Ejercicio b de Ley Inversa

1. En cada caso determinar la expresión de la ley inversa:
b) 𝑓(𝑥) =
5𝑥−3𝑥2
6+8𝑥
Como ya vimos en el ejercicio “a” determinar la inversa de una función es
un procedimiento muy simple que consta de tres pasos. Utilizaremos
ahora estos mismo tres pasos para resolver el ejercicio “b”.
Paso 1: Hacer 𝑓(𝑥) = 𝑌
𝑌 =
5𝑥 − 3𝑥2
6 + 8𝑥
Paso 2: Despejar X
Multiplicamos de ambos lados de la igualdad por el término 6 + 8𝑥
(6 + 8𝑥) ∗ 𝑌 =
5𝑥 − 3𝑥2
6 + 8𝑥
∗ (6 + 8𝑥)
(6 + 8𝑥) ∗ 𝑌 = 5𝑥 − 3𝑥2
Resolviendo la operación distributiva del lado izquierdo de la igualdad.
6𝑌 + 8𝑥𝑌 = 5𝑥 − 3𝑥2
Agrupando las “X” de un solo lado de la igualdad (preferiblemente del lado
izquierdo, por comodidad). Para ello sumamos −(5𝑥 − 3𝑥2
) de ambos
lados.
6𝑌 + 8𝑥𝑌 − (5𝑥 − 3𝑥2
) = 5𝑥 − 3𝑥2
− (5𝑥 − 3𝑥2
)
6𝑌 + 8𝑥𝑌 − (5𝑥 − 3𝑥2
) = 0
6𝑌 + 8𝑥𝑌 − 5𝑥 + 3𝑥2
= 0
Si sacamos factor común “X” en el término 8𝑥𝑌 − 5𝑥
6𝑌 + (8𝑌 − 5) ∗ 𝑥 + 3𝑥2
= 0
Nótese ahora que estamos ante una ecuación de segundo grado, y para
encontrar el valor de “X” debemos aplicar la resolvente (𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
).
Siendo: 𝑎 = 3 𝑏 = 8𝑌 − 5 y c=6𝑌

2. El valor de X será:
𝑥 =
−(8𝑌 − 5) ± √(8𝑌 − 5)2 − 4 ∗ 3 ∗ 6𝑌
2 ∗ 3
𝑥 =
−8𝑌 + 5 ± √(8𝑌 − 5)2 − 72𝑌
6
Paso 3: Cambiar X por Y, y Y por X.
𝑌 =
−8𝑥 + 5 ± √(8𝑥 − 5)2 − 72𝑥
6
Finalmente devolvemos el cambio de variable 𝑓(𝑥) = 𝑌
𝑓(𝑥) =
−8𝑥 + 5 ± √(8𝑥 − 5)2 − 72𝑥
6
Hemos encontrado la función inversa de 𝑓(𝑥) =
5𝑥−3𝑥2
6+8𝑥