1. El documento presenta la resolución de varios ejercicios de álgebra lineal. Incluye la multiplicación de matrices, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la determinación de conjuntos de solución. 2. También describe un problema sobre la mezcla y distribución de granos de café por parte de un comerciante, resolviendo el sistema resultante para encontrar la cantidad máxima de bolsas que se pueden hacer de cada mezcla. 3. Finalmente, la solución al problema del comerciante de café determina que se

1. Trabajo 2 – Algebra Lineal - Unidad I y II
Javier Nava 14120321
Terminal de número de cédula impar, resolvemos los ejercicios I.1, II.3 II.5 y III.1.
I. Considere las siguientes matrices.
A = [
−1
4⁄ −4
5 −1
5⁄
3 7
] , B = [
−5 0 1
4⁄
3 √6 −7
] , C = [
0 8 −5
−5
4⁄ −4 −4
7⁄
6 2
3⁄ 20
6⁄
]
Calcula en caso posible la siguiente Matriz
1. −(𝐴𝐵) 𝑡
+
1
7
𝐶 𝑡
Solución: Dadas dos matrices A = (𝑎𝑖𝑗)
3𝑥2
y B = (𝑏𝑖𝑗)
2𝑥3
tales que el número
de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir
“2”, la multiplicación de AB, el resultado del producto es una nueva matriz D =
(𝑑𝑖𝑗)
3𝑥3
: donde cada elemento 𝑑𝑖𝑗 está definido por: 𝑑𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑟 𝑏 𝑟𝑗 es decir:
AB = D = [
−1
4⁄ −4
5 −1
5⁄
3 7
] . [
−5 0 1
4⁄
3 √6 −7
] =
[
−
43
4
−4√6
447
16
−
128
5
−
√6
5
53
20
6 7√6 −
193
4 ]
Calculando cada 𝑑𝑖𝑗 de la siguiente forma
𝑑11 = 𝑎11. 𝑏11 + 𝑎12. 𝑏21 = −1
4⁄ . − 5 + −4 .3 = −
43
4
𝑑12 = 𝑎11. 𝑏12 + 𝑎12. 𝑏22 = −1
4⁄ . 0 + −4 . √6 = −4√6
𝑑13 = 𝑎11. 𝑏13 + 𝑎12. 𝑏23 = −1
4⁄ . 1
4⁄ + −4 . −7 =
447
16
𝑑21 = 𝑎21. 𝑏11 + 𝑎22. 𝑏21 = 5 . −5 + −1
5⁄ . 3 = −
128
5
𝑑22 = 𝑎21. 𝑏12 + 𝑎22. 𝑏22 = 5 . 0 + −1
5⁄ . √6 = −
√6
5
𝑑23 = 𝑎21. 𝑏13 + 𝑎22. 𝑏23 = 5 . 1
4⁄ + −1
5⁄ . −7 =
53
20
𝑑31 = 𝑎31. 𝑏11 + 𝑎32. 𝑏21 = 3 . − 5 + 7 . 3 = 6
𝑑32 = 𝑎31. 𝑏12 + 𝑎32. 𝑏22 = 3 . 0 + 7 . √6 = 7√6
𝑑33 = 𝑎31. 𝑏13 + 𝑎32. 𝑏23 = 3 . 1
4⁄ + 7 . −7 = −
193
4

2. D = −(AB) = (𝑑𝑖𝑗)
3𝑥3
=
[
43
4
4√6 −
447
16
128
5
√6
5
−
53
20
−6 −7√6
193
4 ]
;
Por otro lado tenemos a la Matriz C = (𝑐𝑖𝑗)
3𝑥3
= [
0 8 −5
−5
4⁄ −4 −4
7⁄
6 2
3⁄ 20
6⁄
];
Buscamos la Transpuesta.
Sea E = Ct
= (𝑐𝑗𝑖)
3𝑥3
= (𝑒𝑖𝑗)
3𝑥3
=
[
0 −
5
4
6
8 −4
2
3
−5 −
4
7
10
3 ]
;
Multiplicamos la matriz por 1
7⁄
F =
1
7
E =
1
7
𝐶 𝑡
= (
1
7
𝑐𝑗𝑖)
3𝑥3
= (𝑓𝑖𝑗)
3𝑥3
=
[
0 −
5
28
6
7
8
7
−
4
7
2
21
−
5
7
−
4
49
10
21]
;
Ahora como la matriz F =
1
7
𝐶 𝑡
es de igual dimensión a la matriz D = −(AB)
estas pueden sumarse.
Así. Se suma términos correspondientes, (𝑠𝑖𝑗)
3𝑥3
= ∑ 𝑑 𝑚𝑛 + 𝑓𝑚 𝑛
−(𝐴𝐵) 𝑡
+
1
7
𝐶 𝑡
=
[
43
4
4√6 −
447
16
128
5
√6
5
−
53
20
−6 −7√6
193
4 ]
+
[
0 −
5
28
6
7
8
7
−
4
7
2
21
−
5
7
−
4
49
10
21]
=
[
43
4
4√6 −
5
28
−
3033
112
936
35
√6
5
−
4
7
−
1073
420
−
47
7
−7√6 −
4
49
4093
84 ]

3. II. Resolver el siguiente sistema y determine su conjunto solución en cada una de
ellas:
3. {
(1 − 𝛽)𝑥1 + 6𝑥2 = 0
5𝑥1 + (2 − 𝛽)𝑥2 = 1
Solución: Resolvemos a través del Método de Gauss–Jordan, utilizando la
Matriz siguiente.
[
(1 − 𝛽) 6
5 (2 − 𝛽)
] . [
𝑥1
𝑥2
] = [
0
1
]; Ahora utilizamos la siguiente matriz aumentada
y aplicamos Método de Gauss–Jordan:
(
(1 − 𝛽) 6
5 (2 − 𝛽)
|
0
1
) 𝑓1 →
𝑓1
(1 − 𝛽)⁄ (
1 6
(1 − 𝛽)⁄
5 (2 − 𝛽)
|
0
1
)
𝑓2 → 𝑓2 − 5𝑓1
(
1 6
(1 − 𝛽)⁄
0
30(2 − 𝛽)
(1 − 𝛽)⁄
|
0
1
)
𝑓2 → 𝑓2
(1 − 𝛽)
30(2 − 𝛽)⁄ (
1 6
(1 − 𝛽)⁄
0 1
|
0
(1 − 𝛽)
30(2 − 𝛽)⁄
)
𝑓1 → 𝑓1 −
6𝑓2
(1 − 𝛽)⁄ (
1 0
0 1
|
−1
5(2 − 𝛽)⁄
(1 − 𝛽)
30(2 − 𝛽)⁄
)
Así, 𝑥1 = −1
5(2 − 𝛽)⁄ ; 𝑥2 =
(1 − 𝛽)
30(2 − 𝛽)⁄ tiene solución única, por lo que
el conjunto solución son todos los 5(2 − 𝛽) ≠ 0 𝑦 30(2 − 𝛽) ≠ 0
Esto es: 5(2 − 𝛽) = 10 − 5𝛽 ≠ 0 → 𝛽 ≠ 2
30(2 − 𝛽) ≠ 0 → 60 − 30𝛽 ≠ 0 → 30𝛽 ≠ 60 → 𝛽 ≠ 2
Así, el conjunto solución son todos los 𝛽 ∈ ℝ / 𝛽 ≠ 2.
5. {
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = −1
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 − 5𝑥4 = −9
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 − 6𝑥4 = −7
−𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 1
Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvemos
por el método de Gauss-Jordan

4. (
1 1 1
2 3 1
−1
−5
1 3 −1
−1 −1 −1
−6
0
|
−1
−9
−7
1
)
𝑓2 → 𝑓2 − 2𝑓1
𝑓3 → 𝑓3 − 𝑓1
𝑓4 → 𝑓4 + 𝑓1
(
1 1 1
0 1 −1
−1
−3
0 2 −2
0 0 0
−5
−1
|
−1
−7
−6
0
)
𝑓1 → 𝑓1 − 𝑓2
𝑓3 → 𝑓3 − 2𝑓2
(
1 0 2
0 1 −1
2
−3
0 0 0
0 0 0
1
−1
|
6
−7
8
0
)
𝑓1 → 𝑓1 − 2𝑓3
𝑓2 → 𝑓2 + 3𝑓3
𝑓4 → 𝑓4 + 𝑓3
(
1 0 2
0 1 −1
0
0
0 0 0
0 0 0
1
0
|
−10
17
8
8
)
{
𝑥1 + 2𝑥3 = −10
𝑥2 − 𝑥3 = 17
𝑥4 = 8
0 = 8
Así, vemos que el sistema de ecuaciones no tiene solución ya que: 0 ≠ 8.
III.1. Un mercader cafetero vende tres mezclas de café. Una bolsa de mezcla de la
casa contiene 300 gramos de grano colombiano y 200 gramos de granos francés
tostado. Una bolsa de mezcla especial contiene 200 gramos de grano colombiano,
200 gramos de la variedad de Kenia y 100 gramos de grano francés tostado. Una
bolsa dela mezcla gourmet contiene 100 gramos de grano colombiano, 200 gramos
de grano de Kenia y 200 gramos de grano francés tostado. El comerciante tiene
disponible 30 Kg. De grano de Colombia, 15 kg de gramo de Kenia y 25 Kg del café
tostado de Francia. Si deseamos la totalidad de los granos ¿Cuántas bolsas de cada
tipo de mezcla pueden hacerse?
Solución:
Bolsa de
Mezcla
Tipo de
Grano
De la Casa (X) Especial (Y) Gourmet (Z) Disponible
Colombiano 300 200 100 30000
Francés Tostado 200 100 200 25000
Kenia 0 200 200 15000

5. Creamos un sistema de ecuaciones para resolver el ejercicio:
{
300X + 200Y + 100Z = 30000
200X + 100Y + 200Z = 25000
200Y + 200Z = 15000
Llevamos el sistema a su forma matricial, y
aplicamos Método de Gauss-Jordan.
(
300 200 100
200 100 200
0 200 200
|
30000
25000
15000
)
𝑓1 →
𝑓1
300
⁄
(
1 2/3 1/3
200 100 200
0 200 200
|
100
25000
15000
) 𝑓2 → 𝑓2 − 200𝑓1
(
1 2/3 1/3
0 −100
3⁄ 400
3⁄
0 200 200
|
100
5000
15000
) 𝑓2 → (−3
100⁄ )𝑓2 (
1 2/3 1/3
0 1 −4
0 200 200
|
100
−150
15000
)
𝑓1 → 𝑓1 − (2
3⁄ )𝑓2
𝑓3 → 𝑓3 − 200𝑓2
(
1 0 3
0 1 −4
0 0 1000
|
200
−150
45000
)
𝑓3 →
𝑓3
1000⁄
(
1 0 3
0 1 −4
0 0 1
|
200
−150
45
)
𝑓1 → 𝑓1 − 3𝑓3
𝑓2 → 𝑓2 + 4𝑓3 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
65
30
45
)
Solución {
𝑋 = 65
𝑌 = 30
𝑍 = 45
Así, las Bolsas de mezclas quedan de la siguiente forma:
65 Bolsas de Mezcla de la Casa
30 Bolsas de Mezcla Especial
45 Bolsas de Mezcla Gourmet