominal.
4.4 CONVERTIR TASAS NOMINALES
4.4.1 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA
TASA EFECTIVA ANUAL ( VENCIDA)
Utilizando la Fórmula
Ejemplo: Si un banco presta $ 1.000.000 al 30% anual capitalizable
trimestralmente. ¿ Cuánto recibirá al final del año?
F = P (1+i )n
i =
4
%30
7,5 trimestral
F = 1.000.000 ( 1+ 0,075 )4

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
F = 1.335.469
Eso significa que $ 335.469 fueron los intereses que recibió.
Eso significa que por el $ 1.000.000 ganó intereses por 33,5469% que es la tasa
efectiva.
Para este ejemplo se puede decir que una tasa del 30% nominal anual
capitalizable trimestralmente, equivale a una tasa efectiva anual del 33,5469%.
De lo anterior se saca la fórmula y queda así:
n
n
IN
Ie )1(  -1
Ie = la tasa de interés efectiva anual
IN = la tasa de interés nominal anual
n = número de capitalización al año
Ejemplo: Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal
del 24% anual capitalizable bimestralmente.
In = 24% Ie = 6
6
24,0
1 





 - 1
N = 6
Ie = ?
Ie = ( 1 + 0,04 )6
- 1
Ie = ( 1,04 )6
- 1
Ie = 1,265319 - 1
Ie = 0,265319 = 26,53%

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Ejemplo: Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa del 36% anual
capitalizable anualmente.
Ie = 






1
36,0
1 1
- 1
Ie = (1,36 )1
- 1
Ie = 1.36 – 1
Ie = 0.36 = 36%
Por eso se dice que cuando la capitalización es anual, la tasa efectiva
anual, siempre será igual a la tasa nominal.
4.4.2CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA EFECTIVA
ANUAL ( VENCIDA ) UTILIZANDO LA H.P
PRIMER PASO
con el siguiente menú

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
SEGUNDO PASO
Se oprime la tecla CONVI y da como resultado la siguiente pantalla.
EFECT CONTA Se oprime la techa EFECT y da la
Siguiente pantalla.
Esto significa:
= Tasa nominal anual
= Tasa efectiva anual
= Número de períodos o capitalizaciones
TERCER PASO
Con base en el ejemplo del 24% nominal anual capitalizable bimestralmente, hallar
la tasa efectiva anual.
% NOM % EFEC P
% NOM
% EFEC
P

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Se Coloca en la pantalla 24 más la tecla %NOM luego el número 6 que son los
períodos, más la tecla P oprime la tecla la tecla luego la tecla % EFECT y nos
da la respuesta % EFE= 26,531902%
4. 4. 3 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA EFECTIVA
ANUAL ( VENCIDA ) UTILIZANDO EXCEL.
Antes de empezar hay que activar todos los comandos; para activarlos haga clic en
“ Herramientas “ de la barra de herramientas y haga clic en complementos y
luego:
1 Se construye la tabla o estructura.
2 Se deja el cursor en B5 y se hace ckick en el icono fx
3 En categorías de función se hace click en financieras y en nombre
de función se hace click en INT EFECTIVO

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.4.4 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA
TASA NOMINAL PERIÓDICA (VENCIDA)
INP =
n
IN
INP = Interés nominal periódico

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
IN = Interés nominal anual
n = número de periodos o capitalización
Ejemplo: una tasa nominal del 36% anual a que tasa nominal periódica
corresponde si la capitalización es mensual.
I N P =
n
IN
INP = 0,36
12
INP = 0.03 = 3%
4.4.5 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA
NOMINAL PERIODICA (VENCIDA)
Ejemplo: una tasa del 36% anual capitalizable trimestralmente, hallar la tasa
efectiva periódica.
I e p =
n
IN
Iep = tasa de interés efectivo periódico
IN = tasa nominal anual
n= número de periodos o capitalizaciones
I e p =
4
36,0
I e p = 0,09 o 9%

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Una tasa del 36% anual capitalizable trimestralmente, equivale a una tasa efectiva
trimestral del 9%.
4.4.6 CONVERTIR UNA TASA EFECTIVA ANUAL EN UNA TASA
NOMINAL ANUAL (VENCIDA)
Ejemplo: Una tasa efectiva anual de 19,56% capitalizable mensualmente ¿ a qué
tasa nominal anual corresponde?
IN = Interés nominal
Ie = interés efectivo
n = Número de periodos o capitalizaciones
I N = n   Ie1 1/n
- 1  o IN = n n
Ie1 - 1 
In = 12   1956,1 1/12
- 1 
In = 12 ( 1,015 - 1 )
In = 12 ( 0,015 )
In = 18 %
NOMINAL ANUAL (VENCIDA) UTILIZANDO LA H.P
retomando el ejemplo anterior
PIRMER PASO
Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una pantalla con el
siguiente menú.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
SEGUNDO PASO
Se oprime la tecla CONVI y da como resultado la siguiente pantalla:
%NOM % EFEC P
Que fueron explicados anteriormente
TERCER PASO
Procedemos a incluir la información que tenemos así:
Se escribe 19,5618 en la pantalla y oprimo la tecla, se escribe 12 y se oprime la
tecla % EFEC y para obtener la respuesta se oprime la tecla p y para
obtener la respuesta % NOM y da como resultado % NOM = 18%.
NOMINAL ANUAL ( VENCIDA) UTILIZANDO EXCEL.
El ejemplo anterior una tasa efectiva del 19,5618% con capitalizaciones
mensuales. Hallar la tasa nominal anual.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.4.9 CONVERSION DE TASAS EFECTIVAS EQUIVALENTES (
VENCIDAS)

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.4.9.1 Conversión De Una Tasa Efectiva Anual A Una Tasa Efectiva
Periódica
(Vencida).
Ejemplo: Una tasa efectiva anual del 35% ¿ a qué tasa efectiva periódico mensual
corresponde?
Iep =  Ie1 1/n
- 1 o Iep = n
Ie1 - 1
Iep = ( 1 + 0,35 )1/12
- 1
Iep = ( 1,35 )1/12
- 1
Iep = 1,025324 - 1
Iep = 0,025324 = 2,5324 %
4.4.9.2 Conversión de una tasa efectiva periódica
a una tasa efectiva anual (vencida.)
Ejemplo: ¿ Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva trimestral
del 4,5%?
Ie = ( 1 + Iep )n
- 1
Ie = Interés efectivo anual
Iep = Interés efectivo periódico
N = número de periodos o capitalizaciones
Ie = ( 1 + Iep )n
- 1
Ie = ( 1 + 0,045 )4
- 1

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Ie = ( 1,045 )4
- 1
Ie = 1,192519 - 1
Ie = 0,192519 = 19,25%
Una tasa efectiva trimestral del 4,5% equivale a una tasa efectiva anual del
19,25%.
4.4.9.3 Conversión de una tasa efectiva periódica a otra tasa
efectiva periódica (vencida).
Ejemplo: ¿ Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente a una tasa efectiva
bimestral del 4,04%?
Iepo = ( 1 + Iep )1/m xn
- 1
Iepo = Es el interés efectiva periódico que se busca
Iep= Es el interés efectivo periódica que se conoce
m = Cuantos meses, bimestres, trimestre, semestres tiene el año del interés
efectivo periódico que se busca
n = ¿cuántos meses, bimestres, trimestres, semestres, tiene el año del
interés efectivo periódico que se conoce?.
Iep = ( 1 + Iep )1/m xn
- 1
Iepo = ( 1 + 0,0404 )1/2 x 6
- 1
Iepo = ( 1,0404 )3
- 1
Iepo = 1,126162 - 1

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Iepo = 0,126162 = 12,6162%
Una tasa efectiva bimestral del 4,04% equivale a una tasa efectiva semestral del
12,61 %.
4.10 CAPITALIZACIONES ANTICIPADAS
Se puede pactar el pago de los intereses del final del período durante el cual ellos
se causan, caso en el cual se denominarían vencidos como se realizaron en los
ejercicios anteriores.
O estipular que se paguen al principio del período denominándose en este caso
ANTICIPADOS.
En Colombia en diferentes operaciones financieras, se cobran intereses por
anticipado, sobre todo en los préstamos bancarios y corporaciones financieras.
Cuando los intereses se cobran por anticipado esto implica que las tasas efectivas
sean mayores.
Supongamos que un crédito de $ 1.000.000 con una tasa del 25% anual
anticipado. En el día inicial del préstamo se calculan los intereses de todo el año,
los cuales son $ 1.000.000 x 0.25 = $ 250.000 que deben ser cancelados o
descontados de inmediato. Por consiguiente el préstamo de $ 1.000.000 menos $
250.000 de los intereses anticipados sólo se dan al cliente $ 750.000. Y al cabo de
un
año el cliente tendrá que cancelar solo $ 1.000.000 de capital por cuanto los
intereses ya habían sido pagados desde el primer día.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Se observa con detenimiento lo anterior, podemos deducir que realmente el
préstamo fue por $ 750.000, con estas cifras se calculó la tasa de interés efectivo,
000.750
000.250
= 33,33%
El ejemplo anterior permite entender lo que sucede cuando los intereses deben
ser pagados por anticipado.
- En primer lugar se recibe en préstamo menos dinero que el monto ofrecido,
por cuanto se descuentan de antemano los intereses.
- En segundo lugar, los intereses comparados con el desembolso efectivo del
dinero, representan un porcentaje mayor.
4.10.1 Convertir una tasa nominal anual en una tasa
Efectiva con capitalizaciones (anticipadas)
Ejemplo: Con una tasa nominal del 24% hallar la tasa efectiva anual, si la
capitalización es trimestre anticipado.
FÓRMULA 1)1(  n
n
IN
Ie
Ie= Interés efectivo
IN= Interés Nominal
n = Número de periodos o capitalizaciones

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Ie= (1- IN/N)-n
–1
Ie= (1 – 0.24/4)-4
–1
Ie= (1 – 0.06)-4
–1
Ie= (0.94)-4
–1
Ie= 1.28.08 – 1
Ie= 0.2808 = 28,08%
Una tasa nominal del 24% anual es equivalente a una tasa efectiva del 28,8% si la
capitalización es trimestral anticipado.
4.10.2 Convertir una tasa nominal anual en una tasa
efectiva con capitalización (anticipada) utilizando H
o B con base en el ejemplo anterior.
PRIMER PASO:
Estando encendida la calculadora se oprime las tecla Fi4 y da una
pantalla con el siguiente menú:
SEGUNDO PASO:
Se oprime la fecha CONVI y da como resultado la siguiente pantalla: EFEC
CONT y se oprime EFEC y da la siguiente
Pantalla:
%NOM % EFEC P
TERCER PASO:

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Se Procede a incluir la información que se tiene así:
Se escribe en la pantalla 24 más la fecha %NOM para las capitalizaciones
anticipadas, los períodos se colocan acompañados de la fecha +/- para este
ejemplo se escribe 4 en la pantalla más
la fecha +/- más la fecha P y para obtener la respuesta T se oprime la fecha
% EFEC y da % EFE = 28,08
4.10.3Convertir una Tasa efectiva anual en una tasa nominal con
capitalizaciones (anticipadas)
Ejemplo una tasa efectiva del 30,84anual, con capitalizaciones
trimestrales ¿A que tasa nominal equivale?.
FÓRMULA :
IN = O IN =
IN = Interés Nominal
IE = Interés Efectivo
n = Número de períodos o capitalizaciones
IN = n 1 – (1+IE) – 1/n
n 1- ( 1+IE)- 1/n
- n -n
1+Ie -1

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
IN = 4 1- (1+0,3084)-1/4
IN = 4 1-(0,935007)
IN = 4 0,064993
IN = 0,259972 = 26% aproximadamente eso significa que una tasa del 30,84%
efectivo anual con capitulaciones trimestrales anticipado equivale a una tasa del 26
% nominal anual.
IN= 0.259972 = 26% aproximadamente eso significa que una tasa de 30,804%
efectiva anual con capitalizaciones trimestres anticipado equivale a una tasa del
26% Nonimal Anual.
4.10.4 Convertir una Tasa Efectiva anual en una tasa
nominal con capitalizaciones (anticipadas)
Utilizando la HP.
Con base en el ejemplo anterior
PRIMER PASO:
Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una pantalla:
SEGUNDO:
Se oprime la tecla CONAVI y da como resultado la siguiente pantalla:
VDT CONVI y se oprime la techa EFEC y da la siguiente pantalla:

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
% NOM % EFECT P
TERCER PASO:
Se Procede a incluir la información que se tiene así:
Se escribe en la pantalla 30,80 más la fecha % EFE luego se escribe 4 más la
tecla +/- más la tecla P y para obtener la respuesta se oprime la fecha %
NOMB y da % NOM = 26%.
4.11 Resumen de Fórmulas
4.11.1 Vencidas
Tasa nominal anual Tasa efectiva anual.
Ie = 1+ In n
-1
n
Tasa nominal anual tasa nominal periódica
INp = In
n
Tasa nominal anual tasa efectiva periódica
Iep = In

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
n
Tasa efectiva anual tasa nominal anual
IN = n 1 + Ie 1/n
- 1
Tasa efectiva anual tasa efectiva periódica
Iep = 1 + Ie 1/ n -1
Tasa efectiva periódica tasa efectiva anual
Ie = 1 + Iep n
-1
Tasa efectiva periódica tasa efectiva periódica
Iepo = 1 + Iep I X N
- 1
MM
4.11.2 ANTICIPADOS
Tasa nominal anual convertir Tasa efectiva anual
Ie = 1- IN –n
- 1
n
Tasa efectiva anual Tasa nominal anual

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
IN 1- (1+IE)-1 / n ó IN
= - N -N
1 + IE -1
4.12 PROBLEMAS RESUELTOS
4.12.1 En un Banco se pacta a una tasa del 18% anual vencido capitalizable
mensualmente. Hallar la tasa efectiva.
Ie = 1 + In n
-1
n
Ie = ( 1 + 0.18)12
-1
12
Ie = 19,56 efectivo anual
4.12.2 ¿En dónde debo prestar el dinero: En un Banco que cobra el 26% anual
capitalizable trimestralmente, o en una que cobre el 24% con
capitalización mensual?
Debo prestar en un Banco con la menor tasa efectiva.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Ie = ( 1 + 0.26 )4
- 1
4
Ie = 28,64%
Ie = ( 1 + 0.24 )12
- 1
12
Ie = 26,82 %
Debo hacer el préstamo donde me cobran el 24% anual capitalizable
trimestralmente.
4.12.3 Una tasa nominal del 36% anual a ¿qué tasa nominal semestral
corresponde?.
INP = I N
N
INP = 0.36
2
INP = 0.18 = 18% nominal semestral.
4.12.4 Una tasa efectiva anual del 27,5% a ¿qué tasa nominal anual
corresponde, si la capitalización es bimestral?.
IN = n ( 1 + Ie ) 1/n
-1

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
IN = 6 ( 1 + 0.275 ) 1/ 6
- 1
IN = 24,79% Nominal anual
4.12.5 Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva anual
del 36.75%
Iep = ( 1 + Ie )1 / n
- 1
Iep = ( 1 + 0.3675 ) ¼
- 1
Iep = 8,138 % Tasa efectiva trimestral
4.12.6 Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva trimestral
del 8,138%.
Ie = ( 1 + Iep )n
– 1
Ie = ( 1 + 0.08138 ) 4
- 1
Ie = 36.75% anual
4.12.7 Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa
efectiva del 2.5% mensual.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Iepo = ( 1 + Iep ) 1/mm x n
- 1
Iepo = ( 1 + 0,025 ) ¼ x 12
- 1
Iepo = 7,69% tasa efectiva trimestral
4.12.8 Calcular la tasa efectiva mensual equivalente o una tasa efectiva
semestral del 32.65%.
Iepo = ( 1 + Iep ) 1/mm x n
– 1
Iepo = ( 1 + 0,3265 ) 1/12x2
- 1
Iepo = 4.82 % efectiva mensual
4.12.9 Calcular el Interés efectivo equivalente a una tasa nominal anual del 28%
capitalizable bimestre anticipado.
Ie = ( 1 - I N ) –n
– 1
Ie = ( 1 - 0.28 ) –6
–1
6
Ie = ( 1 - 0,046667 )-6
-1

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.12.10 Calcular la tasa nominal anual si la tasa efectiva anual es
33,2% capitalizable bimestre anticipado.
In = n 1 - ( 1 + Ie ) – 1/n
In = 6 1 - ( 1 + 0,332 ) – 1/ 6
In = 28% anual nominal
4.12.10En dónde debo depositar el dinero, en un Banco que paga el
16% nominal anual capitalizable trimestre vencido, o el 15%
nominal anual capitalizable trimestral anticipado?
Debo depositarlo donde sea mayor la tasa efectiva anual.
A-) Ie = ( 1 + I n ) n
– 1
n
Ie = ( 1 + 0,16 ) 4
-1
Ie = 16,98 Tasa efectiva anual
B-) Ie = ( 1 - I n )- n
–1
Ie = 33,2 % tasa efectiva anual

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
n
Ie = ( 1 - 0,15 ) – 4
- 1
4
Ie = 16,51%
Debo depositar el dinero al 16% anual capitalizable trimestral
anticipado.
4.13. PROBLEMAS PROPUESTOS
4.13.1 Convertir una tasa nominal anual del 24% en efectivo anual con
capitalizaciones : a) anual, b) semestral, c) trimestral, d) mensual.
Respuesta: a-) 24% b-) 25.44% c-) 26,24% d-) 26,82%
4.13.2 Convertir una tasa nominal anual del 36% a una tasa nominal
mensual?
Respuesta: 3% Nominal mensual
4.13.3 Convertir una tasa efectiva del 46% anual, en una tasa nominal
anual con capitalización a) Mensual b) Bimestral c) trimestral.
Respuesta: a) 38,44 b) 39,06% c) 39,69
4.13.4 Convertir una tasa efectiva anual del 26.84% en una tasa
efectiva bimestral?
Respuesta: 4,042163% efectiva bimestral.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4.13.5 Convertir una tasa efectiva bimestral del 4,042163% en una
tasa efectiva anual?
Respuesta: 26,84% efectiva anual
4.13.6 Convertir una tasa efectiva bimestral del 4,83% en una tasa
efectiva semestral?
Respuesta 15,20 % efectiva semestral
4.13.7 Convertir una tasa efectiva semestral del 15.20 en una tasa
efectiva Bimestral.
Respuesta: 4.83%
4.13.8 Convertir una tasa nominal del 28% anual en una tasa efectiva
anual si la capitalización es: a) mensual b) bimestral c) trimestral
d) semestrales anticipadas?
Respuesta: a) 32,75% b) 33,20% c) 33.68% d) 35,20%
4.13.9 Convertir una tasa efectiva anual del 30% en una tasa nominal
anual con capitalización a) mensual b) bimestral c)trimestral d)
semestral e) anual (anticipada.
Respuesta: a) 25,95% b) 25,67% c) 25,39 d) 24,58% e) 23,07%.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
CAPITULO 5 ANUALIDADES
ANUALIDADES
OBJETIVO
Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá
definir que es una anualidad como también distinguir los
diferentes tipos de anualidad, calcular valor presente y
futuro, también plantear e identificar situaciones de la
vida real en que se apliquen como también utilizar
herramientas como la calculadora H.P.y la hoja de
calculo Excel. importante es poder determinar donde
colocar o prestar dinero con mayor beneficio pero el
usuario.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
TEMAS
5.1 Introducción
5.2 Clasificación
5.3 Representación gráfica
5.4 Anualidades ciertas a término vencidas
5.4.1 Valor presente de una anualidad
5.4.1.1 Utilización formula
5.4.1.2 Utilización Tablas
5.4.1.3 Calculadora H.P.
5.4.1.4 Utilizando Excel
5.4.2 Calcular la anualidad conociendo el valor presente
5.4.2.1 Utilizando formula
5.4.2.2 Utilizando Tabla
5.4.2.3 Utilizando H.P.
5.4.3 Calculo del numero de periodos conociendo el valor presente y la
Anualidades.
5.4.4 Calculo de la tasa de interés conociendo el valor presente y la
anualidades.
5.4.4.1 Interpelando
5.4.4.2 Ensayo error
5.4.4.3 Utilizar la calculadora HP.
5.4.4.4 Utilizar Excel
5.4.5 Valor Futuro De Una Anualidad
5.4.5.1 Utilizando fórmula

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5.4.5.2 Utilizando tablas
5.4.5.3 Utilizando Calculadora HP
5.4.6 Cálculo de la anualidad teniendo un futuro
5.4.6.2 Utilizando Tablas
5.4.6.3 Utilizando HP
5.4.7 Calculo del numero de periodos conociendo la anualidad
5.4.7.1 Utilizando la fórmula
5.4.7.2 Utilizando la calculadora HP
5.4.8 Calculo del interés conociendo la anualidad y el valor
futuro
5.4.8.1 Interpelando
5.4.8.2 Utilizando la calculadora HP
5.4.8.3 Utilizando el Excel
5.4.9 Resumen de las fórmulas
5.4.10 Problemas resueltos
5.4.11 Problemas propuestos

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5.1 INTRODUCCIÓN
Una de las principales modalidades más utilizadas por los usuarios del
dinero es pagar o ahorrar por cuotas constantes que son llamadas
anualidades.
La anualidad no significa pagos anuales sino pagar o intervalos iguales. Algunos
libros anualidad lo cambia por la de renta o serie de pagos uniformes.
Definición: Anualidad es una serie de pagos periódicos e iguales de
dinero que pueden ocurrir al comienzo o al final de cada periodo
y se representa con la letra A.
5.2 CLASIFICACIÓN DE LA ANUALIDAD.
Las anualidades se clasifican según el tiempo, según la forma como se estipule el
pago, pero principalmente se dividen en dos grandes grupos: Anualidad cierta y
anualidad eventual o contigente.
Anualidad Ciertas
Las anualidades ciertas son aquellas en la cual la fecha de iniciación y
culminación se conocen o están definidos previamente.
Anualidad Eventual o contingente
Las anualidades eventuales son aquellas en que su fecha de iniciación
y/o culminación no se conocen o dependen de que ocurra algún
suceso. Un ejemplo las pensiones de Jubilación, se conoce cuando

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
inicia pero no cuando termina por que no se sabe hasta cuando va a
vivir el jubilado.
Las anualidades ciertas y las anualidades eventuales se subdividen en anualidades
a término y anualidades perpetuas.
Anualidades a Término
Son aquellas anualidades que tienen un plazo preciso.
Anualidades Perpetuas
Son aquellas anualidades cuyo plazo es ilimitado. Según la forma
como se estipula el pago de la anualidad y las anualidades a termino y
las anualidades perpetuas se subdividen en :
 Vencidas
 Anticipadas
 Diferidas vencidas
 Diferidas anticipadas.
 Anualidades Vencidas
Se llama así porque el pago de la cuota se cancela al final de cada
periodo.
Anualidades Anticipadas
Se llama así porque el pago de la cuota se cancela al comienzo de cada periodo.
Anualidades Definida vencida
Se llama así cuando la serie de pagos no comienza al final del primer periodo sino
al final de un periodo futuro.
Anualidades Deferido anticipado

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Se llama así cuando la serie de pagos no comienza del iniciar el primer
periodo sino del iniciar un periodo futuro
Vencidas
Termino Anticipadas
Diferidos vencidas
Diferidos Anticipadas
Anualidades Ciertas
Vencidas
Perpetuas Anticipadas
Diferidos vencidas
Diferidos Anticipadas
Vencidas
Termino Anticipadas
Diferidas vencidas
Diferidas anticipadas
Anualidades Eventuales
ó Contingentes Vencidas
Perpetuas Anticipadas
Diferidas vencidas
Diferidas anticipadas.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5.3 Representación Gráfica
P F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 n Periodos
A A A A A A A A A A
5.4 Anualidad Ciertas A Término Vencidas.
Son aquellas anualidades donde conocemos la fecha de iniciación como
el de terminación pero principalmente que los pagos de las cuentas se
hacen al final del periodo.
SIMBOLOGIA UTILIZADA.
A = Anualidades
F = Valor futuro
P = Valor Presente
n = Número de periodos o capitalización
i = Tasa efectiva por periodos de capitalización
5.4.1 Valor Presente De Una Anualidad
Podemos definirla como la cantidad de dinero recibido hoy equivalente a una serie
de pagos uniformes.
5.4.1.1 UTILIZANDO LA FÓRMULA
P = ?
1 2 3 4 5 n3 n2 n
A A A A A A A A

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Formula
P = Presente o valor presente
n = Numero de periodos
P = A ( 1 + i ) n
–1
i ( + i )
n
A = Anualidad
i = Tasa de interés
Ejemplo ¿ Cuál es el valor actual de una renta mensual de $ 250.000,00
depositados al final de cada mes durante 24 meses al 3% mensual (primero la
gráfica).
P = A (1+i )n
-1
i (1+i )n
P= ? 3%
1 2 3 4 5 6 24
250.000,00
P = 250.000,00 ( 1 + 0,03 )24
- 1
0,03 ( 1+0,03 )24

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2,032794 - 1
P = 250.000,00
0,03 ( 2,032794 )
1,032794
P = 250.000,00
0,060984
P = 250.000,00 ( 16,935491 )
Ahorrar $ 250.000,00 durante 24 meses equivale a hacer un solo deposito hoy por
valor de $ 4.233.872,81.
5.4.1.2 UTILIZANDO LAS TABLAS.
El cálculo del valor presente de una anualidad la podemos realizar a
través de las tablas que han sido elaboradas con base en la formula
anterior. Para este caso buscamos la tabla VI (valor del factor
presente de una anualidad ordinaria) en otras tablas la notación
estándar (P/a, i%,n), para un interés del 3% y para un n igual a 24
buscamos la intersección que es ( 16,93554212 )
Anualidad que son $ 250.000,00 la multiplicación por el factor de la tabla
(16,93554212).
P = 250.000, 00 x 16,93554212 = 4.233.885,60
Con el ejemplo anterior nos da una pequeña diferencia debido a que las tablas
están constituido con más decimales.
P = 4.233.872,81

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5.4.12 TILIZANDO LA CALCULADORA H.P.
(con base con el ejemplo anterior)
Tenemos:
Primer paso:
Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y nos da como
resultado la nueva pantalla con las siguientes menú.
Segundo Paso:
Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla 12
pagos/añ: Modo final.
Tercer paso:
Estando en la pantalla anterior incluimos los datos conocidos así:
Nota: Los ingresos siempre los coloco con signo positivo y los egresos o salidas
con signos negativos. Como los $ 250.000,00 en la pantalla más tecla +/- y la
tecla PAGO luego se escribe 24 en la pantalla
mas la techa N luego 36 que es el interés anual más la tecla %
IA para pedir el resultado se oprime la tecla V.A. y me da $
4.233.885,53.

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5.4.12.1 UTILIZANDO EL EXCEL
Con base en el ejemplo anterior tenemos :
1 Se construye la tabla o estructura
2 Se deja el cursor en B6
3 Se hace click en Fx
4 En categorías de función se selecciona Financieras y en nombre de función se
selecciona VA y luego aceptar.
5 Se incluye la información haciendo click en B4, SE HACE CLICK EN Nper y luego
click en B3, se hace click en Pago y luego click en B2
se hace click en aceptar y aparece la respuesta en b

_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
5.4.2 CALCULAR UNA ANUALIDAD CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE
Este caso es por ejemplo cuando nos otorga un determinado préstamo
y queremos saber el valor de la cuota.
5.4.2.1 UTILIZANDO LA FORMULA 








1)1(
)1(
n
n
i
ii
PA
Ejemplo hoy el banco de Bogotá me presta $ 300.000,00 para ser
cancelado en 3 años en cuotas periódicas trimestrales y cobra un
interés del 36% anual ¿Cuál será el valor de la cuota o anualidad?
P= 3.000.000,00 9% Trimestral

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